2025年中考数学几何模型综合训练专题37最值模型之瓜豆模型（原理）直线解读与提分精练（教师版）

专题37最值模型之瓜豆模型（原理）直线

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）......................................................................................................1

.................................................................................................................................................11

模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨

迹相同。

只要满足：

则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹

1、两“动”，一“定”

长度的比和它们到定点的距离比相同。

2、两动点与定点的连线夹角是定角

3、两动点到定点的距离比值是定值

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直

线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上

运动时，则Q点轨迹也是一条直线。

证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，

因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

模型2）如图，在APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条

直线。△

证明：在BC上任取一点P1，作三角形AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N，

∵，，∠∠，，∴∠∠，

AP=AQAQ1=AP1P1AQ1=PAQ=△APP1AQQ1APP1=AQQ1

∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线．

当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；

②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）

为其他已知轨迹的线段求最值。

11

例1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形ABCD的边AB,BC3，E为AB上一点，且AE1，F

2

为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EFEG，连接CG，则CG

的最小值为（）

5

A．5B．C．3D．22

2

【答案】B

【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，

可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D△重合时，CG有最小值，即可求解．

【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，

1111

∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，

22

9

∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，

2

∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，

又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，

∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，

∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，

2

1125

∴CG的最小值＝132，故选B．

22

【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．

例2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，VABC是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，

𝐵𝐶

将绕点C顺时针旋转得到．连接AF，则CAF，连接DF，则VCDF周长的最小值

是𝐶．60°𝐶

【答案】3013

【分析】证明△CBE≌△CAF(SAS)可得CAFCBE30，得到点F在射线AF上运动，如图所示，作

点C关于AF的对称点C，连接DC，可得当D，F，C三点共线时，FCFD取最小值，即

1

FCFDFCFDCD，由ACO90CAO60得到C30，即得CDCC1，进而由勾

2

股定理得CDCC2CD23，据此即可求解．

1

【详解】解：∵VABC为等边三角形，E为高BD上的动点，CBEABC30，BCAC，

2

∵将CE绕点C顺时针旋转60得到CF，CECF，ECFBCA60，

BCEACF，VCBE≌VCAF(SAS)，CAFCBE30，∴点F在射线AF上运动，

如图所示，作点C关于AF的对称点C，连接DC，

1

设CC交AF于点O，则AOC=90，在RtAOC中，CAO30，则COAC1，

2

当D，F，C三点共线时，FCFD取最小值，即FCFDFCFDCD，

∵ACO90CAO60，∴C90DCO906030，

1

∵CCAC2，∴CDCC1，∴CDCC2CD222123，

2

∴VCDF周长的最小值为13，故答案为：30；13．

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，两点之

间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．

例3．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD相交于点O，点E在边DC

上，连接AE，过D做DFAE，垂足为F，连接OF，若DAE30，DE10，则OF的最小值

为．

【答案】53

2

【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含30直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，先根据

面积法可计算DF的长为53，根据三角形的三边关系可得：F是一个定点，O的轨迹为AD中垂线上的一

部分，所以垂线段最短，可知FN的长是OF的最小值，最后由等边三角形三线合一的性质可得结论．

【详解】解：四边形ABCD是矩形，

11

ADE90，ACBD，OAAC，ODBD，OAOD，

22

DAE30，DE10，AE2DE20，ADAE2DE2202102103，

11

53

DFAE，SADE1010320DF，DF

222

F是一个定点，O的轨迹为AD中垂线上的一部分，如下图所示，过点F作FPAD于P，过点O作

OMAD于M，过点F作FNOM于N，所以垂线段最短，则OF的最小值为FN的值，

153

FP∥DE，DFPEDF30，PDDF，Rt△ADE中，AD103，

22

5353

OMAD，OAOD，AMDM53，FNPM53，

22

5353

即OF的最小值为．故答案为：．

22

例4．（2023·安徽·合肥三模）如图，在RtABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在

△

BC，AB边上，连接DE，将BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，

则AF的长的最小值为（）△

53

A．5B．3C．D．

22

【答案】A

【分析】连接BF交ED于点0，设EF与AC交于点G．根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运

1

动，从而得到当AF⊥BF时，AF的长最小．再证明BEO∽△BAF，可得BEABAE，再证明AGE∽

2

11△△

△ACB，EGBC1.5,AGAC2，从而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．

22

【详解】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G．

∵四边形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴点F在∠ABC的平分线上运动，

∴当AF⊥BF时，AF的长最小．在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，

BEOEBO11

BEABAE

∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴ABAFBF2，∴2，

在RtABC中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，

∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，

EGAGAE111

∴,AGEACB90，∴EGBC1.5,AGAC2，∴GF=EF-EG=1，

BCACAB222

2222

∵∠AGF=∠AGE=90°，∴AFAGGF215．故选：A

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角

形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F在∠ABC的平分线上运动是解题的关键．

例5．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC53，点P在线段BC上运动（含B，

C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为.

71

【答案】/3/3.5

22

【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DHQE于H．利用全

等三角形的性质证明AFQ90，推出AEF60，推出点Q在射线FE上运动，求出DH，可得结论．

【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DHQE于H．

∵四边形ABCD是矩形，∴ABPBAD90，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，

∴BAFPAQ60，BAFA，PAQA，∴BAPFAQ，

BAFA

在△BAP和△FAQ中，BAPFAQ，∴△BAP≌△FAQ(SAS)，∴ABPAFQ90，

PAQA

∵FAE906030，∴AEF903060，

AF83

∵ABAF4，AE，∴点Q在射线FE上运动，

cos303

73

∵ADBC53，∴DEADAE，∵DHEF，DEHAEF60，∴

3

73377

DHDEsin60．据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为．

3222

7

故答案为：．

2

【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射

线FE上运动．

1

例6．（2024·重庆模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线yx2上的一个动点，将Q绕点P1,0

2

逆时针旋转90，得到点Q，连接OQ，则OQ最小值为______．

【答案】5

1

【分析】设Q(t,t2)，作ABx轴，作AQAB，作QBAB，根据AAS可证明VAPQVBQP，由此

2

11

可求Q(t3,t1)，令xt3，yt1，可得Q在直线y2x5上运动，当OQEQ时，

22

11

OQ的值最小，再由tanCDO得tanOEQ，进而得出OE5，即可得出答案．

22

1

【详解】设Q(t,t2)，过点P作ABx轴，过点Q作AQAB交于A点，过点Q作QBAB交于B点，

2

∵QPQ90，∴QPAQPB90.

∵QPAAQP90，∴QPBAQP.

∵QPQP，∴APQBQPAAS，∴QAPB，APQB.

11

∵P(1,0)，∴QAt1，APt2，∴Q(t3,t1)，

22

1

令xt3，yt1，∴y2x5，

2

∴点Q在直线y2x5上运动，当OQEQ时，OQ的值最小.

11

在yx2中，令x0，则y2，令y0，则x4，∴C(0,2)，D(4,0)，∴tanCDO．

22

1

∵CDOOEQ，∴tanOEQ，∴QE2OQ，

2

在y2x5中，令x0，则y5，∴E(0,5)，∴OE5.

∵(OQ)2(EQ)2OE2，即5(OQ)225，解得OQ5，所以OQ的最小值为5.故答案为：5．

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，确定点Q的运

动轨迹是解题的关键．

例7．（2024·广东·九年级校考期中）如图，RtABC中，ACB90，A30，BC5，点E是边AC上

一点，将BE绕点B顺时针旋转60到BF，连接CF，则CF长的最小值是（）

5

A．2B．2.5C．5D．

2

【答案】B

【分析】取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DHAC，垂足为H，在RtABC中，利用含30度角

1

的直角三角形的性质可求出AB的长，ABC的度数，再根据线段的中点定义可得ADBDAB5，从

2

1

而可得DHAD2.5，然后利用旋转的性质可得：BEBF，EBF60，从而利用等式的性质可得

2

ABECBF，进而利用SAS证明△BDE≌△BCF，最后利用全等三角形的性质可得DECF，再根据

垂线段最短，即可解答．

【详解】解：取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DHAC，垂足为H，∴AHD90，

∵ACB90，A30，BC5，∴AB2BC10,ABC90A60，

11

∵点D是AB的中点，∴ADBDAB5，∴DHAD2.5，

22

由旋转得：BEBF，EBF60，∴EBFABC60，

∴EBFEBCABCEBC，∴ABECBF，

∵BDBC5，∴BDE≌BCFSAS，∴DECF，

当DEAC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为2.5，

∴CF长的最小值是2.5，故选：B．

【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键．

1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形ABCD中，AB16，AD12，A60，E是边AD上一点，

且AE8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60，得到EG，连接BG、CG，则BGCG

的最小值是（）.

A．4B．415C．421D．37

【答案】C

【分析】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知

识．取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EHCD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明

GNB60，点G的运动轨迹是射线NG，由“SAS”可证△EGN≌△BGN，可得GBGE，推出

GBGCGEGCEC，求出EC即可解决问题．

【详解】解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EHCD交CD的延长线于H，

AE8，AD12，DE4，点N是AB的中点，ANNB8，AEAN，

A60，AEN是等边三角形，AENFEG60，AEFNEG，

EAEN，EFEG，AEF≌NEGSAS，ENGA60，

ANE60，GNB180606060，点G的运动轨迹是射线NG，

BNEN，BNGENG60，NGNG，EGN≌BGNSAS，GBGE，GBGCGEGCEC，

1

在Rt△DEH中，H90，DE4，EDH60°，DHDE2，EH=23，

2

在Rt△ECH中，ECEH2CH212182421，GBGC2，GBGC的最小值为421，故选：C．

2．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形ABCD中，AB6,BC8，F是AB上一点，E为BC上一点，且BE2，

连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45到EG的位置，则CG的最小值为．

【答案】322/232

【分析】将线段BE绕点E顺时针旋转45得到线段ET，连接GT，ED，设ED交CG于J．证明

EBF≌ETGSAS，根据垂线段最短计算即可．

【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45得到线段ET，连接GT，ED，设ED交CG于J．

∵四边形ABCD是矩形，AB6，BC8，BE2，

∴ABCD6，BC8，ECCD6，BBCD90，∴CEDCDE45，

∵BETFEG45，∴BEFTEG，

EBET

在△EBF和ETG中，∵BEFTEG，∴EBF≌ETGSAS∴BETG90，

EFEG

∴点G的在射线TG上运动，∴当CGTG时，CG的值最小，

∵CEDCDE45，BETFEG45∴TEJ90ETGJGT90，

∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJTEBE2∴CJDE，

∴ECJDCJ=45，∴CJECsin4532，∴CGGJCJ322，

∴CG的最小值为322，故答案为：322．

【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，

熟练掌握相应的知识是解题的关键．

3．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形ABCD中，AB8，BC83，点E为矩形对角线BD上一动点，

连接CE，以CE为边向上作正方形CEFG，对角线CF、EG交于点H，连接DH，则线段DH的最小值为

【答案】22

【分析】作CTBD于点I,则EIC90,由正方形的性质得EHC90,CHEH,所以

HCEHEC45,取CE的中点O,连接OH、OI,以点O为圆心OE为半径作O,则点H、点I都在O

上,所以HIEHCE45,可知点H在过点I且与直线BD所交成的锐角为45的直线上运动，则当

2

DHIH时，线段DH的值最小，此时DHID,由矩形的性质得BCD90，CDAB8,则

2

IDCDCD22

BDCD2BC216,由cosBDC得ID4,所以DH422,于是得到问题的

CDBDBD2

答案．

【详解】如图1，作CIBD于点I，则EIC90,∵四边形CEFG是正方形，

11

∴CFEG,CHFHCF,EHGHEG,且CFEG,

22

EHC90,CH=EH,HCEHEC45,

取CE的中点O,连接OH、OI,以点O为圆心OE为半径作O，

1

OHOIOECE,∴点H、点I都在O上，HIEHCE45,

2

∴点H在过点I且与直线BD所交成的锐角为45的直线上运动，

∴当DHIH时，线段DH的值最小，如图2，DHIH,则DHI90,

2

∵点H、点I都在以CE为直径的圆上，HID180HIEHCE45，DHIDsin45ID，

2

∵四边形ABCD是矩形，AB8,BC83，BCD90,CDAB8,

2IDCD

BDCD2BC2828316，CID90,cosBDC,

CDBD

CD2822

ID4,DH422,∴DH的最小值为22,故答案为：22．

BD162

【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角

形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

4．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知MON30，B为OM上一点，BAON于A，四

边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连接CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90得CE，连接BE，

若AB2，则BE的最小值为．

【答案】13/31

【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合

应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解

答．连接PD，依据SAS构造全等三角形，即BCE≌DCP，将BE的长转化为PD的长，再依据垂线段最

短得到当PD最短时，BE亦最短，根据MON30，OD223，即可求得PD的长的最小值．

【详解】解：如图，连接PD，

由题意可得，PCEC，PCE90DCB，BCDC，∴DCPBCE，

DCBC

在DCP和BCE中，DCPBCE，∴DCP≌BCESAS，∴PDBE，

CPCE

当DPOM时，PD最短，此时BE也最短，

∵AOB30，AB2AD，∴OB224，∴OA422223∴ODOAAD232，

1223

∴当DPOM时，DPOD13，∴BE的最小值为13．故答案为：13．

22

5．（2023上·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AD6，点E为边AD的中点，连接CE．点

F是边CE上一动点，点G为边BF的中点，连接DG．当AB4时，DG的最小值是．

24

【答案】

5

【分析】取BC的中点H，连接AH，作DGAH于点G，根据四边形ABCD为矩形，AD6得ADBC6，

根据点E为边AD的中点，点H为BC的中点，得AEDE3，BHCH3，可得AECH，根据AE∥CE

得四边形AHCE为平行四边形，则AH∥CE，根据BHCH得AH与BF的交点为BF的中点，根据G为BF

的中点，得AH过点G，即点G在线段AH上随点F运动而运动，当DGAH时有最小值，则DG即为所

求，根据勾股定理得AH5，根据AD∥BC得AHBDAG，根据ABHDGA90得

ABAH

△ABH∽△DGA，则，进行计算即可得．

DGDA

【详解】解：如图所示，取BC的中点H，连接AH，作DGAH于点G，

∵四边形ABCD为矩形，AD6，∴ADBC6，∵点E为边AD的中点，点H为BC的中点，

1111

∴AEDEAD63，BHCHBC63，∴AECH，

2222

∵AE∥CE，∴四边形AHCE为平行四边形，∴AH∥CE，

∵BHCH，∴AH与BF的交点为BF的中点，∵G为BF的中点，

∴AH过点G，即点G在线段AH上随点F运动而运动，当DGAH时有最小值，则DG即为所求，

∵ABH90,AB4,BH3，∴AHAB2BH242325，

∵AD∥BC，∴AHBDAG，∵ABHDGA90，∴△ABH∽△DGA，

ABAHABgDA462424

∴，∴DG=，故答案为：．

DGDAAH555

【点睛】本题考查了线段最小值，矩形的性质，垂线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行

四边形的性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线．

6．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，点C是y轴

上一动点，设其坐标为0,m，线段CA绕点C逆时针旋转90至线段CB，则点B的坐标为，连

接BO，则BO的最小值是．

【答案】(m,m1)2

2

【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是

正确寻找点B的运动轨迹，属于中考常考题型．

设C(0,m)，过点B作BHy轴，垂足为点H，证明AOC≌CHBAAS，推出HCOA,HBOC，可得

点B的坐标为(m,m1)，推出点B的运动轨迹是直线yx1，根据垂线段最短解决问题即可．

【详解】设C(0,m)，过点B作BHy轴，垂足为点H，BHC90,HCBB90,

∵线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90至线段CB，

BAC90,CBCA,HCBACO90,BACO,

QÐAOC=90°,AOC≌CHBAAS,HCOA,HBOC,

∵点C(0,m)，点A(1,0)，∴点B的坐标为(m,m1)，∴点B的运动轨迹是直线yx1，

∵直线yx1交x轴于E(1,0)，交y轴于F(0,1)，OEOF1,EF2,

12

过点O作OTEF于T．则OTEF，

22

22

根据垂线段最短可知，当点B与点T重合时，OB的值最小，最小值为，故答案为：(m,m1)；．

22

7．（2024·山东校考一模）如图，正方形ABCD中，AB4，点E为边BC上一动点，将点A绕点E顺时针

旋转90得到点F，则DF的最小值为__________．

【答案】22

【分析】AB上截取AGEC，过点D作DHCF交CF的延长线于点H，证明△AGE≌△ECF，DCH是

等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解．

【详解】如图，AB上截取AGEC，过点D作DHCF交CF的延长线于点H，

正方形ABCD中，AB4，将点A绕点E顺时针旋转90得到点F，

BGBE△BEG是等腰直角三角形AEF90,ABEC90,

BAEAEBAEBFEC90GAEBAECEF

AGE≌ECFAGEECF135DCF45F在射线CF上运动，

2

则DCH是等腰直角三角形，F与H点重合时，DF取得最小值，等于DHDC

2

DC4DH22即DF的最小值为22故答案为：22

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得F的轨迹是解题的关键．

8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，点E为边BC上的动点，连接

AE，过点E作EFAE，且EFAE，连接CF，则线段CF长度的最小值为______．

【答案】2

【分析】如图：在BA取一点T使得BTBE，连接ET，在EC上取一点K，使得

FKC45，连接FK，利用全等三角形的性质证明BKAB4，由矩形的性可得CDAB4、

BCAD6，进而推出点F在射线KF上运动，当CFKF时CF值最小．

【详解】解：如图：在BA取一点T使得BTBE，连接ET，在EC上取一点K，使得

FKC45，连接FK

∵B90，BTBE∴BTEBET45，∴ATEEKF135，

∵BAEAEB90，AEBFEK90，∴TAEEFK，

∵AEEF，∴VATEVEKFAAS∴ATEK,

∵矩形ABCD中，AB4，AD6∴CDAB4，BCAD6

∵BTBE,∴ABBK4，∴CKBCBK2,

2

点F在射线KF上运动，当CFKF时，CF的值最小，最小值为sin45CK22．

2

故答案为2．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助

线、构造全等三角形并确定是解答本题的关键．

9．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点B在直线l上，ABl于点B，AB7，点C在直线l上运动，

以AC为边作等边ACD，连接BD，则BD的最小值为．

7

【答案】

2

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，以AB

为边作等边ABE，连接CE，证明DAB≌CAESAS，由全等三角形的性质得出BDCE，过点E作EFl

于点F，则CE的最小值为EF，再直角三角形的性质求出EF即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．

【详解】解：如图，以AB为边作等边ABE，连接CE，∴ABAEBE7，ABEBAE60，

∵ACD为等边三角形，∴ADAC，DAC60，∴DABCAE，∴DAB≌CAESAS，

∴BDCE，∴CE最小时，BD有最小值，∵C为直线l上的动点，过点E作EFl于点F，

17

∴CE的最小值为EF，∵ABl，∴ABC90，∴EBF30，∴EFBE，

22

77

∴BD的最小值为，故答案为：．

22

10．（2024·四川达州·三模）如图，在等腰Rt△ABC中，BAC90，ABAC32，点M是BC边上一

动点，将线段AM绕点A顺时针旋转60，得到线段AN，连接MN，CN，则ANCN的最小值

是．

【答案】333/333

【分析】在BC上取一点D，连接AD，使BAD60,在AB上截取AIAD，连接DI，作直线IN,因为

BAC90,ABAC32,所以CAD30，ACBABC45，BC2AC6，求得ADM75，

可证明IAN≌DAM，得AINADM75，可知点N在经过AB上的定点I且与AB相交成的锐角等

于75的直线IN上运动，作点A关于直线IN的对称点F，连接AF交IN于点L，连接FN、FI、DI，则

FNAN，FIAIDI，则IFAIAF15，BID120，可证明IDFIDB15，所以点F在

1

CB的延长线上，AFD30，作AEBC于点E，则AECEBEBC3，AF2AE，所以

2

EFAF2AE23AE33，求得CF333，由FNCNCF得ANCN333，则ANCN

的最小值333，于是得到问题的答案．

【详解】解：在BC上取一点D，连接AD，使BAD60，在AB上截取AIAD，连接DI，作直线IN，

∵BAC90，ABAC32，∴CAD90BAD30，ACBABC45，

BCAB2AC22AC2326，∴ADMCADACB75，

∵由旋转得ANAM，MAN60，∴IANDAM60BAM，

ANAM

在IAN和△DAM中，IANDAM，∴IAN≌DAMSAS，∴AINADM75，

AIAD

∴点N在经过AB上的定点I且与AB相交成的锐角等于75的直线IN上运动，

作点A关于直线IN的对称点F，连接AF交IN于点L，连接FN、FI、DI，

∵IN垂直平分AF，ADI是等边三角形，∴ALI90，FNAN，FIAIDI，AIDADI60，

∴IFAIAF90AIN15，BID180AID120，∴BIFIFAIAF30，

1

∴DIFBIDBIF150，连接DF，则IDFIFD180DIF15，

2

∵IDBADMADI15，∴IDFIDB，∴点F在CB的延长线上，∴AFDIFAIFD30，

1

作AEBC于点E，则AEF90，AECEBEBC3，∴AF2AE，

2

2

∴EFAF2AE22AEAE23AE3333，∴CFCEEF333，

∵FNCNCF，∴ANCN333，∴ANCN的最小值是333，故答案为：333．

【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等

三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅

助线是解题的关键．

11．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形ABCD中，BC2AB，点M，N为直线AD上的两个动点，且

∠MBN30，将线段BM关于BN翻折得线段BM，连接CM．当线段CM的长度最小时，MMC的度

数为度．

【答案】75

【分析】将线段BA绕点B顺时针旋转60后点A落在点E，连接BE，得到VABM≌VEBM¢，再由当CMEF

时，CM有最小值，可得EBG与MCG均为30°、60°、90°直角三角形，再证明ABM为等腰直角三角形，

△MBM是等边三角形，进而得到EMBAMB60，最后当CMEF于H时，CM有最小值，由此

可以求出MMCEMCEMM901575．

【详解】解：将线段BA绕点B顺时针旋转60后点A落在点E，连接BE，设EM交BC于G点，如下图所

示：在矩形ABCD中，AABC90，ADBC，根据折叠可知，MBM60，BMBM，

∴ABMABEMBE60MBE，EBMMBMMBE60MBE，∴ABMEBM，

∵BABE，BMBM，∴ABM≌EBMSAS，∴AMEM，EA90，

∵EBG906030，∴BGMEBGBEG9030120，∴EGC120，

∴CGMEGB18012060，∴点M在EF上，

∵垂线段最短，∴当CMEF时，CM有最小值，∴EBG与MCG均为30、60、90直角三角形，

1

设EGx，BC2y，则BG2EG2x，CGBCBG2y2x，GMCGyx，

2