2025年中考数学几何模型综合训练专题19全等与相似模型之一线三等角（K字）模型解读与提分精练（学生版）

专题19全等与相似模型之一线三等角（K字）模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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模型1.一线三等角模型（全等模型）..........................................................................................................1

模型2.一线三等角模型（相似模型）..........................................................................................................5

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大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

模型1.一线三等角模型（全等模型）

一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线

段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。

1）一线三等角（K型图）模型（同侧型）

锐角一线三等角直角一线三等角（“K型图”）钝角一线三等角

条件：ACEDB，AE=DE；结论：ABEECD，AB+CD=BC。

2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）

锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角

条件：DCFABCAED，AE=DE；结论：ABEECD，AB-CD=BC。

1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，

∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。

在ABE和ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ABEECD，

∴△ABEC△，BECD，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。

2）（异侧型）证明：∵DCFABC，∴∠ECD=∠ABE，

∵ABCAEBA，∠AED=∠AEB+∠CED，ABCAED，

∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，

在ABE和ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ABEECD，

∴△ABEC△，BECD，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。

例1．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC，D为直线BC上任意一点，

连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90得线段ED，连接BE．

【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为________；

【类比探究】（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关

系并证明；

【联系拓广】（3）若ACBC1，CD2，请直接写出sinECD的值．

例2．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D

不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；

（2）线段DC的长度为何值时，ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，ADE的形状

可以是等腰三角形吗？若可以，求△∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．△

例3．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知ABE和△BCD，ABBC，ABBC，CDBD，

AEBD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．

【模型应用】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AEEF，AEEF．用

等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．

【模型迁移】（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AEEF，

AEEF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．

例4．（23-24八年级上·重庆綦江·期末）（1）如图①，MAN90，射线AE在这个角的内部，点B、C分

别在MAN的边AM、AN上，且ABAC，CFAE于点F，BDAE于点D．求证：VABD≌VCAF；

（2）如图②，点B、C分别在MAN的边AM、AN上，点E、F都在MAN内部的射线AD上，1、2

分别是ABE、VCAF的外角．已知ABAC，且12BAC．求证：EFBECF；

（3）如图③，在VABC中，ABAC，ABBC．点D在边BC上，CD3BD，点E、F在线段AD上，

12BAC．若VABC的面积为17，求△ACF与VBDE的面积之和．

例5．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在y轴正半轴，

点C在x轴正半轴，ABAC，CAB90，BC交y轴于点E．(1)如图1，若点B坐标为3,3，直接写

出点A的坐标，点C的坐标；(2)如图2，若点B坐标为m,mm0，过点B作BDBC交

x轴于点D，设OD的长为d，请用含m的式子表示d；(3)如图3，若点B为第三象限内任意一点，过点B

作BDBC交x轴于点D，判断CD和AE的数量关系，并给出证明．

模型2.一线三等角模型（相似模型）

“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用

平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），

从而得到两个三角形相似．

1）一线三等角模型（同侧型）

（锐角型）（直角型）（钝角型）

条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：ACE∽△BED。

证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理△），∠1=∠2

∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴ACE∽△BED。

2）一线三等角模型（异侧型）△

条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：ADE∽△BEC.

证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角△的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴ACE∽△BED。

△

∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴ADE∽△BEC.

3）一线三等角模型（变异型）△

图1图2图3

①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：ACE∽△BED∽△ECD.

证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠△1=∠3，∴ACE∽△BED。

AECEBECEBEBD

∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，△∴BED∽△ECD

BDEDBDEDCEED

△

②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.

证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，△∴∠CBF=∠A，

∵∠ABD=∠BDE=90°，∴ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，

∴ABC∽△BFC，同理可证△：ABC∽△AFB°，故ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.

③△一线三直角变异型2：条件：△如图3，∠ABD=∠A△CE=∠BDE=90°.结论：ABM∽△NDE∽△NCM.

证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，△

∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴ABM∽△NCM.同理可证：NDE∽△NCM

故：ABM∽△NDE∽△NCM.△△

△

例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，ADE60，

若BD4DC，DE2.4，则AD的长为（）

A．1.8B．2.4C．3D．3.2

例2．（2023·黑龙江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：

第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；

第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．

根据以上的操作，若AB8，AD12，则线段BM的长是（）

A．3B．5C．2D．1

例3．（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，Rt△ABC中，ACB90，ACBC，直线l

过点C，过点A、B分别作ADl于点D，BEl于点E，则DEADBE（不用证明）．

(1)【类比探究】如图2，在ABC中，ACBC，且ACBADCBEC100，上述结论是否成立？若成

立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．

(2)【拓展延伸】①如图3，在ABC中，ACnBC，且ACBADCBEC100，猜想线段DE、AD、BE

之间有什么数量关系？并证明你的猜想．

②若图1的Rt△ABC中，ACB90，ACnBC，并将直线l绕点C旋转一定角度后与斜边AB相交，分别

过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E，请在备用图上画出图形，并直接写出线段DE、AD、

BE之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．

例4．（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】如图1，P是ABC内部一点，在射线BP上取点D、E，使得

CEPADPABC．求证：ABD∽BCE；

【尝试应用】如图2，在RtABC中，BAC90，ABAC，D是AC上一点，连接，在上取点E、

F，连接CE、AF，使得AFDCED45．若BF2，求的长；𝐵𝐵

【拓展提高】如图3，在RtABC中，BAC90，ACB3�0�，D是AC上一点，连接，在上取点

BE8𝐵𝐵

E，连接．若CED60，，求BCE的正切值．

DE5

𝐶

例5．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在Rt△ABC中，ABC90，ABBC，点D是线段AB上的一

点，连接CD，过点B作BGCD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，

连接DF，下列结论错误的是（）

AGAF2

A．B．若点D是AB的中点，则AFAB

ABFC3

DB1

C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DFDBD．若，则S9S

AD2ABCBDF

1．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转

FG

90，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则的值为（）

CE

3233

A．2B．3C．D．

22

2．（2024·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，ABC中，ABAC，B40，D为线段BC上一动点（不

与点B，C重合），连接AD，作ADE40，DE交线段AC于E，以下四个结论：

①CDEBAD；②当D为BC中点时，DEAC；③当VADE为等腰三角形时，BAD20；

④当BAD30时，BDCE．其中正确的结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

3．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知点A1,0,B0,2，A与A关于y轴对称，连结AB，现将线段

AB以A点为中心顺时针旋转90得AB，点B的对应点B的坐标为（）

A．3,1B．2,1C．4,1D．3,2

4．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，等腰直角ABC，BAC90，ABAC，点

D为ABC外一点，ADB45，连接CD，AD4，CD52，BC的长为．

5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知ABC，AB6，ABC30，BC8，△ABD和△ACE都是

等腰直角三角形，图中阴影部分的面积为．

6．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（ABCB，ABC90）

放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若AMNCNM90，测得AM18cm，

CN30cm，则该凹槽的宽度MN的长为cm．

7．（2024·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形AEFG，使点E

AB4BE

落在边BC上，且点D巧合是FG的中点，若，则的值为．

AD5CE

8．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，将一张正方形纸片ABCD折叠，折痕为AE，折叠后，点B的对应点

落在正方形内部的点F处，连接DF并延长交BC于点G．若BGCG，AD22，则EG的长为．

9．（2024·四川成都·一模）已知等边ABC的边长为5，点M在边AB上运动，点N在直线AC上运动，将ABC

BA1

沿着MN翻折，使点A落在直线BC上的点A处，若，则AN．

AC4

10．（23-24八年级下·山东滨州·期末）小明酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之

后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是他撰写了一篇数学

作文．请你认真阅读思考，帮助小明完成相关内容．“一线三垂直”模型的探索与拓展

【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90，且它们的顶

点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有—组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．

例如：如图1，ACB90，过点C作任意一条直线m，ADm于点D，BEm于点E，则三个直角的

顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果ACBC，那么由122B90，

可得1B，又因为ADCCEB90，所以可得△ADC≌△CEB．

【模型应用】问题1：如图2，在Rt△ABC中，BAC90，ABAC，点D为BC上一点，连接AD．过

点B作BEAD于点E，过点C作CFAD交AD的延长线于点F．若BE5，CF1，求EF的长．

问题2：如图3，在平面直角坐标系中，A1,0，B0,2．若ABP是以AB为腰的等腰直角三角形，请直

接写出所有满足条件的点P的坐标．

【模型迁移】问题3：如图4，已知ABC为等边三角形，点D，E，F分别在三边上，且BDCF，EDFB．求

证：DEF是等边三角形．

11．（2023·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根

据以下问题，把你的感知填写出来：

①如图1，ABC是等腰直角三角形，C90，AE=BD，则AED≌_______；

②如图2，ABC为正三角形，BDCF,EDF60，则BDE≌________；

③如图3，正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A、C作AEl于E，CFl于F．若AE1，CF2，

则EF的长为________．

1,3

【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则

点C的坐标为________．

【模型变式】（3）如图5所示，在ABC中，ACB90，ACBC，BECE于E，AD⊥CE于D，DE4cm，

AD6cm，求BE的长．

12．（2024·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C

作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．

(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，

线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．

(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，

线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．

13．（2024·浙江·校考一模）（1）探索发现：如图1，已知RtABC中，ACB90，ACBC，直线l过

点C，过点A作ADl，过点B作BEl，垂足分别为D、E．求证：CDBE．

（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点

与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为4,2，求点M的坐标．

（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y4x4与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将

直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．

14．（2024·北京校考·一模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且ADBC，AD5，ABDC2．

⑴如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；

⑵如果点P在AD边上移动（点P与点D不重合），且满足∠BPE=∠A，BC交直线BC于点E，同时交直线

DC于点Q．①当点Q在线段DC的延长线上时，设CQy，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自

变量x的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程）

15．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形ABCD中，E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A

的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．

(1)求证：△EDP∽△PCH．(2)若P为CD中点，且AB2,BC3，求GH长．

(3)连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．

16．（2023年安徽省九年级数学一模试卷）如图，在Rt△ABC中，ABC90，ABBC，D是线段AB上

的一点，连接CD，过点B作BGCD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交

AGAFAFBD1S△ABC

于点G，连接DF(1)求证：(2)若D是AB的中点，求的值．(3)若，求的值．

ABCFACAD2S△BDF

17．（2023秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，ACB90，ACBC，

D是AB边上一点，F是BC边上一点，CDF45．求证：ACBFADBD；

【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，ABCDF45，若AC9，

BF8，求线段CF的长．

【拓展提高】（3）在ABC中．AB42，B45，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC

上，点E在AC上．若CE25，求CD的长．

18．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角