洛伦之力-2025年高二物理寒假复习 （人教版）

第09讲洛伦之力（复习篇）

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就考点聚焦：复习要点+知识网络，有的放矢

m重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

♦难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升

国提升专练：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：对洛伦之力的理解

i.洛伦兹力：运动电荷在磁场中受到的力叫做洛伦兹力.

2.洛伦兹力的方向

（1）判定方法

左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心；

四指---指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反酉包；

拇指——指向洛伦兹力的方向.

（2）方向特点：F±B,F±v,即/垂直于8和v决定的玉面（注意：洛伦兹力不做功）.

3.洛伦兹力的大小

（1）时,洛伦兹力9=0.（。=0。或180。）

（2）v_LB时,洛伦兹力9=.8.（0=90。）

（3）v=0时，洛伦兹力尸=0.

4.洛伦兹力的特点

（1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速

度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功.

（2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化.

（3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向.

5.洛伦兹力与安培力的联系及区别

（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力.

（2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功.

知识点2：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

1.匀速圆周运动的规律

若带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动.

V2

（1）基本公式：qvB—nr^

mv

(2)半径R=Bq

（3）周期7=3出271m

qB

2.圆心的确定

（1）已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射

方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图1甲所示，尸为入射点，M为出射点）.

（2）已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，

作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心（如图乙所示，尸为入射点，M为出射点）.

3.半径的确定

可利用物理学公式或几何知识（勾股定理、三角函数等）求出半径大小.

4.运动时间的确定

73

粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为e时，其运动时间表示为/=含“或

t=

吗V.）

阔留际】带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路

知识点3：带电粒子在直线有界磁场中的运动

1.直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）

图a中粒子在磁场中运动的时间：1=壬=翳

ZDQ

图b中粒子在磁场中运动的时间：/=（1_2（1一疆=冽嬴。）

图c中粒子在磁场中运动的时间：/=《7=嘿

71Bq

2.平行边界（往往存在临界条件，如图所示）

平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间：八=翟，介=。=罂

DqzDq

图b中粒子在磁场中运动的时间：，=瞿

bq

图C中粒子在磁场中运动的时间：r=（l—g）T=（l—3鎏=电喏的

图d中粒子在磁场中运动的时间：f=《7=智

7iDq

温馨蝇处理有界匀强磁场中的临界问题的技巧

从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”"不脱离'’等词语，挖掘其隐藏的规

律.

（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感应强

度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值.

（2）当速度v一定时，弧长（或弦长）越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长（前提条

件是弧是劣弧）.

（3）当速率变化时，圆心角大的，运动时间长.

（4）在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个

端点时，轨迹对应的偏转角最大（所有的弦长中直径最长）.

知识点4：带电粒子在圆形有界磁场中的运动

1.一般解题步骤

（1）画出轨迹圆并找出轨迹圆的圆心；

（2）求半径（分清楚磁场半径和轨迹圆半径）

（3）确定运动时间（注意多解问题）

2.模型解读：圆形边界（进出磁场具有对称性）

（1）沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示.

（2）不沿径向射入时，如图乙所示.射入时粒子速度方向与半径的夹角为e,射出磁场时速度方向与半径

的夹角也为3.

强化点一洛伦之力的方向

判断方法：左手定则。磁场穿过掌心，四指表示正电荷运动方向（或负电荷的反方向），拇指表示安培力

的方向。

【典例1］（23-24高二下•云南玉溪•期末）如图所示，放射性元素从。点沿3方向发射三种放射线，空间

有垂直射线速度的匀强磁场，三种射线穿过磁场后分别打到屏上的八儿c三点，则打到内氏c三点的射

线分别是（）

A.。射线、夕射线、7射线B.a射线、/射线、£射线

C.£射线、a射线、/射线D.£射线、7射线、a射线

【答案】D

【详解】a射线带正电、7射线不带电、夕射线是电子流，带负电，根据左手定则可知打到氏c三点的

射线分别£射线、7射线、a射线。

故选D。

【变式（2024•北京海淀•三模）云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹

的装置。图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向外的磁场。图中。、氏c、d、e是从。点

发出的一些正电子或负电子的径迹。有关这些径迹以下判断正确的是（）

A.d、e都是正电子的径迹B.。径迹对应的粒子动量最大

C.6径迹对应的粒子动能最大D.。径迹对应的粒子运动时间最长

【答案】D

【详解】A.带电粒子在垂直于纸面向外的磁场中运动，根据左手定则可知服6、c都是正电子的径迹，4

e都是负电子的径迹，A错误；

B.带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有/8=加且，解得氏=彳

RqB

由图可知。径迹对应的粒子的运动半径最小，。径迹对应的粒子的速度最小，根据P=

可知a径迹对应的粒子动量最小，B错误；

c.根据Ek=；m2

可矢口线“＜线〃＜稣。

即6径迹对应的粒子动能不是最大的，C错误；

D.带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有/8=机匕，7="四

Rv

所以看=看=4=%=1

a

粒子在磁场中的运动时间f=「T

2万

其中a为粒子在磁场中的偏转角度，由图可知a径迹对应的偏转角度最大，则。径迹对应的粒子运动时间最

长，D正确。

故选D„

【变式1-2］（多选）（23-24高二下•四川成都•期末）如图所示，两足够长的通电直导线P、。（垂直纸面）

关于粗糙程度均匀的水平面对称分布，P、。连线与水平面交点为。，P、。通以大小相等、方向相反的恒

定电流。一带正电的绝缘物块从A点以某一初速度向右运动，恰好运动到。点。下列说法正确的是（）

A.从A到。，磁感应强度逐渐增大B.从A到。，磁感应强度先增大后减小

C.从A到。，物块做匀减速直线运动D.从A到O,物块做加速度逐渐增大的减速运动

【答案】AC

BP/

【详解】AB.根据安培定则可得，两导线在4。之间磁场如图所7K

与

根据平行四边形定则，将两磁场合成可知，合磁场方向水平向左，且由A到。两导线磁场增大且与水平夹

角变小，则合磁场沿水平向左增大，故A正确，B错误；

CD.由于A。之间磁场方向水平向左，与物块的运动方向共线，所以物块不受洛伦兹力，物块在运动过程中

受到恒定不变的摩擦力，根据牛顿第二定律，物块做匀减速直线运动，故C正确，D错误。

故选ACo

强化点二洛伦之力的大小

【典例2］（23-24高二下•海南省直辖县级单位•期末）如图所示，质量为相、电荷量为-式4＞。）的小球A

套在粗细均匀的固定绝缘水平杆上，整个装置处在垂直于纸面向外的水平匀强磁场中。现对A施加一个水

平向右、大小恒为尸（尸＜mg）的拉力，使小球A从静止开始运动，已知匀强磁场的磁感应强度大小为8,小

F

球A与杆间的动摩擦因数为0.5,重力加速度为g,则当小球的加速度大小第一次达到二时，小球的速度

2m

大小为（）

mg-Fmg-F2（ing-F）mg-F

A，qB4qB仁qB2qB

【答案】A

【详解】对小球分析，竖直方向平衡〃琢=/B+N

水平方向，根据牛顿第二定律尸-〃N=

当小球的加速度大小第一次达到三F时，联立解得v=-m5s——F

2mqB

故选A。

【变式2-1］（23-24高二上•湖北武汉•期末）如图所示，将一由绝缘材料制成的带一定正电荷的小滑块（可

视为质点）放在倾斜的固定木板上，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为及测得小

滑块的质量为加，木板的倾角为3木板与滑块之间的动摩擦因数为〃。滑块由静止释放，依次经过A、B、

C、。四个点，且AB=CD=d，小滑块经过AB、CQ所用的时间均为心重力加速度为g。下列说法正确的是

（）

A.到达C点之前滑块先加速后减速B.到达C点之前滑块所受的摩擦力先增大后减小

C.滑块所带的电荷量为”-根如:：°D.滑块的加速度先减小后增大

BajuBa

【答案】C

【详解】ABD.以滑块为对象，根据左手定则可知，滑块运动过程受到的洛伦兹力垂直斜面向下，滑块由静

止释放，根据牛顿第二定律可得mgsincos0+qvB）=ma

可知随着滑块速度的增大，滑块的加速度减小，当加速度减至0后，滑块将做匀速运动，所以滑块先做加

速度减小的加速运动，然后做匀速运动。小滑块经过AB、所用的时间均为3可知滑块到达前已经

做匀速运动，到达C之前滑块先加速后匀速，滑块所受的摩擦力先增大后不变。故ABD错误；

C.滑块匀速运动时，有v=&

t

根据平衡条件可得mgsin（9=〃（〃?gcos夕+qvB）

联立，解得滑块所带的电荷量为好胃警-当叱

Ba/iBa

故C正确。

故选C。

【变式2-2］（多选）（23-24高二上•福建福州•期末）如图所示，足够长的光滑三角形绝缘槽固定在水平面

上，与水平面的夹角分别为a和尸（。＞/?）,加垂直于纸面向里的磁场，分别将质量相等、带等量正、负电

荷的小球a、6依次从两斜面的顶端由静止释放，关于两球在槽上运动的说法正确的是（）

A.在槽上，a、6两球都做匀加速直线运动，且《＞%

B.a、b两球沿槽运动的最大速度为匕和也,则匕

C.a、6两球沿直槽运动的最大位移为s,和“，则s.vs6

D.a、b两球沿槽运动的时间为乙和人，则图＞务

【答案】AC

【详解】A.两小球受到的洛伦兹力都与斜面垂直向上，沿斜面方向的合力为重力的分力，故在槽上，a、b

两球都做匀加速直线运动，加速度为4=gsina,ab=gsin/3

可得4＞4

故A正确；

B.当小球受到的洛伦兹力与重力沿垂直斜面向下分力相等时，小球脱离斜面，则

mgcosa-qvaB,mgcos/3=qvhB

可得『幽浮，夕吧?

qBqB

故匕＜%

故B错误；

C.根据动力学公式v；=2q,vl=2absb

可得a、b两球沿直槽运动的最大位移分别为=个葭，%=唾晨

2qBsina2qBsinp

根据数学关系可得

故C正确；

D.a、6两球沿槽运动的时间分别为

t_K,_m_vb_m

a

aagtanaabgtan/3

可得。＜”

故D错误。

故选ACo

强化点三带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

【典例3］（23-24高二下•陕西•期末）如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感

应强度大小为2的匀强磁场（含边界），磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质

子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成a=53。角向下。尸。是与无轴平行的荧光屏（质

子打到荧光屏上不再反弹），P、。两点的坐标分别为尸（0,。4）,。已知质子比荷与=%,sin530=0.8o

m

求：（结果均可用分数表示）

（1）质子在磁场中运动的最长时间是多少；

（2）如果让荧光屏发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。

1437r,、kBl5kBi

【答案】（1）(2)—<v<----

90kB49

【详解】（1）质子能打到y轴上时，在磁场中运动的时间最长，如图1所示

271m

由周期公式八环

又由几何关系可知o=2（900-a）

则粒子在磁场中运动的最长时间f=弛心T=—

360°90kB

（2）当质子轨迹与尸。相切时，如图1所示，设此时初速度为匕，轨迹半径为R,由几何关系可得

又冽=皿，解得匕=等=学

1R4m4

当粒子运动轨迹与磁场边界相切时，如图2所示，

设此时初速度为VZ，轨迹半径为R,由几何关系可得R'+R'sin（z=/

又4叫=退

...r，曰kBl/,5kBi

综上可得丁

49

【变式3-1]（23-24高一上•湖南长沙•期末）如图所示，竖直虚线CD右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁

感应强度大小为8,两个平行金属板M、N之间的电压为U,一质量为加、电荷量为q的带正电的粒子（不

计粒子重力）从靠近N板的S点由静止开始做加速运动，从A点垂直竖直虚线。射入磁场，在磁场中做

匀速圆周运动。求：

（1）带电粒子从A点垂直竖直虚线O射入磁场的速度大小v；

（2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R和周期T；

（3）若在竖直虚线CD右侧加一匀强电场，使带电粒子在电磁场中做匀速直线运动，求电场强度E的大小。

【详解】（1）粒子在电场中被加速内=]m丫2,解得v正

2Vm

（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，贝加出=根匕，丁="四

Rv

即/日„1l2mU丁2万加

解得R=三'——，T=~^~

ByqBq

（3）若在竖直虚线CD右侧加一匀强电场，使带电粒子在电磁场中做匀速直线运动，则需电场力方向向下，

则场强方向竖直向下，满足qE=Bqv

解得电场强度E的大小E=Bv=B，P^

Vm

【变式3-2］（23-24高二上•吉林长春•期末）如图，挡板位于水平面x轴上，在第一、二象限yWL区

域存在磁感应强度为8的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在MN上。点放置了粒子发射源，能向

第二象限发射各个方向的速度为为=翌的带正电同种粒子，已知粒子质量为相、电荷量为q,不计粒子的

2m

重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，贝h

（1）求所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；

（2）粒子在磁场中运动的周期；

（3）所有粒子能够到达区域的面积。

【答案】（1）r=--（2）T=—~.（3）S=^——

2qB4

【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力有川达

r

代入数据解得r=：

9yrr27rH2

（2）粒子在磁场中运动的周期T=—

（3）所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分面积

由几何关系有S=:乃户+:乃（2r）2万严=（万+：）乙

214（42力4

强化点四带电粒子在直线边界磁场中的运动

【典例4】（多选）（23-24高二下•贵州黔西•期末）如图所示，水平面的必c区域内存在有界匀强磁场，磁

感应强度大小为5,边界的夹角为30。，距顶点6为L的S点有一粒子源，粒子在水平面内垂直段边向磁场

内发射速度大小不同的带负电的粒子，粒子质量为〃?、电荷量大小为4,下列说法正确的是（）

A.从边界历射出的粒子速度方向都相同

B.粒子离开磁场时到b点的最短距离为：

C.垂直边界而射出的粒子的速度大小为粤

D.垂直边界而射出的粒子在磁场中运动的时间为

3qB

【答案】AB

【详解】A.粒子竖直向上进入磁场，轨迹圆心一定在左边上，若粒子能从边界反射出，粒子的速度方向

一定竖直向下，故方向均相同，故A正确；

B.当轨迹恰好与曲边相切时，粒子从次边离开磁场时到。点的距离最短，由几何关系可得

离。点的最短距离为心=乙-2《，联立解得加

故B正确；

C.垂直边界必射出的粒子，轨道半径为国=乙

2

由洛伦兹力作为向心力可得4诬=〃2j

也

解得粒子的速度大小为V=幽

m

故C错误；

271m

D.粒子在磁场中的运动周期为丁=丁

Bq

30°7TTTI

垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为"表T==

3606qB

故D错误。

故选AB。

【变式4-1］（多选）（23-24高二下•甘肃临夏・期末）如图所示，在水平线。尸的正上方存在垂直于纸面向

里、磁感应强度大小为8的匀强磁场。从磁场边界上。点同时向纸面内不同方向发射速率均为V、质量均为

m、电荷量均为-4（4>0）的两个带电粒子，两粒子均从边界上P点离开磁场，且。尸的长度为画竺，不计

Bq

粒子的重力及相互作用力。以下说法正确的是（）

A.两粒子在磁场中运动的加速度大小不同

B.两粒子射入磁场时速度方向与边界所成锐角均为60。

C.两粒子在磁场运动过程中动量改变量大小均为

71m

D.两粒子在磁场中运动的时间相差一

3Bq

【答案】BC

【详解】A.两粒子在磁场中运动只受洛伦兹力的作用，根据牛顿第二定律。=里=史坦

mm

故两粒子在磁场中运动的加速度大小相等，故A错误;

v12mv

B.根据洛伦兹力提供向心力4出=根一，解得「二—^

rqB

则两粒子在磁场中运动半径相等，两个粒子先后经过尸点，作出两个粒子的运动轨迹如图甲所示，短弧和

长弧均以OP为弦，已知OP的长度为叵上，根据几何关系可得.AkOP不

Basin8=------=——

DqR2

解得两个粒子射入磁场时与边界的夹角均为e=60。

故B正确；

C.根据粒子的运动对称性和几何知识作出两粒子动量变化如图乙所示，可以得出两个粒子的动量变化量大

小、方向均相同，Ap=m\v=2mvsin6=y/imv

故C正确；

2兀m

D.两粒子在磁场中运动的周期为T=F

qB

两粒子在磁场中运动的时间相差加:2妥407-1丹20丁二一T二2371m2

36036033Bq

故D错误。

故选BC。

【变式4-2](23-24高二下•山东临沂•期末)如图所示，直角三角形的AB边长为LZC=30°,三角形区

域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为以一质量为机、电荷量为q的带正电粒子从

。点沿着垂直8c边的方向以速度v射入磁场，CO间距离为L不计粒子受到的重力。下列说法正确的是

()

♦77*F77.fidT

A.粒子在磁场中运动的最长时间为rB.v=」一时，带电粒子垂直于AC边射出磁场

qBm

C.若粒子从8C边射出磁场，则掣D.若粒子从AC边射出磁场，则警

2m4m

【答案】B

【详解】ACD.粒子带正电，根据左手定则可知，粒子进入磁场后将向上偏转，粒子从8C边离开时，粒子

在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大，运动时间最长，当离开刚好离AC边相切时，粒子轨迹如图所示

由洛伦兹力提供向心力可得"力=加乜

根据几何关系可得r,+—5―=L

sin30

联立解得巧=用

33m

1-nm

可知粒子在磁场中运动的最长时间为=彳7=一1

2qB

当粒子从BC边射出磁场，则有v〈警

3m

当粒子从AC边射出磁场，则有v＞等

3m

故ACD错误；

,.L

B.若带电粒子垂直于AC边射出磁场，如图所示二

BA

根据几何关系可知，r2=L

由洛伦兹力提供向心力可得/8=机上，联立解得丫=细

丫2m

故B正确。

故选Bo

强化点五带电粒子在弧形边界磁场中的运动

【典例5］（23-24高二下•甘肃临夏•期末）如图所示，真空中尤Oy平面内存在半径为R的圆形区域，该圆

形区域与＞轴相切，x轴与其一条直径重合，P点为圆形区域边界上的一点，P点与圆心的连线与无轴正方

向成6=60。角。已知圆形区域内只存在垂直于xOy平面的匀强磁场或只存在平行于y轴向上的匀强电场，

一质量为机、电荷量为+q的带电粒子从坐标原点。以初速度%沿无轴正方向射入该圆形区域，粒子恰好从

P点射出，不计粒子的重力。

⑴若圆形区域内只存在垂直于尤Oy平面的匀强磁场，求匀强磁场磁感应强度8的大小与方向；

⑵若圆形区域内只存在平行于-轴向上的匀强电场，求粒子在圆形区域内运动过程中受到电场力的冲量I的

大小。

【答案】⑴叵叫，方向重直于xOy平面向里

3Rq

⑵其迎i

3

【详解】（1）（1）若圆形区域内只存在匀强磁场，粒子在磁场中做匀速圆周运动，恰好从尸点射出，则

由左手定则知磁感应强度方向垂直于xOy平面向里。

设粒子轨迹圆半径为厂，轨迹如图甲所示

由几何知识有r=Rtane=6R

由洛伦兹力提供向心力有Bq%=,/£解得8=画%

r3Rq

（2）若圆形区域内只存在匀强电场，粒子在平行于y轴向上的匀强电场区域内做类平抛运动，如图乙所示:

设粒子从。点运动到尸点的时间为方,由平抛运动规律有

7?（l+cos,RsinO=—x—t2

2m

粒子受到电场力的冲量I=Eqt解得/=也也

3

【变式5-1］（23-24高二下•山东临沂•期末）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中存在着垂直于纸面

向里的匀强磁场，。点为圆形区域的圆心，磁感应强度大小为8,一个比荷绝对值为％的带电粒子以某一速

率从〃点沿着直径MON方向垂直射入磁场，粒子离开磁场后打在右侧屏上的P点，。尸连线过圆心。，QP

与的夹角。=60。，不计粒子的重力，下列说法正确的是（）

A.粒子带正电B.粒子做圆周的运动半径为"R

2

C.粒子运动的速率为1@RD.粒子在磁场中运动的时间为名

33kB

【答案】C

【详解】根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示

A.由图可知，粒子在m点受水平向右的洛伦兹力，由左手定则可知，粒子带负电，故A错误；

BC.由几何关系可得，粒子做圆周的运动半径为r=Rtan&=Y^R

23

由牛顿第二定律有"2=机E解得"幽=1kBR

rm3

故B错误，C正确；

丫

D.粒子在磁场中运动的周期为7=坦24=三27r

vkB

由几何关系可知，轨迹的圆心角为120。，则粒子在磁场中运动的时间为/=黑"=某

3603kB

故D错误。

故选c。

【变式5-2］（23-24高二下•山西临汾・期末）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应

强度大小为8的匀强磁场（未画出），一质量为机、带电荷量为+4的微粒从圆上的N点以一定的速度沿图

中虚线方向射入磁场，从圆上的M点离开磁场时的速度方向与虚线垂直。已知圆心。到虚线的距离为当，

不计微粒所受的重力，求：

（1）微粒在磁场区域内运动的时间

（2）微粒到圆心0的最小距离do

【答案】（1）

【详解】（1）设微粒的速度大小为v,微粒在匀强磁场中运动的轨道半径为r,则有

v2—27厂

RqBv=m—,L=-----

rv

27rm

解得人行

Tjim

由于偏转角为9。。，则轨迹对应的圆心角也为9。。，则有y,解得「福

（2）作出粒子的运动轨迹如图所示A点为微粒运动轨迹的圆心，设圆心。到MA的距离为

X,到的距离为y,则有

3R4R

r=x+—,〃=>+与，x2+y2=R2

微粒到圆心O的最小距离为d=一缶

联立解得4=上逑R

5

强化点六带电粒子（计重力）在磁场中的运动

【典例6】质量为相、电荷量为q的小物块，从倾角为。的粗糙绝缘斜面上由静止下滑，整个斜面置于方向

水平向里的匀强磁场中，磁感应强度为3,如图所示。若带电小物块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，

下面说法正确的是（）

A.小物块一定带正电荷

B.小物块在斜面上运动时做匀减速直线运动

C.小物块在斜面上运动时做加速度增大，而速度也增大的变加速直线运动

D.小物块在斜面上下滑过程中，当小球对斜面压力为零时的速率为磔誓

Bq

【答案】C

【详解】A.由题意可知，小物块受到的洛伦兹力垂直斜面向上，根据左手定则可得：小滑块带负电，故A

错误；

BC.在向下运动的过程速度增大，洛伦兹力增大，支持力减小，由/=

得摩擦力减小。=蟹比工

m

所以加速度增大。物块做加速度逐渐增大的加速运动。故B错误C正确；

D.由题意，当滑块离开斜面时，洛伦兹力34v=mgcos。

故D错误。

故选C»

【变式6-1］（22-23高二上•上海徐汇•期末）如图所示，质量为IxlO^kg的小球，带有5xl（T*C的正电荷，

套在一根与水平方向成37。的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为〃=0.5,杆所在空间有磁感

应强度3=0.4T的匀强磁场，小球由静止开始下滑，求：

（1）小球刚开始运动时加速度大小；

（2）小球运动过程中的最大速率（重力加速度g取lOm/s?）

【答案】（1）2m/s2;（2）10m/s

【详解】（1）小球由静止刚开始下滑时，洛伦兹力为0,根据牛顿第二定律有mgsin37。cos37。=根a

代入数据解得a=2m/s2

（2）小球下滑过程中，根据左手定则可知小球受到洛伦兹力垂直于杆向上，当小球达到最大速度时，加速

度为0,则有mgsin37°=f=〃（qvB-mgcos37°）

代入数据解得v=10m/s

【变式6-2］（多选）质量比=0.1g的小物块，带有5x10-4。的电荷，放在倾角为30。的绝缘光滑斜面上，整

个斜面置于3=0.5T的匀强磁场中，磁场方向如图所示。物块由静止开始下滑，滑到某一位置时，开始离开

斜面（设斜面足够长，g取：L0m/s2）（）

A.物体带正电B.物体离开斜面时的速度为石m/s

C.物体在斜面上滑行的最大距离是1.2mD.物体在离开斜面之前一直做匀加速直线运动

【答案】CD

【详解】A.根据题意可知，物体要离开斜面，所以受到的洛伦兹力垂直斜面向上，根据左手定则可知，物

体带负电，故A错误；

B.根据平衡条件mgcos30o=44

可得v=3.46m/s

故B错误；

CD.由以上分析可知，物体沿斜面方向的合力由重力的分力提供，所以物体离开斜面前沿斜面做匀加速直

线，根据牛顿第二定律可知“=超电变=gsin30°

m

根据匀变速直线运动的规律可得俨=2gsin3（Tx

,v2

可得x=------------=1.2m

2gsin30°

故CD正确。

故选CD。

19.（2024•广西•高考真题）。孙坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为2,方向垂

直纸面向里。质量为加，电荷量为+4的粒子，以初速度v从。点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度

与了轴正向夹角为45。，交点为P。不计粒子重力，则P点至。点的距离为（）

mv3mv”/-mv（正、mv

A.--B.——C.（1+v2x）--D.1+----

qB2qBqB（2）qB

【答案】C

【详解】粒子运动轨迹如图所示

2

在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有"2=加上

r

可得粒子做圆周运动的半径「=一占

qB

根据几何关系可得尸点至O点的距离LPO=r+^—=（1+应）胃

cos45qB

故选Co

20.（2024•湖北•高考真题）如图所示，在以。点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强

磁场，磁感应强度大小为及圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为，”、电

荷量为q（4>0）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（）

A.粒子的运动轨迹可能经过。点

B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向

7Ttm

C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为三石

3qB

D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为1邂

3m

【答案】D

【详解】AB.在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子

的运动轨迹不可能经过。点，故AB错误；

C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图

则最短时间有，=2T=F

qB

故c错误；

D.粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示

设粒子在磁场中运动的半径为r,根据几何关系可知厂=叵

3

根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m—

r

可得v=6qBR

3m

故D正确。

故选D。

》真题感知

1.（多选）（2024•浙江•高考真题）如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成。角。质量

为机、电荷量为+q的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为8的匀强磁场中。磁场方向垂

直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度％沿细杆向上运动至最高点，则该过程（）

A.合力冲量大小为机vocoseB.重力冲量大小为小％sin。

C.洛伦兹力冲量大小为D.若％=2〃*s6>,弹力冲量为零

2gsin。qB

【答案】CD

【详解】A.根据动量定理/=。-根%=

故合力冲量大小为m%,故A错误；

B.小球上滑的时间为f

gsin”

重力的冲量大小为/G=33

sin

故B错误；

C.小球所受洛伦兹力为/1，=/（%-3）=-仅肉+为或，a=gsin0

随时间线性变化，故洛伦兹力冲量大小为/洛%=gx?*BxV°=尸"八

22gsin02gsin0

故C正确；

m

D.若%=2ge”,o时刻小球所受洛伦兹力为Bqv0=2mgcos0

qB

小球在垂直细杆方向所受合力为零，可得Bgv=mgcos0+然

即然=Bqv-mgcos0-Bq（y0-at^-mgcos0=mgcos0-Bqtgsin0

则小球在整个减速过程的FN-图像如图

图线与横轴围成的面积表示冲量可得弹力的冲量为零，故D正确。

故选CD。

2.（多选）（2024•河北•高考真题）如图，真空区域有同心正方形ABC。和"cd,其各对应边平行，ABC。

的边长一定，湖力的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面.A处有一

个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿方向进入磁场。调整abed的边长，可使速

度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（）

A.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45。，则粒子必垂直8C射出

B.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°,则粒子必垂直BC射出

C.若粒子经cd边垂直射出，则粒子穿过ad边的速度方向与ad边夹角必为45°

D.若粒子经6c边垂直3C射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°

【答案】AD

【详解】A.粒子在磁场中做匀速圆周运动，在正方形"cd区域中做匀速直线运动，粒子穿过ad边时速度

方向与曲边夹角为45。，在正方形abed区域中的运动轨迹必平行于AC的连线，可知粒子必经过cd边，进

入正方形abed区域前后的两段圆弧轨迹的半径相等，并且圆心角均为45。，据此作出粒子可能的两个运动

轨迹如图所示

粒子的运动轨迹均关于直线8。对称，粒子必从C点垂直于BC射出，故A正确

C.若粒子经cd边垂直8C射出，粒子运动轨迹如图所示

设粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为凡则图中两段圆弧轨迹的圆心角〃与％的关系为4+2=如

设两正方形的对应边之间的距离为AL,为保证粒子穿过ad边，需满足RsinqNAL

且有R-Reos耳=AL

联立解得a460。

为保证粒子穿过cd边，需满足RsinaNAL

为保证从3C边射出，需满足尺-Reos2VAi

联立解得GN45。

可得粒子经cd边垂直BC射出，粒子穿过ad边时速度方向与/边夹角范围是45。460°

故C错误；

BD.粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60。时，作出粒子恰好经过c点的运动轨迹如图所示

设粒子在e点进入正方形"cd区域，线段垂直平分轨迹ec,与AB选项的分析同理，粒子的轨迹关于

线段对称。线段CE平行于轨迹ec,取圆弧轨迹的中点孔过歹点做轨迹ec的平行线分别交4。与8C

于点G和点广，点E为点E关于MN的对称点。易知点e为ad的中点，点E为的中点，及垂直于ad

和AD设粒子轨迹半径为厂，正方形ABC。的边长为2L由几何关系得

联立解得NPEF=30。

因NEGE=60。，故NEFG=90。，即EF垂直于G0,由对称性可知四边形为矩形，尸£’垂直于CE,

可知点尸是点尸关于的对称点，即点尸是圆弧cH的中点，可知由c到尸粒子的轨迹圆心角为30。，可

得粒子垂直BC射出。若粒子速度较大，轨迹半径较大，则粒子在c点左侧穿过cd,其轨迹如图所示

与临界轨迹对比，粒子第二段的轨迹圆心不会在BC上，故粒子不会垂直BC射出。若粒子速度较小，轨迹

半径较小，则粒子在c点下方穿过仍，其轨迹如图所示。

与粒子恰好经过c点的运动过程同理，根据对