（广东卷）2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案）

2025年中考第一次模拟考试数学第Ⅰ卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.1．下列各数中，最大的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．π D．42．智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”，多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用5nm工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，5nm相当于0.000000005m，数据0.000000005用科学记数法表示为（）A．5×10﹣10 B．5×10﹣9 C．5×10﹣6 D．5×1093．鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是广泛流传的益智玩具．如图是鲁班锁中的一个部件，它从前面看，得到的图形是（）A．B． C． D．4．下列运算正确的是（）A．2a2•3a＝6a3B．（2a）3＝2a3 C．a6÷a2＝a3 D．3a2+4a7＝7a95．二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（）A．14 B．16 C．1126．如图，将直尺与含30°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝52°，则∠2的大小是（）第6题图第8题图第10题图A．68° B．78° C．88° D．98°7．若a，b为方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，则a2﹣3a+2ab的值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．48．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB．若∠P＝26°，则∠B的度数为（）A．64° B．52° C．42° D．32°9．反比例函数y=kx与一次函数y＝kx﹣A．B． C． D．10．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c过（﹣1，﹣4），则下列结论：①abc＜0；②对于任意的m，均有am2+bm+c+6＞0；③5a﹣c＝4；④若ax2+bx+c≥﹣4，则x≥﹣1；⑤a=12；⑥不等式ax2+bx+c＞x﹣3的解集为﹣3＜x＜A．2 B．3 C．4 D．5第Ⅱ卷填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分.11．下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：甲乙丙平均数9.359.349.34方差6.66.96.7根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择．12．因式分解：6x2﹣6＝．13．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，则关于x的不等式组x＜ax＜b的解集是14．化简：3x1−x−315．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA=42，∠AOB的平分线交弧AB于点C，过点C作CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，则图中阴影部分的面积为解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.计算：(117．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线．（1）在AD边上确定一点E，将△BED沿BD翻折后，点E的对应点F恰好落在BC边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接BE、DF，判断四边形BEDF的形状．18．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°．【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：（1）求BC的长；（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.19．【问题提出】共享单车不仅极大地方便人们的短途出行，而且低碳环保，受到用户的喜爱．某社区周边有5个共享单车停车区，总计投放180辆的共享单车，某数学兴趣小组发现每天早高峰期间经常会出现有些停车区的单车不够用，而有些停车区的单车使用率低的现象，为探究早高峰期间共享单车的合理投放方案，同学们展开了研究．【开展研究】该数学兴趣小组分工合作在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情况、人流量进行数据收集，结果如表．表一：经过停车区的行人使用单车情况的抽样调查数据停车区经过停车区的人数使用共享单车的人数1号区6032号区10043号区9094号区120185号区707表二：每日早高峰期间的平均人流量停车区1号区2号区3号区4号区5号区人流量（单位：人）240300160400200【问题解决】（1）记事件A为：经过1号区的行人使用共享单车．估计事件A的概率；（2）为应对早高峰期间共享单车的使用需求，请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方案，并说明理由．20．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”，如图①．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图②，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图③．请仅就图③的情形解答下列问题．（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；（2）若⊙O的半径为5，AP=203，求21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？解答题（三）:本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.22．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“中项点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“中项点”．（2）△ABC中，BC＝9，tanB=43，tanC=23，点D是BC边上的“中项点（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．点H是△BCD中CD边上的“中项点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r=54BD23．综合应用如图1，顶点为P的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点C（1，0），与y轴交于点B，连接AB、BP．（1）求b、c的值及∠PBA的度数；（2）如图2，动点M从点O出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着AB方向以2个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，ME⊥x轴交AB于E，NF⊥x轴交抛物线于F，连接MN、EF．①当EF∥MN时，求点F的坐标；②直接写出在运动过程中，使得△BNP与△BMN相似的t的值．2025年中考第一次模拟考试数学·参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678910DBBAAACDCB第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．甲12．6（x+1）（x﹣1）．13．x＜b．14．﹣3．15．8π﹣16．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．【详解】解：(=2−3=3+3【详解】解：（1）所作的图形如图：（2）证明：四边形BEDF是菱形．理由如下：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，由翻折知，BE＝BF，由作图知，BE＝DE，∴DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵BE＝BF，∴四边形BEDF是菱形．18．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，∴∠B＝45°，∴BC＝AC＝20cm；（2）由题可知ON＝EC=12AC＝10∴NB＝ON＝10cm，又∵∠DON＝32°，∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm，∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8cm．19．【详解】解：（1）由表格数据知，经过1号区的行人有60人，使用共享单车有3人，则估计事件A的概率是360（2）故计5个共享单车停车区每天早高峰期间的共享单车平均使用次数分别是240×360=12，300×4100=12，160所以每天早高峰期间的共享单车总使用次数估算为：12+12+16+60+20＝120（次），所以5个共享单车停车区180辆共享单车的投放方案为：1号区投放共享单车180×122号区投放共享单车180×123号区投放共享单车180×164号区投放共享单车180×605号区投放共享单车180×2020．【详解】（1）证明：如图②，连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP＝OB＝OC，∵AP与⨀O相切于点P，∴∠APO＝90°，∴∠PAO+∠AOP＝90°，∵MO⊥CN，∴∠AOP+∠POC＝90°，∴∠PAO＝∠POC，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠PBO，∴∠POC＝∠OPB+∠PBO＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO；（2）解：如图③所示，连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D，则有：AO=AP由（1）可知∠POC＝∠PAO，∴Rt△POD∽Rt△OAP，∴PDPO即PD5解得PD＝3，OD＝4，∴CD＝OC﹣OD＝1，在Rt△PDC中，PC=PD∵CB为圆的直径，∴∠BPC＝90°，∴BP=BC2−PC故BP长为310．21．【详解】解：（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据题意得：2x+3y=803x+2y=95解得：x=25y=10答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进200−25m10辆B根据题意得：w＝8000m+5000×200−25m即w＝﹣4500m+100000，∵﹣4500＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m，200−25m10∴m的最小值为2，∴当m＝2时，w取得最大值，最大值为﹣4500×2+100000＝91000（元），此时200−25m10答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．22．【详解】（1）解：取格点K，连接CK交AB于M，如图：点M即为AB边上的一个“中项点”；理由：由图可知，∠ACK＝∠CBA，∴∠ACK+∠CAM＝∠CBA+∠CAM＝90°，∴CM⊥AB，根据射影定理可知，CM2＝AM•BM，∴M为AB边上的一个“中项点”（2）解：过A作AT⊥BC于T，当D靠近C时，如图：由tanB=43，tanC=23知设AT＝4m，则BT＝3m，CT＝6m，∵BC＝9，∴BT+CT＝3m+6m＝9，∴m＝1，∴BT＝3，AT＝4，CT＝6，设DT＝x，则BD＝3+x，CD＝6﹣x，∵DT2+AT2＝AD2＝BD•CD，∴x2+42＝（3+x）（6﹣x），解得x＝2（负值已舍去），∴BD＝3+x＝3+2＝5；当D靠近B时，如图：同理可得BD=5∴线段BD的长为5或52（3）①证明：∵AD=AD，∴∠ACH＝∠DBH，∠CAH＝∠BDH，∴△ACH∽△DBH，∴CHBH∴CH•DH＝BH•AH，∵点H是△BCD中CD边上的“中项点”，∴BH2＝CH•DH，∴BH2＝BH•AH，∴BH＝AH，∴OH⊥AB；②解：连接AD，如图：由①知，OH⊥AB，∵OH∥BD，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴AD为⊙O的直径，∵r=54∴设BD＝4n，则r＝5n，AD＝10n，∴AB=AD2−B∴AH＝BH=12AB=∴DH=BH∵BH2＝CH•DH，∴CH=BH∴DHCH∴DHCH的值为3723．【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣3，0）和点C（1，0），∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，∴b＝2，c＝﹣3，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴P（﹣1，﹣4），当x＝0时