2025年中考数学几何模型综合训练专题15全等三角形模型之角平分线模型解读与提分精练（教师版）

专题15全等三角形模型之角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全

等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

.........................................................................................................................................................................................2

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）............................................................................................2

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）............................................................................................8

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）..................................................................13

.................................................................................................................................................20

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分

线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。

图1图2图3

条件：如图1，OC为AOB的角平分线，CAOA于点A，CBOB于点B.

结论：CACB、OAC≌OBC.

证明：∵OC为AOB的角平分线，CAOA，CBOB，

∴CACB，∠CBO=∠CAO=90°，∵OCOC，∴OAC≌OBC（HL）

常见模型1（直角三角形型）

条件：如图2，在ABC中，C90，AD为CAB的角平分线，过点D作DEAB.

结论：DCDE、DAC≌DAE.（当ABC是等腰直角三角形时，还有ABACCD.）

证明：∵C90，AD为CAB的角平分线，DEAB，

∴DCDE，∠AED=∠ACD=90°，∵ADAD，∴DAC≌DAE（HL）

常见模型2（邻等对补型）

条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。

结论：①BOAACB180；②ADBE；③OAOB2AD.

证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB，

∴CDCE，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴DAC≌EBC（HL），∴ADBE，∠CAD=∠CBE；

∵OBCCBE180，∴OBCCAD180，∴BOAACB180，

同图1中的证法易得：DOC≌EOC（HL），∴ODOE，

∴OAOBODDAOBODBEOBODOE2AD，

例1．（2024·陕西·中考真题）如图，在ABC中，ABAC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，

且BFAE，连接CF．若AC13，BC10，则四边形EBFC的面积为．

【答案】60

【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点C作CMAB，CNBF，

根据等边对等角结合平行线的性质，推出ABCCBF，进而得到CMCN，得到SCBFSACE，进而得

到四边形EBFC的面积等于SABC，设AMx，勾股定理求出CM的长，再利用面积公式求出ABC的面积

即可．

【详解】解：∵ABAC，∴∠ABCACB，

∵BF∥AC，∴ACBCBF，∴ABCCBF，∴BC平分ABF，

过点C作CMAB，CNBF，则：CMCN，

11

∵SAECM,SBFCN，且BFAE，∴SS，

ACE2CBF2CBFACE

∴四边形EBFC的面积SCBFSCBESACESCBESCBA，

∵AC13，∴AB13，设AMx，则：BM13x，

由勾股定理，得：CM2AC2AM2BC2BM2，

2

22221192119120

∴13x1013x，解：x，∴CM13，

131313

1

∴SABCM60，∴四边形EBFC的面积为60．故答案为：60．

CBA2

例2．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，VAOB的外角CAB，DBA的平分线AP，BP相交于

点P，PEOC于E，PFOD于F，下列结论：（1）PEPF；（2）点P在COD的平分线上；（3）

APB90O；（4）若C△OAB17，则OE8.5，其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【分析】过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到PEPGPF，可判断（1）（2）；由△PAE≌△PAG，

1

△GPB≌△FPB可得EPAGPA，GPBFPB，APBEPF，EPFAOB180，得到

2

1

APB90AOB，可判断（3）；根据C△OAOBABOEOF，OEOF,可判断（4），进而

2OAB

可得到答案．

【详解】解：过点P作PG⊥AB，连接OP,如图：

∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，PEOC，PFOD，PG⊥AB，

∴PEPGPF；故（1）正确；∴点P在COD的平分线上；故（2）正确；

PEPG,APAP,PEAPGA90△PAE≌△PAG，EPAGPA，

PBPB,PGPF,PFBPGB，△GPB≌△FPB，

1

GPBFPB，APBAPGBPGEPF，

2

11

又EPFAOB180，∴APB(180AOB)90AOB；故（3）错误；

22

△PAE≌△PAG,△GPB≌△FPB，AEAG,BFBG

PEPF,POPO,PEOPFO90△PEO≌△PFO，OEOF，

C△OABOAOBAB17，OEOFOAAEOBBF

1

OAAGOBBGOAOBABC△17，OEC△8.5

OAB2OAB

∴正确的选项有3个；故选C．

【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握

角平分线的判定和性质进行解题．

例3．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）已知AB∥CD，BP和CP分别平分ABC和BCD，点E，

F分别在AB和CD上．(1)如图1，EF过点P，且与AB垂直，求证：PEPF；

(2)如图2，EF为过点P的任意一条线段，试猜想PEPF还成立吗？请说明理由．

【答案】(1)证明见详解(2)PEPF成立，理由见详解

【分析】（1）过点P作PMBC于点M，由角平分线的性质定理即可得出结论；

（2）过点P作GHAB于点G，交CD于点H，证明△PGE≌△PHF，即可得出结论．

【详解】（1）证明：如图，过点P作PMBC于点M，

∵AB∥CD，EFAB，EFCD．

BP和CP分别是ABC和BCD的平分线，

且PMBC，EFAB，EFCD，

PEPM，PMPF．PEPF．

（2）PEPF成立．理由如下：

如图，过点P作GHAB于点G，交CD于点H，

AB∥CD，PGAB，PHCD，PGEPHF90，

由（1）得PGPH，在PGE和PHF中，

PGEPHF

PGPH△PGE≌△PHFASA，PEPF．

EPGFPH

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握角平分

线的性质，证明三角形全等是解题的关键．

例4．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如

图1，AD平分BAC，M为AB上一点，N为AC上一点，连接线段DM，DN，若BACNDM180．求

证：DMDN．

①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在AC上截取AEAM，连

接DE，易证ADM≌ADE，将线段DM与DN的数量关系转化为DE与DN的数量关系．

②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过D点向BAC的

两边分别作垂线，垂足分别为点E，F，易证△ADE≌△ADF，得到DEDF，接下来只需证FDM≌EDN，

可得DMDN．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程

【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，

姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答．

如图4，在VABC中，ABAC，BD平分ABC交AC与点D，在线段BC上有一点E，连接AE交BD与

点F，若CAEABD．求证：ADCE．

【学以致用】（3）如图5，在VABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，在CB的延长线上取一点E，

9

使EABBAC，在线段EB上截取EFAB，点G在线段AE上，连接FG，使EFGEAB，若AD，

5

610310

EG，BF，求四边形GFBA的面积．

55

9

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3）

5

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知

识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）①小文，由“SAS”可证MAD≌EAD，可得

DMDE，AMDAED，由补角的性质可得DENDNE，可证DEDN即可求解；②小雅：由“SAS”

可证△ADE≌△ADF，可得DEDF，由“AAS”可证DFM≌DEN，可得DMDN；（2）由“SAS”可证

ABD≌CAM，可得ADCM，ADBM，由三角形内角和定理可求ADFBFFCEMM，

可得CECMAD；（3）由“SAS”可证ABM≌FEG，可得EGFAMB，FFAB，由等腰三角形的

性质和勾股定理可求BD的长，AB的长，最后由三角形的面积公式求解即可．

【详解】解：（1）①证明：如图2，在AC上截取AEAM，连接DE，

∵AD平分BAC，∴BADCAD，

又∵ADAD，∴MAD≌EADSAS，∴DMDE，AMDAED，

∵BACNDM180，∴AMDAND180，

∵AEDDEN180，∴DENDNE，∴DEDN，∴DMDN；

②证明：如图3，过D点向∠BAC的两边分别作垂线，垂足分别为点E，F，

∵AD平分BAC，∴BADCAD，

又∵AEDAFD90，ADAD，∴ADE≌ADFAAS，

∴DEDF，BACNDM180，∴AMDAND180，

∵AMDDMF180，∴DMFDNF，

又∵DENDFM90，∴DFM≌DENAAS，∴DMDN；

（2）证明：延长AE至点M使AMBD，连接CM，

又∵CAEABD，ABAC，∴ABD≌CAMSAS，∴ADCM，ADBM，

∴BD为ABC的平分线，∴ABDCBDCAE，

又∵AFDBFE，∴ADFBEFCEM，∴CEMM，∴CECMAD；

（3）如图：在AC上截取AMGF，连接BM，

又∵GFEBAC，FFAB，∴ABM≌FEGSAS，∴EGFAMB，

∵GFEBAG，GFEGFB180，∴BAGGFB180，

∴ABFAGF360180180，∴AGFABCC，

6

∵BMABMC180，∴BCMBMC，∴BMBCEG，

5

133

∵ABAC，ADBC，∴BDBC，∴ACCD2AD210EF，

255

31010310199

∴BEBFEF2，∴SBEAD．即ABE的面积为．

55ABE255

△

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而

得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意，在

解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等

来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！）

图1图2图3

条件：如图1，OC为AOB的角平分线，ABOC，

结论：AOC≌△BOC，OAB是等腰三角形，OC是三线合一等。

证明：△∵OC为AOB的角平分线，∴∠COA=∠COB，

∵ABOC，∠BCO=∠ACO=90°，∵COCO，∴AOC≌△BOC（ASA），

∴AOBO，∴OAB是等腰三角形，∵ABOC，△∴OC是三线合一。

条件：如图2，BE为ABC的角平分线，BEEC，延长BA，CE交于点F.

结论：BEC≌△BEF，BFC是等腰三角形、BE是三线合一等。

证明：△同图1的证法，

例1．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，ABC中，AB8cm，AC6cm，点E是BC的中点，若

AD平分BAC，CDAD，线段DE的长为（）

A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，延长CD交AB于F，利用“角边角”

证明△ADF和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得AFAC，CDFD，再求出BF并判断出DE

是△BCF的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DEBF，熟练掌握

知识点的应用是解题的关键．

【详解】如图，延长CD交AB于F点，

∵AD平分BAC，∴CADFAD，∵CDAD，∴ADCADF90，

CADFAD

在△ADF和△ADC中，ADAD，∴ADF≌ADCASA，

ADCADF90

∴AFAC，CDFD，∴BFABAE862cm，

11

又∵点E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DEBF21cm，故选：B．

22

例2．（2024·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，ABC中，BC10，ACAB5，AD是BAC的角

平分线，CDAD，则S△BDC的最大值为．

【答案】12.5

≌1

【分析】延长AB，CD交点于E，可证ADEADCASA，得出ACAE，DECD，则SBDCSBCE，

2

当BEBC时，SBEC取最大值，即S△BDC取最大值．

【详解】解：如图：延长AB，CD交点于E，

AD平分BAC，CADEAD，CDAD，ADCADE90，

ADEADC

在VADE和ADC中，ADAD，ADE≌ADCASA，ACAE，DECD；

EADCAD

1

ACAB5，AEAB5，即BE5；DEDC，SBDCSBCE，

2

11

当BEBC时，S取最大值，即S取最大值．S10512.5．故答案为：12.5．

BECBDC△BDC22

【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性

1

质得到SS．

BDC2BCE

例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在ABC中，ABAC，BAC90，

（1）如图1,BD平分ABC交AC于点D，F为BC上一点，连接AF交BD于点E．

（i）若ABBF，求证：BD垂直平分AF；（ii）若AFBD,求证：ADCF．（2）如图2，BD平分ABC

交AC于点D，CEBD，垂足E在CD的延长线上，试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．

1

（3）如图3，F为BC上一点，EFCB，CEEF，垂足为E，EF与AC交于点D，写出线段CE

2

和FD的数量关系．（不要求写出过程）

1

【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）BD＝2CE，理由见解析；（3）CE＝FD．

2

【分析】（1）（ⅰ）由等腰三角形的性质即可证得结论；

（ⅱ）过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1，先根据AAS证明ABE≌△CAM，可得AE＝CM，

然后根据角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得∠FCM＝∠EAD，△进而可根据ASA证明AED≌

△CMF，于是可得结论；（2）延长BA、CE相交于点F，如图2，先利用ASA证明BCE和BFE全△等，可

得CE＝EF，根据余角的性质可得∠ABD＝∠ACF，然后利用ASA可证明ABD和△ACF全△等，进而可得

BD＝CF，进一步即得结论；（3）过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的△延长线于△点G，如图3，先利用

ASA证明CEF≌△GEF，可得CE＝GE，然后根据平行线的性质、等腰三角形的性质和ASA证明CGH

≌△FDH，△于是可得CG＝DF，从而可得结论．△

【详解】（1）（ⅰ）证明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，

∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF；

（ⅱ）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1，

∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE，

AEBAMC

在ABE和CAM中，ABECAM，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM，

ABAC

△△

∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD，

EADFCM

在AED和CMF中，{AECM，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF；

AEDCMF

△△

（2）解：BD＝2CE．理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，

CBEFBE

在BCE和BFE中，BEBE，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，

BECBEF90

△△

∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，

ABDACF

在ABD和ACF中，ABAC，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，

BACCAF90

△△

∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE．

1

（3）解：CE＝FD．过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3，

2

1

∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°，

2

CFEGFE

1

在CEF和GEF中，FEFE，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG，

2

FECFEG

△△

∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH．

1

又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD．

2

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质等

知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．

模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）

角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到

对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

图1图2

条件：如图1，OC为AOB的角平分线，A为任意一点，在OB上截取OBOA，连结CB.

结论：OAC≌OBC，CB=CA。

证明：∵OC为AOB的角平分线，∴∠COA=∠COB，

∵OBOA，COCO，∴AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。

条件：如图2，BE、CE分别为△ABC和BCE的平分线，AB//CD，在BC上截取BFAB，连结EF。

结论：BAE≌BFE，CDE≌CFE，AB+CD=BC。

1

证明：∵BE为ABC的平分线，∴∠ABE=∠FBE=ABC，

2

∵BFAB，BEBE，∴BAE≌BFE（SAS），∴∠AEB=∠FEB，

1

∵AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为BCE的平分线，∴∠FCE=∠DCE=BCD，

2

11

∴∠EBC+∠BCE=ABC+BCD=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°，

22

∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴CDE≌CFE，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。

例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在ABC中，ABAC，A100，BD是ABC的平分线，

延长BD至点E，DEAD，试求ECA的度数．

【答案】40°

【分析】在BC上截取BFAB，连接DF，通过证明ABD≌FBDSAS，可得DFC180A80，

再通过证明DCE≌DCFSAS，即可求得ECADCB40

【详解】解：如图，在BC上截取BFAB，连接DF，

QBD是ABC的平分线，ABDFBD，

ABFB,

在△ABD和FBD中，ABDFBD,

BDBD,

△ABD≌△FBDSAS，BFDA，ADDF，

∴DE=DF，DFC180A80，又ABCACB40，FDC60，

EDCADB180ABDA60，EDCFDC，

DEDF,

在△DCE和DCF中，EDCFDC,△DCE≌△DCFSAS，故ECADCB40．

DCDC,

【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．

例2．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．

（1）如图（1），若AC平分BAE，ACE90，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；

（直接写出答案）；（2）如图（2），AC平分BAE，EC平分AED，若ACE120，则线段AB、BD、

DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．

1

【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，证明见解析．

2

【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得ACB≌△ACF，根据全等三角

形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得CE△F≌△CED，得到EF＝ED，再

由线段的和差可以得出结论；△

（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的

判定证得ACB≌△ACF和ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得CFG是等边三

△1△△

角形，就有FG＝CG＝BD，从而可证得结论．

2

【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．

AB＝AF

在ACB和ACF中，BAC＝FAC∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．

AC＝AC

△△

∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．

∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．

CF＝CD

在CEF和CED中，ECF＝ECD∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．

CE＝CE

△△

∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；

1

（2）AE＝AB＋DE＋BD．

2

证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．

1

∵C是BD边的中点，∴CB＝CD＝BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．

2

AB＝AF

在ACB和ACF中，BAC＝FAC∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．

AC＝AC

△△

同理可证：ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．∵CB＝CD，∴CG＝CF．

∵∠ACE＝1△20°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°−120°＝60°．∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．

11

∴△FGC是等边三角形．∴FG＝FC＝BD．∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD．

22

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问

题的关键．

例3．（2023·山东烟台·九年级期末）已知在ABC中，满足ACB2B，

(1【)问题解决】如图1，当C90，AD为BAC的角平分线时，在AB上取一点E使得AEAC，连接DE，

求证：ABACCD．(2)【问题拓展】如图2，当C90，AD为BAC的角平分线时，在AB上取一点

E使得AEAC，连接DE，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．

(3【)猜想证明】如图3，当AD为ABC的外角平分线时，在BA的延长线上取一点E使得AEAC，连接DE，

线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想ABACCD，证明见解析

【分析】（1）先根据SAS定理证出AEDACD，根据全等三角形的性质可得EDCD，AEDACD，

再根据三角形的外角性质可得BBDE45，然后根据等腰三角形的判定可得EBED，从而可得

EBCD，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（2）先根据SAS定理证出AEDACD，根据全等三

角形的性质可得EDCD，AEDC，再根据三角形的外角性质可得BBDE，然后根据等腰三角

形的判定可得EBED，从而可得EBCD，最后根据线段和差、等量代换即可得证；

（3）先根据SAS定理证出AEDACD，根据全等三角形的性质可得EDCD，AEDACD，从而可

得FEDACB，再根据三角形的外角性质可得BBDE，然后根据等腰三角形的判定可得EBED，

从而可得EBCD，最后根据线段和差、等量代换即可得证．

（1）证明：∵AD为BAC的角平分线，∴EADCAD，

AEAC

在AED与△ACD中，EADCAD，∴AEDACDSAS，∴EDCD，AEDACD，

ADAD

又∵ACB90，ACB2B，∴B45，AED90，

∴BDEAEDB45，∴BBDE，∴EBED，∴EBCD，∴ABAEEBACCD．

（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：∵AD为BAC的角平分线时，∴EADCAD，

AEAC

在AED与△ACD中，EADCAD，∴AEDACDSAS，

ADAD

∴AEDC，EDCD，∵ACB2B，∴AED2B，

又∵AEDBEDB，∴BEDB，∴EBED，∴EBCD，∴ABAEEBACCD．

（3）解：猜想ABACCD，证明如下：∵AD平分EAC，∴EADCAD，

AEAC

在AED与△ACD中,EADCAD，∴AEDACDSAS，∴EDCD，AEDACD，

ADAD

如图，∴180AED180ACD，即FEDACB，∵ACB2B，∴FED2B，

又∵FEDBEDB，∴EDBB，∴EBED，∴ABAEEBEDCD，∴ABACCD．

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法

是解题关键．

例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等

三角形问题．

如图①，在四边形ABDE中，点C是BD边的中点，AC平分BAE，ACE90，证明：AEABDE．

讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思

广议，提出了一个截长法：如图②，在AE上截取AFAB，连接，先证明△ABC≌△AFC，再证明

△EFC≌△EDC，即有EFDE，即AEABED．𝐶

解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明

AEABDE，理由如下：如图②，在AE上取一点F，使AFAB，连接．

ABAF𝐶

∵AC平分BAE，∴BACFAC，在△ACB和△ACF中，BACFAC∴ACB≌ACF（SAS）

ACAC

∴BCFC，ACBACF．

（1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧．

拓展探究：已知：如图③，在ABC中，B=60，D、E分别为AB,BC上的点，且AE,CD交于点F．若

AE,CD为ABC的角平分线．（2）AFC；（3）证明：DFEF．

（4）如图④，在ABC中，ACB90，延长ABC的边BA到点G，平分GAC交BC延长线于点D，

若ABACCD，ABC30，则∠ACB．𝐴

【答案】（1）见解析；（2）120；（3）见解析；（4）60

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形的外角的性质；（1）根据题意再证明

ECD≌ECFSAS得出EFED，进而即可得证；（2）根据角平分线的定义可得

11

EACBAC,DCABCA，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；（3）在AC上截取AGAD，

22

证明DAF≌GAFSAS，CFE≌CFGASA，根据全等三角形的性质，即可得证；（4）在AG上截取

AEAC，证明ACD≌AEDSAS，结合已知可得BEED，进而根据等边对等角可得

EBDEDC30，进而根据角平分线的定义，全等三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解．

【详解】（1）补充证明如下：∵ACE90，∴ACBECD90，ACFFCE90

又∵ACBACF∴ACFECD90，∴ECDECF

∵点C是BD边的中点，∴BCDC，又∵BCFC∴FCDC，

FCDC

在ECD,ECF中，ECFECD∴ECD≌ECFSAS∴EFED，

ECEC

又ABAF，∴AEAFEFABDE，即AEABDE；

（2）∵B=60，∴BACBCA120，

11

∵AE,CD为ABC的角平分线，∴EACBAC,DCABCA

22

11

∴AFC180EACDCA180BACBCA180120120，故答案为：120．

22

（3）证明：如图所示，在AC上截取AGAD，

∵AFC120，∴AFD60，∵AE是BAC的角平分线，∴DAFGAF，

AGAD

在DAF，GAF中，DAFGAF∴DAF≌GAFSAS，∴DFFG，AFGAFD60，

AFAF

∵AFC120，∴CFGAFCAFG60，

又∵EFCAFD60∴EFCGFC∵CD是BCA的角平分线，∴ECF=GCF，

EFCGFC

在CFE,CFG中，FCFC∴CFE≌CFGASA∴EFFG∴EFDF；

ECFGCF

（4）解：如图所示，在AG上截取AEAC，∵平分GAC∴EADCAD，

AEAC𝐴

在ACD,AED中，EADCAD∴ACD≌AEDSAS，∴EDCD，EDACDA，

ADAD

∵ABACCD，∴BEABAEABACCD，∴BEED，

1

∵ABC30，∴EBDEDC30∴EDACDAEDC15，

2

∴CADEADBADC301545，

∴ACBCADADC451560故答案为：60．

1．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，

其中射线OP为AOB的平分线的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质

和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．

【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP为AOB的平分线；

第二个图，由作图可知：OCOD,OAOB，∴ACBD，

∵AODBOC，∴△AOD≌△BOC，∴OADOBC，

∵ACBD，BPDAPC，∴BPD≌APC，∴APBP，

∵OAOB,OPOP，∴△AOP≌△BOP，∴AOPBOP，∴OP为AOB的平分线；

第三个图，由作图可知ACPAOB,OCCP，∴CP∥BO，COPCPO，

∴ÐCPO=ÐBOP∴COPBOP，∴OP为AOB的平分线；

第四个图，由作图可知：OPCD，OCOD，∴OP为AOB的平分线；故选D．

2．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分BAC的

是（）

A．①②B．①③C．②③D．只有①

【答案】B

【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的

定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断AD平分BAC；

在图③中，利用作法得AEAF，AMAN，可证明AFM≌AEN，有AMDAND，可得MENF，

进一步证明△MDE≌△NDF，得DMDN，继而可证明△ADM≌△ADN，得MADNAD，得到AD是

BAC的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线．

【详解】在图①中，利用基本作图可判断AD平分BAC；

在图③中，利用作法得AEAF，AMAN，

在△AFM和△AEN中，

AEAF

BACBAC，

AMAN

∴AFM≌AENSAS，

∴AMDAND，

AMAEANAF

MENF

在MDE和NDF中

AMDAND

MDENDF，

MENF

∴MDE≌NDFAAS，

∴DMDN，

∵ADAD,AMAN，

∴ADM≌ADNSSS，

∴MADNAD，

∴AD是BAC的平分线；

在图②中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线．

则①③可得出射线AD平分BAC．

故选：B．

3．（2024·重庆·校考一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且B