长郡中学2025届高三第四次月考数学试卷含答案

长郡中学2025届高三月考试卷(四)得分本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。1.设集合A={x|-1<x≤4},B={x|x²>4},则AN(CRB)=A.{x|-1≤x<2}p”,则Q是P的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知G是△ABC的重心，过点G作一条直线与边AB,AC分别交于点4.若,则cos4α=AA6.在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E,F,G分别是棱BC,BB₁,DD₁的中点，过FG作平面α,使得A₁E//α,则点A到平面α的距离是AA中的最大数，若a>0,b>0,则中的最大数，若a>0,b>0,则A.√2Q,连接BQ交AP于点M,,则椭圆C的离心率为AA二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项选错的得0分.)9.已知函数f(x)=x³-x+1,则D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线数学试题(长郡版)第2页(共8页10.已知复数z₁,z₂在复平面内对应的点均在以原点为圆心的单位圆上，,则C.z一贬为纯虚数D.z³+z³+2=011.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是奇函数，函数g(x)=(2-x)f(x),且g(x)在[2,+0]上单调递增，则下列命题为真命题的是A.f(-x+2)=-f(x+2)B.g(x)在[-0,2]上单调递减题号123456789得分答案(a+b)(sinA-sinB).则A=13.第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广数，例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(2)设数的前n项和为S,若S,+λ<0恒成立，求λ的取值范围.数学试题(长郡版)第4页(共8页)2,AD//CB,∠CPD=∠ABC=90°,平面PCD⊥平面ABCD.(2)已知点Q在棱PA上，若CQ与平面PDC所成角的正弦值为,求平面PCD与平面CDQ夹角的余弦值.17.(15分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)与抛物线y²=4x有相同的△MF₁F₂的面积的最大值为√3,过点F₁做斜率之和为3的两条直线AB,CD的中点分别为P,Q.个(1)求f(x)的导函数f'(x)的极值；范围；(3)对任意k∈R,直线y=kx+b与曲线y=f(x)有且仅有一个公共点，求b的取值范围.数学试题(长郡版)第7页(共8页)空有限子集A和B,定义和集A+B={a+b|a∈A,b∈B}.记符号|A|表示集合A中的元素个数.当|A|≥2时，设a₁,a₂,…,a|A|是集合A=1,2,…,|A|-1}.(1)已知集合A={1,3,5},B={1,2,6},求A+B,|A+B|的值.(2)已知集合A={1,3,5},B={1,2,6},C={1,2,6,x},若A+B=A数学试题(长郡版)第8页(共8页)长郡中学2025届高三月考试卷(四)数学参考答案题号123456789BABCDDCD一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.)1.B【解析】由题意可得CRB={x|x²≤4}={x|-2≤x≤2},∴A∩CCRB)={x|-1<x≤2}.2.A【解析】因为数列{a}为等差数列，当a=1时，显然任意的s,t,p∈N",均满足2a,=a,+ap,但不一定满足2t=s+p,由数列{a}是等差数列，设该数列的公差为d,=2a₁+(2t-2)d=2[a₁+(t-1因此，Q是P的充分不必要条件.当且仅当当且仅当·所以数列{a}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a=2”,所1,所以λ的最小值为设平面α的一个法向量为n=(a,b,c),∵A₁E//a,GFCa,∴EA₁⊥n,GF⊥n,即n=(2,-2,-3)为平面α的一个法向量，数学参考答案(长郡版)-1∴点A到平面α的距离由a>0,b>0,分两种情况讨论：至少有一个大于等于2,所以的最小值为2;可得a,至少有一个大于等于2,所以的最小值为2;可得b,至少有一个大于等于2,所以的最小值为2.综上，可得的最小值为2.则将①②代入③则,二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.),令f(x)<0所以，函数f(x)上有一个零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)=x³-x,该函数的定义域为R,h(-x)=(-x)³-(-x)=-x³+x=-h(x),则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-1,当切点为(-1,1)时，切线方程为y=2x+3,故D错误.因由题意可得a²+b²=1①,c²+d=1②,即a+c=1,且b+d=0,与①②联立可得数学参考答案(长郡版)-2对故D正确.11.ABC【解析】对于A,因为f(x+2)是奇函数，所以f(-x+2)=-f(x+2),对于B,因为g(2+x)=[2-(2+x)]f(2+x)=-xf(2+x)=xf(2-x)=g(2-x),所以g(x)的图象关于直线x=2对称，因为g(x)在[2,+∞]上单调递增，所以g(x)在(-0,2]上单调递减，故B正确；对于C,因为a<4-b<2,所以g(2)<g(4-b)<g(a),因为g(x)的图象关于直线x=2对称，所以g(4-b)=g(b),所以g(2)<g(b)<g(a),故C正确；对于D,因为g(a)>g(a+2),且a<a+2,g(x)的图象关于直线x=2对称，所,解得a<1,故D错误.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)由正弦定理，得(c-b)c=(a+b)(a-b),整理可得c²+b²-a²=bc,13【解析】(1)设第1位顾客抽中“歼-35A”为事件A,第2位顾客抽中“歼-20S”为事件B,则4,故所以在第2位顾客抽到“歼-20S”模型的条件下，第1位顾客抽到“歼-35A”模型的概率为14.{-1,0,1}【解析】,由x∈R,则有yx²+(3y-1)x+4y=0,当y=0时，有x=0;当y≠0时，则有△=(3y-1)²-16y²=-7y²-6y+1=-(7y-1)(y+1)≥0,解得-综上可得则故y=[f(x)]的值域是{-1,0,1}.四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)即(a-a+1+2)²=0,又a₁=2,所以{a}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a=2n.………………6分因为n∈N*,所以,所以S,<1,又S,+a<0恒成立，即-λ>S。恒成立，∴-λ≥1,即A≤-11316.【解析】(1)法一：分别取CD,AB的中点O,E,连接OE由AD//CB,∠ABC=90°,则ABCD为直角梯形，且OE为中位线，且OE⊥AB,数学参考答案(长郡版)-3所以AB⊥平面POE,所以PA=√11+1=2√3,故AD²=PA²+PD²,由∠CPD=90°,则PD⊥PC,而PCNPA=P,所以CD²+AC=AD°,即AC⊥CD,又CDNPO=O,所以AC⊥平面PCD,又PDIPC,PCNAC=C,(2)由(1)可构建如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则CD=(2,-2,0),PD=(1,-1,-√2),QQ=(a+1,3λ-1,√2-√2a),若m=(x,y,z)是平面PCD的一个法向量，由题意整理得4-8λ=0,故,则,……………11分若n=(a,b,c)是平面CDQ的一个法向量，所以平面PCD与平面CDQ夹角的余弦值为又M位于上顶点时，有最大面积，所1,解得b=√3,…………3分所以E的标准方程……………………5分(2)设直线AB的方程为y=k₁(x+1),直线CD的方程为y=k₂(x+1),点A(x₁,y₁),点B(x₂,y2).得(3+4ki)x²+8k{x+4k²-12=0,数学参考答案(长郡版)-4所以所以直线PQ的方程为所以直线PQ恒过定点18.【解析】(1)因为函数f(x)=Inx+e²¹,所以f(x)的定义域为(0,+～),令f(x)=m(x),则,注意到m'(x)为增函数，且m'(1)=0,所以当x∈(0,1)时，m'(x所以当x=1时，f(x)有极小值,无极大值.………5分(2)由题意可知Inx+e¹≥kx-1对任意x∈(1,+○)恒成立，即对任意x∈[1,+○]恒成立，,则因为h'(x)在区间(1,+一)上单调递增，所以h'(x)≥h'(1)=0,则h(x)在区间[1,+○]上单调递增，所以h(x)≥h(1)=0,则g'(x)≥0,所以g(x)在区间[1,+○]上单调递增，所以g(x)≥g(1)=2,(3)由题意可知Inx+e-¹=kx+b有唯一解，设p(x)=Inx+e²¹-kx-b,x∈(0,+∞),x+e⁻¹=kx+b有唯一解，所设因为k∈R,所以q(x)为单调函数，则)恒成立，所以r'(x)在区间(0,+○)上单调递增，恒成立，则单调递增，综上，结合集合中元素的互异性，A+B={2,3,4,5,6,7,9,11},|A+B|=83分(2)由(1)知A+B={2,3,4,5,6,7,9,11},且1+x,3+x,5+x∈A+B,且x≠1,x≠2,x≠6,得x=4,所以C={1,2,4,6},6分数学参考答案(长郡版)-5(3)(i)先证充分性.因为|G(A,B)|=1,所以G(A)=G(B),且|G(A)|=|G(B)|=1.从而可以设A={a,a+d,a+2d},B={b,b+d,b+2d},其中d>0,此时A+B中的元素为a+b+id(i=0,1,2,3,4),再证必要性.设A={a,a2,as},B={b₁,b₂,b₃},其中a₁<a₂<a₃,b₁<b₂<b₃.注意到和集A+B中的最小元素为a₁+b₁,最大元素为a₃+b₃,所以中间三个元素可以是a₁+b₂<a₁+b₃<a₂+bs,也可以是a2+b₁<a₂+b₂<a₃+b₂,它们是对应相等的，所以有a₁+b₂=a₂+b₁,a₁+b₃=a₂+b₂,a₂+b₃=a₃+b₂,即a₂-a₁=a₃-az=b₂-b₁=b₃-b₂.故|G(A,B)|=1,得证.………………12分(ii)①若|G(A,B)|=1,其中d>0,此时A+B中的元素为a+b+id(i=0,1,…,2m-2),|A+B|