2025年应用泛函考试题及答案

应用泛函考试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[3]分，共[30]分）

1.泛函分析中，线性泛函指的是：

A.从线性空间到实数或复数的映射

B.从线性空间到另一个线性空间的映射

C.从实数或复数到线性空间的映射

D.从实数或复数到另一个实数或复数的映射

2.设X是实线性空间，f是X上的连续线性泛函，则f的核N(f)是：

A.线性空间

B.非线性空间

C.零空间

D.非零空间

3.在Hilbert空间中，以下哪个性质是正确的？

A.每个有界闭集都是相对紧的

B.每个有界集都是相对紧的

C.每个无界集都是相对紧的

D.每个相对紧集都是有界的

4.设X是Banach空间，Y是X的子空间，以下哪个条件能保证Y是闭的？

A.Y的任意有界序列都有收敛子序列

B.Y的任意有界序列都收敛于Y中的点

C.Y的任意有界序列都收敛于X中的点

D.Y的任意有界序列都收敛于X的某个子空间中的点

5.设X是Hilbert空间，f是X上的线性泛函，以下哪个条件能保证f是有界的？

A.f的核N(f)是闭的

B.f的核N(f)是开集

C.f的核N(f)是稠密的

D.f的核N(f)是相对紧的

6.设X是Banach空间，以下哪个性质是正确的？

A.X的每个有界序列都存在收敛子序列

B.X的每个有界序列都收敛

C.X的每个无界序列都存在收敛子序列

D.X的每个无界序列都收敛

7.设X是Hilbert空间，以下哪个性质是正确的？

A.X的每个有界序列都存在收敛子序列

B.X的每个有界序列都收敛

C.X的每个无界序列都存在收敛子序列

D.X的每个无界序列都收敛

8.设X是Banach空间，以下哪个性质是正确的？

A.X的每个有界序列都存在收敛子序列

B.X的每个有界序列都收敛

C.X的每个无界序列都存在收敛子序列

D.X的每个无界序列都收敛

9.设X是Hilbert空间，以下哪个性质是正确的？

A.X的每个有界序列都存在收敛子序列

B.X的每个有界序列都收敛

C.X的每个无界序列都存在收敛子序列

D.X的每个无界序列都收敛

10.设X是Banach空间，以下哪个性质是正确的？

A.X的每个有界序列都存在收敛子序列

B.X的每个有界序列都收敛

C.X的每个无界序列都存在收敛子序列

D.X的每个无界序列都收敛

二、填空题（每题[2]分，共[20]分）

1.设X是Banach空间，f是X上的线性泛函，则f的范数定义为：$\|f\|=\max\{|f(x)|:x\inX,\|x\|=1\}$。

2.设X是Hilbert空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

3.设X是Banach空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

4.设X是Hilbert空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

5.设X是Banach空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

6.设X是Hilbert空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

7.设X是Banach空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

8.设X是Hilbert空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

9.设X是Banach空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

10.设X是Hilbert空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

三、解答题（每题[10]分，共[30]分）

1.证明：如果X是Banach空间，f是X上的线性泛函，且f的范数$\|f\|=1$，则f是有界的。

2.设X是Hilbert空间，证明：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

3.设X是Banach空间，证明：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

4.设X是Hilbert空间，证明：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

5.设X是Banach空间，证明：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

四、证明题（每题[10]分，共[20]分）

1.证明：在Banach空间中，一个序列收敛当且仅当它是有界的并且每一子序列都有极限。

2.证明：Hilbert空间中的内积是连续的，即如果{x_n}是Hilbert空间中的序列，{y_n}是Hilbert空间中的常数序列，且$\langlex_n,y_n\rangle\toa$，则$\langlex_n,1\rangle\toa$。

五、计算题（每题[10]分，共[20]分）

1.设H是一个无限维Hilbert空间，证明：H的任意两个不共线的向量都是线性独立的。

2.设X是Banach空间，f是X上的线性泛函，且$\|f\|=1$。证明：存在一个向量$x\inX$，使得$\|f(x)\|=\|x\|$。

六、应用题（每题[10]分，共[20]分）

1.设X是Banach空间，证明：X的任意子空间Y是闭的当且仅当Y中的任意有界序列都收敛于Y中的点。

2.设X是Hilbert空间，证明：X的完备化是唯一的。即如果Y是X的完备化，则Y与X的完备化等距同构。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.A

解析思路：线性泛函定义为从线性空间到实数或复数的映射。

2.C

解析思路：泛函的核N(f)定义为使得f(x)=0的所有x的集合，对于线性泛函，这个集合是零空间。

3.A

解析思路：相对紧的定义是：一个子集S在空间X中，如果存在一个有界子集K，使得S的闭包是K的子集，则称S是相对紧的。

4.A

解析思路：对于Banach空间的子空间Y，如果Y的任意有界序列都有收敛子序列，则Y是闭的。

5.C

解析思路：根据线性泛函的范数定义，f是有界的当且仅当存在常数M，使得对于所有x属于X，都有$|f(x)|\leqM\|x\|$。

6.A

解析思路：Banach空间的基本性质之一是：每个有界序列都存在收敛子序列。

7.A

解析思路：Hilbert空间与Banach空间具有相似的性质，即每个有界序列都存在收敛子序列。

8.A

解析思路：Banach空间的性质与Hilbert空间相同，每个有界序列都存在收敛子序列。

9.A

解析思路：Hilbert空间的性质与Banach空间相同，每个有界序列都存在收敛子序列。

10.A

解析思路：Banach空间的性质与Hilbert空间相同，每个有界序列都存在收敛子序列。

二、填空题答案及解析思路：

1.设X是Banach空间，f是X上的线性泛函，则f的范数定义为：$\|f\|=\max\{|f(x)|:x\inX,\|x\|=1\}$。

解析思路：这是线性泛函范数的标准定义。

2.设X是Hilbert空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

解析思路：这是Hilbert空间的一个重要性质，即其完备性。

3.设X是Banach空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

解析思路：这是Banach空间的一个基本性质，即其完备性。

4.设X是Hilbert空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

解析思路：同上，这是Hilbert空间的完备性。

5.设X是Banach空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

解析思路：同上，这是Banach空间的完备性。

6.设X是Hilbert空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

解析思路：同上，这是Hilbert空间的完备性。

7.设X是Banach空间，以下性质是正确的：X的每个有界序列都存在收敛子序列。

解析思路：同上，这是Banach空间的完备性。

8.设X是Hilbert空间，以下性质是正确的：X的每