2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册九　平面向量数乘运算的坐标表示

九平面向量数乘运算的坐标表示(时间:45分钟分值:80分)【基础全面练】1.(5分)(2024·南昌高一检测)已知向量a=(3,2),b=(0,-1),则-2a+4b等于()A.(6,0) B.(-6,0)C.(-6,-8) D.(6,8)【解析】选C.向量a=(3,2),b=(0,-1),则-2a+4b=(-6,-4)+(0,-4)=(-6,-8).2.(5分)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=()A.1,83 B.133,83C.133,43 D.-133,-43【解析】选D.因为a=(5,-2),b=(-4,-3),且a-2b+3c=0,所以c=-13(a-2b)=-133,-43【补偿训练】(2024·保定高一检测)已知命题p:m=(a,a2),n=(1,2),m与n共线,命题q:a=2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.充分性:由m与n共线,则a1=a22,解得a=2或0,p是必要性:当a=2,时m=(2,4),由21=42,则m与n共线,p是q3.(5分)(2024·无锡高一检测)已知点A(1,3),B(m-5,1),C(3,m+1),若A,B,C三点共线,则的坐标为()A.(-2,2) B.(2,-2)C.(2,2) D.(-2,-2)【解析】选D.由题意可知=(m-6,-2),=(2,m-2),由于A,B,C三点共线,所以与共线,则有(m-6)(m-2)=-4⇒(m-4)2=0⇒m=4,所以=(-2,-2).4.(5分)(2024·广州高一检测)已知点O(0,0),向量=(2,3),=(6,-3),点P是线段AB的三等分点,则点P的坐标是()A.143,-1 B.103,1C.143,-1或103,1 D.143,1或103,1【解析】选C.方法一:因为=(2,3),=(6,-3),可得=-=(4,-6),又因为点P是线段AB的三等分点,则=23=83,-4或=13=43,-2,所以=+=143,-1或=+=103,1,即P点的坐标为143,-1或103,1.方法二:由方法一知,=23或=13,设点P(x,y)则=-=(x-2,y-3),又=-=(4,-6),所以x−2=23×4y−3=所以x=143即P点的坐标为143,-1或103,1.5.(5分)(多选)(2024·南阳高一检测)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)D.a=(1,-2),b=(-1,2)【分析】对于A选项,可直接解出a=27e,b=-87e,则a,b共线;对于BD选项,由向量共线定理即可判定;对于C选项,当x=y=0时,【解析】选ABD.对于A,因为2a-3b=4e且a+2b=-2e,解得a=27e,b=-87e,此时一定能使a,b共线,则A对于B,存在相异实数λ,μ,使λa=μb,由向量共线定理即可判定a,b共线,故B选项正确;对于C,当x=y=0时,a,b不一定共线,则C选项错误;对于D,a=-b,由向量共线定理即可判定a,b共线,故D选项正确.6.(5分)已知向量a=(m,2)与b=(-2,-4)共线,则3a-b=________.

答案:(5,10)【解析】向量a=(m,2)与b=(-2,-4)共线,则(-4)×m=2×(-2),解得m=1,所以3a-b=3(1,2)-(-2,-4)=(5,10).7.(5分)(2023·上海高一检测)已知三点P,P1,P2在一条直线上,点P1(0,-6),P2(4,0),且=-2,则点P的坐标为____________.

答案:(2,-3)【解析】设点P(x,y),由P1(0,-6),P2(4,0),则=(4,6),=(-x,-6-y),又=-2,则4=−2×(−x)6=−2×(−6−y即P(2,-3).8.(10分)(2023·清远高一检测)如图所示,已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6).(1)求顶点D的坐标;(2)已知点M(8,10),判断A,M,C三点的位置关系,并证明.【解析】(1)由平行四边形可得:=,又A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),=(4,1),所以=-=(5,6)-(4,1)=(1,5),所以D的坐标为(1,5);(2)A,M,C三点共线;因为A(-1,-2),C(5,6),M(8,10),所以=(6,8),=(9,12)=32,又,有公共点A,所以A,M,C三点共线.【综合应用练】9.(5分)已知向量a=(1,-2),b=(x,-1),c=(-4,x),若2a+b,a-c反向共线,则实数x的值为()A.-7 B.3 C.3或-7 D.-3或7【解析】选A.因为向量a=(1,-2),b=(x,-1),c=(-4,x),所以2a+b=(2+x,-5),a-c=(5,-2-x),因为2a+b,a-c反向共线,所以(2+x)×(-2-x)-(-5)×5=0,解得x=3或x=-7,又2a+b,a-c反向共线,代入验证可知x=3时为同向,舍去,x=-7满足条件,所以x=-7.10.(5分)(多选)已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),那么()A.+=(λ-1,1-μ)B.若∥,则λ=2,μ=12C.若A是BD的中点,则B,C两点重合D.若点B,C,D共线,则μ=1【解析】选AC.A选项,+=-+-=-=(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),A选项正确;B选项,若∥,则λμ=1,故也可取λ=3,μ=13,B选项错误;C选项,若A是BD的中点,则=-,即(λ,1)=(-1,-μ)⇒λ=μ=-1,所以==(-1,1),所以B,C两点重合,C选项正确;D选项,由于B,C,D三点共线,所以∥,=-=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),=-=(1,μ)-(λ,1)=(1-λ,μ-1),则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ)⇒λ=-1或μ=1,所以D选项错误.11.(5分)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为________.

【分析】方法一:利用向量的共线可设=λ=(4λ,4λ),表示出,的坐标,根据向量共线列出方程,即可求得答案;方法二:设点P(x,y),进而表示出相关向量的坐标,根据向量共线,列出方程,求得答案.答案:(3,3)【解析】方法一:由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),则=-=(4λ-4,4λ),又=-=(-2,6),由,共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=34,所以=34=(3,3),所以点P的坐标为(3,3);方法二:设点P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且与共线,所以4x-4y=0,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且,共线,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).12.(10分)(2024·郑州高一检测)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判断与是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反?【解析】因为=(1,3)-(-1,-1)=(2,4),=(2,5)-(-1,-1)=(3,6),因为2×6-3×4=0,所以∥,所以与共线.又=23,所以与的方向相同.13.(10分)如图,已知直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三点共线.【证明】如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,令||=1,则||=1,||=2.因为CE⊥AB,且AD=DC,所以四边形AECD为正方形,所以可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,