2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册二十　复数的乘、除运算

二十复数的乘、除运算(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(2024·长沙高一检测)已知a∈R,若(1+i)(2-ai)为纯虚数,则a=()A.-1 B.2 C.-2 D.1【解析】选C.因为(1+i)(2-ai)=(2+a)+(2-a)i,所以2+a=0,22.(5分)(2024·丽水高一检测)若复数z满足z(2-i)=2i,i是虚数单位,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.由题意复数z=2i2-i=2i(2+i)(2-i)(2+i)=-2+4i53.(5分)(2024·南阳高一检测)已知i是虚数单位,则3+4i2+i=()A.1 B.2 C.5 D.6【解析】选C.由题意3+4i2+i=(3+4i)(2-i)4.(5分)(2024·忻州高一检测)若复数z满足z2-4z+5=0,则|z|的值为()A.2 B.3 C.5 D.22【解析】选C.由题意得z2-4z+4=-1,即(z-2)2=-1,得z=2±i,故|z|=22+15.(5分)(2024·岳阳高一检测)已知i为虚数单位,i-2是关于x的方程x2+px+5=0的一个根,则实数p=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选C.由题意(i-2)2+p(i-2)+5=0,整理得8-2p+(p-4)i=0,所以8-2p=p-4=0,解得p=4.6.(5分)(多选)(2024·巴中高一检测)设复数z=1+2i1+i,则(A.z的实部为32 B.z=32-C.z的虚部为12i D.|z【解析】选AB.因为z=1+2i1+i=(1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)=1+2+2i-i2=32+127.(5分)设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为z,则2-zz【解析】因为z=-1-i,所以z=-1+i,2-zz=2-(-答案:-1+2i8.(5分)(2024·吉安高一检测)在复数范围内分解因式x3+5x的结果为__________________.

【解析】依题意,x3+5x=x(x2-5i2)=x(x+5i)(x-5i).答案:x(x+5i)(x-5i)9.(5分)(2024·铜川高一检测)已知复数z满足zi=(1+2i)2,则复数z在复平面内所对应的点的坐标为________【解析】zi=(1+2i)2,则z=(1+2i)2×i=(1+4i-4)×i=-4-3i,则复数z在复平面内所对应的点的坐标为(-4,-3)答案:(-4,-3)10.(10分)(2023·镇江高一检测)计算:(1)|(3+4i)(12+5i)|;(2)(1+i)6+2+【解析】(1)(3+4i)(12+5i)=36+63i+20i2=16+63i⇒|(3+4i)(12+5i)|=162(2)(1+i)6+2+3i3-2i=(2i)【综合应用练】11.(5分)已知i是虚数单位,则化简1+i1-i2022的结果为(A.i B.-i C.-1 D.1【解析】选C.方法一:因为1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)方法二:1+i1-i2022=1+i1-i21011=(1+i)2(1-i)21011=2i12.(5分)(多选)已知复数z1,z2,下列结论正确的有()A.z1+z2=z1+z2 B.若z1z2=0,则C.|z1z2|=|z1||z2| D.z1=|z1|【解析】选AC.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=a+c+(b+d)i,z1+z2=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)=当z1=0,z2=2+i时,z1z2=0,因此B错误;z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,|z1z2|=(=a=(a2+b2)(cz1=2+i时,|z1|=5,z1≠|z1|,D错误.13.(5分)计算:1+i+i2+i3+…+i2025=________.

【解析】因为in+in+1+in+2+in+3=0,n∈N*,所以1+i+i2+i3+…+i2025=1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2021+i2022+i2023+i2024)+i2025=1+i2025=1+i.答案:1+i14.(10分)(2024·咸阳高一检测)设复数z1=1-ai(a∈R),z2=3-4i.(1)若z1+z2是实数,求z1·z2;(2)若z1z2是纯虚数,求【解析】(1)由z1=1-ai,z2=3-4i,得z1+z2=4-(4+a)i,而z1+z2是实数,于是4+a=0,解得a=-4,所以z1·z2=(1+4i)(3-4i)=19+8i.(2)依题意,z1z2=1-a因此3+4a解得a=-34所以z1=1+34i15.(10分)(2024·邢台高一检测)(1)在复数范围内解方程x2-10x+27=0;(2)若复数z满足|z|=|z-2|,z-z=2i,求z3+2i【解析】(1)由x2-10x+27=(x-5)2+2=0,可得(x-5)2=-2=(2i)2,则x-5=±2i,所