九种函数与抽象函数模型归类（16题型提分练）解析版-2025年高考数学一轮复习

九种函数与抽象函数模型归类（16题型提分练）

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目录

题型一：三大补充函数：对勾函数..................................................................1

题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数..................................................4

题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）.....................................................6

题型四：一元三次函数............................................................................9

题型五：高斯取整函数...........................................................................12

题型六：绝对值函数.............................................................................15

题型七：对数绝对值型...........................................................................19

题型八：对数无理型.............................................................................22

题型九：对数反比例型...........................................................................24

题型十：指数反比例型...........................................................................26

题型十一：抽象函数模型：过原点直线型..........................................................28

题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型........................................................30

题型十三：抽象函数模型：正切型.................................................................33

题型十四：抽象函数模型：一元二次型.............................................................35

题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型........................................................37

题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型...................................................39

^突围・檐;住蝗分

题型一：三大补充函数：对勾函数

指I点I迷I津

2.“拐点”：解方程ax(即第一象限均值不等式取等处)

X

1.(2022秋•四川成都•高三成都七中校考阶段练习)若对任意的xw[1,5],不等式2VX+3+6W5恒成立，则

X

Q-6的最大值是.

【答案】4+46

【分析】令〃x)=x+f+仇xe[l,5],讨论”的取值范围，确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最大

值与最小值，使/(x)1nhi22且1mx45恒成立，进而确定。的取值范围以及6的取值范围，即求.

【详解】令〃x)=x+^+仇无41,5]

I.当时，函数/'(x)显然单调递增，

所以〃文户+…，/⑺111ax=5+?+b,

1+a+b22a+b>l

由题意可得=^>1-a<b<一巴=>a>—

5+-+b<5-+b<054

5.5

这与aWO矛盾，故舍去;

II,当4〉0时，f=X-\Fb在(0,单调递减，单调递增,

①.当a〉25时，即&>5,所以〃“耐=/⑴=l+〃+b,/（^=/（5）=5+1+&

1+a+bW5a+b<435

由题意可得ana=>—3--—Q=>uW—,

5+-+6>2-+b>-354

1515

这与。>25矛盾(舍去).

②.当14。425时，即1V&V5,

所以〃x）max=max{y（l）J（5）}=max|l+a+6,5+1+d，

l+a+b<5b<4-a

八q=2&+b,由题意得一■5+区+6W5ab<--3.当5<。425时，止匕时4—a<—1，

55

2y[a+b>2b>2-2^

以2—Wb44—a=>2—2«4-Q=>0Kyfu«-x/3+1=>0Ka«4+2-\/3，故5<a«4+2>/3，

lf\]2a-4<a-b<a+2y[a-2,故。一6<a+26-2«4+4百，b.当IV。45时，止匕时4一。2一父，所以

2-2->Ja<b<--^>2-2y[a<--^>5-V15<4a<5+VL5=>40-1OA/15<«<40+10A/L5，

故40—10届《。（5,^\^<a-b<a+14a-2,故a—b<。+26—243+25

③.当Ovavl时，即所以/（力布=l+a+b，/⑶3=5+*|+b,

l+a+b>2a+b>l$

由题意可得an〈：a^l-a<b<——naN—,这与0va<l矛盾,

5+—+6W5-+b<054

515

综上所述：Q-6〈4+46.故答案为：4+46

2.(2022・安徽合肥•高二校联考开学考试)已知函数〃x)/+x+3,关于％的不等式/2(x)<o(x)只有一个

X

整数解，则正数。的取值范围是.

【答案】弓9,5]

【分析】将函数解析式变形，结合打勾函数的图像与性质可求得/(幻的值域，进而结合不等式可知

1+273</(%)<«；因为不等式尸(x)<4(x)只有一个解，因而计算〃1)J(2)J(3)后与1+2指比较即可

确定这个解为2；进而由不等式成立条件可得正数a的取值范围.

【详解】函数/(x)=f+：+3=x+j+l,结合打勾函数性质可知，/(x)e(-^,l-2V3]u[l+2V3,+»),

关于x的不等式/2(x)</(x),因为求正数a的取值范围，因而0</(x),化简不等式可得八x)<。,

339

所以0＜/（x）＜。，即1+2退4/（幻＜。贝1］1+2百°1+2*1.7=4.4,/（l）=l+j+l=5,/（2）=2+-+1=-,

/（3）=3+-+1=5,因为关于x的不等式/2（x）＜叭x）只有一个整数解，

所以由以上数据可知整数解为2,所以〃2）＜。4〃3）,

解得|＜045,所以04|,5故答案为：仁,5.

3..（2023・高三单元测试）已知函数若存在不,三…,,使得

〃再）+"9）+…+/（X.T）=/（毛），则正整数〃的最大值为.

【答案】4

【分析】根据单调性得到/口）"1,3；］,要使正整数〃尽可能大，则可以是1+1+：=3；,得到答案.

【详解】当时，〃x）=4+；-l单调递减，故/（力』1,3：］,

10J|_4」y/xL4_

要使正整数〃尽可能大，则可以是1+1+；=3；,故〃的最大值为4.

故答案为：4.

4.（2022・上海闵行•高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数/（刈=》+q（0＞0）,若对任意的

X

机、"、pe1,1,长为〃加）、/（"）、〃。）的三条线段均可以构成三角形，则正实数”的取值范围是.

【答案】

【分析】求出/（X）的导数，分类讨论可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等

式即可得到所求。的范围.

【详解】函数/'（x）=x+3（a＞0）的导数为八x）=l-二，

当X＞G时，r（x）＞o,/a）递增；当x＜6时，r⑴＜。，/（X）递减.

当夜力即时，4，1］为减区间，即有/（X）的最大值为9+3a；

最小值为1+Q.

由题意可得只要满足2（l+a）＞；+3a,解得1（。＜屋

当;〈血＜1且/（；）守。）即时，［1,为减区间，/，1）为增区间，

即有/（X）的最大值为1+Q;最小值为2c.

由题意可得只要满足1+a＜46,解得〃＞7-46，所以

当9G＜1且/（；）＞/（1）即;＜a＜l时，［；,如为减区间，储，1）为增区间,

3。。

即有/（X）的最大值为;+3°；最小值为2夜.

由题意可得只要满足;+3〃＜46，解得\8＜。＜杵8,所以3＜同；；

当即时，［；,1］为增区间，即有/⑴的最小值为1+3°；

最大值为1+。.

由题意可得只要满足2（；+3°）＞1+°,解得我

综上可得，”的取值范围是上，丸

故答案为:

题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数

指I点I迷I津

反比例与分式型函数

解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿

线法求解

形如：y=——-o对称中为P（x0,y0）,其中

cx-d

①ex。_d=0;

②%=竺

CX

③一＜三或者二、四象限，通过丫=0.1计算判断

1.（2022•湖北武汉•高三校联考模拟）己知函数y=〃x+l）-3为奇函数，=与g（x）的图像

有8个交点,分别为（石，乃）,（%,%＞,・（不，%），则（必+%+%+/+%+为+%+%）

一（玉+x2+x3+x^+xs+x6+x7+x8）=.

【答案】16

【分析】由y=/（x+l）-3为奇函数可得函数f（x）关于点（1,3）对称，分离常数

g(x)=虫心=3(1)+1=3+—L可知函数g(x)关于点(1,3)对称,继而可得f(x)与g(x)图像的8个交点

关于点(1，3)对称，则为+%2+退+匕+工5+/+七+%8，%+%+%+%+'%+稣+为+%可求，结果可得.

【详解】y=/(x+l)-3为奇函数.•.函数/(X)关于点(1,3)对称；g(x)=主匚="f=3+二一

x-1x-\x-1

函数g(x)关于点(1,3)对称.•・/(X)与g(x)图像的8个交点关于点(1,3)对称

再=1,%_1,X3_1,=1可得%+/+鼻+匕+%+/+/+/=4x2x1=8

同理可知%+%+%+%+必+%+%+%=4x2x3=24

(%+%+%+”+%+-%+%+%)-(占+工2+工3+匕+工5+工6+工7+/)=16故答案为：16.

2.(2023•全国•高三对口高考)函数了=三3的值域是{用>4。或>24},则此函数的定义域为___.

x-3

【答案】U喝

【分析】利用反函数，可将原函数化为x=/(y),(其中>40或>24),求出/")的值域即得X的定义域.

2r-53V-51

［详解］.•.>=---y(x-3)=2x-5,:.x=-^—=3+-其中(”0或”4),

x-3>-2)—2

当"0时〃=3+」;是减函数，此时：Wx<3,

y-22

17

当了24时,x=3+—^是减函数，此时3<x=彳，

y-22

・•・函数y的定义域为1,3^3,1.

故答案为：(3M3g.

1~|1V

3.(2023・全国•高三专题练习)已知集合/=s,s+二U［/,/+l］,其中leZ且s+函数/⑴二上彳，且对

_6J6x-1

任意ae/,都有/S)e4,贝/的值是.

【答案】且上或3.

2

【分析】先判断区间［fj+l］与X=1的关系可得，>1,再分析S+J<1时定义域与值域的关系，根据函数的单

0

调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得S和I即可.最后分析当S>1时，

〃x)J1+L1+工］U1+一二,1+工，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可

「L，I」5/sT

L6J

【详解】先判断区间h+1］与X=1的关系，因为故，+1<1或£>1.因为当£+1<1,即£<0时，由题意,

当，£/时，>0任/,故不成立；故方>I.

t~\

再分析区间“S+：与E的关系，因为八故s+［1<l或s>L

6

①当s+!<l,即svj时，因为/(x)=x5在区间s,s+：上为减函数，故当xes,s+：1,

66X—16

S1

-----<s+—

5-16

cI1

〃尤)e因为----<1,而/>1,故此时s,s+一，即s十一,因为

5-16

_6>5

5

s——

6

、251

上--<0

56666，故6s2解得s=因为s<3，故

S<6'故<即《-1ls-1=0,"士'I"'

125126

5+-<5——SS2--5-—>0

6666

H-V1451/+1t

s=-.--此----时---区--间S,s+-在x=l左侧，［0+1］在%=1右侧.故当工£上/+1］时，/(%)£

126丁'百'

——<^+12

因为T1川t+ltt-t-l>0

>1,故――项山+1］，所以<，止匕时2,C，故『一一1=0,解得

t+1

”上因为"l,故"土也

22

+』也］上单调递减，易得

②当s〉l时，=---在区间工£s,sUt+1

0

1+—!y>Z

1I

l+->55-1

1+；,1+±U1S——

1+----^-,1+,故此时V且6即《11/且

—1+十,

s——,11

6t-\61+-----</+1S——

5-16

1

1+-->t

V--s=-+\

M151।口口1，+6

6，所以1+A,故j]故--+-=-+b即一；=t2-t-6=Q,因为

5t-\6tt—\6t

1--------F—=S

——<tS——U-l6

、s-l6

t>l,故f=3；

综上所述，%=1+陋或3。故答案为：二+1或3.

22

4.（2023•浙江,高二校联考开学考试）已知函数〃幻=台|,若函数y=,（|x|）|T在11,2］的最大值为2,

则实数，的值为.

【答案】-1或2

【解析】由题意可得三个非负端点值>=|1-4,x=0,分别令它们为最大值2求f,再验证是否符合题设

|—11,x=2

即可求，的值.

4

--------l-t\,-l<x<0

42—x

【详解】—持,由题意知：、=

4'

I--------l-d,0<x<2

、x+2

・•.x=-l时，y=\^~t\；x=0时，y=\\-t\；%=2时，y=\-t\；

i75775Q

若-力=2时，，=；或/=_：,而/=:有y=|V|=（>2,f=-1有>=|1一f|=|>2,故与题设矛盾;

若为转="力=2时，f=-l或/=3,而/=3有y=|-+3>2,所以只有f=-l时成立；

若VmaxM-〃=2时，/=-2或/=2,而，=-2有V=|1T|=3>2,所以只有f=2时成立；

综上有：t=-l或f=2,

故答案为：T或2

题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）

指I点I迷I津

双刀函数

y=ax--(两支各自增),或者y=2-ax(两支各自减)(。,6>0)

XX

1.有“渐近线”：丫=2*与丫=小

2.“零点”：解方程ax=2

x(即方程等。处)

是.

【答案】(0，5)

【分析】求出/(》)=2一工-2,是奇函数，且在定义域上是单减函数，变形〃lgx)>-/⑴=/(-1)再利用单调

性解不等式可得解.

【详解】•■-/(x)=2-I-2\.-./(-x)=2^-2-x=-/W

.•./(幻=2-，-2*是奇函数，又y=2f是R上的减函数，歹=2,是R上的增函数，

由函数单调性质得/(x)=2一，-2,是k上的减函数.

/(lgx)+/(l)>04lJ/(lgx)>-/(l),由奇函数得/(一1)=-/■⑴

且=是R上的减函数.lgx<」,,又x>0

不等式〃lgx)+〃l)>0的解集是(0,$)故答案为：(0,：)

2.(2023春•湖北•高二统考期末)已知奇函数/(x)=ex-e+2tx{t>0),有三个零点，则/的取值范围为.

【答案】(L+⑹

【分析】由f(x)为奇函数求出。的值，再利用导数研究函数和单调性和极值点，由/(尤)有三个零点，求f

的取值范围.

【详解】若a=l,/(x)=2;x(f>0),函数没有三个零点，所以awl,

/(x)为奇函数,则/(x)+/(-x)=O,即尸_e、+2fcc+em-e-l2tc=0,

得4+-"=/+尸，

设g(x)=e*+eT,函数定义域为R,g(x)=g(-x),g(x)为偶函数，

g[x)=e=er,g'(x)是R上的增函数，且g，(0)=0,

则g'(x)<0,解得x<0；g'(x)>0,解得x>0,

即g(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+司上单调递增，

g(ax)=g(x),由awl,则有a=_l,

所以/(x)=b-e*+2比(/>0),/'(%)=-e~x-ex+2t,

由『'+6、22,当且仅当x=0时等号成立，则一ef-e'V-2,

若0</41,则/'3=-心-於+2区0,/(x)单调递减，没有三个零点；

若/>1,令e*=〃？，则方程----m+2t=0,即〃/—25?+1=0,

m

判别式A=4d-4>0,方程有两个不相等实数根，设两根为％，加2且叫<加2，则有叫+加2=2/>0,

mxm2=1,所以0<叫<加2，

%2

令e*=叫，e=m2,由=1,则再<0<%且玉二一%2，

f'(x)>0,即■一m+2t>0,即加2_2袖+]<0,解得/<机<加，，得X]<x<%;

m

f'(x)<0,即一L-加+2f<0,即加2_2/加+1>0,解得加<网或加>加。，得x<X]或8>%，

m

所以/(X)在(-8,再)和(％,+00)上单调递减,在(国,无2)上单调递增,由"0)=0,则有/(再)<0,

/(无2)>0,

由函数y=e、的单调性和递增速度可知，无>0时，存在/(x)<0,/(X)的图像如图所示，

此时奇函数/(x)有三个零点.综上可知，f的取值范围为(1,+8).故答案为：(1,+⑹

3.(2023春,辽宁铁岭,高二校联考期末)已知函数”x)=fJ+3sinx+2若/①)=1,则〃-。)=

【答案】3

【分析】利用/(x)+/(-x)=4,求得/(-。)的值.

【详解】根据题意，函数/(x)=^^+3sinx+2,贝lJ/(-x)=^^-3sinx+2,贝|/(x)+/(-x)=4,

故有〃。)+〃-。)=4,又由=则-a)=3,故答案为：3.

4...2023春•上海黄浦•高三上海市大同中学校考)已知函数/(X)=2022“T+(X-3)3-20223T+2X,则不等式

/(/一4)+/(2-3x)V12的解集为

3-痴3+历

【答案】

-2-，-2-

【分析】令g(x)=2022—2022r+x'+2x,分析函数g(x)的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式变形

为g(一一7)Wg(3x+l),结合函数g(x)的单调性可得出关于x的不等式，解之即可.

【详解】设g(x)=2022=2022f+/+2x,则函数g(x)是定义域为R,

因为g(f)=2022-x-2022,+(-x)3-2x=-(2022,-2022f+/+2x)=-g(x),故函数g(无)为奇函数，

因为函数y=2022，>=-2022-工、=y=2x均为R上的增函数，

故函数g(x)为R上的增函数，

因为/(x)=202243-20221+(x-3y+2(x-3)+6=g(x-3)+6,

由/12-4)+/(2-3刈412可得8(/-4-3)+8(2-3》-3)+12<12,

可得g(—-7)V-g(T-3无)=g(3x+l),

所以，X2-7<3X+1,即/一3X-8V0,解得

22

3-加3+历

因此，不等式/(x2-4)+〃2-3x)W12的解集为

2，~~2~、

3-历3+而

故答案为:

~22~.

题型四：一元三次函数

指I点I迷I津

一元三次函数：

所有的三次函数〃"="3+加+0工+“"0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数了=/("的图像的对称中心，

设/'(X)是函数“X)的导数，/"(X)是/'(X)的导数，若方程_f'(x)=。有实数解与,则称点(%,/伉))为函数

f(x)=ax3+bx?+cx+d(aR0)的“拐点

1..给出定义：设/'(X)是函数y=/(x)的导函数，/"(X)是函数y=/'(x)的导函数，若方程/"(x)=o有实

数解x=x°,则称(%,/(%))为函数y=/(x)的“拐点，，.经研究发现所有的三次函

/("=尔+而+6+1(0*0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=/(x)的图像的对称中心.若函数

f(x)=x3-3x2,则旦卜上］+...+/(幽］+/幽>()

v71^2022)1^2022)1^2022)^2022j1^2022)

A.-8086B.-8082C.8084D.8088

【答案】A

【分析】利用题中给出的定义，得到析I的拐点为(1,-2),从而得到利x)的对称中心为(1,-2得即

/(2-x)+/(x)=-4,由此分析计算即可.

【详解】解:因为函数/(x)=/一3x2,则/，(x)=3x2-6x,f(x)=6x-6,

令/"(x)=0,解得工=1,且/(1)=-2,由题意可知，/*)的拐点为(1,-2),故〃x)的对称中心为(1,-2),

所以/(2-尤)+〃无)=一4,

所以，［加力］

=-8086.故选：A.

募/金卜…+/(瑞”霜2

2.已知函数f(x)=ax3+3%2+1,若至少存在两个实数m,使得f(—m),f(l),f(m+2)成等差数列，

则过坐标原点作曲线y=/(%)的切线可以作()

A.3条B.2条C.1条D.0条

【答案】B【解析】至少存在两个实数m,使得/(-m),/(I),f(m+2)成等差数列，

可得/(一力)+/(2+G)=2/(1)=2(0+4),即有/(x)的图象关于点(lfa+4)对称，/(%)的导数为/,

(%)=3a%2+6%,

/'(%)=6ax+6,由/"(%)=0,可得％=—3由/(—十+*)+/(—、一%)为常数，可得—(=1，解

a=-1.

即有/(x)=-x3+3%2+1,/(%)=—3/+6工，设切点为/+32+1),可得切线的斜率为一3/

+6t=匚巴誓±1,化为2t3—3t24-1=0,设g(t)=2t3—3t2+1,9(X)=6t2—63

当0<tV1时，g'(t)<0,g(t)递减；当t>l或t<0时，g'(t)>0,g(t)递增.

可得g(t)在t=0处取得极大值，且为1>0；在t=1处取得极小值，且为0.

可知2t3—3/+i=o有两解，即过坐标原点作曲线y=/(%)的切线可以作2条.

3.(多选)(全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷)对于三次函数

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a^0),给出定义：设厂(力是函数y=/⑺的导数,/"⑴是函数广⑺的导数，

若方程/"(尤)=0有实数解%,则称(％,/(%))为函数y=/(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三

次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数

249

/("=§/一炉_12%+7,则下列说法正确的是()

A./⑺的极大值点为:2,*]

B./(X)有且仅有3个零点

C.点是/(x)的对称中心

=4042

【答案】BCD

【分析】求出/'(X)=2X2-2X-12,得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判断

A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B项；根据/"(尤)=0的解的情况，可

判断C项；由对称中心可推得+-x)=4,用倒序相加法即可求得式子的和，判断D项.

【详解】由题意知/'(%)=2--2》一12.

令尸(x)>0,解得x<-2或x>3,所以/'(x)在(-*-2)上单调递增，在(3,+向上单调递增；

令_f(x)<0,解得-2<x<3,所以在(—2,3)上单调递减.

X/(-2)=|x(-2)3-(-2)2-12x(-2)+y=,/(3)=|X33-32-12X3+^=-^.

i37113

所以，在x=-2处有极大值〃-2)=一，在x=3处有极小值/(3)=-与」

66

所以/(X)的极大值点为-2,A项错误；

12711Q

又极大值/(-2)=(>0,极小值/(3)=-?<0,作出f(x)的图象，

有图象可知，/(无)有且仅有3个零点，故B正确；

r(x)=4x-2,令/〃(x)=0,解得x=g,

又=-12*；+?=2，由题意可知，点是“X)的对称中心，故C正确;

因为点(对是小)的对称中心，所以有/g7+/g+xj=4,即〃x)+/(l-x)=4.

令+…+/(翌］,

{2022){2022),(2022){2022)

乂s"胆］+小胆］+/3］+…+/pq,

(2022)［2022)(2022)(2022)

202120202021

所以2S=/

202220222022

=2021x4=8084,,所以S=4042.故D正确.

故选：BCD.

4.(多选)(江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高三上学期12月抽测二数学试题)对于三次函数

/("=加+而+5+4("0),给出定义：设厂(可是函数尸/(力的导数,7"(X)是/(%)的导数,若方程

/"(力=0有实数解与,则称点(%,/(%))为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”，任何

一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数/■(x)=；x3--则以下说法正确的是

()

4

A./(x)+/(2-x)=--

B.当4<0时J(x)有三个零点

C./(-2019)+/(-2020)+/(2021)+/(2022)=4

D.当/'(x)有两个极值点引,三时,过/(4/«)),8(和了0))的直线必过点11,-0

【答案】AB

【分析】根据题意令/(x)二次导数为零即可求出拐点，即对称中心，即可得选项A的正误，先讨论x=l时是否

为零点，然后进行全分离，设新函数求导求单调性，求特殊值，画函数图象即可判断选项B的正误，根据选项A,将

x=2022,x=2021代入再相加即可得选项C的正误，两点在一条直线上，则中点也在直线上，根据再,力为极值

点，令“X)导函数为0,用韦达定理即可得再+X2=2,根据选项A,可得〃再)+〃％)=与即可求出42中点

坐标,即可判断选项D的正误.

【详解】解:由题知=一%2+办一。,

关于选项A:

9

=f-2x+a,;./"(x)=2x-2,令/(x)=0可得x=l,，/(x)的拐点为(1J⑴),•.•/⑴=一：,

对称中心为［1,-1］，即〃x)+/(2-x)=T成立，一故选项A正确；

关于选项B:

21_工33/

当x=l时=•.工=0不是/(无)的零点，令/(xhjd-Y+a无一。=0,即。=3._.有三个根,

-x3+3x2

令g(x)=

3(1)

xe(-%0)时,g(x)单调递增,xe(0,1)时,g(x)单调递减，尤e(l,+<x>)时,g(尤)单调递减,

关于选项C:

444

由选项A可知：/(x)+/(2-x)=/(2022)+/(-2020)=--,/(2021)+/(-2019)=

O

两式相加可得〃-2019)+/(-2020)+/(2021)+/(2022)=--，故选项C错误；

关于选项D:

A=4-4tz>0

由于/（X）有两个极值点再,％.1/'（X）=--2x+a=0有两根再,三,:Axl+x2=1,

xx'X2=a

由于直线过4（网，〃网）），8卜2，/卜））,则直线一定过48中点，

44

由选项A知/'（%）+〃2-幻=一§,且有西+马

.■.A,B中点坐标为[土产JU）；〃七）>（i,一|[则直线一定过,二？，故选项口错误.

故选:AB

题型五：高斯取整函数

指I点I迷I津

取整函数y=W'[x]表示不超过x的最大整数，又叫做“高斯函数”,

1.（黑龙江省大庆市铁人中学2022-2023学年高三月考数学试题）符号卜]表示不超过x的最大整数，如

[2,3]=2,[TT]=3,[-2,1]=-3,定义函数〃x）=x-国则下列说法正确的个数是（）

①函数/（x）的定义域为R

②函数〃x）的值域为[0,1]

③函数”X）是增函数

④函数〃x）是奇函数

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】

根据题中定义、增函数的性质、奇函数的性质，结合特例法进行判断即可.

【详解】

①：函数/(x)=x-[x]的定义域为全体实数，故本说法正确；

②：因为因表示不超过X的最大整数，所以=因此本说法不正确；

③：因为/(0)=0-[0]=。,/⑴=1-m=0,显然函数在整个实数集上不是增函数，所以本说法不正确；

④：因为/(_2.1)=_21_[-2.1]=_2.1_(-3)=0.9,/(2.1)=2.1-[2.1]=2.1-2=0.1,

所以/(-2.1)+/(2.1)*0,因此本函数不是奇函数，所以本说法不正确，

故选：A

2.(广东省广州市第四中学2021-2022学年高三上学期月考数学试题)高斯(1777-1855)是德国著名数学

家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子"之称，高斯一生的数

学成就很多，其中：设xeR,用卜]表示不超过x的最大整数，则了=团称为高斯函数，例如：[2.3]=2,

[-2.1]=-3,已知函数/(x)=2f-x-2,xe(O,2),设函数y=[/(x)]的值域为集合。，则。中所有负整

数元素个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

根据二次函数的性质求出函数的值域，然后再进行判断即可.

【详解】

函数”X)图象的对称轴为x=；,当xe(O,2)时，易知〃x)1mn=d5=-1,-：，41所以

了=[/(司]的值域。={-3,-2,-1,0,1,2,3},故其值域中所有负整数元素为-1,-2,-3,个数为3.

故选：B.

3.(百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考(四)全国卷I理科数学试题)高斯(1777-1855)

是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重

要的数学家之一，并享有“数学王子"之称，用其名字命名的高斯函数为：设xe民用卜]表示不超过x的最

大整数,则y=卜]称为高斯函数，例如：[2.3]=2,[-2』=一3,已知函数/(x)=2x2-x-2,x」(O,2).设函数

了=[/(x)]的值域为集合。，则。中所有正整数元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】

先求解出二次函数〃x)=2x2_x-2,xe(O,2)的值域，然后根据高斯函数的定义确定出集合。，从而。中所

有正整数元素个数可知.

【详解】

函数〃x)图象的对称轴为x