解答压轴题型：函数综合题（汇编）（原卷版）-初中数学

解答压轴函数综合题

一、解答题

1.（2024.广东深圳.统考中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺

垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x,y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学

小组选择不同位置测量数据如下表所示，设8。的读数为x,CO读数为》抛物线的顶点为C.

①②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

（II）描点：请将表格中的（1丁）描在图2中；

（III）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；

（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线】'=GT一加+上的顶点为C,该数学兴趣小组用水平

和竖直直尺测量其水平跨度为月3,竖直跨度为。。，且乂5=加，CD~n,为了求出该抛物线的开口大

小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：

方案一：将二次函数了=°㈠一%+*平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为

①此时点3'的坐标为；

②将点坐标代入J'=aF中，解得°=；（用含加，〃的式子表示）

方案二：设c点坐标为（从

①此时点B的坐标为；

②将点2坐标代入丁二0（'-'）+k中解得a=；（用含加，〃的式子表示）

（3）【应用】如图4,已知平面直角坐标系1CT中有A,B两点,48=4,且加//X轴，二次函数

C1:y1=2（x+h）+k^C2:y2=a（x+h）+6都经过人,台两点，且&和G的顶点尸，°距线段4s

的距离之和为10,若A3x轴且48=4,求。的值.

2.（2023・广东深圳•统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人

们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，

这样就形成了一个温室空间.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形■筋:0和抛物线曲)构成，其

中期=3m,50=4m,取BC中点o,过点。作线段的垂直平分线。与交抛物线为即于点E,

若以。点为原点，3c所在直线为无轴，。与为＞轴建立如图所示平面直角坐标系.

请回答下列问题：

(1)如图，抛物线题的顶点耿°用

,求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置£尸3T,SMNR,若

FL=NR=075m,求两个正方形装置的间距GM的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为就，求8K的

长.

3.(2022.广东深圳.统考中考真题)一个玻璃球体近似半圆Q4®为直径，半圆。上点C处有个吊灯

EF,EF〃AB,C。上月B,EF的中点为。,QA=4

(1)如图①，0”为一条拉线，Af在0B上，=16,2?9=°乜求。。的长度.

(2)如图②，一个玻璃镜与圆。相切，H为切点，为08上一点，为入射光线，NH为反射光

"HM=NOHN=45°,tmNCOH=

线，4求次的长度.

(3)如图③，A/是线段。B上的动点，为入射光线，=为反射光线交圆。于点

"•在〃从。运动到F的过程中，求N点的运动路径长.

4.(2024・广东深圳•盐田区一模)【项目式学习】

项目主题：车轮的形状

项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮

制作成圆形的相关原理.

【合作探究】

(1)探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变.另外圆形车

轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的.如图1,圆形车轮半径为4cm,其车轮最高点到地面

的距离始终为cm；

(2)探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化.如图2,正方形车轮的轴心为

。，

若正方形的边长为6而，车轮轴心。距离地面的最高点与最低点的高度差为cm；

(3)探究°组：如图3,有一个正三角形车轮，边长为6cm,车轮轴心为。(三边垂直平分线的交

点)，车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点。经过的路径长.

【拓展延伸】

如图4,分别以正三角形的三个顶点A,B,c为圆心，以正三角形的边长为半径作60°圆弧，这样形成

的曲线图形叫做“莱洛三角形”.“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物

体也能够保持平衡，但其车轴中心。并不稳定.

（4）探究。组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动.在滚动过程中，其“最高

点”和“车轮轴心0”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和

“车轮轴心所形成的图形按上、下放置，应大致为.

ARcn

5.（2024・广东深圳•福田区三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物

体的成像差异，来计算距离的方法.它在“A/”领域有着广泛的应用.

材料一：基本介绍

如图1,是双目视觉测距的平面图.两个相机的投影中心。，的连线叫做基线，距离为3基线与

左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距力两投影面的长均为/G,力/是同型号双目相机

中，内置的不变参数），两投影中心°，分别在左、右投影面的中心垂直线上.根据光的直线传播原

理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点匕耳表示."，分别是左、右成像点到各

投影面左端的距离.

①视差一点尸在左、右相机的视差定义为“=|心-心|

②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点尸位于该区域时，若在左、右投影面

上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2,阴影区域是盲区之一）.

③感应区一承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区.

材料三：公式推导片段

以下是小明学习笔记的一部分：

f_EPt_FPr

如图3,显然，由'P0tH-0rPrF一尸。用，可得二QtHOrH

/_E^+F^

所以，二+OrH（依据）...

基线

图3图4

任务：

（1）请在图2中（A,B,C,。是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区.

（2）填空：材料三中的依据是指:已知某双目相机的基线长为200mm,焦距/为4mm,则位于感

应区的目标点尸到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为.

（3）如图4,小明用（2）中那款双目相机（投影面CO长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正

好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感

应区时，4=°°5mm,当时刚好经过点的正上方时，视差d=0.02mm,在整个成像过程中，d呈

工

现出大一小一大的变化规律，当〃恰好减小到上述出的5时，开始变大.

①小明以水平基线为X轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛

物线的表达式为（友情提示：注意横、纵轴上的单位：Im=1000mm）；

②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度.

6.（2024.广东深圳.33校联考二模）【项目式学习】

项目主题：设计落地窗的遮阳篷

项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度加=2m,为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬

的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务.

方案1:直角形遮阳篷

如图1,小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷3CD,点C在45的延长线上CO上力。

CD

B/

N——L..................M

A

.m.

（2）小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2,他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地

104

tana=—tanp=—

平面的最小夹角为。，最大夹角为小小明查阅资料，计算出3,3,为了让遮阳篷既能

最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与30平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光

与加平行）.请求出图2中8CCO的长度.

图2

方案2：抛物线形遮阳篷

（3）如图3,为了美观及实用性，小明在（2）的基础上将边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点厂为抛

物线的顶点，D尸段可伸缩），且NCRD=90。，BC,UD的长保持不变.若以c为原点，CO方向为

X轴，3。方向为y轴.

①求该二次函数的表达式.

o

tail8二二

②若某时刻太阳光与水平地面夹角厅的正切值3使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点。上升

的高度最小值（即点D'到CD的距离）

图3

7.（2024.广东深圳-33校联考一模）如图1,一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为

=米.建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的

部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DR斤G,其水平宽度DE=2米，竖直高度即=0.7米，下边缘

抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水

（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程线;

（2）求下边缘抛物线与1轴交点B的坐标；

（3）若d=32米，灌溉车行驶时喷出的水（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带.

8.（2024.广东深圳.南山区一模）已知一次函数=的图象与二次函数‘-5（,+一'一~的

(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象;

(2)根据函数图象，直接写出不等式2的解集；

V=一（》+2），—、

(3)当一时，抛物线’2一一一与直线」=力只有一个交点，求〃的取值范围；

r=—（x+2）3-2v=—（x-w）J-2

(4)把二次函数’2的图象左右平移得到抛物线G：,2，直接写出当抛

物线G与线段43只有一个交点时制的取值范围.

9.（2024・广东深圳•罗湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，已知。卜,’退），

将MUC绕4c的中点旋转180。，点。落到点2的位置，抛物线》=0』-2退》经过点4点D是抛物

线的顶点.

(3)若点尸是线段Q4上的点，且=求点尸的坐标；

(4)若点P是x轴上的点，以P、A、。为平行四边形的三个顶点作平行四边形，使该平行四边形的另一

个顶点在y轴上，请直接写出点P的坐标.

10.（2024广东深圳•宝安区三模）根据以下素材，探索完成任务.

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？

图1中有一座拱桥，图2是其

抛物线形桥拱的示意图，某

素

时测得水面宽20m,拱顶离、丁

材//5m

水面5m.据调查，该河段水Z_______________\,

11

J1---------20mT

位在此基础上再涨1Sm达到

图।图2

最图.

为迎佳节，拟在图1桥洞前

面的桥拱上悬挂40cm长的

灯笼，如图3.为了安全，灯

40cm

素笼底部距离水面不小于1m；媪广

/安全距a

材为了实效，相邻两盏灯笼悬

2最高

挂点的水平间距均为L6m；一水位

为了美观，要求在符合条件

图3

处都挂上灯笼，且挂满后成

轴对称分布.

问题解决

任

务确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.

1

任

在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标

务探究悬挂范围

的最小值和横坐标的取值范围.

2

任

给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标

务拟定设计方案

系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.

3

11.（2024•广东深圳•福田区二模）根据以下素材，探索完成任务.

如何设计喷泉安全通道?

在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿

梭过程中人的高度变化忽略不计）.

图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上

1

随着音乐变化而上下移动.不同高度的喷头喷出来

素材1

的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，1

最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧.mi

图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛

Q

物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为

素材2OM=4m,水柱最高点离地面3nl.

图3是某一时刻时，水柱形状的示意图.3为喷水

OMGB

管，B为水的落地点，记OS长度为喷泉跨度.图2图3

g

安全通道C0在线段05上，若无论喷头高度如何变

/

素材3化，水柱都不会进入CQ上方的矩形区域，则称这

个矩形区域CDE尸为安全区域.

()CDBM

图4

问题解决

在图2中，以。为原点，所在直线为

任务1确定喷泉形状.1轴，建立平面直角坐

标系，求出抛物线的函数表达式.

若喷水管。4最高可伸长到225m,求出

任务确定喷泉跨度的最小值.

喷泉跨度0B的最小

2值.

现在需要一条宽为2m的安全

通道CD,为了确保进入安全

通道

上的任何人都能在安全区

任务3设计通道位置及儿童的身高上限.

域内，则能够进入该安全通道

的人

的最大身高为多少？（精确到

0.1m）

12.（2024•广东深圳•光明区二模）【项目式学习】

项目主题：学科融合一用数学的眼光观察世界

项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成

像规律.

项目素材:

素材一：凸透镜成像规律:

A

||||||||||||||||||||||||||1|||iiii|inipni|iiii|iiiillll|IFII|llllIIII|IIIInii|iiii|

01020J10405060708090100cm

像的大像的正

物体到凸透镜距离像到凸透镜距离

小倒

大于1倍焦距小于2倍

大于2倍焦距缩小倒立

焦距

2倍焦距2倍焦距等大倒立

大于1倍焦距小于2倍

大于2倍焦距放大倒立

焦距

小于焦距与物同侧放大正立

素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后

光线经过焦点.

项目任务:

任务一:凸透镜的焦距09为6cm,蜡烛48的高为4cm,离透镜中心。的距离是9cm时，请你利用所

0N_

学的知识填空：①。8_,②=

任务二：凸透镜的焦距°歹为6cm,蜡烛AS是4cm,离透镜中心。的距离是xcn/；>6j时，蜡烛的

成像的高J,cm,请你利用所学的知识求出J”与x的关系式:

任务三：

(1)根据任务二的关系式得出下表：

物距810121416

（2）请在坐标系中画出它的图像:

杪

14

12

10

8

6

4

2

68101214161820x

（3）根据函数关系式，结合图像写出1条你得到的结论:

13.（2024广东深圳-33校三模）数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率一以小华同学为例活动背景：

某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球

命中率，该班数学小组拍摄了如下图片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）.

（1）模型建立：如图所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中8、。、F

为篮球的三个不同位置，8点为球出手时候的位置.已知

AB=1.75m,CD=3.202m,EF=3.042m,XC=2=3.8m篮球运动轨迹是抛物线的一部分，

数学小组以A、B、C、D、E、尸中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标

1211

V=——A+---X

系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为,510,根据解析式，请你判断该数学小组

是以点（填A、B、C、D、E、尸中的一个）作为坐标原点.

AC£_-

（2）问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的

这次罚球能否罚进？并说明理由.

1,、

（3）模型应用：如下图所示为抛物线.-5~的一部分函数图象，抛物线外一点尸（4,3）,试通

过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点

14.（2024广东深圳•龙华区二模）【项目式学习】

项目主题：合理设计智慧泉源

项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地胸

灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直

高度进行合理调整.围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习.

任务一测量建模

（1）如图1,在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物

线.经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到

最高，高度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向

为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表

达式（不需写自变量的取值范围）；

任务二推理分析

（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，

当喷头竖直高度增加/z米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，/?与d之间存在一定的数量关系，求出

与1之间的数量关系式；

任务三设计方案

（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域乂5=14米，Br=04米，增设后的俯视图如

图3所示，43与原水柱落点形成的圆相切，切点为48的中点尸.若要求增设的矩形区域被喷泉

喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加米.

15.（2024•广东深圳•罗湖区二模）综合与应用

如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分.建立如图2所

示的平面直角坐标系xQ】'，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度

丁（m）与水平距离1（m）满足二次函数的关系.

（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表:

水平距离X

011.5

（m）

竖直高度y

10106.25

（m）

根据上述数据，求出y关于x的关系式;

（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长;

（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为Hm）,从到达到最高点B开始计时，则

他到水面的距离人（m）与时间t（S）之间满足力=-5『+k.

信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要16s的时间才能完成极具难度的270c动作.

问题解决：

①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？

②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度】1ml与水平距离X,mI的关系为

j，=af-ax+10（a<0）；若选手在达到最高点后要顺利完成270c动作，则。的取值范围是

16.（2024广东深圳•罗湖区三模）【项目式学习】

项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？

项目背景：

任务一：确定滑道的形状

(1)图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图.AC

垂直于水平底面方。，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知/C=3m,5(?=4m,且点2处于跳台

滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式.

任务二：确定运动员达到最高点的位置

(2)如图3,某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：

①运动员滑出路径与A之间的抛物线形状相同，

②该运动员在底面上方竖直距离9.75m处达到最高点P

③落点Q在底面3C下方竖直距离225m.

在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离.

任务三：确定拍摄俯角戊

(3)高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4,有一台摄像机M进行跟踪拍摄：

①它与点8位于同一高度，且与点B距离255m；

②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为次；

③在平面直角坐标系中，设射线断的解析式为”=°),其比例系数上和俯角c的函数关系

如图5所示.

若要求运动员的落点。必须在摄像机M的视角范围内，则俯角口至少多少度(精确到个位)？

17.(2024•广东深圳•南山区三模)【问题背景】

水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图

1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭.

PB

图1图2

【实验操作】

为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离X（单位：m）

与飞行时间£（单位：$）的数据，并确定了函数表达式为：'=▽.同时也收集了飞行高度J（单位:

m）与飞行时间f（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示：

飞行时间“S02468

飞行高度

010161816

y/m

【建立模型】

任务1：求」关于，的函数表达式.

【反思优化】

图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为

也），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段月方为水火箭回收区

N.^^5=（lsV2-24）111

域，已知9>=42m,\.

任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离.

任务3：当水火箭落到48内（包括端点A,B）,求发射台高度理的取值范围.

18.（2024•广东深圳•南山区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数J'=-l+6x+c的图象与轴交

于A,B点,与y轴交于点点2的坐标为点尸是抛物线上一个动点.

（1）求二次函数解析式；

（2）若尸点在第一象限运动，当尸运动到什么位置时，一3可的面积最大？请求出点P的坐标和

一面积的最大值；

（3）连接尸0