江苏省徐州市某中学2024-2025学年高二年级上册期末质量评估数学试题（含答案解析）

江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二上学期期末质量评

估数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若方程/+必-2^-〃?=0表示圆，则实数机的取值范围为()

A.(-℃,1)B.(1,+<»)C.(-<»,-1)D.(-1,+<»)

2.若直线/：3+⑵=4和圆O：/+/=4没有交点，则过点尸(根,")的直线与椭圆

22

土+匕=1的交点个数为()

94

A.0个B.至多有一个C.1个D.2个

3.过点1(3,1)的圆C与直线x-y=0相切于点3(1,1),则圆C的方程为()

A.(x—2)，+=2B.(x-2)~+(y-1)~=1

C.0-3)2+(歹-4)2=9D.(X-3)2+(J+1)2=8

4.如果方程/+@2=2表示焦点在了轴上的椭圆，那么实数上的取值范围是()

A.。,+向B.(1,2)C.(1,1)D.(0,1)

5.已知等比数列｛。"｝满足q=2,。3，。5=44，则。3的值为()

A.1B.|C.1D.2

6.6知数列｛%｝的前〃项和S*=2"+i-2,若p+q=5(p,qeN"),则。陷=()

A.8B.16C.32D.64

7.如图，已知抛物线V=2x,过点尸(1,0)和。(3,0)分别作斜率大于0的两平行直线，交抛

物线于A,3和C,D,连接/。交x轴于点叱,o],则直线的斜率是()

试卷第1页，共4页

A.1B.V2C.V3D.2

22

8.已知双曲线C：一-1=l（a>0,6>0）的右焦点为尸，左顶点为/,M为C的一条渐近

线上一点，延长FK■交y轴于点N,直线经过ON（其中。为坐标原点）的中点8,且

|ON|=2庐则双曲线C的离心率为（）

A.2B.V5C.-D.2A/3

二、多选题

9.已知等差数列｛%｝的前"项和为'（“eN*）,公差dwO,£=90,W是死与金的等比

中项，则下列选项正确的是（）

A.%=22B.d=-2

C.当且仅当〃=10时，s.取得最大值D.当S”>o时，〃的最大值为20

10.已知数列｛0“｝的前”项和为S",。1=1,“2=3,且%+1-。"=$“-邑-1+1（〃22）,则下

列说法正确的是（）

A.数列｛%｝的通项公式为%=2"-1

B.若"=%+1,则b2022b2=痣2

C.数列⑸+/为等比数列

D.Sn+n+l=an+l

11.已知点O为坐标原点，直线y=x-l与抛物线必=4x相交于A、3两点，则（）

A.\AB\=8B.OA1OB

试卷第2页，共4页

C.丫/。8的面积为2后D.线段/B的中点到了轴的距离为2

三、填空题

f,,2

12.设P为椭圆M：土+/=1和双曲线N：f一匕=i的一个公共点，且p在第一象限,

108

尸是W的左焦点，则|尸耳=.

13.邑是公差为2的等差数列｛4｝的前"项和，若数列｛疯不｝也是等差数列，则

.

2D2I

14.设S"是数列｛%｝的前“项和，5„=ja„-3"+1,贝lj%=；若不等式。“2刍尸对

任意neN+恒成立，则k的最小值为.

四、解答题

15.已知数列｛g｝满足：4=g,。2=1，%+2+4。“=5am(??eN,).

(1)证明：数列｛。向是等比数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点4(0,3),直线/：y=2x-4,设圆。的半径为1,

圆心在/上.

(1)若圆心。也在直线y=x-i上，过点/作圆。的切线，求切线方程；

⑵若圆。上存在点M,使凶4=2皿，求圆心C的横坐标a的取值范围.

17.己知数列｛%｝,｛6“｝满足”=。"+1-%,其中，weN,.

⑴右。［=2,bn=2'.

①求证：｛%｝为等比数歹

试卷第3页，共4页

②试求数列｛〃•%｝的前〃项和.

⑵若a=%+2，数列｛%｝的前6291项之和为1926,前77项之和等于77,试求前2024项之

和是多少？

2

18.已知椭圆上+/=1的左右顶点为/、B,直线/：x=l.已知。为坐标原点，圆G过点

4

。、3交直线/于M、N两点，直线/M、/N分别交椭圆于尸、Q.

⑴记直线NW,/N的斜率分别为左、k2,求心质的值；

(2)证明直线尸。过定点，并求该定点坐标.

19.已知｛4｝为等比数列，%+出=4,记数列｛4｝满足"=log3%+i,且％

(1)求｛4｝和低｝的通项公式；

(2-地”“〃为奇数

(2)对任意的正整数"，设g=bnbn+2'，求｛c“｝的前2〃项的和S2,,.

。也，〃为偶数

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DDADCCDABDABD

题号11

答案AC

1.D

【分析】将方程化为标准式即可计算求解.

【详解】解：方程/+/一2〉一%=0可变形为/+(>—1)2=加+1,

因为方程表示圆，则〃7+1>0,所以加>-1.

故选：D.

2.D

【分析】根据题意得到/+/<4,求得点尸(加,〃)是以原点为圆心，2为半径的圆及其内部

的点，根据圆/+=4内切于椭圆，得到点尸(也〃)是椭圆内的点，即可求解.

【详解】因为直线/：加x+，沙=4和圆Jx'+r=4没有交点，

.,|0+0+4|

可得/,；>2,即加2+/<4,

7m2+〃2

所以点尸(加,”)是以原点为圆心，2为半径的圆及其内部的点，

22

又因为椭圆上+匕=1,可得。=3,6=2,

94

22

所以圆病+=4内切于椭圆，即点P(m,n)是椭圆上+L=1内的点,

94

所以点尸(根,〃)的一条直线与椭圆的公共点的个数为2.

故选：D.

3.A

【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程.

【详解】设圆心为3，半径为「，

(a-3)2+(Z>-l)2=(a-l)2+(^-l)2

则1,，

-----=—1

—1

解得。=2,6=0,所以圆心为(2,0),

答案第1页，共12页

半径r=^(«-1)2+(/?-1)2=^(2-1)2+(0-1)2=V2.

所以圆C的方程为(X-2)2+J?=2.

故选：A

4.D

2

【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得彳〉2,求解此不等式可得左的取值范

k

围.

22

土+匕-1

【详解】由方程工2+处2=2,可得了十5■一I

k

2

因为方程/+制2=2表示焦点在y轴上的椭圆，可得：＞2,解得0＜左＜1.

k

所以实数上的取值范围是(0,1).

故选：D.

5.C

【解析】根据。3・%=44，利用等比数列的性质求得再利用通项公式求解.

【详解】在等比数列｛%｝中，％=2,%%=4，，

所以0：=4屋，

所以/=-7,^2=!，

42

所以%=%q~1,

故选：C

6.C

【分析】当”=1时，由S"=2""-2可得外,当〃N2时，a“=S”—ST，验证q是否适合可

得通项公式，代入通项公式求解可得结果.

2

【详解】解：当〃=1时，«1=S1=2-2=2,

当〃22时，。“=S"-S『\=2m-2-(2"-2)=2",

•.,q=2,符合上式，

，数列｛%｝的通项公式为：。,,=2"

答案第2页，共12页

pp+q5

apaq=2=2=2=32,

故选：C.

7.D

【分析】由题知%=-3打，进而设直线4。的方程为、=叼+；（加〉0）,与抛物线联立方程

m=\

得心+%=2%3V%=-3,进而可得以=-1,再求斜率即可.

yD=3

【详解】解：因为尸（1,0）,0（3,0）,所以=闾=g，

因为AB"CD,

所以“MPs△DM。，

所以西一百丁

3即yD=~3yA,

因为过点尸。，0）和。（3,0）两平行直线AB,CD斜率大于0

所以，直线AD斜率大于0,

3

故设直线/。的方程为％=叩+5（加＞0）,

3

x=mvH——、

联立方程＜2得＞-2my-3=0,

y2=2x

所以B+Vo=2冽,为子。二一3

yA+歹0=2m

所以，”JL-3，解得＜“=T

一3九=%Jo=3

所以吗,-lj,

k=k=—-1~-0-=?

所以“尸一11一，即直线45的斜率是2.

2

故选：D

8.A

【分析】由中点3,且10M=2忸叫得NF，。“，由点到直线距离公式得|四|=6,从而得

答案第3页，共12页

\OM\=\DA\=a,通过三角形全等证得为等边三角形，然后得2,从而计算出离心率.

a

22

【详解】记刊为双曲线C：+-方=1(〃>0,6>0)的渐近线爪-即=0上的点，因为

\ON\=2\BM\,且|O5|=WM，所以NBOM=NBMO,ABMN=ZBNM.

所以NFLOAf.因为右焦点)(c,0)到渐近线&-即=0的距离|MF|=*,=b,

7b+a

所以|(W|=|04|=a.所以N8MO=N8/O,所以N8OM=N5/O,

所以R偌AOBARtaOMN,所以N48O=ZONM,

又因为NMA&=2NMB,ZABO=NNBM.

所以△肱VB为等边三角形，所以NFM9=60。，所以/MFO=30。，

即2=tan6(T=百，所以e=Jl+£=2.

aVa2

故选：A.

9.BD

【分析】先求出"=-2,q=20,从而可判断AB的正误，再求出通项公式，根据其符号可

判断C的正误，求出S“并解不等式S“>0,故可判断D的正误.

【详解】因为5=90,故64+151=90,又(%+6d『=(%+24)(%+81),

2〃[+5(7=30

整理得到：＜〃0+10/=0,故"=一2,%=20,故A错，B正确.

dw0

又%=22-2n,

答案第4页，共12页

当"212时，氏<0；当1V〃V1O时，a,,>0；当力=11时，an—0,

故当且仅当〃=10、〃=11时，5“取得最大值，故C错误.

又S=20»-—―x2=-n2+2b/,

"2

令S„>0,则0<〃<21即〃的最大值为20,故D正确

故选：BD.

10.ABD

[S-S„.,n>2

【分析】对于选项A,因为。“=；"；，所以*+1=20+1)(〃22),从而判断出

｛%+1｝为等比数列，从而求出｛与｝的通项公式；

对于选项B,通过选项A中｛(+1｝为等比数列，判断出｛2｝为等比数列，从而得到答案；

对于选项C,因为饱｝的通项公式已知，通过分组求和得到S",从而判断出电+〃｝是否为

等比数列；

对于选项D,通过选项A和D可以得到。“和S“，从而判断J+"+1=。向是否正确.

【详解】对于选项A,。用一。"=邑-S,T+1(〃22),贝!|%+|+1=2(%+1)(〃22),又二=2,

故数列｛g+1｝是以首项为2,公比为2的等比数列，所以%+1=2",即%=2"-1,故A正

确；

对于选项B,6,=%+1=2”,则也｝为等比数列，所以砧2&=%2,故B正确；

对于选项C,由S0=£>,=2向一2-〃，得5“+〃=2向-2,又(岳+1)(邑+3)片区+2)2,贝I]

Z=1

数列｛5+“｝不是等比数列，故C错误;

对于选项D,易得Sa=2"+'—2—〃=2(2"—1)—〃=2"“—〃=a”+「1—〃,即s0+〃+1=a0*]，故D

正确.

故选：ABD

11.AC

【分析】通过解方程组求出交点坐标，结合两点间距离公式、点到直线距离公式、中点坐标

公式、直线垂直的性质逐一判断即可.

答案第5页，共12页

'4"nx2—6x+l=0nx=3土2^/2,

【详解】由

y=x-l

不妨设4(3+2夜,2+272),5(3-2页,2-272),

因为|48|=J(4jI『+(4五『=8，所以选项A正确；

因为％%=2+2£2-2引=_4片_1,所以。403不互相垂直，因此选项B不正确；

3+2行3-2立

因为点(0,0)到直线>=xT的距离为

2

所以V/O8的面积为，x8x正=2五，因此选项C正确；

22

因为线段的中点的横坐标为：3+2后+3-2>=3,

2

所以线段N5的中点到y轴的距离为3,因此选项D不正确，

故选：AC

12.Vw+1/l+Vw

【分析】先求出尸点坐标，再联立椭圆和双曲线方程，求出P点坐标，运用两点距离公式

即可.

【详解】对于椭圆M,CT=10,Z>2=l,.-.c2=a2-b2=9,F(-3,0)；

联立方程1。2，解得

--匕=199

I8

故答案为：Vio+1.

13.-1或3

【解析】可由特殊值求出q,再验证对所有正整数"，都有数列｛尺五｝是等差数列

【详解】由题意5“=〃％+由尸*2=/+(%-1)〃，

答案第6页，共12页

:数列｛疯工1｝是等差数列

2,S?+1=，S]+]++1，2,2°]+3=Jq+1+Jq+7,彳导%=-1或%=3,

%=T时，JS“+l=J〃2—2〃+l="l,%=3时，JS:+l=J?+2〃+l=〃+l,均为〃的

一次函数，数列｛斤斤｝是等差数列，

故答案为：-1或3.

【点睛】本题考查等差数列的前〃项和公式，考查等差数列的证明，如果数列的通项公式是

〃的一次函数，则数列一定是等差数列.

14.（4〃+2）3"—

36

【分析】利用题设条件可得<%=；*T+2X3",化简后可得鼻=詈七+2,从而可求

H"｝的通项，再利用数列单调性求出［玄，的最大项，从而可求参数的取值范围.

?a

【详解】因为5"=；与一3向，故％-9即q=18.

因为S“=y”一3向，故当〃22时，S"T=］%-3",

3311

故=5%-3，，+1+3",整理得到5。"+2x3",

所以詈）=詈为+2,故［借］为等差数列且首项为患=3,公差为2,

/XJ/XJ［NXJJ

故鼻=3+2（"-1）=2〃+1,故%=（4〃+2）3".

/X5

又见即为（4〃+2）3"故2网吟.

设〃“）=#，则当心2时，〃“）-〃”1）=/箕=/<0，

故｛〃叫为单调递减数列，故〃《U=；，

故2五上：即人的最小值为乙.

336

故答案为：（4〃+2）3",

36

15.（1）证明见解析

（2）a„=1（22--3+l）（we^）

【分析】（1）结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；

（2）结合（1）中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解.

答案第7页，共12页

【详解】(1)证明：•••%+2+4a“=5%,〃wN,

a

„+2~%+1=4(a„+1-a“),〃eN*,

•q=~,a2—1,••a?-Q]—,

,数歹用-4,｝是以g为首项，4为公比的等比数歹U.

123

(2)由(1)矢口，«„+1-«„=|x4-=2--,

当〃22时，

%=(%-%)+(%-%)+…+Q一%)+%

J52n72n-9

-+2-+2+

当片1时，q=((2-1+1)=；满足上式.

23

所以，an=1(2-+l)(«e^*).

16.⑴y=3或3x+4y-12=0；

(2)[0,y]

【分析】(1)两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C的半径为1,可得圆的方程，根据

点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；

(2)根据圆C的圆心在直线/：>=2x-4上可设圆C的方程为(x-a>+”-(2。-4)『=1,

由M4=2MO,可得M的轨迹方程为/+。+1)2=4,若圆C上存在点使九优=2MO,

只需两圆有公共点即可.

y=2x-4,

【详解】⑴由｛『I得圆心中,2),

:圆C的半径为1,

...圆C的方程为：(x-3)2+(y-2)2=l,

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=^+3,即日-y+3=0.

.映-2+3|

"行一，

答案第8页，共12页

3

2k(4k+3)=0,・,・左=0或左二—.

4

・・・所求圆C的切线方程为>=3或3x+4y-12=0.

(2)・・•圆C的圆心在直线/：y=2x-4上,所以，设圆心。为(凡2〃-4),

则圆C的方程为(X-a)2+[v-(2a-4)]2=1.

又,：MA=2MO,

...设M为(xj),则在+(y_3)2=2&+r,整理得f+(y+l)2=4,设为圆Z).

所以点M应该既在圆C上又在圆。上，即圆C和圆。有交点，

A|2-1|<^a2+[(2a-4)-(-l)]2<|2+1|,

由5。2一12。+8»0，得aeR,

12

由51?2—12aV0,0<a<—.

"12"

综上所述，。的取值范围为0,y.

17.(1)①证明见解析;②5“=(〃-1)-2向+2

⑵小=1849

【分析】(1)①，利用累加法求解％即可；

②由①得。“=2,，令c“=小2",匕｝的前〃项和为S“，利用错位相减法求解数列的和即可;

(2)推出数列｛。“｝是一个周期为6的周期数列,然后求解数列｛g｝的任意连续6项之和为0,

然后利用其周期和相关值求出生，出，则得到答案.

【详解】(1)①证明：・•・。向-。”=2",当"22时累加得

+(a,!„.i-a„-2)+---+(«2-«1)+«,

ln21

=2"-+2-+---+2+2

+2=2"

1-2

-2±^=3-=2,(M>2),ax=2,b｝=2,a2=4,:.-^-=2

所以｛4｝为首项为2,公比为2的等比数列.

答案第9页，共12页

②由①得。“=2”,令c“=na“=n.2"，｛c“｝的前〃项和为S.，

则S“=C]+c,+C3+…+c,,t+c“=1-2+2,2~+3,24...+R—1),2"-+〃,2",A

234ni

2Sn=l-2+2-2+3-2+...+(77-l)-2"+n-2,B

23+x

A-B^-Sn=2+2+2+...+2"-n-2"

22(1一2力,,

=2+—------2"M=(1--2,,+1-2

1-2

M

:.Sn=(n-l)-2+2

(2)若b“=an+2=an+x-an,贝!]an+3=all+2-a„+1=~a„=>«„+6=~a„+3=a„,

m

所以数列｛%｝是周期为6的周期数列，设。|=机，a2=t,贝-机，«4=--a5=-t,

a6=m-tf/.%+/+%+%+%+%=0

设数列｛与｝的前n项和为(，则2=0.

所以5291=工04氏皿3=4=2%=1926n4=963,

47=看2«介5=4=。3=77,所以％=。2-%=886

所以“。24=&7x6+2=4=%+%=886+963=1849.

18.⑴勺•左2=-；

⑵证明见解析，偿,oj

【分析】(1)首先设出点”,N的坐标，根据(WLON,利用斜率公式表示尢•质；

(2)当直线尸。的斜率存在时，设直线方程>=b+"7,与椭圆方程联立，利用韦达定理表

示kAp-kA?=(X+2)=一:'从而得到无与加的关系’计算定点坐标'并验证当直线

的斜率不存在时，也过此定点.

【详解】(1)由已知可得儿W为圆G的直径，所以(WLCW,则

根据题意不妨设河(1,加)，N(l,〃)，/(-2,0)则加〃=T,所以

_mn_mn_1]

叱M~1-(-2)l-(-2)-T3~~9'所以匕E=一§.

答案第10页，共12页

（2）证明：当直线尸。的斜率存在时,

设直线PQ的方程为^=h+加，尸（士,必），。（芍，%），

联立Utz彳,得（"叱）一+8km+（加_4）=0,所以—律，z告

m2-4k2

yy=（fct]+加）（Ax2+制=乃须%2+x\+%）

x1―1+4左2

所以MP,风@=（X+金+2）=-gn9必%+占乙+2（玉+/）+4=°,

m2-4k24m2-4（-§^]+4=0013机2-16•一20左2=0,

所以9x+-----r+2-

1+4〃1+4左2I1+4储）

（13加+10左）（加一2左）=0即加=一百左，或加二2左，

当