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文档简介
热点题型•解答题攻略
专题06解答压轴题(五大题型)
♦>----------题型归纳•定方向------------<>
题型01新定义导数.............................................................................1
题型02导数在三角函数的应用...................................................................3
题型03导数与数列.............................................................................4
题型04数列综合...............................................................................5
题型05导数、数列与常用逻辑用语..............................................................6
*>----------题型探析•明规律----------*>
【解题规律•提分快招】
1、同构法的三种基本模式:①乘积型,如ae"61nb可以同构成恁上(1116)*&,进而构造函数於)=xet②
比商型,如^■〈昌可以同构成]^羡<名,进而构造函数_/(x)=a;③和差型,如e"±a>b±lnb,同构后可以
Cl111U111C111U1114
构造函数fix)—ev+x-或fix)=x±lnx.
2、涉及函数的零点(方程的根)问题,主要利用导数确定函数的单调区间和极值点,根据函数零点的个数寻
找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求得参数的取值范围.
3、“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质,深刻挖掘内含条件,进行等价变换,常见的等价转
换有
(1)VX1,X2GD,/Ul)>g(X2)"x)min>g(x)max.
,))(尤)
(2)VX1G£)1,3X2£D2/Ul)>g(X2"Xmin>gmin.
(3)3XleDl,v%2G。2,尤l)>g(%2)5x)max>g(尤)max.
4、数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系,求出数列的通项或前n项
和,再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题,通过放缩进行不等式的证明.
题型01新定义导数
【典例1-1].(2023.上海黄浦・二模)三个互不相同的函数y=〃x),y=g(x)与y=〃(x)在区间D上恒有
f(x)>h(x)>g(x)或恒有f(x)<h(x)<g(x),则称y=人(无)为y=y(X)与y=g(X)在区间。上的“分割函
数”.
(1)设九(X)=4x也⑺=X+1,试分别判断y=4(x),y=为(X)是否是y=2d+2与y=-d+公在区间
(F,y)上的“分割函数,,,请说明理由;
(2)求所有的二次函数y=ax1+cx+d(a^O)(用。表示c,d),使得该函数是y=21+2与y=4x在区间
(-00,+00)上的“分割函数”;
(3)若[m,n]^[-2,2],且存在实数k,b,使得y=丘+6为y=/-4炉与y=4/-16在区间[m,n\上的“分割函
数”,求〃-机的最大值.
【典例1-2].(2024-2025・上海高三•专题练习)若函数/(X)在区间/上有定义,且Vxe/,则
称/是的一个“封闭区间”.
⑴己知函数/(x)=x+sinx,区间/=[0,r](r>0)且的一个“封闭区间”,求r的取值集合;
⑵己知函数8(彳)=皿%+1)+%3,设集合P={x|g(x)=x}.
(i)求集合P中元素的个数;
(ii)用力-。表示区间的长度,设机为集合尸中的最大元素.证明:存在唯一长度为优的闭区
间。,使得。是g(x)的一个“封闭区间”.
【变式1-1].(23-24高三下.上海浦东新•阶段练习)设函数y=/(x)的定义域为开区间/,若存在不
使得y=〃x)在x=x0处的切线/与y=的图像只有唯一的公共点,则称y=/(x)为“L函数”,切线/为
一条“L切线”.
⑴判断.v=x-l是否是函数y=的一条“心切线”,并说明理由;
⑵设g(x)=e2-6x,求证:y=g(x)存在无穷多条“L切线”;
⑶设/(力=尤3+62+1(。〈尤<c),求证:对任意实数a和正数Gy=/(x)都是“L函数”
【变式1-2】.(2024.上海嘉定.一模)设A为非空集合,函数/(X)的定义域为。.若存在不€。使得对任意
的均有则称/'(%)为函数〃x)的一个A值,尤()为相应的A值点.
⑴若4=[-2,0],〃力=$也.证明:%=2E+;;i,keZ是函数的一个A值点,并写出相应的A值;
⑵若4=[0,+力),〃力=-%8("=犬+%+1.分别判断函数〃力拓(力是否存在人值?若存在,求出相应的
A值点;若不存在,说明理由;
(3)若A=(Y,0],且函数〃H=原+依2(4€2存在人值,求函数〃x)的A值,并指出相应的A值点.
【变式1-3].(2024•上海普陀二模)对于函数y=/(无),xeD而y=g(x),尤e2,设R=。,若占,
x2eD,且工产马,皆有|/(不)一〃9)|三米(不)一8(*2)|(/>。)成立,则称函数y=/(x)与y=g(x)“具有性
质“⑺”.
⑴判断函数〃尤)=尤2,xe[l,2]与g(a)=2x是否“具有性质小2)”,并说明理由;
⑵若函数/(x)=2+/,彳€(0,1]与8食)=!"具有性质”“),,,求/的取值范围;
X
⑶若函数〃元)=二+21nx-3与y=g⑺"具有性质H(l)”,且函数y=g(x)在区间(0,+8)上存在两个零点4,
x2,求证工;+%;>2.
题型02导数在三角函数的应用
【典例2-1].(2024•上海徐汇.一模)已知定义域为。的函数y=/(久),其导函数为丫=尸(久),若点(%,%)
在导函数y=尸(为图象上,且满足/'(不>/'(%)20,则称/为函数y=/(久)的一个“T类数”,函数y=f(x)
的所有“T类数”构成的集合称为“T类集”.
⑴若〃x)=sinx,分别判断!■和日是否为函数y=fO)的“T类数”,并说明理由;
(2)设y=((x)的图象在R上连续不断,集合M={x|r(x)=0}.记函数y=f⑴的"类集”为集合S,若
SuR,求证:M蛊;
⑶己知=-Lcos3尤+9)3>0),若函数y=/⑺的“T类集”为R时。的取值构成集合A,求当eWA时
CD
。的最大值.
【变式2-1】.(2024•上海崇明•一模)定义:若曲线G和曲线g有公共点尸,且曲线G在点P处的切线与
曲线g在点P处的切线重合,则称G与G在点尸处“一线切
⑴己知圆(了-。)2+/"。>0)与曲线)=/在点(1,1)处“一线切,,,求实数。的值;
(2)设/(尤)=4+2)+。,g(尤)=ln(无+1),若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)在点尸处“一线切”,求实数。的值;
(3)定义在R上的函数y=/(x)的图象为连续曲线,函数y=/(x)的导函数为y=/(x),对任意的尤eR,都
1/3<3成立.是否存在点尸使得曲线y=sinX和曲线y=1在点尸处“一线切”?若存在,请求
出点尸的坐标,若不存在,请说明理由.
【变式2-2].(22-23高三上•上海长宁•期中)已知》=制幻是定义在[p,q]上的函数,如果存在常数M>0,
对区间[PM的任意划分:
p=x0<xl<x2<...<xn_1<xn=q(,n&N,n>,3),<M恒成立,则称函数y=m(x)为区间
i=l
[p,0上的“有界变差函数
⑴试判断函数/(x)=sin尤-cosx是否为区间0彳上的“有界变差函数”,若是,求出M的最小值;若不是,
说明理由;
⑵若y=g(x)与y=h(x)均为区间[p,q]上的“有界变差函数”,证明:尸(X)=g(x)+Mx)是区间[p,q]上的“有
界变差函数”;
71
r,,/\XCOS----0-<X"1不是[0,1]上的“有界变差函数”;
(3)证明:函数9(%)=:2%
0x=0
题型03导数与数列
【典例3-1】.(2023・上海嘉定•一模)已知/(x)=W,g(x)=也.
e尤
⑴求函数y=f(X)、y=g(x)的单调区间和极值;
(2)请严格证明曲线y=f(x)、y=g(x)有唯一交点;
⑶对于常数若直线y=a和曲线y=/(x)、y=g(x)共有三个不同交点(小。)、(々4)、(七,。),其
中玉<%<W,求证:占、%、当成等比数列.
【典例3-2].(24-25高三上•上海浦东新•期末)过曲线y=/(x)上一点尸作其切线,若恰有两条,则称p为
fM的“A类点”;过曲线y=/(X)外一点Q作其切线,若恰有三条,则称Q为f(x)的“3类点”;若点R为了(X)
的“A类点”或“B类点”,且过R存在两条相互垂直的切线,则称R为/(无)的“C类点”.
⑴设/(x)=J,判断点P(U)是否为了(尤)的“A类点”,并说明理由;
⑵设=若点。(2,0)为/⑺的“B类点”,且过点。的三条切线的切点横坐标可构成等差数列,
求实数加的值;
⑶设/(%)=W,证明:y轴上不存在八%)的"。类点
e
【变式3-1].(23-24高三下•上海闵行•阶段练习)已知函数/(x)=ln%,取点(4,/(4)),过其作曲线/(x)=lnx
切线交,轴于点(0,初,取点(出,〃4)),过其作曲线/(x)=lnx作切线交,轴于(0,4),若44。,则停止
操作,以此类推,得到数列%.
⑴若正整数相,2,证明=10^-1
(2)若正整数机22,试比较册与4,1-2大小;
(3)若正整数左23,是否存在太使得^,出,…,4依次成等差数列?若存在,求出左的所有取值,若不存在,
试说明理由.
【变式3-2].(23-24高三上•上海静安•阶段练习)已知函数〃引=尤©-1)-加.
⑴若。=:,求的单调区间;
⑵若xe(0,1]时W0恒成立,求实数a的取值范围.
⑶定义函数y=〃x),对于数列色卜也},若凡=/5),"〃)=”,则称{%}为函数y=f(x)的“生成数列”,
也}为函数y=〃尤)的一个,源数列”.
①已知/(x)=e,,{2}为函数y=〃x)的“源数列”,求证:对任意正整数〃,均有6”4(〃-1)二
②已知/(力=2'+苍{叫为函数y=/(x)的“生成数列”,{2}为函数y"(x)的“源数列”,{%}与也}的
公共项按从小到大的顺序构成数列{%},试问在数列{%}中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
【变式3-3].(24-25高三上.上海.阶段练习)设。>0,"x)=4-2ln;,g(x)=依.
⑴求函数y=/O)的单调区间;
⑵求证:/(x)N((4-G);
(3)设函数y=M%)与y=q(x)的定义域的交集为。,集合A=若对任意/eA,都存在占,飞©。,使得
升,马,%成等比数列,且(飞),。(々)成等差数列,则称y=MM与>=4(%)为3关联函数"•求证:若
y=f(X)与y=9(K)为"[1,+8)关联函数”,则«e[l,e4).
【变式3-4].(2024-2025・上海高三•专题练习)已知函数y=〃x),其中〃尤)=%?一日2,左^R.若点A在
函数y=/(x)的图像上,且经过点A的切线与函数y=/(x)图像的另一个交点为点B,则称点8为点A的一
个“上位点”,现有函数y=/(x)图像上的点列M,M2,Mn,使得对任意正整数",点也都是
点川的一个“上位点
⑴若左=0,请判断原点。是否存在“上位点”,并说明理由;
⑵若点给的坐标为(3阮o),请分别求出点加2、加3的坐标;
⑶若M的坐标为(3,0),记点Mn到直线y=〃,的距离为4,.问是否存在实数m和正整数T,使得无穷数列dT、
dT+l....办+■…严格减?若存在,求出实数加的所有可能值;若不存在,请说明理由.
【变式3-51.(2024•上海黄浦•二模)若函数y=/(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切
线为函数>=/(幻的图象的“自公切线”,称这两点为函数>=/(无)的图象的一对“同切点
⑴分别判断函数X(x)=sinx与力(x)=lnx的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若“eR,求证:函数g(x)=tanxT+a(xe(-若))有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设“eN*,〃(x)=tan尤-x+rniaeC-l,]))的零点为,re(-p-|),求证:“存在$€(2兀,+«),使得点(s,sins)
与(f,sinf)是函数y=sinx的图象的一对,同切点”,的充要条件是“/是数列{%}中的项”.
题型04数列综合
【典例4-1].(22-23高三上•上海浦东新•阶段练习)已知无穷数列{4}满足|以1-。"|=1,其中“=1,2,3,…,
对于数列{4}中的一项ak,若包含人的连续j(j>2)项at,aM,W力+八1)满足
q<@+i/-1)或者4>%|>■•■>生+“,则称4,4+1,・,《+尸1为包含氏的长度为/的“单
调片段”.
⑴若a“=sin啰,写出所有包含的的长度为3的“单调片段”;
(2)若对任意正整数%,包含出的“单调片段”长度的最大值都等于2,并且4=9,求{%}的通项公式;
(3)若对任意大于1的正整数%,都存在包含小的长度为人的“单调片段”,求证:存在正整数时,使得〃2乂
时,都有,“-觊|=〃一乂.
【变式4-1】.(2022・上海嘉定・模拟预测)若项数为-左eN*且"3)的有穷数列{凡}满足:
\al-a2\^a2-a3\■■■?\ak_,-ak\,则称数列{%}具有“性质V
(1)判断下列数列是否具有“性质M”,并说明理由;
①1,2,4,3;②2,4,8,16.
⑵设/=1。“-%/(,〃=1,2,•••,f,若数列{%}具有“性质M”,且各项互不相同.求证:“数列{%}为
等差数列”的充要条件是“数列也”}为常数列”;
(3)已知数列&}具有“性质若存在数列{4},使得数列{。,}是连续火个正整数1,2,左的一个排
Hha
列,且Iq-%I+1%-a31----It-i-ak\=k+2,求%的所有可能的值.
【变式4-21.(2023•上海崇明•一模)已知数列{4}满足旧一-归脸1——|«=1,2,…,〃-2).
(1)若数列{%}的前4项分别为4,2,%,1,求。3的取值范围;
⑵已知数列{。“}中各项互不相同.令以=寓-%/(加=1,2,…,〃-1),求证:数列{%}是等差数列的充要条件
是数列也}是常数列;
用一1
(3)已知数列{%}是根(机EN且加23)个连续正整数1,2,根的一个排歹!J.若2鼠-。%+1|二m+2,求
k=l
m的所有取值.
题型05导数、数列与常用逻辑用语
【典例5-1].(24-25高三上•上海•阶段练习)对于一个各项非零的等差数列{4},若能从中选出第左,右,…,幻
(左〈心<...<幺)项,能构成一个等比数列电},则称{2}为{叫的嘴比子列”.若此“等比子列”具有无穷
项,则称其为“完美等比子列”.
⑴若数列4,=2,,〃>0,〃eN,直接写出3个符合条件的“等比子列”,其中1个必须为“完美等比子列”.
⑵对于数列%=3〃-1,w>0,weN,猜想他是否存在“完美等比子列”,如果存在,请写出一个并证明;如
果不存在,请说明理由.
(3)证明:各项非零的等差数列{%}中存在“等比子歹『'的充要条件是数列{%}满足%=5(d为公差,
上eQ,左20).
【变式5-1].(2024・上海青浦.二模)若无穷数列他“}满足:存在正整数T,使得对一切正整数〃成
立,则称{七}是周期为T的周期数列.
⑴若a“=sin[&+M(其中正整数机为常数,“eN,”21),判断数列{"〃}是否为周期数列,并说明理由;
Vm3)
(2)若a,M=a“+sin%5eN,"»l),判断数列{%}是否为周期数列,并说明理由;
(3)设也』是无穷数列,已知。前=6"+sina"("eN,〃Nl).求证:“存在q,使得{4}是周期数列”的充要条件
是“{a}是周期数列”.
【变式5-2】.(2023•上海浦东新•模拟预测)设y=〃x)是定义在R上的奇函数.若y=0(x>0)是严格
X
减函数,则称y=〃x)为“。函数”.
⑴分别判断了=-%卜|和丫=$111¥是否为。函数,并说明理由;
(2)若y=是。函数,求正数。的取值范围;
⑶已知奇函数y=*x)及其导函数y=P(x)定义域均为R.判断"y=F'(x)在(0,+向上严格减”是
“丫=/(力为。函数”的什么条件,并说明理由.
【变式5-3].(24-25高三上•上海•期中)若定义在R上的函数y=/(x)和y=g(x)分别存在导函数尸(刀)和
g'(x).且对任意实数X,都存在常数鼠使_f(x)N都〈力成立,则称函数y=f(x)是函数y=g(x)的“”控
制函数”,称左为控制系数.
⑴求证:函数=2x是函数g(x)=sin龙的“2-控制函数”;
⑵若函数/(x)=rJ4/—12/-20x是函数g(x)=e,的""控制函数”,求控制系数4的取值范围;
⑶若0(力=6*+屐-,,函数丁=4(%)为偶函数,函数y=p(x)是函数y=q(x)的“1-控制函数”,求证:“%=1”
的充要条件是“存在常数c,使得p(x)-q(x)=c恒成立”.
o-----------题型通关•冲高考-----------*>
一、解答题
1.(2023•上海嘉定•一模)对于函数y=/(X),把尸⑺称为函数y=/(%)的一阶导,令(⑴=g(x),则将g'(x)
称为函数>=/(尤)的二阶导,以此类推L得到〃阶导.为了方便书写,我们将w阶导用"'(无)]“表示.
⑴己知函数/(x)=e'+〃lnx-尤2,写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
⑵现定义一个新的数列:在y=/(尤)取4=/⑴作为数列的首项,并将"'(1+")],,〃21作为数列的第〃+1项.
我们称该数列为y=/(x)的,阶导数列”
①若函数g(x)=x"数列{%}是、=8。)的,阶导数列”,取Tw为{%}的前〃项积,求数列;声|的
通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中,是否有函数使得该函数的“阶导数列”为严格减数列且为无穷数列,
请写出它并证明此结论.(写出一个即可)
2.(2024.上海宝山.一模)已知y=/(x),y=g(x)都是定义在实数集上的可导函数.对于正整数左,当相、九分
别是y=/(x)和y=g(x)的驻点时,记Ax=|"7-川,若AxV左,则称/(x)和是X)满足尸(©性质;当占、x2eR,
且g(X)Hg(X2)时,记Ay=,若AyNk,则称f(x)和g(x)满足。(外性质.
8(占)一8(々)
⑴若/(x)=2尤+1,g(x)=x,判断f(x)和g(x)是否满足。(2)性质,并说明理由;
⑵若/(x)=(x-l)2,g(x)=¥,且/(x)和g(x)满足P⑴性质,求实数。的取值范围;
e
(3)若y=/(x)的最小正周期为4,且g(-l)=/(-L),g(l)=y⑴.当xeT3]时,y=/(尤)的驻点与其两侧区间
的部分数据如下表所示:
X-1(-1,1)1(L3)3
/(x)0+0—0
y(x)极小值-1极大值1极小值-1
己知f(
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