角度中的四类动态模型解读与提分训练-2025年人教版七年级数学寒假分层作业

专题08角度中的四类动态模型

角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考

生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画

出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关

的旋转模型（求值模型；定值模型；探究模型；分类讨论模型）。

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例题讲模型

.....................................................................2

模型1.旋转中的求值模型...............................................................2

模型2.旋转中的定值模型...............................................................4

模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）..................................10

模型4.旋转中的分类讨论模型..........................................................14

习题练模型

18

例题讲模型］

模型1.旋转中的求值模型

模型解读

1、角度旋转模型解题步骤：

①找一根据题意找到目标角度；②表一表示出目标角度：

1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度X时间；

2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角一速度x时间；

3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。

变小：目标角=起始角一速度x时间；变大：目标角=速度x时间—起始角

③列一根据题意列方程求解。

注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。

2、常见的三角板旋转模型：

一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板（90。、45。、45°）,另一个是含特殊角的直角三角板（90。、60。、

30。）。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。

总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平

分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。

模型运用

例1.（23-24七年级上•河北唐山・期中）综合与实践

【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化,

图①图②图③

【操作发现】如图①，ZAOB=NCC©=90。且两个角重合.（1）将NCOD绕着顶点。顺时针旋转45。如图②,

此时。3平分」—3OC的余角有一个，分别是：

【实践探究】（2）将NCOD绕着顶点0顺时针继续旋转如图③位置，若ZBOC=45°,射线OE在NBOC内

部，且NBOC=3N3OE请探究：①/BOC的补角是哪几个角？.②求NOQE的度数.

【答案】（1）NCOD,2,ZAOCZBOD；（2）①/AOC,NBOD,ZAOD；②ZDOE=120。

【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的运算、余角和补角的定义：

（1）根据旋转的性质得—CO3=/3OD=45?,进而可得角平分线的答案，根据/BOC+/4OC=90。，

/BOC+ZBOD=90°,进而可求解；（2）①根据旋转的性质及角度之间的计算找出与NBOC相加等于180。

的角即可；②利用角度之间的计算即可求解；熟练掌握角度之间的计算，理解平角、余角和补角的定义是

解题的关键.

【详解】解：（1）由旋转的性质得：ZAOC=ZBOD=45°,

QZAOB=90°,\NCOB=^AOB-ZAOC=90?45?45?,

\NCOB=NBOD=45?,03平分NCW,

ZBOC+^AOC=90?,ZBOC+ZBOD=90°,

-3OC的余角有2个（本身除外），分别是-4OC和

故答案为：NCOD；2；ZAOCABOD；

（2）①QZAC®=NCOr>=90°,ZBOC=45°,\^AOC=^AOB+^BOC=90?45?135?,

\N4OC+4OC=135?45?180?,r./BOC的补角是，AOC,

•;/BOD=/BOC+/COD=45?90?135?,\/BOD+NBOC=135?45?180?,

r./BOC的补角是/BOD,\^AOD+^BOC=135?45?180?,/BOC的补角是NAOD,

综上所述，-3OC的补角分别是一AOC、NBOD、ZAOD,

故答案为：ZAOC.NBOD、ZAOD.

②：/3OC=45°,ZBOC=3ZBOE,：.ZBOE=1x45°=15°,ZCOE=45°-15°=30°,

又,/ZCOD=90°,：.ZDOE=90°+30°=120°.

例2.（2023・湖南株洲・七年级期末）点。为直线A3上一点，过点。作射线OC,使/BOC=65。，将一直角

三角板的直角顶点放在点。处.

(1)如图1,当三角板MON的一边。V与射线。3重合时，贝|NMOC=；

(2)如图2,将三角板MON绕点。逆时针旋转一定角度，此时0c是的平分线，求乙40河和NCON的

度数；(3)将二角板MON绕点。逆时针旋转至图3所示的位置时，ZAOM=4ZNOC,求NNOB的度数.

【答案】(1)25°(2)NAOM=50°,ZCON=25°(3)ZNOB=70°

【分析】(1)根据/M0N和/20C的度数可以得到//0N的度数；

(2)根据OC是NM08的角平分线，/BOC=65。可以求得N80M的度数，由/NOM=90。，可得NBON

的度数，从而可得NCON的度数；(3)根据平角的定义求出NN0C=5。，再根据角的和差即可得解.

(1)解：ZMON=90°,NBOC=65。,

：.ZMOC=ZMON-ZBOC=90°-65°=25°,故答案为：25。；

(2)：N2OC=65。，0C是NAfOB的角平分线，AZMOB=2ZBOC=130°,

：.ZAOM=180°-ZMOB=180°-130°=50°,ZBON=ZMOB-ZMON=130°-90°=40°,

ZCON=ZCOB-ZBON=65°-40°=25°,即/AOM=50°,NCON=25°；

(3)VZAOM+AMON+ZNOC+ZBOC=180°,NBOC=65°,NMON=90。,

：.ZAOM+ZMON=180°-65°-90°=25°,

ZAOM=4ZNOC,：.ZNOC=5°,：./NOB=NNOC+ZBOC=10°.

【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，三角板的知识，角的计算，熟记概念并准确识图理清

图中各角度之间的关系是解题的关键.

模型2.旋转中的定值模型

模型运用

例1.(23-24七年级上.广东汕头・期末)如图，ZAOB=9Q°,NDOE=40。角的顶点。互相重合，将

绕点。旋转.⑴当射线OB,重合时，ZAOE=。，⑵在ZAO3绕点。旋转的过程中，若射线QB,

OD与OE中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则/3OD的度数为；

（3）在/AOB绕点、。旋转的过程中，若射线OB始终在ZDOE的内部.

①普于思考的小明发现，在旋转过程中，NAOE-N3OD的值为定值，请你求出这个定值；

②作NBOD和NAOE的平分线OM,ON,在旋转过程中ZMON的值是否发生变化？若不变，请求出这个

定值，若变化，请求出变化的范围.

【答案】（1）50（2）20。或40。或80。（3）①50。；②4/ON度数不发生变化，为定值65。，理由见解析

【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：（1）直接根据角之间的关系进行求解

即可；（2）分当02是NOOE的角平分线时，当OD是/30E的角平分线时，当OE是/3OD的角平分线时，

三种情况讨论求解即可；（3）®ZAOE=90°-ZBOE,ZBOD=40°-ZBOE,贝U

ZAOE-NBOD=90°-ZBOE-40°+ZBOE=50°；②先由角平分线的定义得到

NEON=45°--ZBOE,/BOM=20°--/BOE,再由ZMON=NEON+/BOE+/BOM即可得到结论.

22

【详解】（1）解：：408=90。，ZDOE=40。，

当射线OB,OD重合时，ZAOE=ZAOB-ZDOE=50°,故答案为：50；

如图2-2所示，当OD是/BOE的角平分线时，则NBOD=NOOE=40。；

如图2-3所示，当OE是NBOD的角平分线时，则ZBOD=2ZDOE=80°；

综上所述，/50D的度数为20。或40。或80。；

（3）解：①如图所示，VZAOB^90°,NOOE=40。,

NAOE=90°-NBOE,ZBOD=40°-ZBOE,

VZAOB=90°,ZDOE=40°,：.ZAOE=90°-ZBOE,/BOD=40。一/BOE,

OM,ON分别是ZBOD和NAOE的平分线，

ZEON=-ZAOE=45°--ZBOE,ZBOM=-ZBOD=20°--ZBOE,

2222

ZMON=ZEON+NBOE+ZBOM=45°--ZBOE+/BOE+20°--ZBOE=65°.

22

例2.（2023•河南南阳•七年级校考期末）将一副三角尺如图①摆放，ZDCE=30。,NACB=90。，现将—DCE

绕点C以15。/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为r秒.

(3)如图④，当/=时，CE恰好平分NBCD；

(4)，DCE绕点C旋转到如图⑤的位置，CM平分NACE,CN平分■NBCD,求ZMCN的度数;

(5)若/DCE旋转到如图⑥的位置，(4)中结论是否发生变化？请说明理由.

【答案】(1)4(2)7(3)10(4)60。(5)不变，60°,理由见解析；

【分析】(1)如图，由题意可得：ZDCiy=ZECE'=15to,而/A。=90°,ZBCD=90°-15r°,

再证明Z.BCD=ADCE=90°-15产，而NDCE=30°,再建立方程求解即可；

(2)如图，证明汨C=N£CB=15。，ZDCB=15t°-90°,再建立方程求解即可；

(3)如图，证明ZDBE=NECB=30°,ZBCD=60。，同理：ZDCD'=15t°,ffi]ZACB=90°,可得15t-90=60,

从而可得答案；

115115/°

(4)先表示ZACE=15t°-30°,可得NECM=-ZACE=-t°-l5°,同理可得4BCN=-NBCD=--45°,

而ZBCE=ZDCE-Z.BCD=30°-15r°+90°=120°-15r°,再利用角的和差可得答案；

1is1is?0

(5)先表示ZACE=15俨一30°,可得NECM=一44位=一产-15。，同理可得ZBCN=-NBCD=—45°,

2222

而ZBCE=Z.BCD-ZDCE=15产一90。—30。=15毋一120。，再利用角的和差可得答案.

【详解】(1)解：如图，由题意可得：ZDCiy=ZECE'=15t°,而NACB=90。，

ZBCD=90°-15t°,

E'

：8平分/BCE,/.ZBCD=ZDCE=90°-15t°,而NDCE=30。，/.90-15r=30,解得：t=4-.

(2)如图，VZDCE=30°,CB平分NDCE,/.ZDBC=ZECB=15°,

,：ZDCD'=15t°,ZACB=90°,：.ZDCB=15r°-90°,A15f-90=15,解得：t=7；

(3)如图，•；ZDCE=30°,CE恰好平分ZBCD,；.ZDBE=ZECB=30°,ZBCD=60°,

同理：ZDCD'=15t°,而NACB=90。，15f—90=60,解得：f=10；

(4)如图，：ZECE'=15t°,ND'CE'=30°,/.ZACE=15产-30°,

E

E

D'B

D

-pD'D

C'、、、AqC'、'、、

E'

E'

,/CM平分/ACE,ZECM=-ZACE=—t°-15°,

22

VZDCDr=15t°,NACB=90。，：.ZBCD=15t°-90°,

115产

,:CN平分/BCD,；./BCN=—NBCD=-------45°,

22

而ZBCE=ZDCE-Z.BCD=30。—15产+90°=120°-15/°,

15产15t0

：./MCN=ZBCN+ZECM+NBCE=-------45°+-------15°+120°-15t°=60°.

22

(5)如图，NECE=15俨,ZDfCEr=30°,，NACE=15产一30。，

CM平分NACE,；.ZECM=-ZACE=—1°~15°,

22

VZDCD'=15t°,ZACB=90°,：.Z.BCD=15t°-90°,

115/°

,/CN平分/BCD,ZBCN=-ZBCD=--------45°,

22

而ZBCE=/BCD-NDCE=15t°-90°-30°=15f°—120°,

15f°15r

ZMCN=ZBCN+ZECM-NBCE=-------45°+-------15°+120°-15r°=60°.

22

【点睛】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的含义，一元一次方程的应用，熟练的画

出符合题意的图形，再利用数形结合的方法解题是关键.

例3.(23-24七年级上.浙江杭州•期末)已知NAO3=150。，OC为NAO3内部的一条射线，ZBOC=60°.

。B

备用图

(1)如图1,若OE平分ZAO3,OD为N3OC内部的一条射线，ZCOD=^ZBOD,则/OOE=_；

（2）如图2,若射线OE绕着。点从6M开始以每秒15。的速度顺时针旋转至结束、。尸绕着。点从开

始以每秒5。的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动.若运动时间为f

秒，当=时，求f的值；

（3）如图3,若射线绕着。点从04开始以每秒15。的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，QV平

分/AOM,试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，

请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段.（题中的角均为大于0。且小于180。的角）

【答案】⑴35。（2）3或7.5（3）当0<r<2时，2NBON-NBOM=150。；当4</412时，2ZBON—NBOM=210。

【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分.（1）先根据角平分线的定义求出/3OE的度数，再

根据角的倍差求出/3O。的度数，最后根据角的和差即可；（2）先求出-4OC的度数和t的最大值，从而

可知停止运动时，。/在OC的右侧，因此，分OE在OC左侧和右侧两种情况，再根据NEOC=/FOC列出

等式求解即可；（3）因本题中的角均为大于0。且小于180。的角，则需分与08在一条直线上、ON与08

在一条直线上、。加与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时r的取值范围，并求出各范围内NBON

和的度数，即可得出答案.

【详解】（1）解：:OE平分/AO3，NAO3=150。，/80£'=工/402=75。

2

ZBOC=60°,ZCOD=-ZBODZBOD=-ZBOC=40°

23

:.NDOE=NBOE—NBOD=75°—40。=35°,故答案为：35°；

（2）VZAOB=150°,NBOC=60°ZAOC=ZAOB-ZBOC=90°

由题意知，当OE转到OB时，两条射线均停止运动

此时f=4^=*=l。（秒）则OP停止转动时，/80尸=5。/=50。<60。

即0P从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧因此，分以下2种情况：

fZEOC=ZAOC-ZAOE=900-15）

①当OE在OC左侧时，\

[ZFOC=ZBOC-ZBOF=60°-5°t

则由ZEOC=NFOC得90°-15°?=60。-5。,，解得/=3

ZEOC=ZAOE-ZAOC=15°Z-90°

②当。石在OC右侧时,

ZFOC=ZBOC-ZBOF=60°-5°t

则由/次无=/打兀得15。"90。=60。-5。/,解得t=7.5综上，r的值为3或7.5；

（3）射线OM从开始转动至02结束时，转动时间为好———=14（秒）

2x(180°-150°)

由题意，分31与03在一条直线上a=———=2）、ON与08在一条直线上a=

o河与。4在一条直线上（r=—-=12）三个临界位置

①当0<£<2时，如图1所示

(115)

ZBON=ZAOB+/AON=150°+-ZAOM=150°+——

此时，j22

/BOM=ZAOB+ZAOM=150°+15。，

贝I]2ZBON-NBOM=2x^150°+一(150。+15。。=150°为定值

②当2<r<4时，如图2所示

'115°/

ZBON=NAOB+ZAON=150°+—ZAOM=150°+——

此时，22

ZBOM=360°-(ZAOB+ZAOM)=360o-(150o+15or)=210o-15°r

贝ij2ZB0N-ZBOM=2x(150。+号)一(210。-15°/)=90°+30°t不为定值

③当4</«12时，如图3所示

(15°八150/

ZBON=360°-(ZAOB+ZAOA^)=360°-150°+——=210°-------

此时，'；I2J2

ZBOM=360°-(ZAOB+ZAOM)=360°-(150°+15°r)=210°-15°?

则手

2NB0N-ZB0M=2x1210°--（210。-15町=210。为定值

④当12</<14时,如图4所示

图4

146。°—15°/

ABON=NAO8——ZAOM=150°----------------=--------30°

此时，\222

ZB0M=360。-(ZAOB+)=360°-(150°+15°/)=210°-15。

贝！]2ZB0N-ZB0M=2x(手-30。)-(210。-15°/)=30。一270°不为定值

综上，当0</<2或4<fV12时，2N3ON—为定值.

模型3.旋转中的探究类模型（判断角的数量之间的关系）

模型运用

例1.（23-24七年级下•辽宁鞍山•开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三

角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘.

M

⑴如图①，三角尺■的直角顶点尸在直线C。上，点A,2在直线CD的同侧.若/APC=40。，求NBPD

度数.

(2)绕点P旋转三角尺AB尸，使点A,8在直线C。的同侧，如图②，若尸河平分—APC,PN平分/BPD,

他们发现/MPN的度数为定值，请你求出这个定值.

(3)绕点P旋转三角尺ABP,使点A,8在直线的异侧，平分/APC,PN平分NBPD,设NBPD=a,

如图③，探究N7WPN的度数.

【答案】(1)ZBPD=50°(2)ZMPN=135°(3)ZMPN=135°

【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义.(1)根据/%＞。=180。-/4/方-/”。即可求解；

(2)由NAP8=90。可得到NAPC+/3PD=90。，根据角平分线的定义，可得Z4PM+/BPN=45。，进而

根据角的和差即可求解；(3)由N3尸。="，ZAPB=90°sRWZAPD=90°-«,ZAPC=90°+a,根据角

平分线的定义可得ZAPM=45。+；a,ZDPN=1a,最后根据ZMPN=ZAPM+ZAPD+ZDPN即可求解.

【详解】(1)解：•.♦/APB=90°,ZAPC=40°/.ZBPD=180°-ZAPB-ZAPC=180°-90°-40°=50°；

(2)解：VZAPB=90°,：.ZAPC+ZBPD=180°-ZAPB=90°,

♦.•PM平分/APC,PN斗父■NBPD,ZAPM=ZCPM=-ZAPC,ZBPN=ZDPN=-ZBPD

22

ZAPM+NBPN=-ZAPC+-ZBPD=-(ZAPC+/BPD)=1x90°=45°,

222'72

ZMPN=ZAPM+ZAPB+ZBPN=45°+90°=135°；

(3)解：,：ZBPD=a,ZAPB=90°,:.ZAPD=ZAPB—NBPD=90。—a,

：.ZAPC=180°-ZAPD=180°-(90°—a)=90°+/,

,/尸”平分ZAPC,ZAPM=|ZAPC=g(90。+a)=45。+ga,

：PN平分ZBPD,，NDPN=-ZBPD=-a,

22

NMPN=ZAPM+ZAPD+ZDPN=45°+-«+90°-a+-a=135°.

22

例2.（23-24七年级上.河北石家庄•期末）如图1,将一副直角三角板摆放在直线AD上（直角三角板03C和

直角三角板MON）,ZOBC=ZMON=90°,NBOC=45°,ZMNO=30°,保持三角板08C不动，将三角

板MON绕点。以每秒10。的速度顺时针旋转（如图2）,旋转时间为t（0<f<9）秒.

计算当平分，30c时，求f的值；

判断判断/MOC与NNOD的数量关系，并说明理由；

操作若在三角板MON开始旋转的同时，另一个三角板03C也绕点O以每秒5。的速度顺时针旋转，当三

角板MON停止时，三角板03C也停止，直接写出在旋转过程中，/MOC与NNOD的数量关系.

【答案】计算：2.25；判断：当0<fW4.5时，NNOD—ZMOC=45°,当4.5<r<9时，ZNOD+ZMOC=45°；

操作：ZMOC=-ZNOD

2

【分析】本题主要考查角度的和差关系和角平分线性质，计算：根据角平分线性质得

结合旋转速度即可求的时间；判断：分两种情况0<fW4.5和4.5</<9,分别求得NNOD和NMOC即可找

得到关系；操作：由题意知，AO3和,即可得,AOC,进一步可求得NMOC和/NOD,即可发

现其关系.

【详解】解：计算：/3OC=45。，ON平分NBOC,AZBOM=-ZBOC=22.5°,

2

•..三角板MON绕点。以每秒10。的速度顺时针旋转，22.5。+10。=2.25..•/的值为2.25.

ZMON=90°,ZNOD=1SO°-ZMON-ZBOM=90°-10t°,ZNOD-ZMOC=45°,

当4.5<f<9时，如图2,据题意，得/3OM=10f。，ZMOC=ZBOM-ZBOC=10？°-45°,

VZMON=90°,：.ZNOD=1800-AMON-ZBOM=90°-10t°,：.ZNOD+ZMOC=45°；

操作ZAOB=5t°,ZAOM=10尸,ZBOC=45°,/.ZAOC=ZAOB+ZBOC=5t0+45°，

ZMOC=ZAOC-ZAOM=5t°+45°—10产=45°—5t°,

'：ZMON=90°,：.ZNOD=180°-ZMON-ZAOM=90°-10t°,则/MOC=」/NOD.

2

例3.(23-24七年级上•贵州黔西・期末)如图1,大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，

洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行

讨论，如图2,为了方便研究，定义两手手心位置分别为A,8两点，两脚脚跟位置分别为C,。两点，定

义A,B,C,。平面内。为定点，将手脚运动看作绕点。进行旋转：

(1)填空：如图2,A,0,B三点共线，ZAOCZBOC,则NAOC=°；

(2)第三节腿部运动中，如图3,洋洋发现，虽然A,0,3三点共线，却不在水平方向上，且

2

/AOD:/BOC=3:2,他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果

正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且

NCOD=30°,开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点0顺时针旋转，旋转速度为50。/5,

08旋转速度为25。/5,当旋转到与OD重合时，运动停止，如图4.①运动停止时，直接写出NA8=

;②请帮助乐乐求解运动过程中ZAOC与ZBOE的数量关系.

【答案】(1)90；(2)小田的发现是正确的，这个定值是60。；

(3)①105。；②当0VfW2.1时，ZAOC+2ZBOE=255°；当2.1<fW3时，ZAOC-2ZBOE=105°.

【分析】(1)由A,O,8三点共线，可得出NAOC+/BOD=180。，再由—AOC=N8OD,即可求出

ZAOC=90°；(2)由/AOD:/fiOC=3:2,设NAOD=3a,则/8OC=2a,分别求出

2

ZAOC=180O-ZBOC=180°-2a,ZBOD=180。—ZAOD=180°-3。，再代入NAOC--NBOD即可求解;

3

(3)①算出运动停止时间，求出(M运动的角度，进而求出NAOD度数；

②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C,0,A三点共线前和点C,O,A三点共线后，分别求

解即可；本题考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系.

【详解】(1)如图2,：A,O,B三点共线，NAOC+/8OD=180。，

'：ZAOC=ZBOD,/.ZA6>C=1xl80°=90°,故答案为：90；

(2)小田的发现是正确的，这个定值是60。，理由，如图3,

ZAOD.NBOC=3:2,设ZAOD=3a,则/3OC=2(z,

/.ZAOC=180°-Z.BOC=180°-2(z,ZBOD=180°-ZAOD=180°-3a,

2?

/.ZAOC--ZBOD=180°-2a--(180o-3a)=60°,.•.小田的发现是正确的，这个定值是60。；

(3)如图4,---Z.COD=30°,，NCOE=ZEOD=15°,ZBOD=ZAOC=75°,

设运动时间为fs,贝卜=75。+25。=3,贝U0W/V3,

①运动停止时，即f=3时，如图4,Q4旋转的角度为50。*3=150。，

AZAOD=180°-50ox3+75o=105°,故答案为：105°；

②当点C,0,A三点共线时，t=(180。—75。)+50。=2.1；

二当0V/V2.1时，ZAOC=75。+50°t,ZBOE=90。—25°/,/.ZAOC+2ZBOE=255°；

当2.1<t<3时，ZAOC=180°-50°("2.1)=285°-50°/,NBOE=90°—25%,：.ZAOC-2ZBOE^105°,

综上，当0W/42.1时，ZAOC+2ZBOE=255°；当2.1<rV3时，ZAOC-2NBOE=105°.

模型4.旋转中的分类讨论模型

模型运用

例1.（23-24七年级上•陕西汉中・期末）【问题背景】如图1,已知射线OC在的内部，若403,ZAOC

和N3OC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是NAOB的“量尺金线”.

图1图2

【问题感知］（1）一个角的平分线这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）

【问题初探】（2）如图2,NMPN=8°.若射线P。是的“量尺金线”，则NQPN的度数为；

【问题推广】（3）在（2）中，若NMPN=蜡,0°<x<60°,射线尸尸从PN位置开始，以每秒旋转3。的速度

绕点尸按逆时针方向旋转，当NEPN首次等于180。时停止旋转，设旋转的时间为f（s）.当f为何值时，射线

尸”是/FPN的“量尺金线”？（用含尤的式子表示出f即可）

12

【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3）-x,-%,%；

【分析】本题考查新定义下的角计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题

关键.（1）据“量尺金线”的定义进行判断即可；（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；（3）

射线尸M是/五PN的“量尺金线”，在NEPN的内部，尸厂在N2VPM的外部，然后分三种情况求解即可.

【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义，故答案为：是；

（2）ZMPN=6U。,射线PQ是NMPN的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论：

2

当=时，如图，•/ZQPN+2ZMPQ=60°,ZQPN=60°x-=40°；

当NNPM=2NQPN时,如图，ZMPN=60°,/.ZQPN=1x60°=30°；

综上：当NQPN为20。，30°,40。时，射线尸。是NMPN的“量尺金线”.

（3）•..射线尸河是NEPN的“量尺金线”，,在NFPN的内部，，尸尸在N7VPM的外部;

222222

2

②如图，当NFPN=2ZMPN时,如图所示：?.ZFPN=2x°,Ar=1x(s)；

③当/小M=2N7VPM时，如图所示：

NFPM=2x°,：.NFPN=ZNPM+NFPM=3x°,.」=3x+3=x(s)；

12

综上：当f为尤或彳》或；尤时，射线是NEPN的“量尺金线”.

23

例2.(23-24七年级上.广东深圳•期末)如图1,某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个

直角三角尺AO3的直角顶点。放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足。处,并使两条直角边落在直线PQ、

MN上,将VA03绕着点。顺时针旋转c(0°<a<180。).

图1图2图3备用图

(1汝口图2,若(z=26°,贝,ZAOM+ZBOQ^；

(2)若射线0c是々加的角平分线，且/P0C=£.

①VA03旋转到图3的位置，/30N的度数是多少？(用含△的代数式表示)

②VA03在旋转过程中，若4OC=2N4(W,则此时£的值.

【答案】⑴64。；180°(2)①26;②60。或36°

【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键.

(1)根据=180。-403-ZAOQ,以及角的和差计算即可；

(2)①先求N3QP,再利用N30N=N3QP+NP0N得出结论；

②分两种情况讨论：当02旋转到。尸左侧时；当02旋转到。尸右侧时，解答即可.

【详解】(1)解：MN1PQ,；.ZMOQ=ZMOP=90°,'：a=26°,：.ZAOQ=a=26°,

•/ZAOB=90°,二NBOP=180。一ZAOB-NAOQ=180。-90°-26°=64°；

•/NAOM=ZMOQ-ZAOQ=90°-26°=64°,ZBOQ=ZAOB+NAO。=90°+26°=116°,

/.ZAOM+ZBOQ=64°+116°=180°；故答案为：64°；180°.

(2)解：①•；/MOP=90°,NPOC=0,：.NMOC=90。-。,

:射线OC是N8OA1的角平分线，；.ZBOM=2ZMOC=2(90°-^)=180°-2^,

/.ABOP=90°-NBOM=90°-180°+3?=加-90°,

,/ZPON=90°,:.4BON=NBOP+NPON=》>—9。。+90。=》>；故答案为：2月；

②当。8旋转到OP左侧时，如图所示：

p

•：OC是Z.BOM的角平分线，ZBOC=ZMOC,

,：ZAOC=2ZAOM,ZAOM=ZMOC,?.ZBOC=ZMOC=ZAOM,

ZBOC+ZMOC+ZAOM=90°,ZBOC=ZMOC=ZAOM=30°,

NPOC=0=ZMOP-ZMOC=90°-30°=60°；

当旋转到OP右侧时，如图所示：

设ZAOM=x,•/ZAOC=2ZAOM=2x,：.ZMOC=ZAOM+ZAOC=3x,

,/OC是ZBOM的角平分线，/.ZBOC=ZMOC=3x,

ZAOC+ZBOC=ZAOB=90°,：.2x+3x=90°,解得：x=18°,：,ZMOC=3x=54°,

ZPOC=^=90°-ZMOC=36°;综上分析可知，£的值为：60。或36。.故答案为：60。或36。.

习题练模型

1.（23-24七年级上.江苏泰州.期末）如图，于点0,ZCOE=ZDOE=15°,射线从。4出发,

绕点0以每秒60。的速度顺时针向终边03旋转，同时，射线ON从出发，绕点0以每秒30。的速度顺时

针向终边旋转，当OM、ON中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止.在旋转过程中，设

ZMOC=x°,NNOE=y°,则x与y之间的数量关系为.

【答案】》+2尸255或》-2>=105

【分析】分/AOMW90。和NAOM>90。，两种情况进行讨论求解即可.

【详解】解：由题意，得:ON的运动时间为：180。+60。=3秒，ON的运动时间为：75。+30。=2.5秒;

.•.OM,ON运动的时间相同；

设运动时间为t秒，

则：ZAOM=60t°,ZBON=30r°,

OELAB,

：.ZAOE=NBOE=90°,

当ZAOM<90°时：ZCOM=ZAOM+ZAOC=ZAOM+ZAOE-NCOE,

•*.x-60r+90—15=60f+75;

ZNOE=/BOE-/BON,

y=90—30%,

30/=90—y,

x=2（90-y）+75,即：x+2y=255；

当NAOM>90。，ON在O£>上方时：如图1,

7.COM=NBOM+NBOE+ZEOC=180°-ZAOM+ZAOE+ZCOE,

**•x=l80—60/+90+15=285—60%,

ZNOE=ZBOE-/BON,

y=90—30/,

30/=90—y,

x=285-2（90-y）,即：x-2y=105；

当NAOM>90。，ON在OD下方时：如图2,

/COM=ZBOM+NBOE+NEOC=180°-ZAOM+ZAOE+ZCOE,

图2

***x=l80—60/+90+15=285—60t,

ZNOE=ZBOE-/BON,

y=90—30,,

30?=90-y,

：.x=285-2（90-y）,即：x-2y=105；

综上：x与y之间的数量关系为x+2y=255或x-2y=105；

故答案为：尤+2y=255或x-2y=105.

【点睛】本题考查几何图形中角度的计算.正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键.

2.（23-24七年级•江西南昌・期末）如图，直线A3与C。相交于点。，ZBOD=50°,OE平分NBOD,

ZEOF=55°,OG平分ZAO尸.若射线从射线。产的位置出发，绕点。以每秒1。。的速度逆时针旋转一

周，当旋转时间为f秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，

请写出旋转时间r的值为秒.（旋转过程中/OOM,Z.GOM,/DOG都只考虑小于180。的角）

F(M)

【答案】1或13或25

【分析】利用角平分线求出NDOE,NEOF—NODE,求出NDO产，ZAOD-ZFOD,求出/AOF,由角

平分线，求出NGOP,ZGOF+ZDOF,再分平分NDOG,OG平分NDOM,OD平分NGW三种

情况讨论求解即可.

【详解】解：；N38=50。，

ZAOD=180°-ZBOD=130°,

OE平分NBOD,

：.ZBOE=ZEOD=-ZBOD=25°,

2

---ZEOF=55°,

：.ZDOF=ZEOF-ZDOE=30°,

ZAOF=ZAOD-NFOD=100°,

OG平分/AOP,

Z.ZFOG=-ZAOF=50°,

ZDOG=ZGOF+ZDOF=80°；

分情况讨论：

①当平分/OOG时,

M

•・・ZDOG=SO0,

：.ZDOM=ZDOF+ZFOM=-ZDOG,即：30°+ZFOM=40°,

2

：.ZFOM=10°,

・・・，=10。+10。=1；

②OG平分NDOM时,

则：/GOM=/DOG=800,

・・・ZFOM=ZMOG+ZFOG=80°+50°=130°,

Ar=130°4-10°=13；

③当OD平分/GOM时：

・・・ZFOM=ZDOF+NDOM=110。，

・••点M旋转的角度为：360°-ZFOM=250°,

・・・，=250*10。=25；

综上：，的值为：1或13或25.

故答案为：1或13或25.

【点睛】本题考查几何图形中角度的计算.正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键.

3.（22-23七年级上•湖北武汉・期末）如图，90°<