角度计算的综合大题专项训练（30道）（人教版）（原卷版）

专题11.6角度计算的综合大题专项训练（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了角度计算的所有类型！

—.解答题（共30小题）

1.（2022•金水区校级期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道，仅用

圆规和直尺是不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中A8C。是长方形，尸是延

长线上一点，G是CF上一点，MZACG=ZAGC,ZGAF=ZF.请写出/ECB和的数量关系，

并说明理由.

2.（2022春•渠县期末）NMON=90°,点A,B分别在射线。M、ON上运动（不与点。重合）.

（1）如图①，AE、BE分别是/BAO和/A8。的平分线，随着点A、点8的运动，NAEB=°

（2）如图②，若BC是NA2N的平分线，2c的反向延长线与NO4B的平分线交于点。.

①若/BAO=60°,则0；

②随着点A,8的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由.

3.（2022•永春县期末）在直角三角板A8C中，NC=90°,NCAB=N2=45°,将三角板的顶点A放置

在直线。E上.

（1）如图，在4B边上任取一点尸（不同于点A,B）,过点P作直线/〃。E,当N1=8N2时，求N2

的度数;

（2）将三角板绕顶点A转动，并保持点8在直线DE的上方.过点B作（F在"的左侧），

求NZMC与NEBC之间的数量关系.

4.（2022春•亭湖区校级期中）平移是一种常见的图形变换，如图1,△ABC经过平移后得到△AiSG，

连接BAi，ACi，若8Ai平分乙4BC,GA平分/AQS，则称这样的平移为“平分平移”.

(1)如图1,△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1G，请问AC和4G有怎样的位置关系：

(2)如图2,在△ABC中，ZABC=90°,ZACB=60°,△ABC经过“平分平移”后得到△ASG，

求NAO8的度数.

(3)如图3,在(2)的条件下，8。平分NABAi，CQ平分/AG4，求4BOG的度数.

(4)如图4,△ABC经过“平分平移”后得到△481G，平分NA84，G。平分/AG4，若/B4C

5.(2022春•如皋市期末)如图，△ABC中，ZACB=90°,BD平分NABC交△ABC的边AC于点。，E

为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF,使EF〃BC,作NCEF的平分线EG交射线8。

于点G.

(1)如图1,NA8C=40°,点E与点A重合，求/G的度数；

(2)若NA8C=a,

①如图2,点E在。C的延长线上，求NG的度数(用含有a的式子表示)；

②点E在直线AC上滑动，当存在NG时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直

接用含a的式子表示NG的度数.

6.(2022春•信阳期末)已知：如图1,在△ABC中，C。是AB边上的高，ZA=ZDCB.

(1)试说明NAC8=90°；

(2)如图2,如果AE是角平分线，AE,相交于点?那么NC尸E与NCEF的大小相等吗？请说明

理由.

图1图2

7.(2022春•鼓楼区期末)【概念认识】

如图①，在/ABC中，若/ABD=/DBE=/EBC,贝！］BD,BE叫做/ABC的“三分线”.其中，BD

是“邻AB三分线”，BE是“邻2c三分线

【问题解决】

(1)如图②，在△ABC中，ZA=70°,ZB=45°,若NB的三分线BD交AC于点D,贝U/BDC

(2)如图③，在△ABC中，BP、CP分别是/ABC邻48三分线和/AC8邻AC三分线，且BPJ_CP,

求NA的度数;

【延伸推广】

(3)如图④，直线AC、2。交于点。，的三分线所在的直线与NACB的三分线所在的直线交于

点尸.若4=66°,NB=45°,ZADB=m°,直接写出/。PC的度数.

②③④

8.(2022•涡阳县期末)如图(a)所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起.

（1）若/。CE=25°,则°；若NAC3=130°,则/。CE=°.

（2）如图（b）所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则ND4B与/CAE有

何数量关系，请说明理由.

（3）如图（c）所示，已知/AO8=a,ZCOD=p（a,p都是锐角）.若把它们的顶点O叠放在一起，

则/AO。与/80C有何数量关系，直接写出结论.

9.（2022春•丰泽区期末）已知在△ABC中，ZA,ZABC,NACB的度数之比为2：1：6,CZ）平分

在直角三角形中，ZE=90°,ZF=60°.如图1,△〃£1〃的边。F在直线A8上，将绕点

。逆时针方向旋转，记旋转角为a(0°<a<180°),完成下列问题.

(1)在△ABC中，ZACB=0,ZBDC=°；

(2)在旋转过程中，如图2,当01=0时，DE//AC；当(/=°时，DEA.AC；

(3)如图3,当点C在内部时，边DE,分别交BC,AC的延长线于N,M两点.

①此时，a的取值范围是；

②与NCA©之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由.

10.(2022春•大丰区期中)如图，在四边形ABC。中，/A=140°,N£>=80°.

(1)如图1,若NB=NC,则/C=度；

(2)如图2,若/ABC的角平分线BE交。C于点E,5.BE//AD,试求出/C的度数；

(3)①如图3,若/A8C和NOCB的角平分线交于点E,试求出/BEC的度数；

②在①的条件下，若延长54、C£＞交于点尸(如图4).将原来条件“/A=140。，/。=80°”改为“N

尸=40。”.其他条件不变.则/BEC的度数为.

11.(2022春•丰泽区期末)如图，清晨小明沿着一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.

(1)小明每从一条街道转下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出;

(2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？

(3)你是怎么得到的？

(4)如果广场是六边形、八边形的形状，那么还有类似的结论吗？

12.(2022春•井研县期末)已知在四边形ABC。中，/C=y,(0°<x<180°,0°<y<180°).

(1)ZABC+ZADC=(用含x、y的代数式表示)；

(2)如图1,若无=y=90°,OE平分NAOC,平分与NABC相邻的外角，请写出。£与8歹的位置

关系，并说明理由.

(3)如图2,为四边形A8CD的/ABC、/AOC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，

①当x<y时，若x+y=140°,NDFB=30°,试求x、y.

②小明在作图时，发现/OFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，NDEB不存在.

13.(2022春•长春期末)如图1,直线。MLON,垂足为。，三角板的直角顶点C落在/MON的内部,

三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B.

【片断一】（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到N02C+N0DC的值.

如果你是小孙，得到的正确答案应是：ZOBC+ZODC=°.

【片断二】（2）小悟说：连结8。（如图2）,若8。平分/OBC,那么也平分/OOC.请你说明当

8。平分N08C时，8。也平分NOOC的理由.

【片断三】（3）小空说：若。E平分/O£）C、8斤平分/M8C,我发现OE与8尸具有特殊的位置关系.请

你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理

14.（2022春•无锡期中）阅读并解决下列问题:

(1)如图①，△ABC中，ZA=60°,ZABC./AC8的平分线交于点。，则/B£)C=.

(2)如图②，五边形ABCDE中，AE//BC,EF平分NAED,CF平分/BCD,若/EDC=72。，求/

EEC的度数.

图①图②

15.(2022春•冠县期末)某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究:

【习题回顾】

已知：如图1,在△ABC中，角平分线8。、C。交于点0.求N80C的度数.

(1)若/A=40°,请直接写出/BOC=；

【变式思考】

(2)若/A=a,请猜想/80C与ct的关系，并说明理由；

【拓展延伸】

(3)已知：如图2,在△ABC中，角平分线80、CO交于点O,ODLOB,交边BC于点。，点E在

CB的延长线上，作NA3E的平分线交C。的延长线于点?若NP=|3,猜想N54C与B的关系，并说明

理由.

图1

图2

16.(2022春•淅川县期末)［规律探索］探索三角形的内(外)角平分线形成的角的规律:

在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律.

规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；

规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半.

［问题呈现］如图①，点P是AABC的内角平分线8尸与”的交点，点M是△ABC的外角平分线8M与

CM的交点，则/P=90°+^ZA,ZM=90°-|ZA.

说明NP=90°如下：

"：BP、CP是△ABC的角平分线，

：.Z1^-ZABC,Z2=-ZABC.

22

：.ZA+2(Z1+Z2)=180°..........①

1

.•.Zl+Z2=90°--ZA.

2

.,.ZP=180°-(Z1+Z2)=90°+-ZA.

2

请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：

(1)上述说理过程中步骤①的依据是.

(2)结合图①，写出说明NM=90°—3NA的说理过程.

［拓展延伸］如图②，点。是AABC的内角平分线8Q与AABC的外角(/AC。)平分线C。的交点.若

NA=50°,则NQ的大小为度.

图①图②

17.(2022•驿城区校级期末)在图1中，己知△ABC中，NB>NC,Ar>_LBC于。，AE平分NBAC,ZB

=70°,ZC=40°,求/DAE的度数.

（2）在图2中，/B=x,NC=y,其他条件不变，若把“4OL2C于。”改为“尸是AE上一点，FD±

BC于。”，试用x、y表示/DFE=；

（3）在图3中，当点尸是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请

说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么.

（4）在图3中，分别作出/BAE和/EOE的角平分线，交于点P,如图4.试用x、y表示/尸=1.

DE

图1

18.（2022春•镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为

“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”.例如：在△ABC中，ZA=70°,NB=35°,则/A与

/B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”.

【理解】

（1）若AABC为开心三角形，ZA=144°,则这个三角形中最小的内角为°；

（2）若△ABC为开心三角形，/A=70°,则这个三角形中最小的内角为°；

（3）已知NA是开心AABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定/A的取值范围，并说明

理由；

【应用】

如图，平分△ABC的内角交8c于点E,C。平分△ABC的外角延长8A和DC交于

点、P,已知/尸=30°,若NBAE是开心△A2E中的一个开心角，设/2AE=/a,求Na的度数.

19.（2022春•兴化市期中）如图，ZAOB=na,C、。两点分别是边OA、08上的定点，ZACE=^ZACD,

ZFDO=^ZCDO,射线CE的反向延长线与射线DF相交于点F.

(1)若”=60,Z0)0=75°,求的度数；

(2)若w=75,则/尸=.

(3)随着〃的变化，/A0B与//数量关系会发生变化吗？如不变，请求出与/尸的数量关系,

并说明理由.

20.(2022•内江期末)已知，如图1,直线43〃C。，E、P分别交AB、C。于£、尸两点，ZAEF,ZCFE

的平分线相交于点M.

(1)求的度数；

(2)如图2,ZAEM,NCTM的平分线相交于点跖，请写出/跖与之间的等量关系，并说明理由；

(3)在图2中作NAEMi，/CFMi的平分线相交于点〃2，作/AEA3/。尸力上的平分线交于点心，作

ZAEM2020,ZCFM2020的平分线交于点M2021，请直接写出ZM202I的度数.

B

图1图2

21.(2022春•青龙县期末)已知：△ABC中，图①中NB、C的平分线相交于图②中NB、NC的外

角平分线相交于M

(1)若/A=80°，/BMC=°,/BNC=

(2)若试用p表示和/BNC.

22.(2022春•承德县期末)如图，已知AB〃C。，现将一直角三角形PMN放入图中，其中/尸=90°,

PM交AB于点E,PN交CD于点F.

(1)当所放位置如图①所示时，直接写出/尸口＞与/AEN的数量关系；

(2)当△尸MN所放位置如图②所示时，猜想/PFD与NAEM的数量关系并证明；

(3)如图②，在(2)的条件下，若MN与CD交于点、0,且/。0N=15°,/PEB=3Q°,直接写出

NN的度数.②

23.(2022春•农安县期末)探究：如图①，在△ABC中，ZACB=90°,CZ)_LAB于点D若48=30°,

则/AC。的度数是.

拓展：如图②，NMCN=90°,射线CP在人MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上,分别过点A、

B作AD_LCP、BE_LCP于点。、E.若NCBE=1O°,求/CA。的度数.

应用：如图③，点A、8分别在/MCN的边CM、CN上,射线CP在NMCN的内部，点。、E在射线

CP上，连结AD、BE.若NMCN=NADP=/BEP=60°,则/CAL>+/CBE+NACB=.

图①图②图③

24.（2022春•平潭县期末）已知直线.〃6,直角三角形A8C的边与直线a分别相交于。、G两点，与直

线6分别交于E,F点、,且NACB=90°.

（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果/AOG=56°,则；

（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，ZNEF+ZCEF=180°,请写出/NEP与/

AOG之间的等量关系，并说明理由；

（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若NGOC=135°,延长AC交直线》于点。，点P是射线

GP上一动点，请用平行的相关知识，探究NPOQ,NOP。与NPQP的数量关系，请直接写出结论.

25.（2022春•盐都区期中）如图，在四边形中，AD//BC,AB//CD.

【问题情境】

(1)如图1,若NA=30°,则NC的度数为.

(2)如图2,点E是A8边上的一点，OE交的延长线于点RDH平分NFDC,交尸C于点H,若

ZA=50°,ZHDC=45°,求/DFC的度数.

【操作思考】

(3)如图3,若点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点E分别作NEDC、/A2C的角平分线,

两条角平分线所在的直线交于点G,直线GB交C£＞于点M.试猜想/OFC与/。G2的数量关系，并说

明理由.

【拓展延伸】

(4)如图4,若点£是AB延长线上的一点，3)中的其余条件不变，请直接写出/DPC与NDGB之

间的等量关系式：______.

u_DAD

二BCF二HBC

图1图2图3图4

26.(2022春•兴宁区校级期末)小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究:

【习题回顾】已知：如图1,在△ABC中，ZACB=90°,AE平分/8AC,C。是高，AE,CD相交于点

F.求证：/CFE=NCEF；

【变式思考】在△ABC中，若点。在上移动到图2位置，使得/ACD=N8,/BAC的角平分线AE

交C。于点?则NCFE与NCEB还相等吗？说明理由;

【探究延伸】如图3,在【变式思考】的条件下，△ABC的外角NA4G的平分线所在直线MN与8C的

27.（2022春•祁江区校级期中）已知：MAB//CD,三角板E切中/£切=90°,NEHF=60°.

（1）如图1,三角板E“的顶点”落在直线C。上，并使EH与直线AB相交于点G,若/2=3/1,

则/I的度数=;

（2）如图2,当三角板EF”的顶点月落在直线A8上，且顶点”仍在直线C£）上时，跖与直线CD相

交于点试确定NE、NAFE、的数量关系；

（3）如图3,当三角板瓦汨的顶点厂落在直线AB上，顶点X在A3、CD之间，而顶点E恰好落在直

线C。上时得△石切，在线段E8上取点P,连接"并延长交直线CD于点T,在线段E尸上取点K,连

接PK并延长交NCE/I的角平分线于点Q,若/Q-/HFT=15°,且/EFT=/ETF.

①探求：/叱T与NAPE的数量关系，并说明理由；

②求证：PQ//FH.

28.（2022春•阜宁县校级月考）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，

请说明ZA+ZB=ZC+ZD；

【简单应用】

(2)阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2,AP、CP