几何证明【单元卷·考点卷】（18大核心考点）含答案及解析

几何证明（18大核心考点）

考点一命题（共4题）

1.对于命题“若/>/,贝小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是

（）

A.a=2,b=1B.a=2,b=—\

C.a=—l,b=QD.a=-1,b=—2

2.下列命题中，属于假命题的是（）

A.直角三角形的两个锐角互余B.锐角互余的三角形是直角三角形

C.三角形的外角等于两个内角的和D.三角形的两个外角可能会相等

3.用一组b,c的整数值说明命题“若。>6>c,则必>c"是假命题，则这组值可以是。=_,b=

4.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例.

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

（2）有两边相等的三角形是等腰三角形；

（3）两个锐角的和是钝角.

考点二证明（共4题）

1.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）

A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆中D.点在圆上或圆内

2.如图，已知直线a,b与直线c相交，下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（）

C.z4=z7D.zl=z.8

3.如图所示，已知=AD=FC,BC=ED.下列结论：①NA=NF；②43//E尸;

@AD//FC.其中正确的结论是.（填序号）

4.【阅读】在证明命题“如果。<0,那么/+儿>〃6+4”时，小明的证明方法如下：

证明：,.・。>6>0,

Q?>•a2+be〉•

"：a>b,c<0,

•••be>./.ab+bc>.

•'•a2+bc>ab+ac-

【问题解决】

（1）请将上面的证明过程填写完整；

（2）有以下几个条件：@a>b,@a<b,③。<0,④b<0.请从中选择两个作为已知条件，得出结论

同>码.你选择的条件序号是—，并给出证明过程.

考点三逆命题和逆定理（共4题）

1.关于命题“若b<Q,贝!|a+b<0"，下列判断正确的是（）

A.该命题及其逆命题都是真命题

B.该命题是真命题，其逆命题是假命题

C.该命题是假命题，其逆命题是真命题

D.该命题及其逆命题都是假命题

2.关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法不正确的是（）

A.逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”

B.原命题是真命题

C.逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补”

D.逆命题是真命题

3.命题“如果数0,6的积大于0,那么0,6都是正数”的逆命题是

4.写出下列命题的逆命题，并判断真假.

（1）三角形三个内角的和等于180。；

（2）两直线平行，同旁内角互补.

考点四线段垂直平分线的判定与性质（共4题）

1.如图，三个村庄N、B、C构成△/3C,供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（）

<4-------------------------

RC

A.三条边的垂直平分线的交点B.三个角的角平分线的交点

C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点

2.如图，在ZUBC中，DE是边/C的垂直平分线，垂足为E,交BC于点、D,若4B=6,BC=9,则△48。

的周长是（）

A

A.13B.14C.15D.16

3.如图，在中，边奶的垂直平分线与边4c的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线分

别交3c于点。、E,已知△/£）£的周长为15cm,分别连接。4、OB、OC,若△08C的周长为28cm,则

OA的长为cm.

4.如图，4D是△/2C的角平分线，DE,。尸分别是和2CD的高，连接£F、3交于点O.

A

（1）证明：AAED知AFD；

⑵证明：40垂直平分EF；

⑶若Z>E=6,SAABC=60,求加+/C的长.

考点五作垂线（共4题）

1.使P4+PB=BC,那么符合要求的作图痕迹是（）

2.如图，已知△4BC,按以下步骤作图:

①分别以3,C为圆心，以大于;BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M,N；

②作直线九W交于点。，连接CD.^CD=AC,ZA=50°,则N/C8的度数为（）

C.105°D.110°

3.如图，在△4BC中，以点/为圆心，48长为半径作弧，交BC于点、D,取加的中点E,连接在，以

点。为圆心，适当长为半径作弧，与边ZC相交于点G和〃，分别以点G和〃为圆心，以大于（G"的长

为半径作弧交于点/,作直线。/,交4c于点足若4B=CD,且则下列结论：®AE±BC；

②AF=CF；③NEAD=NCAD；（4）Z5=2ZC.正确的有—.

（1）用直尺和圆规作3c的中垂线，交AB于点、D；（要求保留作图痕迹）

（2）连接。，若/8=10,AC=5,求A/CZ•的周长.

考点六角平分线的判定与性质（共4题）

1.如图，在△/BC中，ZC=90°,40平分/3/C交8C于D.若3c=34,且CD:8。=8:9,则点。到

边M的距离为（）

A

A.14B.15C.16D.17

2.如图，△4BC的边/3=3,BC=5,。是442。三条角平分线的交点，若“20的面积为3,则ABCO的

面积为（）

B

C.6D.5

3.如图，在△4BC中，M为△ABC的角平分线，DE±AB,垂足为E,DF1AC,垂足为尸，若

48=5,AC=3,DF=\,则△ABC的面积为

4.如图，在△N3C中，必为/瓦1C的平分线，DE，AB于E,DFJ.AC于■F,ZUBC的面积是28cm?,

AB=20cm,AC=8cm,求DE的长.

考点七角平分线的性质的实际应用（共4题）

1.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉

亭的位置应选在（）

A

A.△48。三条中线的交点B.△ABC内任意一点

C.△4BC三条高所在直线的交点D.ZUBC三条角平分线的交点

2.如图，4、BI、C7分别平分/R4C、NABC、NACB,IDA.BC,△ABC的周长为18,ID=4,则

△/3C的面积为()

A.18B.30C.36D.72

3.将一张面积为45cm2的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1,使点5落在NC边上的点？处,

折痕所在的直线为心如图2,使点A落在BC边上的点H处，折痕所在的直线为和乙与人相交于点O.经

测量得知，纸板的三边AC,3c的长分别为10cm,15cm,20cm,则点。到/C的距离为cm.

4.如图，在—408的两边0402上分别取点M,N,连接MV.若VP平分//MN,NP平分NMNB.

(1)求证：OP平分/AOB；

(2)若MN=8,且APAW与AOMN的面积分别是16和24,求线段与ON的长度之和.

考点八作角平分线（共4题）

1.如图，在△48。中，BD平分NABC,以点/为圆心，以任意长为半径画弧交射线Z8/C于两点，分

别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点£,作射线/E,交BD于点I,连接C7,以下

说法错误的是（）

A./至U/8ZC边的距离相等B.C7平分/NCB

C./到4B,C三点的距离相等D./是三角形三条角平分线的交点

2.如图，在△4BC中，以点/为圆心，/C的长为半径作弧，与8C交于点E,分别以点K和点C为圆心、

大于的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线心交8c于点D.若/B=35°,ZC=2ZCAD,则/BAE

的度数为（）

3.如图，在RtZk48C中，ZC=90°,以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交NC于点。，E,

再分别以点。，E,为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点尸，作射线的交BC于点G,

若45=16,CG=4,则△48G的面积是

4.如图，已知点尸为NN3C内一点，用两种不同方法利用直尺和圆规确定一条过点尸的直线，分别交

AB,8c于点E,F,使得BE=BF.（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

考点九直角三角形全等的判定与综合（共4题）

1.如图，在△ABC中，ZC=90°,AD平分/BAC,DE，4B于E,有下列结论：①CD=ED；②

AC+BE=AB；③NBDE=NBAC；④2。平分NCDE；⑤工公。：$△血）=”。：幺台，其中正确的有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

2.如图，在四边形4BC7）中，AD=CD,BD平分N4BC,作DHLBC于点H.BC=9,AB=5,则"C

7

D.

4

3.如图，CAIAB,垂足为点N,AB=S,AC=4,射线应攸，NB,垂足为点2,一动点E从/点出发以2

个单位/秒的速度沿射线RV运动，点D为射线W上一动点始终保持ED=CB,当点E运动秒时,

ADEB与全等.

4.如图，/£)平分NR4C,DEJ.AB于点、E,DF上AC于点、F,若BD=CD.

⑴求证：BE=CF；

(2)已知48=10,/C=18,求BE的长.

考点十含30度角的直角三角形（共4题）

1.如图，在△4BC中，AB=AC,/C=30。，点。是48的中点；过点。作。交于点E,

C.9D.10

2.如图，在△ABC中，ZC=90°,NB=15°,48的垂直平分线交8C于点。，交AB于点、E.若

Z)S=12cm,则/C=(

CDB

A.4cmB.5cmC.6cn1D.7cm

3.如图，等边△45。中，点尸是CZ延长线上一点，点。是BC上一点，且PB=PD.若CP+CD=10,

BD=3,则AB的长为______.

P

上

0DC

4.如图，在A/BC中，AB=AC,。是上的一点,过点。作。E18C于点E,延长即和C4,交于点

F.

F

A

BEC

(1)求证：尸是等腰三角形；

(2)若N尸=30。，BD=4,EC=6,求4C的长.

考点十一斜边的中线等于斜边的一半(共4题)

1.如图，在△48。中，ZABC=90°,点£为4c的中点,在尸。中，ZAFC=90°f连接班，BF,

EF；若N4C8=50。，ZECF=24°,则㈤B的度数为()

F

----------

A.13°B.14°C.15°D.16°

2.如图，在△ABC中，ZA=90°,AB=AC=6,。为边8C的中点，点E,尸分别在边AC±,

AE=CF,则四边形ZED尸的面积为()

A

3.如图，在ZUBC中，AB=AC,DE垂直平分4B.若BE工4C,AFIBC,垂足分别为点£,F,连

接EF,贝U/EFC=.

4.已知：如图，ZABC=ZADC=9Q°,E、尸分别是/C、的中点.

⑴求证：EFLBD；

⑵若/A4Z)=30。，AC=8,求即的长.

考点十二勾股定理的证明方法（共4题）

1.到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了

数形结合的魅力.如图所示可以用来验证勾股定理的有（）

图4

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,其证明是论证几何的发端，下面有四个图，其中能

证明勾股定理的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.如图，阴影部分是由4个三边分别为。、b.c（c为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形.利用等

面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理.小正方形的面积除可以表示为（。-外,

还可以表示为:

4.把两个全等的RtZi/2C和RtADEN如图1放置，其三边长分别为a,b,c,ZBAC=ZDEA=90°,显然

BC1AD.

（1）连接8DCD.请用a,b,c分别表示出四边形48OC,梯形NEDC,的面积，再探究这三个图

形面积之间的关系，证明勾股定理a2+〃=c2；

（2）如图2,在a/BC中，是2c边上的高，48=4,/C=5,BC=6,设8D=x,求x的值.

考点十三用勾股定理解三角形（共4题）

1.如图，AB=BC=CD=DE=1,且8C_L/3,CD1AC,DEJ.AD,则线段ZE的长为（）

A.V3B.2C.45D.3

2.如图，在RtA42C中，ZACB=90°,44=60。，AC=4,将△CIS绕点C按逆时针方向旋转得到

^CDE,点。恰好在奶边上，连接8E,则」BE的长为（）.

E

A.8B.472C.473D.6

3.如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到底座最近时，摆锤离底座的垂直高度DE=4cm,当

它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为8cm时，摆锤离底座的垂直高度8尸=6cm,钟摆

AD=.

4.已知4=90°,AB=AC=1cm,BD=41，CD=3.回答下列问题.

(1)求NN8D的度数；

(2)求四边形/3OC的面积.

考点十四勾股定理的逆定理（共4题）

1.如图，已知△45C中，48的垂直平分线交3。于点。，4c的垂直平分线交2c于点E,点M,N为垂

足，若BD=3,DE=2,EC=|,则4C的长为（）

D.35/2

2.如图，O是等边内一点，0A=3,OB=4,OC=5,将线段30以点3为旋转中心逆时针旋转60。

得到线段2。'，则的度数为（）

C.130°D.150°

3.已知。，b,c是△48。的三边长,且满足关系而万二7+弧-耳=0,则△N8C的形状是

4.在△4BC中,ZC=90°,AC>BC,。是的中点.£为直线/C上一动点，连接DE.过点。作

DFIDE,交直线2C于点尸，连接£F.

图1图2

⑴如图1,当E是线段4C上一点时，请依题意补全图形，并判断以/£、BF、成三条线段为边构成的三角

形是一三角形；

（2）当点E在线段C4的延长线上时，请依题意补全图2,并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，请说

明理由.

考点十五勾股定理的应用1（共4题）

1.如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角。处为0.7m.当小猫从木板底端爬

到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m,木板顶端向下滑动了0.9m,则小猫在木板上爬动的距离为（)m.

B.2.5C.2D.1.5

2.如图.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形

结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板3离地的垂直高度8E=0.5m,将它往前推3m至C处时（即

水平距离CD=3m）,踏板离地的垂直高度CF=2.5m,它的绳索始终拉直，则绳索/C的长是（）

A

A.3.4mB.3.25mC.4mD.5.5m

3.某医院入口的正上方/处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离=2.4米，当

（身高1.2m）人体进入感应范围内时（即3c=1.6米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离期

的长为米.

4.某条道路限速60km/h,如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪/

正下方5m的8处，过了1s,小汽车到达。处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离NC为13m.

/检测仪

小汽车小汽车

⑴求8c的长；

（2）这辆小汽车超速了吗?

考点十六勾股定理的应用2（共4题）

1.如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙/O上，测得4。=4米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子

底端也恰好外移1米，则梯子48的长度为（）

A.5米B.6米C.7米D.8米

2.如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树4B上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（BD）为8m的一棵9m

高的大树DM上，喜鹊的巢位于树顶下方1m的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行

的速度为2.5m/s,那么它要飞回巢中所需的时间至少是（）

D.6s

3.如图，河岸40,5c互相平行,桥初垂直于两岸，从C处看桥的两端A,B,夹角/3。=60。，测

得3C=14m,则桥长/3=m（结果精确到1m）.

4.2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区.如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点/向点8移动，已

知点C为一海港，且/C=300km,BC=400km,AB=500km.经测量，距离台风中心260km及以内的

地区会受到影响.

c

（1）海港c会受到台风影响吗？为什么？

（2）若台风中心的移动速度为25km/h,则台风影响该海港持续的时间有多长?

考点十七勾股定理与折叠问题（共4题）

1.如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,如果点。，E分别为8C,N3上的动点，那么

NO+OE的最小值是（）

A.8.4B.9.6C.10D.10.8

2.如图，在长方形纸片/BCD中，N2=8cm,AD=4cm.把纸片沿对角线/C折叠，点8落在点£处，AE

交DC于点尸，则重叠部分厂的面积为（）

3.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边/C=3cm,5C=4cm.现将直角边/C沿直线4D折叠,

使它落在斜边4B上，且与重合，则CD=cm.

4.如图，在长方形/BCD中，48=8,BC=6,P为ADk一点、,将ANBP沿8尸翻折至aEBP,PE,BE

与CD分别相交于点O,G,且OE=OD.

(1)试说明：PE=DG；

(2)求心的长.

考点十八勾股定理中的最短路径问题(共4题)

1.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点5处有一滴蜂蜜，此时一

只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁8处的最短距离为

()cm(杯壁厚度不计).

C.20cmD.27cm

2.如图是一个房间的立体图形，其中=BC=6m,8/=5m,点M在棱AB上，且/M=3m,N

是尸G的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N,则它需要爬行的最短路程为()m-

C.Vn)6mD.10m

3.如图，长方体中，AB=12m,BC=2m,BB'=3m,一只蚂蚁从点/点出发沿长方体表面爬行到点C',

爬行的最短距离是m.

D'

A'/X-

D

A

4.如图所示，一只蚂蚁在长方体木块的顶点4处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点8处，蚂蚁急于

吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算出它从4处爬到3处的最短路线长为多少.

B

8cm

A3cm

几何证明（18大核心考点）

考点一命题（共4题）

1.对于命题“若/>/,贝lk>b”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是

（）

A.a=2,b=\B.a=2,b=—1

C.a=—l,b—0D.a=~\,b=-2

【答案】C

【分析】本题考查命题与定理的知识.根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案.

【详解】解：,••命题“若/>方2,贝h>6”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，

:.当a=2,6=1时，若22>心,则2>1,不符合题意，

.♦.当a=2,6=—1时,若则2>-1,不符合题意，

二当°=_1,6=0时，若则_1<（）,符合题意，

二当a=-1,8=-2时，不符合若（-1）~>2）2,不符合题意，

故选：C.

2.下列命题中，属于假命题的是（）

A.直角三角形的两个锐角互余B.锐角互余的三角形是直角三角形

C.三角形的外角等于两个内角的和D.三角形的两个外角可能会相等

【答案】C

【分析】本题考查了命题的判断，根据直角三角形的性质、三角形的外角的性质即可逐一判断.

【详解】解：A.直角三角形的两个锐角互余，真命题，不合题意；

B.锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，不合题意；

C.三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，符合题意；

D,三角形的两个外角可能会相等，真命题，不合题意.

故选：C.

3.用一组b,c的整数值说明命题“若a>6>c,则ab>c”是假命题，则这组值可以是。=_,b=_

c=_.

【答案】3-1-2

【分析】本题主要考查了列举法证明假命题，解题关键是结合题意找到合适的。，b,。的整数值.证明一

个命题是假命题，只需要列举出满足题设，但不满足结论的例子即可.根据题意确定合适的b,c的整

数值，证明。>b>c,而ab<c,即可解题.

【详解】解：当。=3,/?=-1,c=-2时，

可有=3x(-1)=-3,

v-3<-2,

•••ab<c,

二命题“若。>6>c,则ab>c”是假命题.

故答案为：3,-1,-2(答案不唯一).

4.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例.

(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

(2)有两边相等的三角形是等腰三角形；

(3)两个锐角的和是钝角.

【答案】(1)假命题.反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等

(2)真命题

(3)假命题.反例：当Na=20。,/夕=50。时，Nc+N〃=70。，不是钝角

【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的定义，判断命题正真假，以及写反例.

(1)根据平行线的性质，即可解答；

(2)根据等腰三角形的定义，即可解答；

(3)根据钝角的定义，即可解答.

【详解】(1)解：该命题为假命题，

反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等；

(2)解：该命题为真命题；

(3)解：该命题为假命题，

反例：当/a=20。，/4=50。时，Za+Z^=70°,不是钝角.

考点二证明(共4题)

1.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是()

A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆中D.点在圆上或圆内

【答案】D

【分析】根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定

成立，这样的证明方法叫做反证法；据此即可求解.

【详解】解：假设结论“点在圆外”不成立，

•••点在圆上或圆内；

故选：D.

【点睛】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键.

2.如图，已知直线a,b与直线c相交，下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（）

A.z2+z3=180°B.zl+z5=180°C.z4=z7D.zl=z8

【答案】A

【分析】因为42与43是邻补角，所以不能判定直线a与直线b平行；而其他三项均可通过同位角相等两直

线平行进行判定.

【详解】A,因为N2与43是邻补角，所以不能判定直线a与直线b平行；

B,因为N1+45=180。/1+44=180°,所以根据同位角相等两直线平行即可判定；

C,因为44=/7,Z4=Z2,所以乙2=47,根据同位角相等两直线平行即可判定；

D,因为N1=N8,所以根据同位角相等两直线平行即可判定；

故选A.

【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握其判定定理.

3.如图所示，已知=AD=FC,BC=ED.下列结论：①NA=NF；②4B//E尸；

@ADIIFC.其中正确的结论是.（填序号）

【答案】①②③

【分析】根据SSS证明△ABDMAFEC,由全等三角形性质，对选项进行分析判断即可.

【详解】W：■■-BC=ED,

BC+CD—ED+CDf

・・.BD=EC,

vAB=FE,AD=FC,

/.AABD=AFEC（SSS）,

.,.zA=zF,zB=zE,zADB=zFCE,

ABHEF,ADIIFC,

所以①②③都正确，

故答案为①②③.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角

形的判定和性质.

4.【阅读】在证明命题“如果。>方>0,c<0,那么/+儿>仍+*”时，小明的证明方法如下：

证明：•・,a>b〉0,

Q2>•,*•Q2+be>•

'：a>b,c<0,

.*.be>___./.ab+bc>.

••・a2+bc>ab+ac-

【问题解决】

⑴请将上面的证明过程填写完整；

（2）有以下几个条件：①0>b,②a<b,③”0,④6<0.请从中选择两个作为已知条件，得出结论

>网.你选择的条件序号是—，并给出证明过程.

【答案】（1）见解析

（2）②④，证明见解析

【分析】（1）根据可得从而得到/+bc>+.再由0>b,c<0,可得bc>ac.从

而得到ab+6c>qb+oc.即可求证；

（2）选择②④.理由：根据"6,X0,可得a<0.再由绝对值的性质可得同=-。，\b\=~b.然后根据

a<b,可得一。>一6,即可.

【详解】（1）证明：">"0,

•t•a2>ab.

­•a1+be>ab+be.

a>b,c<0,

・•・bc>ac.

/.ab+bc>ab+ac.

•，•a2+bc>ab+ac.

（2）解:选择②④.

证明如下：b<Q,

:.\a\=-a,\b\=-b.

<b,

—ci>—b.

|a|>MI.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的

关键.

考点三逆命题和逆定理（共4题）

1.关于命题“若。<0,b<0,贝！|a+b<0"，下列判断正确的是（）

A.该命题及其逆命题都是真命题

B.该命题是真命题，其逆命题是假命题

C.该命题是假命题，其逆命题是真命题

D.该命题及其逆命题都是假命题

【答案】B

【分析】本题考查了命题与定理、逆命题，先判断出原命题的真假，再写出逆命题，再判断真假即可得解.

【详解】解：“若。<0，b<0,贝!|。+6<0”是真命题，它的逆命题是“若。+6<0,贝6<0”是假命

题，

故选：B.

2.关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法不正确的是（）

A.逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”

B.原命题是真命题

C.逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补”

D.逆命题是真命题

【答案】C

【分析】本题考查了写命题的逆命题，命题真假判断，把命题的条件与结论互换得到逆命题；写出命题的

逆命题，判断出真假即可判断.

【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题为：“两直线平行，同旁内角互补”，原命题与逆命

题都是真命题，故选项c错误；

故选：C.

3.命题“如果数a,6的积大于0,那么a,b都是正数”的逆命题是.

【答案】如果数。，6都是正数，那么。，6的积大于0

【分析】本题考查逆命题，根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题求解即可.

【详解】解：命题“如果数。，6的积大于0,那么a,6都是正数”

逆命题为：如果数。，6都是正数，那么a,b的积大于0

故答案为：如果数。，6都是正数，那么a,6的积大于0.

4.写出下列命题的逆命题，并判断真假.

(1)三角形三个内角的和等于180。；

(2)两直线平行，同旁内角互补.

【答案】(1)内角和等于180。的多边形是三角形；真命题

(2)同旁内角互补，两直线平行；真命题

【分析】(1)将命题“如果。，那么4”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果4,那么0"，我们称这

样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题.据此写出命题的逆命题,

然后判断真假即可；

(2)根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可.

【详解】(1)解：命题“三角形三个内角的和等于180。”的逆命题为：“内角和等于180。的多边形是三角

形”，

逆命题是真命题；

(2)解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”，

逆命题是真命题.

【点睛】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论

是解答此题的关键.

考点四线段垂直平分线的判定与性质（共4题）

1.如图，三个村庄/、3、C构成△N8C,供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（）

A

A

/'、

/、

/、\

Z------->9

RC

A.三条边的垂直平分线的交点B.三个角的角平分线的交点

C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点

【答案】A

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

是解答本题的关键.到三个村的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有三边垂直

平分线的交点到各顶点距离相等.

【详解】解：•••在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等，

，供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点处.

故选：A

2.如图，在ZUBC中，DE是边/C的垂直平分线，垂足为E,交BC于点、D,若4B=6,BC=9,则△48。

的周长是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可

得4D=CD,再根据三角形周长计算公式可推出△ARD的周长=48+8D+40=48+BC,即可求解.

【详解】解：•.•DE是边/C的垂直平分线，

AD=CD,

■：AB=6,BC=9,

ZXABD的周长=43+8。+=48++CD=43+8C=15,

故选：C.

3.如图，在△/2C中，边奶的垂直平分线OM与边NC的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线分

别交8c于点。、E,已知ZUDE的周长为15cm,分别连接。4、OB、OC,若△O2C的周长为28cm,则

OA的长为____cm.

【答案】6.5

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到以=。8，OA=OB,

EA=EC,OA=OC,根据三角形的周长公式计算，得到答案.

【详解】解：•・•。河、ON分别为AB、NC的垂直平分线，

DA=DB,OA=OB,EA=EC,OA=OC,

■■■"DE的周长为15cm,

AD+DE+EA=\5cm,

BD+DE+EC=15cm,即BC=15cm,

•••△O3C的周长为28cm,

OB+BC+OC=28cm,

204=28-15=13cm,

OA=6.5cm,

故答案为：6.5.

4.如图，4。是△4BC的角平分线，DE,。尸分别是△4BO和的高，连接£F、/D交于点。.

BDC

⑴证明：AAED%AFD；

(2)证明：40垂直平分£尸；

⑶若DE=6,SABC=60,求加+/。的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)AB+AC=20

【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的

关键是熟练掌握三角形全等的判定方法.

(1)用AAS证明A4ED9"7力即可；

(2)根据全等三角形的性质，得出/E=/尸，DE=DF,说明点/、。在线段即的垂直平分线上，即可证

明结论；

(3)根据S“BC=S/BO+S/S=g/8CD+g/C•。尸=60,得出3(/B+/C)=60,即可求出结果.

【详解】(1)证明：•••3是△N8C的角平分线，

・•・NDAE=ZDAF,

DE,。尸分别是△48。和△/CZ)的高，

・•.ZAED=ZAFD=90°,

AD=AD,

••・AAED=AAFD；

(2)证明：•:AAED%AFD,

AE=AF,DE=DF,

・••点/、。在线段斯的垂直平分线上，

.•・川垂直平分即；

(3)解：■.-DE=6,

DE=DF=6,

■.■S.=S/砧+S.=-AB-ED+-AC-DF=6Q,

^AD(-RCAABDAALDcn22

」/BX6+L/CX6=60,

22

.•.3(/3+/C)=60,

解得：AB+AC=2Q.

考点五作垂线（共4题）

1.如图，△4BC中，AB<AC<BC,使P4+PB=BC,那么符合要求的作图痕迹是（）

【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的

性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂

作图拆解成基本作图，逐步操作.

由以+P8=8C和可得尸/=PC,根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在/C的垂直平分线上,

进而得出结论.

【详解】解：•••P/+PB=BC,PC+PB=BC,

:.PA=PC,

•••点尸在/C的垂直平分线上,

即点P为AC的垂直平分线与BC的交点.

故选：D.

2.如图，已知△/8C,按以下步骤作图:

①分别以3,。为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点N；

②作直线交48于点。，连接CD若CD=/C,44=50。，则NNC3的度数为（）

A.90°B.95°C.105°D.110°

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质，可求得/CZM的度数，又由题意可得为2。的垂直平分线，根据线段

垂直平分线的性质可得8。=CD,则可求得的度数，据此即可解题.

【详解】解：；=乙4=50。，

:.NCDA=4=50°,

由题知，直线为8c的垂直平分线，

BD=CD,

:.NB=NDCB,

■：ZB+ZDCB=ZCDA,

ZB=1NCDA=25°,

2

ZACB=1800-ZB-ZA=105°.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形外角的性质，三角形内

角和定理，数轴相关知识是解题的关键.

3.如图，在△/BC中，以点/为圆心，48长为半径作弧，交2c于点。，取加的中点£,连接故，以

点。为圆心，适当长为半径作弧，与边2C相交于点G和〃，分别以点G和〃为圆心，以大于〈G”的长

为半径作弧交于点/,作直线。/,交NC于点尸.若AB=CD,且即，则下列结论：①/EL8C；

@AF=CF；③NEAD=NCAD；（4）ZB=2ZC.正确的有

【答案】①②④

【分析】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由作图可知=DI

垂直平分G〃，DH=DG,利用等腰三角形“三线合一”“等边对等角”以及三角形外角的性质逐项判断即可.

【详解】解：由作图可知48=40,

•••E是助的中点，

AE1BC,故①正确；

•••AB=CD,AB=AD,

：.AD=CD,

由作图知，DH=DG,IG=IH

■■。/垂直平分G77,

AF=CF,故②正确；

AD=CD,

：.ACAD=ZC,

NADB=ACAD+ZC=2ZC,

■■■NB=NADB,

Z5=2ZC,故④正确；

现有条件不能证明NEAD=ACAD,

综上所述，正确的有①②④.

故答案为：①②④.

4.如图，在△ABC中，AB>AC.

⑴用直尺和圆规作2。的中垂线，交48于点D；（要求保留作图痕迹）

（2）连接CD,若23=10,AC=5,求A/CD的周长.

【答案】（1）见解析

⑵15

【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键.

（1）根据线段垂直平分线的尺规作图可进行求解；

（2）由（1）可知CD=8。，然后问题可求解.

【详解】（1）解：如图所示，直线及W即为所求.

cN

(2)解：由(1)可知，直线MV是线段8。的垂直平分线,

CD=BD,

的周长为：

AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB.

-：AB=\O,AC=5,

.•.ANCD的周长为10+5=15.

考点六角平分线的判定与性质（共4题）

1.如图，在ZUBC中，ZC=90°,4D平分交3C于D.若8C=34,且CD:BD=8:9,则点。到

边少的距离为（）

A

A.14B.15C.16D.17

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.过点。作

DE人4B于点、E,根据比例求出8,再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD,进而解

出此题的答案.

【详解】解：过点。作48于点E,如图所示：

A

且C。：8。=8:9,

8+9

vZC=90°,3平分/3/C,

DE=CD=16,

故选：C.

2.如图，△4