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几何证明(18大核心考点)

考点一命题(共4题)

1.对于命题“若/>/,贝小明想举一个反例说明它是一个假命题,则符合要求的反例可以是

()

A.a=2,b=1B.a=2,b=—\

C.a=—l,b=QD.a=-1,b=—2

2.下列命题中,属于假命题的是()

A.直角三角形的两个锐角互余B.锐角互余的三角形是直角三角形

C.三角形的外角等于两个内角的和D.三角形的两个外角可能会相等

3.用一组b,c的整数值说明命题“若。>6>c,则必>c"是假命题,则这组值可以是。=_,b=

4.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,请举出一个反例.

(1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等;

(2)有两边相等的三角形是等腰三角形;

(3)两个锐角的和是钝角.

考点二证明(共4题)

1.用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是()

A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆中D.点在圆上或圆内

2.如图,已知直线a,b与直线c相交,下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是()

C.z4=z7D.zl=z.8

3.如图所示,已知=AD=FC,BC=ED.下列结论:①NA=NF;②43//E尸;

@AD//FC.其中正确的结论是.(填序号)

4.【阅读】在证明命题“如果。<0,那么/+儿>〃6+4”时,小明的证明方法如下:

证明:,.・。>6>0,

Q?>•a2+be〉•

":a>b,c<0,

•••be>./.ab+bc>.

•'•a2+bc>ab+ac-

【问题解决】

(1)请将上面的证明过程填写完整;

(2)有以下几个条件:@a>b,@a<b,③。<0,④b<0.请从中选择两个作为已知条件,得出结论

同>码.你选择的条件序号是—,并给出证明过程.

考点三逆命题和逆定理(共4题)

1.关于命题“若b<Q,贝!|a+b<0",下列判断正确的是()

A.该命题及其逆命题都是真命题

B.该命题是真命题,其逆命题是假命题

C.该命题是假命题,其逆命题是真命题

D.该命题及其逆命题都是假命题

2.关于命题“同旁内角互补,两直线平行”,下列说法不正确的是()

A.逆命题为“两直线平行,同旁内角互补”

B.原命题是真命题

C.逆命题为“两直线不平行,同旁内角不互补”

D.逆命题是真命题

3.命题“如果数0,6的积大于0,那么0,6都是正数”的逆命题是

4.写出下列命题的逆命题,并判断真假.

(1)三角形三个内角的和等于180。;

(2)两直线平行,同旁内角互补.

考点四线段垂直平分线的判定与性质(共4题)

1.如图,三个村庄N、B、C构成△/3C,供奶站须到三个村庄的距离都相等,则供奶站应建在()

<4-------------------------

RC

A.三条边的垂直平分线的交点B.三个角的角平分线的交点

C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点

2.如图,在ZUBC中,DE是边/C的垂直平分线,垂足为E,交BC于点、D,若4B=6,BC=9,则△48。

的周长是()

A

A.13B.14C.15D.16

3.如图,在中,边奶的垂直平分线与边4c的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线分

别交3c于点。、E,已知△/£)£的周长为15cm,分别连接。4、OB、OC,若△08C的周长为28cm,则

OA的长为cm.

4.如图,4D是△/2C的角平分线,DE,。尸分别是和2CD的高,连接£F、3交于点O.

A

(1)证明:AAED知AFD;

⑵证明:40垂直平分EF;

⑶若Z>E=6,SAABC=60,求加+/C的长.

考点五作垂线(共4题)

1.使P4+PB=BC,那么符合要求的作图痕迹是()

2.如图,已知△4BC,按以下步骤作图:

①分别以3,C为圆心,以大于;BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;

②作直线九W交于点。,连接CD.^CD=AC,ZA=50°,则N/C8的度数为()

C.105°D.110°

3.如图,在△4BC中,以点/为圆心,48长为半径作弧,交BC于点、D,取加的中点E,连接在,以

点。为圆心,适当长为半径作弧,与边ZC相交于点G和〃,分别以点G和〃为圆心,以大于(G"的长

为半径作弧交于点/,作直线。/,交4c于点足若4B=CD,且则下列结论:®AE±BC;

②AF=CF;③NEAD=NCAD;(4)Z5=2ZC.正确的有—.

(1)用直尺和圆规作3c的中垂线,交AB于点、D;(要求保留作图痕迹)

(2)连接。,若/8=10,AC=5,求A/CZ•的周长.

考点六角平分线的判定与性质(共4题)

1.如图,在△/BC中,ZC=90°,40平分/3/C交8C于D.若3c=34,且CD:8。=8:9,则点。到

边M的距离为()

A

A.14B.15C.16D.17

2.如图,△4BC的边/3=3,BC=5,。是442。三条角平分线的交点,若“20的面积为3,则ABCO的

面积为()

B

C.6D.5

3.如图,在△4BC中,M为△ABC的角平分线,DE±AB,垂足为E,DF1AC,垂足为尸,若

48=5,AC=3,DF=\,则△ABC的面积为

4.如图,在△N3C中,必为/瓦1C的平分线,DE,AB于E,DFJ.AC于■F,ZUBC的面积是28cm?,

AB=20cm,AC=8cm,求DE的长.

考点七角平分线的性质的实际应用(共4题)

1.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉

亭的位置应选在()

A

A.△48。三条中线的交点B.△ABC内任意一点

C.△4BC三条高所在直线的交点D.ZUBC三条角平分线的交点

2.如图,4、BI、C7分别平分/R4C、NABC、NACB,IDA.BC,△ABC的周长为18,ID=4,则

△/3C的面积为()

A.18B.30C.36D.72

3.将一张面积为45cm2的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠,如图1,使点5落在NC边上的点?处,

折痕所在的直线为心如图2,使点A落在BC边上的点H处,折痕所在的直线为和乙与人相交于点O.经

测量得知,纸板的三边AC,3c的长分别为10cm,15cm,20cm,则点。到/C的距离为cm.

4.如图,在—408的两边0402上分别取点M,N,连接MV.若VP平分//MN,NP平分NMNB.

(1)求证:OP平分/AOB;

(2)若MN=8,且APAW与AOMN的面积分别是16和24,求线段与ON的长度之和.

考点八作角平分线(共4题)

1.如图,在△48。中,BD平分NABC,以点/为圆心,以任意长为半径画弧交射线Z8/C于两点,分

别以这两点为圆心,以适当的定长为半径画弧,两弧交于点£,作射线/E,交BD于点I,连接C7,以下

说法错误的是()

A./至U/8ZC边的距离相等B.C7平分/NCB

C./到4B,C三点的距离相等D./是三角形三条角平分线的交点

2.如图,在△4BC中,以点/为圆心,/C的长为半径作弧,与8C交于点E,分别以点K和点C为圆心、

大于的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线心交8c于点D.若/B=35°,ZC=2ZCAD,则/BAE

的度数为()

3.如图,在RtZk48C中,ZC=90°,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交NC于点。,E,

再分别以点。,E,为圆心,以大于的长度为半径作弧,两弧交于点尸,作射线的交BC于点G,

若45=16,CG=4,则△48G的面积是

4.如图,已知点尸为NN3C内一点,用两种不同方法利用直尺和圆规确定一条过点尸的直线,分别交

AB,8c于点E,F,使得BE=BF.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)

考点九直角三角形全等的判定与综合(共4题)

1.如图,在△ABC中,ZC=90°,AD平分/BAC,DE,4B于E,有下列结论:①CD=ED;②

AC+BE=AB;③NBDE=NBAC;④2。平分NCDE;⑤工公。:$△血)=”。:幺台,其中正确的有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

2.如图,在四边形4BC7)中,AD=CD,BD平分N4BC,作DHLBC于点H.BC=9,AB=5,则"C

7

D.

4

3.如图,CAIAB,垂足为点N,AB=S,AC=4,射线应攸,NB,垂足为点2,一动点E从/点出发以2

个单位/秒的速度沿射线RV运动,点D为射线W上一动点始终保持ED=CB,当点E运动秒时,

ADEB与全等.

4.如图,/£)平分NR4C,DEJ.AB于点、E,DF上AC于点、F,若BD=CD.

⑴求证:BE=CF;

(2)已知48=10,/C=18,求BE的长.

考点十含30度角的直角三角形(共4题)

1.如图,在△4BC中,AB=AC,/C=30。,点。是48的中点;过点。作。交于点E,

C.9D.10

2.如图,在△ABC中,ZC=90°,NB=15°,48的垂直平分线交8C于点。,交AB于点、E.若

Z)S=12cm,则/C=(

CDB

A.4cmB.5cmC.6cn1D.7cm

3.如图,等边△45。中,点尸是CZ延长线上一点,点。是BC上一点,且PB=PD.若CP+CD=10,

BD=3,则AB的长为______.

P

0DC

4.如图,在A/BC中,AB=AC,。是上的一点,过点。作。E18C于点E,延长即和C4,交于点

F.

F

A

BEC

(1)求证:尸是等腰三角形;

(2)若N尸=30。,BD=4,EC=6,求4C的长.

考点十一斜边的中线等于斜边的一半(共4题)

1.如图,在△48。中,ZABC=90°,点£为4c的中点,在尸。中,ZAFC=90°f连接班,BF,

EF;若N4C8=50。,ZECF=24°,则㈤B的度数为()

F

----------

A.13°B.14°C.15°D.16°

2.如图,在△ABC中,ZA=90°,AB=AC=6,。为边8C的中点,点E,尸分别在边AC±,

AE=CF,则四边形ZED尸的面积为()

A

3.如图,在ZUBC中,AB=AC,DE垂直平分4B.若BE工4C,AFIBC,垂足分别为点£,F,连

接EF,贝U/EFC=.

4.已知:如图,ZABC=ZADC=9Q°,E、尸分别是/C、的中点.

⑴求证:EFLBD;

⑵若/A4Z)=30。,AC=8,求即的长.

考点十二勾股定理的证明方法(共4题)

1.到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种,这些证法融几何知识与代数知识于一体,完美地体现了

数形结合的魅力.如图所示可以用来验证勾股定理的有()

图4

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,其证明是论证几何的发端,下面有四个图,其中能

证明勾股定理的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.如图,阴影部分是由4个三边分别为。、b.c(c为斜边)的直角三角形拼出中间的小正方形.利用等

面积法,通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理.小正方形的面积除可以表示为(。-外,

还可以表示为:

4.把两个全等的RtZi/2C和RtADEN如图1放置,其三边长分别为a,b,c,ZBAC=ZDEA=90°,显然

BC1AD.

(1)连接8DCD.请用a,b,c分别表示出四边形48OC,梯形NEDC,的面积,再探究这三个图

形面积之间的关系,证明勾股定理a2+〃=c2;

(2)如图2,在a/BC中,是2c边上的高,48=4,/C=5,BC=6,设8D=x,求x的值.

考点十三用勾股定理解三角形(共4题)

1.如图,AB=BC=CD=DE=1,且8C_L/3,CD1AC,DEJ.AD,则线段ZE的长为()

A.V3B.2C.45D.3

2.如图,在RtA42C中,ZACB=90°,44=60。,AC=4,将△CIS绕点C按逆时针方向旋转得到

^CDE,点。恰好在奶边上,连接8E,则」BE的长为().

E

A.8B.472C.473D.6

3.如图,有一只摆钟,摆锤看作一个点,当它摆动到底座最近时,摆锤离底座的垂直高度DE=4cm,当

它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为8cm时,摆锤离底座的垂直高度8尸=6cm,钟摆

AD=.

4.已知4=90°,AB=AC=1cm,BD=41,CD=3.回答下列问题.

(1)求NN8D的度数;

(2)求四边形/3OC的面积.

考点十四勾股定理的逆定理(共4题)

1.如图,已知△45C中,48的垂直平分线交3。于点。,4c的垂直平分线交2c于点E,点M,N为垂

足,若BD=3,DE=2,EC=|,则4C的长为()

D.35/2

2.如图,O是等边内一点,0A=3,OB=4,OC=5,将线段30以点3为旋转中心逆时针旋转60。

得到线段2。',则的度数为()

C.130°D.150°

3.已知。,b,c是△48。的三边长,且满足关系而万二7+弧-耳=0,则△N8C的形状是

4.在△4BC中,ZC=90°,AC>BC,。是的中点.£为直线/C上一动点,连接DE.过点。作

DFIDE,交直线2C于点尸,连接£F.

图1图2

⑴如图1,当E是线段4C上一点时,请依题意补全图形,并判断以/£、BF、成三条线段为边构成的三角

形是一三角形;

(2)当点E在线段C4的延长线上时,请依题意补全图2,并判断(1)中的结论是否仍成立,如果成立,请说

明理由.

考点十五勾股定理的应用1(共4题)

1.如图,一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬,木板底端距离墙角。处为0.7m.当小猫从木板底端爬

到顶端时,木板底端向左滑动了1.3m,木板顶端向下滑动了0.9m,则小猫在木板上爬动的距离为()m.

B.2.5C.2D.1.5

2.如图.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何问题最重要的工具,也是数形

结合的纽带之一.如图,当秋千静止时,踏板3离地的垂直高度8E=0.5m,将它往前推3m至C处时(即

水平距离CD=3m),踏板离地的垂直高度CF=2.5m,它的绳索始终拉直,则绳索/C的长是()

A

A.3.4mB.3.25mC.4mD.5.5m

3.某医院入口的正上方/处装有红外线激光测温仪(如图所示),测温仪离地面的距离=2.4米,当

(身高1.2m)人体进入感应范围内时(即3c=1.6米),测温仪自动显示体温,则人头顶离测温仪的距离期

的长为米.

4.某条道路限速60km/h,如图,一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪/

正下方5m的8处,过了1s,小汽车到达。处,此时测得小汽车与车速检测仪间的距离NC为13m.

/检测仪

小汽车小汽车

⑴求8c的长;

(2)这辆小汽车超速了吗?

考点十六勾股定理的应用2(共4题)

1.如图,一个梯子斜靠在一竖直的墙/O上,测得4。=4米,若梯子的顶端沿墙下滑1米,这时梯子

底端也恰好外移1米,则梯子48的长度为()

A.5米B.6米C.7米D.8米

2.如图,有一只喜鹊在一棵2m高的小树4B上觅食,它的巢筑在与该树水平距离(BD)为8m的一棵9m

高的大树DM上,喜鹊的巢位于树顶下方1m的C处,当它听到巢中幼鸟的叫声,立即飞过去,如果它飞行

的速度为2.5m/s,那么它要飞回巢中所需的时间至少是()

D.6s

3.如图,河岸40,5c互相平行,桥初垂直于两岸,从C处看桥的两端A,B,夹角/3。=60。,测

得3C=14m,则桥长/3=m(结果精确到1m).

4.2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区.如图,台风“烟花”中心沿东西方向由点/向点8移动,已

知点C为一海港,且/C=300km,BC=400km,AB=500km.经测量,距离台风中心260km及以内的

地区会受到影响.

c

(1)海港c会受到台风影响吗?为什么?

(2)若台风中心的移动速度为25km/h,则台风影响该海港持续的时间有多长?

考点十七勾股定理与折叠问题(共4题)

1.如图,在RtZ\48C中,ZACB=90°,AC=6,BC=8,如果点。,E分别为8C,N3上的动点,那么

NO+OE的最小值是()

A.8.4B.9.6C.10D.10.8

2.如图,在长方形纸片/BCD中,N2=8cm,AD=4cm.把纸片沿对角线/C折叠,点8落在点£处,AE

交DC于点尸,则重叠部分厂的面积为()

3.如图,一块直角三角形的纸片,两直角边/C=3cm,5C=4cm.现将直角边/C沿直线4D折叠,

使它落在斜边4B上,且与重合,则CD=cm.

4.如图,在长方形/BCD中,48=8,BC=6,P为ADk一点、,将ANBP沿8尸翻折至aEBP,PE,BE

与CD分别相交于点O,G,且OE=OD.

(1)试说明:PE=DG;

(2)求心的长.

考点十八勾股定理中的最短路径问题(共4题)

1.如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点5处有一滴蜂蜜,此时一

只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁8处的最短距离为

()cm(杯壁厚度不计).

C.20cmD.27cm

2.如图是一个房间的立体图形,其中=BC=6m,8/=5m,点M在棱AB上,且/M=3m,N

是尸G的中点,已知壁虎要沿着墙壁,地面从点M爬行到N,则它需要爬行的最短路程为()m-

C.Vn)6mD.10m

3.如图,长方体中,AB=12m,BC=2m,BB'=3m,一只蚂蚁从点/点出发沿长方体表面爬行到点C',

爬行的最短距离是m.

D'

A'/X-

D

A

4.如图所示,一只蚂蚁在长方体木块的顶点4处,食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点8处,蚂蚁急于

吃到食物,所以沿着长方体的表面向上爬,请你计算出它从4处爬到3处的最短路线长为多少.

B

8cm

A3cm

几何证明(18大核心考点)

考点一命题(共4题)

1.对于命题“若/>/,贝lk>b”,小明想举一个反例说明它是一个假命题,则符合要求的反例可以是

()

A.a=2,b=\B.a=2,b=—1

C.a=—l,b—0D.a=~\,b=-2

【答案】C

【分析】本题考查命题与定理的知识.根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案.

【详解】解:,••命题“若/>方2,贝h>6”,小明想举一个反例说明它是一个假命题,

:.当a=2,6=1时,若22>心,则2>1,不符合题意,

.♦.当a=2,6=—1时,若则2>-1,不符合题意,

二当°=_1,6=0时,若则_1<(),符合题意,

二当a=-1,8=-2时,不符合若(-1)~>2)2,不符合题意,

故选:C.

2.下列命题中,属于假命题的是()

A.直角三角形的两个锐角互余B.锐角互余的三角形是直角三角形

C.三角形的外角等于两个内角的和D.三角形的两个外角可能会相等

【答案】C

【分析】本题考查了命题的判断,根据直角三角形的性质、三角形的外角的性质即可逐一判断.

【详解】解:A.直角三角形的两个锐角互余,真命题,不合题意;

B.锐角互余的三角形是直角三角形,真命题,不合题意;

C.三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和,原命题是假命题,符合题意;

D,三角形的两个外角可能会相等,真命题,不合题意.

故选:C.

3.用一组b,c的整数值说明命题“若a>6>c,则ab>c”是假命题,则这组值可以是。=_,b=_

c=_.

【答案】3-1-2

【分析】本题主要考查了列举法证明假命题,解题关键是结合题意找到合适的。,b,。的整数值.证明一

个命题是假命题,只需要列举出满足题设,但不满足结论的例子即可.根据题意确定合适的b,c的整

数值,证明。>b>c,而ab<c,即可解题.

【详解】解:当。=3,/?=-1,c=-2时,

可有=3x(-1)=-3,

v-3<-2,

•••ab<c,

二命题“若。>6>c,则ab>c”是假命题.

故答案为:3,-1,-2(答案不唯一).

4.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,请举出一个反例.

(1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等;

(2)有两边相等的三角形是等腰三角形;

(3)两个锐角的和是钝角.

【答案】(1)假命题.反例:两条直线不平行时,被第三条直线所截,同位角不相等

(2)真命题

(3)假命题.反例:当Na=20。,/夕=50。时,Nc+N〃=70。,不是钝角

【分析】本题考查了平行线的性质,等腰三角形的定义,判断命题正真假,以及写反例.

(1)根据平行线的性质,即可解答;

(2)根据等腰三角形的定义,即可解答;

(3)根据钝角的定义,即可解答.

【详解】(1)解:该命题为假命题,

反例:两条直线不平行时,被第三条直线所截,同位角不相等;

(2)解:该命题为真命题;

(3)解:该命题为假命题,

反例:当/a=20。,/4=50。时,Za+Z^=70°,不是钝角.

考点二证明(共4题)

1.用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是()

A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆中D.点在圆上或圆内

【答案】D

【分析】根据反证法定义:先假设命题结论不成立,然后经过推理,得出矛盾的结果,最后断言结论一定

成立,这样的证明方法叫做反证法;据此即可求解.

【详解】解:假设结论“点在圆外”不成立,

•••点在圆上或圆内;

故选:D.

【点睛】本题考查了反证法的定义,理解定义是解题的关键.

2.如图,已知直线a,b与直线c相交,下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是()

A.z2+z3=180°B.zl+z5=180°C.z4=z7D.zl=z8

【答案】A

【分析】因为42与43是邻补角,所以不能判定直线a与直线b平行;而其他三项均可通过同位角相等两直

线平行进行判定.

【详解】A,因为N2与43是邻补角,所以不能判定直线a与直线b平行;

B,因为N1+45=180。/1+44=180°,所以根据同位角相等两直线平行即可判定;

C,因为44=/7,Z4=Z2,所以乙2=47,根据同位角相等两直线平行即可判定;

D,因为N1=N8,所以根据同位角相等两直线平行即可判定;

故选A.

【点睛】此题考查平行线的判定,解题关键在于掌握其判定定理.

3.如图所示,已知=AD=FC,BC=ED.下列结论:①NA=NF;②4B//E尸;

@ADIIFC.其中正确的结论是.(填序号)

【答案】①②③

【分析】根据SSS证明△ABDMAFEC,由全等三角形性质,对选项进行分析判断即可.

【详解】W:■■-BC=ED,

BC+CD—ED+CDf

・・.BD=EC,

vAB=FE,AD=FC,

/.AABD=AFEC(SSS),

.,.zA=zF,zB=zE,zADB=zFCE,

ABHEF,ADIIFC,

所以①②③都正确,

故答案为①②③.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,以及平行线的判定定理,解题的关键是熟练掌握全等三角

形的判定和性质.

4.【阅读】在证明命题“如果。>方>0,c<0,那么/+儿>仍+*”时,小明的证明方法如下:

证明:•・,a>b〉0,

Q2>•,*•Q2+be>•

':a>b,c<0,

.*.be>___./.ab+bc>.

••・a2+bc>ab+ac-

【问题解决】

⑴请将上面的证明过程填写完整;

(2)有以下几个条件:①0>b,②a<b,③”0,④6<0.请从中选择两个作为已知条件,得出结论

>网.你选择的条件序号是—,并给出证明过程.

【答案】(1)见解析

(2)②④,证明见解析

【分析】(1)根据可得从而得到/+bc>+.再由0>b,c<0,可得bc>ac.从

而得到ab+6c>qb+oc.即可求证;

(2)选择②④.理由:根据"6,X0,可得a<0.再由绝对值的性质可得同=-。,\b\=~b.然后根据

a<b,可得一。>一6,即可.

【详解】(1)证明:">"0,

•t•a2>ab.

­•a1+be>ab+be.

a>b,c<0,

・•・bc>ac.

/.ab+bc>ab+ac.

•,•a2+bc>ab+ac.

(2)解:选择②④.

证明如下:b<Q,

:.\a\=-a,\b\=-b.

<b,

—ci>—b.

|a|>MI.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质,绝对值的性质,熟练掌握不等式的性质,绝对值的性质是解题的

关键.

考点三逆命题和逆定理(共4题)

1.关于命题“若。<0,b<0,贝!|a+b<0",下列判断正确的是()

A.该命题及其逆命题都是真命题

B.该命题是真命题,其逆命题是假命题

C.该命题是假命题,其逆命题是真命题

D.该命题及其逆命题都是假命题

【答案】B

【分析】本题考查了命题与定理、逆命题,先判断出原命题的真假,再写出逆命题,再判断真假即可得解.

【详解】解:“若。<0,b<0,贝!|。+6<0”是真命题,它的逆命题是“若。+6<0,贝6<0”是假命

题,

故选:B.

2.关于命题“同旁内角互补,两直线平行”,下列说法不正确的是()

A.逆命题为“两直线平行,同旁内角互补”

B.原命题是真命题

C.逆命题为“两直线不平行,同旁内角不互补”

D.逆命题是真命题

【答案】C

【分析】本题考查了写命题的逆命题,命题真假判断,把命题的条件与结论互换得到逆命题;写出命题的

逆命题,判断出真假即可判断.

【详解】解:命题“同旁内角互补,两直线平行”的逆命题为:“两直线平行,同旁内角互补”,原命题与逆命

题都是真命题,故选项c错误;

故选:C.

3.命题“如果数a,6的积大于0,那么a,b都是正数”的逆命题是.

【答案】如果数。,6都是正数,那么。,6的积大于0

【分析】本题考查逆命题,根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题求解即可.

【详解】解:命题“如果数。,6的积大于0,那么a,6都是正数”

逆命题为:如果数。,6都是正数,那么a,b的积大于0

故答案为:如果数。,6都是正数,那么a,6的积大于0.

4.写出下列命题的逆命题,并判断真假.

(1)三角形三个内角的和等于180。;

(2)两直线平行,同旁内角互补.

【答案】(1)内角和等于180。的多边形是三角形;真命题

(2)同旁内角互补,两直线平行;真命题

【分析】(1)将命题“如果。,那么4”中条件与结论互换,即得一个新命题“如果4,那么0",我们称这

样的两个命题互为逆命题,其中一个叫做原命题,另一个就叫做原命题的逆命题.据此写出命题的逆命题,

然后判断真假即可;

(2)根据逆命题的概念,写出命题的逆命题,然后判断其真假即可.

【详解】(1)解:命题“三角形三个内角的和等于180。”的逆命题为:“内角和等于180。的多边形是三角

形”,

逆命题是真命题;

(2)解:命题“两直线平行,同旁内角互补”的逆命题是:“同旁内角互补,两直线平行”,

逆命题是真命题.

【点睛】此题考查了命题与判断命题的真假,熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论

是解答此题的关键.

考点四线段垂直平分线的判定与性质(共4题)

1.如图,三个村庄/、3、C构成△N8C,供奶站须到三个村庄的距离都相等,则供奶站应建在()

A

A

/'、

/、

/、\

Z------->9

RC

A.三条边的垂直平分线的交点B.三个角的角平分线的交点

C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点

【答案】A

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质,熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

是解答本题的关键.到三个村的距离相等,即到三角形三个顶点的距离相等,在三角形中,只有三边垂直

平分线的交点到各顶点距离相等.

【详解】解:•••在三角形中,只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等,

,供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点处.

故选:A

2.如图,在ZUBC中,DE是边/C的垂直平分线,垂足为E,交BC于点、D,若4B=6,BC=9,则△48。

的周长是()

【答案】C

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,据此可

得4D=CD,再根据三角形周长计算公式可推出△ARD的周长=48+8D+40=48+BC,即可求解.

【详解】解:•.•DE是边/C的垂直平分线,

AD=CD,

■:AB=6,BC=9,

ZXABD的周长=43+8。+=48++CD=43+8C=15,

故选:C.

3.如图,在△/2C中,边奶的垂直平分线OM与边NC的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线分

别交8c于点。、E,已知ZUDE的周长为15cm,分别连接。4、OB、OC,若△O2C的周长为28cm,则

OA的长为____cm.

【答案】6.5

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,根据线段垂直平分线的性质得到以=。8,OA=OB,

EA=EC,OA=OC,根据三角形的周长公式计算,得到答案.

【详解】解:•・•。河、ON分别为AB、NC的垂直平分线,

DA=DB,OA=OB,EA=EC,OA=OC,

■■■"DE的周长为15cm,

AD+DE+EA=\5cm,

BD+DE+EC=15cm,即BC=15cm,

•••△O3C的周长为28cm,

OB+BC+OC=28cm,

204=28-15=13cm,

OA=6.5cm,

故答案为:6.5.

4.如图,4。是△4BC的角平分线,DE,。尸分别是△4BO和的高,连接£F、/D交于点。.

BDC

⑴证明:AAED%AFD;

(2)证明:40垂直平分£尸;

⑶若DE=6,SABC=60,求加+/。的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)AB+AC=20

【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质,线段垂直平分线的判定,三角形面积的计算,解题的

关键是熟练掌握三角形全等的判定方法.

(1)用AAS证明A4ED9"7力即可;

(2)根据全等三角形的性质,得出/E=/尸,DE=DF,说明点/、。在线段即的垂直平分线上,即可证

明结论;

(3)根据S“BC=S/BO+S/S=g/8CD+g/C•。尸=60,得出3(/B+/C)=60,即可求出结果.

【详解】(1)证明:•••3是△N8C的角平分线,

・•・NDAE=ZDAF,

DE,。尸分别是△48。和△/CZ)的高,

・•.ZAED=ZAFD=90°,

AD=AD,

••・AAED=AAFD;

(2)证明:•:AAED%AFD,

AE=AF,DE=DF,

・••点/、。在线段斯的垂直平分线上,

.•・川垂直平分即;

(3)解:■.-DE=6,

DE=DF=6,

■.■S.=S/砧+S.=-AB-ED+-AC-DF=6Q,

^AD(-RCAABDAALDcn22

」/BX6+L/CX6=60,

22

.•.3(/3+/C)=60,

解得:AB+AC=2Q.

考点五作垂线(共4题)

1.如图,△4BC中,AB<AC<BC,使P4+PB=BC,那么符合要求的作图痕迹是()

【分析】本题考查了复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的

性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂

作图拆解成基本作图,逐步操作.

由以+P8=8C和可得尸/=PC,根据线段垂直平分线定理的逆定理可得,点P在/C的垂直平分线上,

进而得出结论.

【详解】解:•••P/+PB=BC,PC+PB=BC,

:.PA=PC,

•••点尸在/C的垂直平分线上,

即点P为AC的垂直平分线与BC的交点.

故选:D.

2.如图,已知△/8C,按以下步骤作图:

①分别以3,。为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于两点N;

②作直线交48于点。,连接CD若CD=/C,44=50。,则NNC3的度数为()

A.90°B.95°C.105°D.110°

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质,可求得/CZM的度数,又由题意可得为2。的垂直平分线,根据线段

垂直平分线的性质可得8。=CD,则可求得的度数,据此即可解题.

【详解】解:;=乙4=50。,

:.NCDA=4=50°,

由题知,直线为8c的垂直平分线,

BD=CD,

:.NB=NDCB,

■:ZB+ZDCB=ZCDA,

ZB=1NCDA=25°,

2

ZACB=1800-ZB-ZA=105°.

故选:C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,垂直平分线的性质及其尺规作图,三角形外角的性质,三角形内

角和定理,数轴相关知识是解题的关键.

3.如图,在△/BC中,以点/为圆心,48长为半径作弧,交2c于点。,取加的中点£,连接故,以

点。为圆心,适当长为半径作弧,与边2C相交于点G和〃,分别以点G和〃为圆心,以大于〈G”的长

为半径作弧交于点/,作直线。/,交NC于点尸.若AB=CD,且即,则下列结论:①/EL8C;

@AF=CF;③NEAD=NCAD;(4)ZB=2ZC.正确的有

【答案】①②④

【分析】本题考查作图-基本作图,等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,由作图可知=DI

垂直平分G〃,DH=DG,利用等腰三角形“三线合一”“等边对等角”以及三角形外角的性质逐项判断即可.

【详解】解:由作图可知48=40,

•••E是助的中点,

AE1BC,故①正确;

•••AB=CD,AB=AD,

:.AD=CD,

由作图知,DH=DG,IG=IH

■■。/垂直平分G77,

AF=CF,故②正确;

AD=CD,

:.ACAD=ZC,

NADB=ACAD+ZC=2ZC,

■■■NB=NADB,

Z5=2ZC,故④正确;

现有条件不能证明NEAD=ACAD,

综上所述,正确的有①②④.

故答案为:①②④.

4.如图,在△ABC中,AB>AC.

⑴用直尺和圆规作2。的中垂线,交48于点D;(要求保留作图痕迹)

(2)连接CD,若23=10,AC=5,求A/CD的周长.

【答案】(1)见解析

⑵15

【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质,熟练掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键.

(1)根据线段垂直平分线的尺规作图可进行求解;

(2)由(1)可知CD=8。,然后问题可求解.

【详解】(1)解:如图所示,直线及W即为所求.

cN

(2)解:由(1)可知,直线MV是线段8。的垂直平分线,

CD=BD,

的周长为:

AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB.

-:AB=\O,AC=5,

.•.ANCD的周长为10+5=15.

考点六角平分线的判定与性质(共4题)

1.如图,在ZUBC中,ZC=90°,4D平分交3C于D.若8C=34,且CD:BD=8:9,则点。到

边少的距离为()

A

A.14B.15C.16D.17

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.过点。作

DE人4B于点、E,根据比例求出8,再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD,进而解

出此题的答案.

【详解】解:过点。作48于点E,如图所示:

A

且C。:8。=8:9,

8+9

vZC=90°,3平分/3/C,

DE=CD=16,

故选:C.

2.如图,△4

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