江苏省2024-2025学年苏科版九年级数学上学期期末模拟测试卷（徐州专用）（解析版）

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟测试卷（徐州专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：140分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的

姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用25铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，用25铅笔作图画出必要的线

条与图形（包括辅助线），请将解答过程及答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：苏科版九年级全册

5.难度系数:0.65.

第I卷

一、选择题：（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，

恰有一项符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.己知的直径为8,点尸到圆心。的距离为6,则点尸与°。的位置是（）

A.点尸在。。上B.点尸在。。内

C.点尸在。。外D.无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是比较好点和圆心距离与半径大小.根据点与圆的

位置关系：点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小

于半径，点在圆内，据此判断即可.

【详解】解：的直径为8,

0（9的半径为4,

:点尸到圆心。的距离为6,6>4,

•••点P在。。外.

故选：C.

2.若根是方程f一％一1=。的一个根，则-2/+2a的值为（）

A.3B.0C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意得出加2=1，再将式子变形为-2（m2-m），代入计

算即可得解.

【详解】解：•••加是方程必—x—1=0的一个根，

m2—m—1—0，

m2—m=1，

-2m2+2m=-2（疗-mj=-2xl=-2,

故选：D.

3.如图，点尸在△ABC的边AC上，要判断添加一个条件，不正确的是（）

A.NABP=NCB.NAPB=NABC

APABAPAC

C-----=------D.-----=------

ABACBPCB

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键.分别利用相似三角

形的判定方法判断得出即可.

【详解】解：b、，：NABP=NC,NA=/A,

AABP^AACB,故A选项正确，不符合题意；

B、；NAPB=/ABC,NA=/A,

AABP^AACB,故B选项正确，不符合题意；

APAB

C、.--------，/A=XA，

ABAC

：.AABP^AACB,故C选项正确，不符合题意；

ApAr

D、当——=——时，无法得到△ABPSAACB,故D选项错误，符合题意.

BPCB

故选：D.

4.某班15名男生引体向上成绩如表，则这组数据的众数和中位数分别是（）

个数17121072

人数23451

A.7,10B.10,7C.3,12D.12,3

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查求中位数和众数，掌握中位数和众数的定义，是解题的关键.

根据中位数和众数的定义，即可求解.

【详解】解：•••引体向上做7个的人数最多，

•••众数为：7个，

•••第8个人的引体向上个数是10个，

...中位数为：10个，

故选：A.

5.如图，在平面直角坐标系中，VA5C与△AB'C是位似图形，位似中心为点。.若点4(—3,1)的对应点

为A(—6,2),则点3(-2,4)的对应点2的坐标为()

A.(-8,4)B.(8,4)C.(Y,8)D,(4,-8)

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键.根据点A与点A的坐标求出相似比,

再根据位似变换的性质计算即可.

【详解】解：•・•△ABC与AAB'C是位似图形，位似中心为点。，点4-3,1)的对应点为4(—6,2),

..△ABC与△A'5'C'的相似比为1:2,

・••点8的坐标为(—2,4),

•••点B的对应点B'的坐标为(-2x2,4x2),即(-4,8),

故选：C

6.如图，直线％=丘+〃与抛物线%=加+乐+。交于3(2,-3)两点，那么当%>%时，x

C.x<-3D.0<%<2

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了图象法求不等式的解集，结合函数图象找到一次函数图像在二次函数图象上方自

变量的取值范围即可.

【详解】解：由函数图象可知，当—l<x<2时，%>%，

故选：A.

7.如图，在VA3C中，AB=AC,以AC为直径的0。与A58c分别交于点连接AE,

DE,若NBED=45°,AB=2,则阴影部分的面积为()

D.兀

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，连接OE,0D,证明

S.AOD=ShAED,可得S阴影=s扇形。的，求解NAOD=90°，再利用扇形的面积公式计算即可.

【详解】解：连接OE,0D,

c

AC为o。的直径,

：.ZAEC=9Q°,

'：AB=AC,

：.BE=CE,

即点E是BC的中点,

;点。是AC的中点,

，OE是VABC的中位线,

/.OE//AB,

•6=S

•,^AAOD_2AAED，

S阴影=S扇形0Ao,

■：ZAEC=90°,

：.ZAEB=90°,

'：ZBED=45°,

，ZA£D=45°,

；•ZA0D=9Q°,

,_90TIxI2it

••扇形。no-360—「，

•c-2E

••Q阴影一］，

故选：A.

8.如图，已知二次函数y=江+笈+。（a,b,c是常数，a，0）的图像顶点为P（2,m）,且经过点

A（5,-2）.以下结论：①b>0；②。一Z?+c>0；③。<一］；④若ap?+bp=aq?十%且Pwq时,则

P=4—q；⑤对于任意实数加，总有加<4a+2b中，错误的有（）.

Vi

[。：\X

：V(5,-2)

।:\

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据该二次函数图像的顶点坐标及开口方向，易得b=Ta>0，即可判断结论①；由二次函数

图像的对称性，可知该二次函数图像经过点(—1,—2),可知当x=—1时，可有y=a—A+c=—2<0,可

判断结论②；首先将点4(5,-2)代入二次函数丁=加+法+c,整理可得c=—2—5a,再将点P(2,

代入二次函数_y=ox?+bx+c,整理可得加=一9。一2,结合机>0,可得可判断结论③；结

合ap2+bp=aq°+bq,可得(夕-q)[a(p+q)+b]=0,结合尸6=Ta可得p=4-q,可判断

结论④；根据该二次函数图像顶点为P(2,m),且开口向下，可得对于任意实数加，总有

am1+bm+c<4a+2b+c>整理可得an?+ZwzW4a+2》，即可判断结论⑤.

【详解】解：•••二次函数y=ax?+法+c的图像顶点为P(2,m),且开口向下，

b

a<0,且对称轴为直线x------2,

2a

：.b=-4a>0,故结论①正确；

•.•二次函数y=奴？+bx+c的对称轴为直线x=2,且经过点A(5,-2),

点4(5,-2)关于直线x=2的对称点为(―1,—2),

...当x=-L时，可有y=a—Z?+c=—2<0,故结论②错误；

将点A(5,-2)代入二次函数y=以2+入x+c,

可得—2=25〃+5b+c,

,**b——4(2,

・，・-2=25a+5x(-4a)+c,整理可得c=-2-5a,

将点P(2,根)代入二次函数y=a/+法+。，

可得加=4a+23+c,

将6=-4a,c=-2—5a代入，

可得利=4a+2x(—4a)+(—2—5a)=—9ci—2,

由图像可知，m>0,

2

，—9a—2>0,解得a<-一，故结论③错误；

9

ap~+bp=aq?+bq,

则有ap2+bp—[aq1+bq)=0,

整理可得勾尸-aq2+bp-bq-0,

二(p-q)[a(p+q)+可=0，

,:p于q,

：.a[p+q^+b-0,

又,：b=-4a，

a(p+q)-4a=0,

：.p+q=^,

：.p=4-q,故结论④正确；

根据题意，二次函数,=以2+公+。(a,b,c是常数，awO)的图像顶点为P(2,m),且该函数图

像开口向下，

，对于任意实数加，总有卬％2+Zw?+cK4a+2)+c，

即tw?+Zwi<4a+2Z?，故结论⑤错误.

综上所述，结论正确的有①④，共计2个.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、平方差公式的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运

用是解题关键.

第II卷

二、填空题(本大题共有8小题，每小题4分，共32分.请把答案直接填写在答题卡相应位

置上)

9.已知一元二次方程寸+丘+6=0有一个根为-1,则方程的另一根为一.

【答案】—6

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，设方程的另一根为西，根据-lx%=6,计算即

可.

【详解】解：设方程的另一根为当，

贝I]—1XX]=6,

解得％=—6,

故答案为：-6.

10.将二次函数y=3（尤-2）2-5的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的函

数图象的表达式为.

【答案】y=3（x+l）2-4

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键.

直接运用二次函数图像的平移规律解答即可.

【详解】解：由平移规律可得：将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所

得的函数图象的表达式为：y=3（x—2+3『—5+1=3（X+1）2—4,即y=3（x+l『-4.

故答案为：j=3（x+l）2-4.

11.已知圆锥的底面半径为4,母线长为5,该圆锥的侧面积为.

【答案】20万

【解析】

【分析】本题考查圆锥的侧面积知识.熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键.

本题根据圆锥的侧面积的计算公式：S=7irl,进行计算即可得到答案.

【详解】•••圆锥的底面半径为4,母线长为5,

S=m7=〃x4x5=20;r,

故答案为：20万.

12.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A、B、C、。都在格点上，AB、CD交

点尸，则sinNAPC=

一一/--7___।

【答案】交##,行

22

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

连接DE,CF,根据题意可得：AB//DE,从而可得NAPC=NEDC,然后利用勾股定理的逆定理

证明VCDE是直角三角形，从而可得NZ）。产=90°,进而可得NCDF=NCED=45°,然后利用等量

代换可得：ZAPC=ZCDF=45°,即可解答.

【详解】解：如图：连接DE,CF,

由题意得：AB//DE,

：.ZAPC=ZFDC,

由题意得：。。2=]2+22=5,

CF2=12+22=5.

FD2=12+32=10.

CD2+CF2=DF2,

:.ACDF是直角三角形，

:./DCF=90。,

・.・CD=CF=5

ZCDF=ZCFD=45°f

:.ZAPC=ZCDF=45°,

sinZAPC=—，

2

故答案为：也.

2

13.某校八年级选举了4名同学获得“学习之星”荣誉，其中有2名女同学，2名男同学，在这4名同学中

随机选2名同学作为学生代表在期末大会上发言，那么恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率为

【答案】~

3

【解析】

【分析】本题考查了列表格法求概率，由题意列出表格，然后根据概率公式，即可求出答案.

【详解】解：列表如下：

女1女2男1男2

女1---（女1,女2）（女1,男1）（女女男2）

女2（女女女1）---（女2,男1）（女女男2）

男1（男1,女1）（男1,女2）---（男1,男2）

男2（男2,女1）（男2,女2）（男2,男1）---

总共有12种等可能结果，其中恰好有1名男同学，1名女同学的结果有8种，

Q2

...恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率,

123

故答案为：—.

3

14.如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45。，看楼下荷塘。处的俯角为60。，已知楼高A3为33m,

则荷塘的宽CD为m（结果保留根号）.

【答案】（33-1173）

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，先说明AB=5。=33m,再由锐角三角函数定义

求出5D的长，即可解决问题.熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键.

【详解】解：•••从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45。，看楼下荷塘。处的俯角为60。，

AZACB=45°,ZADB=60°,

•/ZABC=90°,AB=33,

ZCAB=90°-ZACB=90°-45°=45°=ZACB,

BC=AB=33,

在中，ZADB=60°,

AB3333/r-

.・.BD=------------=---------=—=^lly/3,

tanZADBtan60°百

0）=30-30=（33-n百）（m）,

即荷塘的宽CD为（33—nl3）m.

故答案为：33-1N3.

15.如图，在菱形A3CD中，ZB=60°,BC=6,E为的中点，尸是A3上一点，G为AD上点，且

s

BF=2,NFEG=60°,EG交AC于点X,则苦之的值为.

【答案】4

【解析】

【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，先证明VABC为等

边三角形，进而证明△麻下石，列出比例式求出"石尸必。K的面积比，CH的长，进而求出AH

的长，再证明△AHGSACHE,求出△AHGqC/ffi的面积比，进而得到萨州的值即可.

^AAGH

【详解】解：•••菱形A3CD中，N3=60°,5c=6,

AB—BC=6，

VA3C为等边三角形，

AZC=60°=ZB,AC=BC=6,AD//BC,

VZCEF=ZB+ZBFE=ZFEG+ACEH,ZB=/FEG=60。,

/BFE=/CEH,

ABEF^ACHE,

.BEBF

"CH^~CE'

为BC的中点，

/.BE=CE=-BC=3,

2

,3_2

••一,

CH3

：.CH空,染J户

2SCEH{CEj9

34

,,=AC-CH=—,SxBEF=§S&EH,

•：AD//BC,

：・△AHGsKHE,

**q

"△CEH

•*S^AHG

□△BEF

^^AGH

故答案为：4.

16.如图，VA5C中，NACB=90。，AC=8C,点。是边AC上一动点，连接5。，以CD为直径的圆

交BD于点E,若AB=4,则线段长的最小值为.

【答案】屈_也

【解析】

【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造直角三角形解决问题.如图，取的中点T,连接ET，CE,AT.解直角三角形求出AT,

ET,根据AENAT—£T,可得结论.

【详解】解：如图，取的中点T,连接ET，CE,AT.

VA3C是等腰直角三角形，ZSAC=/ABC=45°,

AC=BC=显AB=2日

2

AT=VCT2+AC2=J(V2)2+=屈，

•/CD是直径，

/.NCED=NCEB=90。,

：.ET=-BC=41,

2

；AE2AT-ET=M-母,

AE的最小值为JIU-^2，

故答案为：

三、解答题(本大题共有9小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明，证明过程或演算步骤)

17.

(1)计算：3tan300+2sin600-12-V121

(2)解方程：(x—3)(2x+5)=x(x+2)—5

【答案】(1)2⑵%=-2,%=5

【解析】

【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值，学会利

用公式法解一元二次方程是解题的关键.

（1）先代入特殊角的三角函数值，再按实数的运算法则计算即可；

（2）先把方程化简整理为一般形式》2—3x-10=0,再利用公式法求解方程即可.

【小问1详解】

解：3tan300+2sin60°-|2-A/12|,

=3xg+2x¥—|2—2国，

=6+6+2-25

=2.

【小问2详解】

解：（x-3）（2x+5）=%（%+2）-5,

2%2+5x—6x—15=%2+2*一5，

冗2—3x—10=0，

a=lb=—3,c=—10,

A=/_4〃c=（_3）2—4x1x（-10）=49>0,

—b±VA3±7

x-------------------二-----------，

2a2

X]=­2,x2=5.

18.某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个

活动小组）：A.音乐，B.美术，C.体育，。.阅读，E.人工智能.为了解学生对以上兴趣活动的参与

情况，随机抽取了部分学生进行调查，并根据统计结果，绘制成了如图9所示的两幅不完整的统计图.

根据图中信息，完成下列问题：

人数

0o

9o

8O

7O

6O

5O

4O

3O

2O

1O

图9

(1)在这项调查中，共调查了名学生;

(2)将条形统计图补充完整(要求在条形图上方注明人数)，并求出扇形统计图中的圆心角。的度数;

(3)该学校从E组中挑选了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两人参加市

青少年人工智能竞赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率.

【答案】(1)300(2)补全条形图见解析，。=120°

⑶I

【解析】

【分析】本题考查了从条形图与扇形图中获取信息，利用画树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏

的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试

验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

(1)利用2组人数和百分比即可求解出共被调查的人数；

(2)利用总人数减去A,B,C,E组的人数即可求解。组人数，再补全统计图即可；由360°乘以。组的

占比即可得到圆心角的大小；

(3)画出树状图，数出所有的情况数和符合题意的情况数，再根据概率公式，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意可得：共调查总人数为：30-10%=300(人)；

【小问2详解】

解：。组人数为：300—40—30—70—60=100(人)，

补全图形如下：

・人数

300

【小问3详解】

解：记A,2表示男生,C,。表示女生，画树状图如图:

开始

BC

共有12种等可能的结果,其中抽到一名男生一名女生的有8种结果,

2

«-男一女)一12

3

19.如图，在正方形ABCD中，M为上一点，MELAM，ME交QD于E，交AD的延长线于点E.

(1)求证：八ABMs八MCF；

(2)若A3=4,BM=2,求ADER的面积.

【答案】(1)见解析⑵9

【解析】

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关

键.

(1)根据正方形的性质可得NB=NC=90。，3C〃AD根据同角的余角相等可得的〃=进而即可

证明结论;

(2)根据(1)的结论求得MC,C/根据3C〃AT),证明VDEFSVCM/，进而即可求得£>E，根据三

角形的面积公式即可得出答案.

【小问1详解】

证明：•.•四边形ABCD是正方形，

:.AB=BC=CD,Zfi=ZC=90°,BC//AD,

:.ZBAM+ZAMB^9Q0,

-.-ME±AM,

:.ZAME=9Q°,

:.ZAMB+ZFMC=90°,

:.ZBAM=ZFMC,

:.Z\ABM^Z^MCF；

【小问2详解】

解：-.-AB=4,

:.AB=BC=CD=4,

•：BM=2,

:.MC=BC—BM=4—2=2,

由（1）得：AABMs^MCF,

ABBM

...——=——,

CMCF

,4_2

,,一,

2CF

：.CF=\,

：.DF=CD-CF=4-1=3,

•：BC//AD,

:.ZEDF=ZMCF,/E=/EMC,

:.Z^DEFSACMF,

,DE_DF

^CM~~CF'

.DE_3

••=一,

21

DE=6，

「.△DEF的面积=g0E・O/=；x6x3=9,

答：△£比方的面积为9.

20.随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富.为增加该村村民收入，计划定价销售某土

特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下:

时间第一天第二天第三天第四天

力元15202530

y/袋25201510

若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价尤的一次函数关系相同，解决下列问题：

（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；

（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.

（利润=销售额-成本）

【答案】（1）日销量y关于每袋售价尤的函数关系式为y=—%+40

（2）每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元

【解析】

【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系.

（1）设日销售量y（袋）和每袋售价x（元）的函数关系式为丁=丘+6（左20）代入数据，利用待定系

数法即可求解；

（2）设每袋土特产的售价定为尤元，则日销量为（40-x）袋，成本为10（40-司，总利润为W元，根据销

售利润=销售每袋土特产的利润x每日的销售量，得到W与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解

即可.

【小问1详解】

解：设y=米+）（左工0）

将（15,25）,（20,20）代入丁=丘+6,

得《\25=15k+b

20=20k+b

解得上=—1,6=40

y=-x+40

日销量y关于每袋售价x的函数关系式为y=-x+40；

【小问2详解】

解：设每袋土特产的售价定为X元，则日销量为（40-九）袋，成本为10（40-X）,总利润为W元,

W=x（40-x）-10（40-x）（0<x<40）

=-x2+50%-400

=-（x-25丫+225,

当x=25时，W最大，最大值225

答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元.

21.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,均在格点上.

（1）A3的长为；

（2）若以A3为边的矩形ABCD,其面积为11.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出矩形

ABCD,并简要说明点C,。的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】（1）V13

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）直接利用勾股定理可得答案；

（2）如图，以AB为边画正方形钻砂，在点E的正下方取格点V,在点E的正下方取格点N,使

EM=FN=1,作射线M0,交AF于点。，交BE于点C,

则点C,。即为所求.即矩形ABCD即为所求.

【小问1详解】

解：由勾股定理得，AB”。=屈.

【小问2详解】

解：如图，以A3为边画正方形在点E的正下方取格点M，在点尸的正下方取格点N,使

EM=FN=1,作射线M0,交AF于点。，交助于点C,则点C,。即为所求.即矩形ABCD即为所

求.

理由如下：由作图可得：AF=AB=BE=EF=屈,AF2+AB2=26=BF2，

：.ZE4尸=90°,

•••四边形是正方形，

同理可得：四边形引VME是平行四边形,

AF工NM,

ZFDN=ZFKA=90°=ZADC,

...四边形ABCD是矩形，

•1,ZNFD=ZAFK,

：.AFDN^FKA,

.FN_FD

・m25

13

•••3白叵

13

...矩形A3CD的面积为回3x/=11.

13

【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正方

形的判定与性质，二次根式的运算，相似三角形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键.

22.如图VABC中，ZACB=90°,BE平分/ABC交AC于点E,以点E为圆心，EC为半径作。石交

AC于点R

A

（1）求证：AB与OE相切；

（2）若AB=15,BC=9,试求AF的长.

【答案】（1）见解析（2）3

【解析】

【分析】本题主要考查了圆与三角形综合，熟练掌握角平分线性质，圆切线判定和性质，切线长定理，勾股

定理，是解题的关键.

（1）作EHLAB于点人根据角平分线性质得M=得点以在OE上，即得A3与。E相切；

（2）根据勾股定理得AC=12,得AE=12—EC,根据是。E的切线，得出/=3。=9,得AH=6,

,9

根据4/72+92=.2,得62+石。2=。2—EC）-,解得EC=e，CF=9,即得AE=3.

【小问1详解】

证明：作于点H,

:BE平分NABC,ZACB=90°,

：.ECLBC,

EH=EC,

，点H在。E上,

二A5与相切.

【小问2详解】

解：VZACB=90°,AB=15,BC=9,

AC=y/AB2-BC2=12'

/.AEAC-EC=12-EC,

是OE的半径，BCLEC,

/.BC是OE的切线，

：.BH=BC=9,

；.AH=AB—BH=6,

•：ZAHE=9Q°,

AH~+EH2=AE?，

：.62+EC2=(12-EC)2,

9

/.EC=-,

2

CF=2EC=9,

：.AF=AC-CF=3,

AF的长为3.

23.为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为45。的改造为坡

角为30°的AC,已知BC=20j5米，点A，B,C,D,E,尸在同一平面内.

（1）求A3的距离；（结果保留根号）

（2）一辆货车沿斜坡从C处行驶到厂处，货车高所为6米，EFVAC,若CF=32米，求此时货

车顶端E到水平线的距离£>£.（精确至U0.1米，参考数据：拒《1.41，73^1,73）

【答案】⑴（206-20）米

（2）10.8米

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，矩形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角

形是解题的关键.

（1）过点C作CGLA8交的延长线于点G,在Rt/JSCG中，求出CG,BG,在Rt^ACG中，求

出AG,进而求出A3；

（2）过点F作FHLCD于点H,过点E作石于点M,证明出。石=HM,在RtZkCHH中，

求出切，在Rt/XERW中，求出口0,进而求出DE.

【小问1详解】

解：如图，过点C作CGLA3交A3的延长线于点G,

在Rt^BCG中，

•1­ZCBG=45°,BC=20近米,

CG=BC-sin45°=2072x—=20（米），

2

BG^BC-cos45°=272x—=20（米），

2

在RLACG中，

•••NC4G=30。，

CG

AG=爰=20/

tan30°（米）,

3

..A3=AG-BG=20g-20（米），

答：AB的距离为（206-20）米；

【小问2详解】

如图，过点F作FHLCD于点H,过点E作石于点M,

由题意，知即，CD,

四边形DEMH是矩形，

:.DE=HM，

在RtZXCFW中，

•.•CF=32米，NFCH=ZA=30。,

:.FH=-CF=-x32=16（米），

22

-,-EF1AC,

:.ZEFM+ZCFH=90°,

又ZFCH+ZCFH=90°，

:"EFM=/FCH=30。,

在R3EFM中，

•.•£F=6米，

FM=EF-cos30°=6x^=3y/3（米），

2

=FH-W=16-3A/3®16-3x1.73=10.81»10.8（米），

..DE々10.8米，

答:货车顶端£到水平线的距离DE约为10.8米.

24.如图①，在VA5C中，ZACB=9Q°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点3出发，在边上以

每秒5cm的速度向点A运动，同时动点。从点。出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点8运动，运动时

间为/秒，连接P2.

图①图②

（1）若V3PQ与VA3C相似，求才的值；

（2）求出V3PQ是轴对称图形时/的值；

（3）如图②，连接A。、CP,若A。垂直CP,直接写出f的值.

支

<])或

(1132一

=\t41

ZJ64

82

或

2或

9-3-5-7-

7

3)-8

【解析】

【分析】（1）由题意得3P=5/cm,CQ=4rcm,5。=（8—4/）cm,AB=10cm,再分

△PBQs^ABC和AQBP^AABC两种情况解答即可求解；

（2）当V3PQ为等腰三角形时，V3PQ是轴对称图形，分BP=BQ、BP=PQ、BQ=P。三种情

况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解；

（3）解：过P作PM15C于点M，AQ、C?交于点N,先证明LPBM“△ABC可得

BpPMBM

---=----=----,即得PA/=3/cm,BM=4tcm,CM=（8—4^）cm,再证明△AC（?sCMP,得到

ABACBCZi

据此即可求解；

CMMP

本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质并运用分类

讨论思想解答是解题的关键.

【小问1详解】

解：由题意得，BP=5tcm,CQ=4zcm,

5Q=（8-4r）cm,

Rt^ABC中，ZACB=9Q°,AC=6cm,5C=8cm,

•••AB=yjAC~+BC2=A/62+82=10cm，

当△PBQsAABC时，有”=也,

ABBC

5t8—4-t

即——=-----

108

解得，=1；

当△QBPs/vi5c时，有些=竺

ABBC

8-4z5t

即Rn-----=—

108

32

解得，=工；

41

32

综上‘若"PQ与V"C相似''的值为1或wp

【小问2详解】

解：当V3PQ为等腰三角形时，V3PQ是轴对称图形，分以下三种情况解答:

①当时，有5f=8—4f,

o

解得f=—;

9

②当成=尸。时，过点p作于Af,

则5M=QM=g5Q=（4—2/）cm,ZPMB=ZACB=90°,

ZPBM=ZABC,

；•MBM-AABC，

BPBM

ABBC

m5t4-2t

108

解得^=—；

AC

图①

③当BQ=PQ时，过点。作Q"_LBP于〃，

则ZQHB=ZACB=90°,

■：ZQBH=ZABC,

：.AQBHSAABC,

.BQBH

••一,

ABBC

5

即8-4/_5',

io-1"

64

解得，=一；

57

综上，当，的值为。或|或2时，V5PQ是轴对称图形；

【小问3详解】

解：过P作尸于点42、CP交于点N,如图所示,

则NPMB=NACB=90°,

Z.PBM=ZABC,

APBM“△ABC,

.BPPM