江苏省淮安市2024-2025学年高一年级上册1月期末考试 数学试卷（含解析）

江苏省淮安市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.6分）若集合/=（x+1）},8={工|/+'20},贝14nB=（）

A.（-8,-1）B.（-1,0）C.（-8,0]D.[0,+8）

2.6分）已知幕函数/G）的图象经过点（2,g），则函数/（、）的图象大致为（）

3.（5分）已知a的终边经过点P（1,y）,电力]仁=一匚拿，则tana=（）

A.-2B..jC.弓D.2

4.6分）已知扇形CM8的周长为8c加，圆心角N/O3=2nzd,则该扇形中弦长43=（）

A.2cmB.4cmC.2sinlcmD.4sinlcm

5.6分）已知x,蚱R,则孙＜0是|x-y|=|x|+[y|的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

6.6分）已知关于x的一元二次方程x2-]x+m=0的两根为sina,cosa,则加的值为（）

A24o24「八12

A•-塞B.空C--25D-25

7.6分）已知函数f（x）=击，xe(0,1)u(1,+oo),若f信)+f©)=2,则a+6的最小值为(

A.9B.得C.3D.4

/\fx2-4x,x<2

8.6分）已知函数’『J=14.|2x・12],X>2，若关于X的方程/（X）-f（2-a）=0至少有两个不等

的实根，则实数。的取值范围为（）

A.[-8,2扬]B.（-8,・8]u[2亚,+oo）

C.（-8,2⑼D.[-2瓦8]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）下列说法正确的有（）

A.若ac2>bc2,则a>b

a+b>2a>1

B.若，则

ab>1b>1

C.若4b>0,贝Ija-b叁4

fa<l

D.若｛b<］，则

（多选）10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图

1）,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒

车水轮圆心。距离水面1米（图3）,已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点尸从水中

浮现时（图3中点尸。）开始计时，点P距水面的高度可以用函数y=/sin（3x+（p）+B（/>0,3>0,

|<p|<,BeR）表示.下列结论正确的有（）

图1图2图3

A.点尸所满足的函数表达式为y=2sjn《ft-±）+l

B.点尸第一次到达最高点需用时5秒

C.尸再次接触水面需用时10秒

D.当点尸运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米

(多选)11.(6分)已知函数f(x)=sinx《2-cos，x,下列说法正确的有()

A.函数y=/(x)为奇函数

B.函数>=/(X)的周期为TT

C.函数尸/⑴在区间［-当,身上为增函数

D.当XC(0,+8)时，函数y=/(x)的图象恒在直线y=7^x的下方

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.6分)2/og43+iogj-.

13.6分)已知定义在R上的奇函数/(X)关于x=l对称，当0］时，/(x)=/-1,则/(2025)

14.6分)已知函数/(x)=-x+2,g(x)=/+2x-2a-若对VxCR,均有/(x)>0或g(x)>0,

且女6(-8,-3)使得f(x)・g(x)<0成立，则实数°的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.Q3分)已知集合/={x|/g(x-1)Wl},B^{x\Q<x+a<2}.

(1)当a=-2时，求/C3；

(2)若“x€B”是“x&l”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

16.(15分)已知a为第三象限角，且tana=2.

-、+siiin-ayo^n+a)

(1)-c。《祭a)的值;

(2)求.….1_-~~-的值.

sm^+smacosa^cos^

17.(15分)已知函数/(x)=loga(a-2x+l)+bx(a>0,aWl,6eR)的图象过点(0,-1),Q,log2

2).

弓

(1)求实数a,b的值；

(2)证明：函数/"(x)为偶函数；

(3)求关于x的不等式2-〃x〉+x<2x+3的解集.

18.(17分)如图，函数/•(X)=2COS(3X+9)(3〉0用的部分图象与直线尸一1交于a2两点，

点4室-1)，c(-0)在函数/G)的图象上，且△N3C的面积为芍.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)设2(x)=§f(x)+2在(0,号)上的两个零点为a,p,求cos(a+F+•的值；

(3)将函数/(x)的图象向右平移卷个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，若

y=g(x)在[0,b](b>0)上至少有10个零点，求最小正整数4

19.(17分)已知函数/(x)=x2-2x+a,a€R.

(1)若方程/(/(x))=0有4解，求。的取值范围；

(2)对VxC[l,2],(ax-1)/(x)20恒成立，求a的取值范围;

(3)对Vxi，X2，2],"(xJ-Rx?)(，恒成立,求人的取值

范围.

参考答案与试题解析

题号12345678

答案DBADACBA

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.6分)若集合/={x[y=>(x+1)},8={X|X2+XN0},贝！()

A.(…，-i)B.(-1,0)C.(-8,o]D.[0,+8)

【分析】分别求解集合/和3,再结合交集的定义求解即可.

【解答】解：因为/={x[y=/〃(x+1))={x|x>-1},8={x|x2+xN0}={x|x20或xW-1},

所以/C3={x|无\0}=[0,+8).

故选：D.

【点评】本题主要考查不等式的求解以及集合的基本运算，属于基础题.

2.6分)已知哥函数/(无)的图象经过点(2,，)，则函数/(X)的图象大致为()

【分析】先求出幕函数的解析式，再结合函数的图象特征，即可求解.

【解答】解：塞函数/(x)的图象经过点Q,m)，

则/G)=犬2=表，该函数的定义域为{x|xN0},为偶函数，图象关于〉轴对称，故3符合题意.

故选:B.

【点评】本题主要考查某函数解析式的求解，属于基础题.

3.(5分)已知a的终边经过点P(1,y),4j“a=-芈'则tana=()

A.-2B..2C.iD.2

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解.

.275y

【解答】解：因为a的终边经过点尸(1,y),皂na=o)

所以y<0,解得y=-2,

则tana='=-2.

故选：A.

【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题.

4.6分)已知扇形CM2的周长为8cm,圆心角N/02=2r〃，则该扇形中弦长/5=()

A.2cmB.4cmC.2sinlcmD.4sinlcm

【分析】设扇形的弧长为/，半径为r,圆心角为a,然后根据已知建立方程组求出，的值，再利用正弦

函数化简即可求解.

【解答】解：设扇形的弧长为/,半径为心圆心角为a,

J+2r=8

则由己知可得''=ar，解得r=2,

、a=2

则弦长48=2尸Si*=4sinlcm.

故选：D.

【点评】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题.

5.6分)已知x,yER,则孙<0是|x-y|=|x|+[y|的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

【分析】由充分性和必要性的判断方法判断即可.

【解答】解：若孙VO,则x,>异号，当x>0,y〈O，|x-y\=x-y=x+(-y)=\x\+\y\,

当x〈0,y>0,|x-y\=y-x=y+(-x)=|x|+[y],

所以盯VO可以推出-y\=\x\+\y\；

若|x-y|=|x|+帆,则当x=y=O时,等式成立，但此时孙VO不成立，

所以-y|=|x|+[y|不能推出xy<0.

所以盯VO是-y|=|x|+[y|的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查充分不必要条件的判断，属于基础题.

6.6分）已知关于x的一元二次方程x2-1x+271=0的两根为sina,cosa,则加的值为（）

A24D24„12n8

A.-25B.宏C,-250.交

【分析】由根与系数的关系可得sina+cosa=1,sinacosa=加，由同角三角函数的性质可得加的值.

【解答】解：关于龙的一元二次方程X2-打+m=0的两根为since,cosa,

△=（-）2-4m>0,可得机

可得sina+cosa=],sinacosa=m,

所以sin2a+cos2a+2sinacosa__1_，

~25

解得sinacosa_工，即机一工.

—'25-25

故选：C.

【点评】本题考查根与系数的关系及同角三角函数的性质的应用，属于基础题.

7.6分)已知函数爪)=企，xe(0,1)u(1,+8),若f④+f闺=2则a+b的最小值为（)

A.9B9C.3D.3

77

【分析】先对原函数分离常数得出f&）=l+吉，然后根据条件即可得出,+力=1'然后根据基

本不等式和1的代换即可得解.

【解答】解：爪）=1+*，由不，）+琥）=2得:1+真+1+±=2,整理得：4a+b=2ab,且

Q>0,b>0,

铝+去=1，

•・a+b=(a+bX¥+*)=l+率+**+2=自当且仅当书=》即f=3时取等号,

a+b的最小值为?.

故选：B.

【点评】本题考查了分离常数法的运用，基本不等式和1的代换，是中档题.

/\"x2-4xx42

8.6分)已知函数fx=，‘।一，若关于x的方程/(x)-/<2-a)=0至少有两个不等

IJ14-|2x-12|,x>2

的实根，则实数a的取值范围为（）

A.[-8,2^2-]B.(-8,-8]u[2亚，+8)

C.(-8,2⑶D.[-2也',8]

【分析】将函数写成分段函数，作出图象，将问题转化为关于x的方程/(x)=/(2-fl)至少有两个

不同的交点，结合图象可得2-2扬K2-aW10,求解即可.

\,,.”rtx2-4x,x<2

\(x2-4x,x<2

■ee=<.=<2x-8,2<x<6

【解答】解：因为(4-2x-12,x>2I/，

\/11116-2x,x>6

作出函数的图象，如图所示：

关于X的方程/(x)-f(2-a)=0至少有两个不等的实根，

即关于x的方程/G)=f(2-a)至少有两个不同的交点，

所以-4W/(2-a)W4,

当xW2时，令/'(x)=x2-4x=4,解得丁=2-26，

当x>6时，令/(x)=16-2x=-4,解得x=10,

所以2-2折K2-W10,

解得-8&W2而.

故选：A.

【点评】本题考查了函数与方程思想，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)下列说法正确的有()

A.若ac2>bc2,则a>b

以『则｛出

B.若

C.若a>6>0,则a-b>J-吉

fa<1

D.若［b<］，则

【分析】由不等式的性质逐一判断所给命题的真假.

【解答】解：/中，因为℃2>历2,可得c2>0,所以a>6,所以/正确；

（（

8中，若Ia卜4-b，>2，。=1，6=2也可以，所以a不>1正_确，所以8不正确；

lab>1lo>1

C中，a>b>0,a-b-（J-4）=（a-b）-空=,

dbabab

因为a-6>0,ab>Q,而l+a6>0,所以a-6-）>0,即所以C正确；

fa<1

。中，若［b<］，当。=6=-2时，则仍>1,则ab<l不正确.

故选：AC.

【点评】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题.

（多选）10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图

1）,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒

车水轮圆心。距离水面1米（图3）,已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点尸从水中

浮现时（图3中点尸o）开始计时，点尸距水面的高度可以用函数y=/sin（3x+（p）+B（/>0,3>0,

|<p|<,BER）表示.下列结论正确的有（）

图1图2图3

A.点尸所满足的函数表达式为y=2sjn《ft^）+l

B.点尸第一次到达最高点需用时5秒

C.尸再次接触水面需用时10秒

D.当点尸运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米

【分析】根据函数模型y=/sin（3x+（p）+8的定义与性质，求出/,8和T,3,cp,写出函数解析式,

再判断选项中的命题是否正确.

【解答】解：函数歹=/sin(o)x+(p)+B中，A=2,B—1,T—苧=15,所以o)=争=会，

1jrjr

x=0时，y=2sin(p+l=0,解得sin(p=-?因为所以<p=-%，

所以产2sin金厂京)+1,选项/错误；

令y=3,得sin(留x-卷)=1,则,x-卷=+2内t,解得x=5+15左，在N,

所以x的最小值为5,即点P第一次到达最高点需用时5秒，选项8正确；

72

由题意知，点P再次接触水面需用时15=10(秒)，选项C正确；

27r衣

当x=2.5时，y=2sin(石X2.5-不)+1=2,点尸距水面的高度为2米，选项。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，是中档题.

(多选)11.(6分)已知函数f(x)=sinx《2-cos2x,下列说法正确的有()

A.函数(X)为奇函数

B.函数>=/(x)的周期为TT

C.函数>=/(x)在区间［-当，号］上为增函数

D.当xe(0,+8)时，函数y=/(x)的图象恒在直线y=7^x的下方

【分析】根据题意，由奇函数的定义分析4由函数周期性的定义分析以由函数单调性的性质分析C,

由不等式的性质分析。，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于/,函数f(x)=sinx《2-cos2x,其定义域为R,有/(-X)=-f3,则/(x)为奇函数，A

正确；

对于B,f(x)=sinx^2-COS2X，有f(X+TT)=-sinx^2-COS-X>

则it不是函数/(x)的周期，8错误；

对于C,f(x)=sinx叔-COS2X=sinxJl+sin2X,

在区间［0,号］上，尸sinx为增函数且尸sinQO,y=Jl+s-2x也是增函数,

则/(x)=situ"+siMx在［0,夕］上递增，

又由y=/(x)为奇函数，则/(x)在区间［音，身上为增函数，C正确；

对于D,f(x)=siwcyJ2-COS2X=sinx^l+Sin2X,

当xW(0,+°°)时，由于sinxWx,J1+sil]2x•也"恒成立,故/(x)<JFx,

则函数y=/(x)的图象恒在直线y=@X的下方，。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查函数三角函数的奇偶性，涉及函数的最值，属于基础题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.6分)2/0"+104-23°=-1.

【分析】利用对数运算性质求解.

【解答】解：21og^+log^-2l0B^

=log49+/og4V-3

=log416-3

=2-3

=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查对数运算性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

13.6分)已知定义在R上的奇函数/G)关于x=l对称，当0]时，/(x)=/-1,则/(2025)

=±1.

—e—

【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得函数的周期性，结合函数的解析式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，函数/(X)为奇函数，/(-X)=-/G),

函数/(x)关于尤=1对称，则有/(x)=-/(2-X),

则有/(2-x)=-f(-x),变形可得f(x+2)=-f(x),

则有/(x+4)=~/(x+2)=/(x),即/(x)是周期为4的周期函数，

则/(2025)=/(1+4X506)=/(1)

又由当xC[-1,0]时，f(x)=F-1,则/(-1)=e7-1=旦，

则了(2025)=-f(-1)_&!.

故答案为：令1.

【点评】本题考查函数奇偶性和周期性的应用，涉及函数值的计算，属于中档题.

14.(5分)已知函数/(x)=-x+2,g(x)—X2+2X-2a-cr.若对VxCR,均有/(x)>0或g(x)>0,

且于e(-8,-3)使得/(x)・g(x)<0成立，则实数a的取值范围为ae(-4,-3)U(1,2)

【分析】将问题分为对WxCR,均有/(x)>0或g(x)>0和存在当x<-3时，f(x)g(x)<0两部

分进行求解.

【解答】解：首先分析对VxeR,均有/(x)>0或g(x)>0,令/(x)>0,解得x<2,

故当x22时需要g(x)>0,

易得二次函数g(x)的对称轴为x=-1,

故需确保g(2)>0且g(x)右边根治・2,

g(2)=8-2a-a2>0解得ae(-4,2),

皿=-I+4+1)2=-1+|Q+1]<2,解得-4,2],

综上，aE.(-4,2)①；

再分析存在当x<-3时，f(x)g(x)<0,

/(x)=-x+2>0,

故存在-3,g(x)<0,

故g(x)左边根xl=-1.j(a+lf=.1-|a+l|<-3,解得(-8,-3)u(1,+8)②，

综合①②，可得ae(-4,-3)U(1,2),

故答案为：aG(-4,-3)U(1,2).

【点评】本题考查函数存在性和恒成立问题，属于中档题.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知集合4={x|/g(x-1)Wl},B={x\0<x+a<2}.

(1)当a=-2时，求/C2；

(2)若“xGB”是“在/”的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【分析】(1)化简集合/与2,根据交集的定义求解即可；

(2)根据“x€B”是“XE4”的充分不必要条件，得8是N的真子集，由此得出实数a的取值范围.

【解答】解：(1)集合/={x|/g(x-1)Wl}={x|0<x-1W10}={X|1<XW11},

a=2时，B={x|0<x-2<2}={x|2<x<4},所以/{x|2<x<4}；

(2)若“x€B”是“xS”的充分不必要条件，则3是/的真子集，

由5={x|0<x+a<2}={x|-a<x<2-a],

f-a>1-aN1

得b-aWll或2_a<]]，解得-9Wa<1或-9V〃W-1,

综上，实数。的取值范围是｛Q|-9WQ<-

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了转化思想，是基础题.

16.(15分)已知a为第三象限角,且tana=2.

si《7r・a)cos(7r+a)

(1)求一co辱口)~的值；

⑵求sin2a+sinacosa-2cos2a的值•

【分析】(1)利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解；

(2)利用同角三角函数基本关系式即可求解.

【解答】解：(1)因为a为第三象限角，且tancF^=2,

所以siMa+cos2a=4cos2a+cos2a=1,解得cosa=_*(正值舍去),

sir^n-ajcoS^n^a)_sinc^-cosa)_厂

所以~菽亭荷~--sina-cosa=一堂；

/八__________1__________siMa+cos2a2、+l5

J)sin%+s加acosa-2cos2a-sin2aH-sinacosa-2cos2a—tan%x+tana-2-22+2-2-4，

【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题.

2x

17.(15分)已知函数/1(x)=loga(a-+l)+bx(a>0,a#l,bER)的图象过点(0,-1),(1,log2

针

(1)求实数a,b的值；

(2)证明：函数/(x)为偶函数；

(3)求关于尤的不等式2-73+》<2'+3的解集.

【分析】(1)由已知点的坐标代入即可求解a,b；

(2)结合偶函数的定义即可证明；

(3)结合指数函数的单调性即可求解.

【解答】解：(1)函数/(x)=loga(a"x+i)+6x的图象过点(0,-1),Q,log22)>

弓

X

所以/(0)=loga2=-1,即a],/(x)=log(1+4)+bx,

~22

则log5+6=log22>

2弓

所以6=1;

(2)证明：函数/(无)=log(1+4*)+x—x-log2(1+4X)=log2wlog2],x£R,

B百=7+P

1_____

/(-x)=log22*+z*_f(x),

故/(x)为偶函数；

(3)不等式2-/8+x<2'+3可化为1+4》<2*+3,

即⑵)2-2X-2<0,

解得-1<2工<2,

所以x<l,

故不等式的解集为{x|x<l}.

【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题.

此(17分)如图，函数£&)=2=水区+卬)(3>0,旧<m的部分图象与直线尸-1交于出2两点，

点从红，-1>C(三，0)在函数/(X)的图象上，且△48C的面积为用.

(1)求函数/(x)的解析式;

⑵设力(x)=§(x)+2在(0,手上的两个零点为a，0，求cos(a+/?+M的值；

(3)将函数/G)的图象向右平移笥个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，若

18

y=gG)在[0,b](6>0)上至少有10个零点，求最小正整数6.

【分析】(1)由题意可隼回=争,从而可得函数的一条对称轴号=跨，从而可得周期之多，

根据周期公式可得3的值，再代入C点坐标，即可求得函数的解析式；

(2)由题意可得。+0=等，代入求解即可；

(3)由题意得gG)=2cos3x+l,解出函数的零点，可得b的范围，再根据b为整数，即可得答案.

【解答】解：(1)因为喝日广力阳xl=F

得到同=备，

所以产了⑴的一条对称轴为*=号+卷=您，

此时47=兀・g=石，

则丁=警=法，从而解得3=3.

又f(£)=2cos(3x卷+*)=0,且M＜手,得平=£・

从而f(x)=2cos(3x+f)；

(2)由题意得力(x)=3cos(3x+?)+2,

令3cos(3x+亳)+2=0,

得到cos(3x+亳)=■可，

因为xw(。，。),3x+fe(f,粤),

所以(3a+£)+(33+£)=2it,

解得a+夕=等,

从而cos(a+G+菅)=cos号=-