沪教版上海六年级数学暑假课讲义：素数、合数与分解素因数（解析版）

第13讲素数、合数与分解素因数

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学习目标

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1、掌握素数、合数的概念；

2、理解素数、因数与素因数之间的联系和区别；

3、能从一个正整数（1除外）因数的个数判断其属于素数还是合数;

4、知道将一个合数分解素因数的几种方法；

5、熟练掌握用短除法将一个合数分解素因数的方法

||雷基础知识］，Q考点剖小

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知识点01素数、合数与分解素因

1、素数和合数

素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数;

合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。

注：1既不是素数，也不是合数。这样，正整数又可以分为1、素数和合数三类。

"1-------------------1个因数

正整数<素数------------2个因额

.合数------------至少3个因数

2、判断一个正整数是不是素数的方法

①查素数表

100以内的素数表

235711

1317192329

3137414347

5359616771

7379838997

②试除法：即从小到大用每一个素数2,3,5,7,……，依次去试除所给的正整数，如果它能比被

它小的某个素数整除，它就是合数，如果除得的商比除数小，但仍不能整除，它就是素数

3、素因数和分解素因数的概念以及分解素因数的方法

素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每一个素数都是这个合数的素因数。

分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

注：(1)素因数相对于合数而言，不能单独存在，比如：不能说2是素因数，单独说时它只是一个素数

(2)分解素因数时一定要分解到全部的因数都是素数为止，一个数分解素因数的形式是唯一的

(3)书写时一般写成“合数=素因数相乘”的形式

分解素因数的方法：

①树枝分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式，

以24为例，如右图所示：

注：逐步分解法一般运用在能直接看出是哪两个因数相乘的数上

②短除法步骤：

(1)用一个能整除这个合数的素数(通常从最小的开始)去除

(2)得到的商如果是合数，再按上面的方法继续除下去，直到得到的商是素数为止；

(3)然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。

注：(1)判断是不是分解素因数的关键是看每个因数是否为素数，且要符合正确的书写格式

(2)分解的结果一般将素因数按从小到大的顺序排列起来写

(3)在求一个数有哪些素因数时必须说出它的每一个素因数：例如：36=2X2X3X3的素因数有4个：2,

2,3,3,不能说2个：2和3

【典例分析】

1.下列说法正确的是()

A.素数只有自己一个因数B.素数不一定都是奇数

C.在正整数中，除了素数就是合数D.互素的两数没有公因数

【答案】B

【分析】根据素数的定义，素数，指的是“大于1的整数中，只能被1和这个数本身整除的数”，逐项分析判

断即可.

【详解】解：A.素数有1和自己两个因数，故该选项不正确，不符合题意；

B.素数不一定都是奇数，例如2,故该选项正确，符合题意；

C.在正整数中，1不是素数也不是合数，故该选项不正确，不符合题意.

D.互素的两数有公因数1,故该选项不正确，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查素数与合数的定义，掌握素数的定义是解题的关犍.

2、在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187>247中，是素数，合数有

个.

【答案】2、17、97；7.

【解析】素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；合数：一个正整

数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；1既不是素数，也不是合数.

3.在下列说法中，正确的是（）

A.合数都是偶数B.2的倍数都是合数

C.2的倍数都是偶数D.5的倍数都是奇数

【答案】C

【分析】根据奇数、偶数、合数、倍数、合数的定义分析，即可完成求解.

【详解】:15是合数，但不是偶数，

故选项A错误；

是2的倍数，但2不是合数，

故选项B错误；

•••偶数是能整除2的数，

•••2的倍数都是偶数正确，

故选项C正确；

：5x2=10,10是5的倍数，但10是偶数，

故选项D错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了奇数、偶数、合数、倍数的知识；解题的关键是熟练掌握奇数、偶数、合数、倍数的

性质，从而完成求解.

4.18的因数有,18的素因数有.

【答案】1、2、3、6、9、182、3、3

【分析】所有能整除18的数是18的因数，素因数就是质因数，素数的定义是：一个正整数，如果只有1

和它本身两个因数，这样的数叫做素数也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫

做合数，合数都可以写成几个素因数相乘的形式，据此进行解答即可.

【详解】解：18的因数有1、2、3、6、9、18；又因为18=2x3x3,故18的素因数为2、3、3.

故答案为：1、2、3、6、9、18；2、3、3.

【点睛】此题考查了因数和素因数，解题的关键是掌握因数和素因数的定义：①整数。能被整数6整除，a

就叫做。的倍数，6就叫做。的因数（也称为约数），因数和倍数是相互依存的；②每个合数都可以写成几

个素数（质数）相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数.

5、面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？

【答案】44厘米或36厘米或34厘米.

【解析】72=4x18=6x12=8x9,

则①长方形的长为18厘米，宽为4厘米，此时的周长为2xQ8+4）=44厘米；

②长方形的长为12厘米，宽为6厘米，此时的周长为2xQ2+6）=36厘米；

③长方形的长为9厘米，宽为8厘米，此时的周长为2,（8+9）=34厘米.

||西真题演练

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1.（2022秋・上海•六年级校考阶段练习）按要求填数:

1,2,3,4,7,8,9,11,15,31,47,87,123

奇数有：

偶数有：

素数有：

合数有：

2.（2022秋・上海静安•六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）将15写成两个素数相加的形式是

3.（2022秋・上海金山.六年级校联考期末）把24分解素因数，正确的形式是（）

A.24=2x3x4B.1x2x2x2x3=24

C.24=2x2x2x3D.2x2x2x3=24

4.（2022秋・上海•六年级校考阶段练习）下列各式中表示分解素因数的式子是（）

A.2x3=6；B.28=2x2x7；C.12=4x3x1；D.30=5x6.

5.（2022秋.上海静安•六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）下面说法正确的是（）

A.最小的素数是1；

B.一个合数至少有3个因数；

C.因为2.6+1.3=2,所以2.6能被1.3整除；

D.16的因数有2,4,8,16.

6.（2022秋・上海•六年级校考阶段练习）把以下各数分解素因数

⑴60

（2）182

7.（2021秋・上海嘉定・六年级统考期中）规定一种新运算，对于一个合数”（〃）表示不是w的素因数的最

小素数，如（4）=3,（12）=5,那么（60）=.

8.（2022秋•上海普陀•六年级校联考期末）下列说法中，正确的是（）

A.所以的素数都是奇数

B.分解素因数12=1x2x2x3

C.因为12+6=2,所以12是倍数，6是因数

D.能被5整除的奇数，它的个位上的数字一定是5

9.（2022秋・上海静安.六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）将28和70分解素因数，并写出它

们公有的素因数.

10.（2022秋•上海•六年级专题练习）如果某个小于100的正整数同时具备下列条件：

①这个数与1的差是素数；

②这个数被2除所得的商也是素数；

③这个数除以9的余数是5.

那么我们称这样的数是幸运数.在那么两位数中，最大的幸运数是几？

参考答案:

1.见解析

【分析】根据奇数，偶数，素数，合数的概念求解即可.

【详解】奇数有：1,3,7,9,11,15,31,47,87,123；

偶数有：2,4,8；

素数有：2,3,7,素31,47；

合数有：4,8,9,15,87,123.

【点睛】此题考查了奇数，偶数，素数，合数的概念，解题的关键是熟练掌握奇数，偶数，素数，合数的

概念.

2.15=2+13

【分析】素数是只能被1或者自己整除的自然数，然后求解即可.

【详解】解:15=2+13,

故答案为：15=2+13.

【点睛】题目主要考查素数的定义及加法，理解素数的定义是解题关键.

3.C

【分析】根据分解素因数的方法，把一个合数写成几个质数连乘的形式，叫做分解素因数，据此回答即可

【详解】；24=2仓也2?3

故选：C

【点睛】本题考查了分解素因数，熟练掌握知识点并牢记每个因数必须是质数是解题的关键

4.B

【分析】根据分解素因数的定义及计算方法逐项验证即可得到答案.

【详解】解：A、2*3=6是乘法运算，不是分解素因数，不符合题意；

B、根据分解素因数计算方法，28=2x2x7是分解素因数，符合题意；

C、根据分解素因数定义及计算方法，12=3x2x2,故12=4x3x1不是分解素因数，不符合题意；

D、根据分解素因数定义及计算方法，30=2x3x5而不是30=5x6,该项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查分解素因数的定义及计算方法，熟练掌握分解素因数定义及方法是解决问题的关键.

5.B

【分析】根据素数，合数，整除及因数的定义逐项判断即可得解；

【详解】解：A.在大于零的自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数叫素数，所以最小的素数为2,

不是1,故选项错误；

B.一个合数至少有3个因数，故本选项正确；

C.整数力”除以大于0的整数?"，商为整数，且没有余数.我们就说。能被b整除.根据整除的定义，除

法算式的中被除数与除数必须为整数，算式26+1.3=2中被除数与除数为小数，所以不能说2.6能被1.3整

除，故选项错误；

D.16的因数有1,2,4,8,16.本选项中少1,故选项错误.

故选择：B

【点睛】考查了有理数的乘除法，完成此类题目要根据有关定义认真分析选项中的说法，从而得出正确选

项.

6.⑴60=2x2x3x5

（2）182=2x7x13

【分析】（1）根据分解素因数的方法，把一个合数写成几个质数连乘的形式，叫做把这个合数分解素因数,

据此作答即可.

（2）根据分解素因数的方法，把一个合数写成几个质数连乘的形式，叫做把这个合数分解素因数，据此作

答即可.

【详解】（1）60=2x2x3x5.

（2）182=2x7x13.

【点睛】本题主要考查分解素因数，正确理解素因数的定义是解题的关键.

7.7

【分析】根据仅）表示不是”的素因数的最小素数，可以得到（60）=7即可.

【详解】解:因为60=2x2x3x5,

所以（60）=7.

故答案为：7.

【点睛】本题考查的是素数与合数的含义，分解质因数、新运算，解答本题的关键是会用新运算解答问题.

8.D

【分析】根据素数、分解素因数等相关知识，对选项逐个判断即可.

【详解】解：A、2是素数，但是2是偶数，不是奇数，说法错误，不符合题意；

B、12=1x2x2x3,其中1不是素数，所以是错误的；

C、不能单说一个数是倍数或者因数，12是6的倍数，6是12的因数，说法错误，不符合题意；

D、个位上是0或5的数，是5的倍数，5的倍数中是奇数，个位上一定是5,说法正确，符合题意；

故选：D

【点睛】此题考查了素数、奇数、倍数及因数的相关概念，解题的关键是熟练掌握相关基础知识.

9.28=2x2x7,70=2x5x7；公有的素因数是2,7；

【分析】将28和70写成素因数的积，找出相同的因数即可得到答案；

【详解】解：28=2x2x7,70=2x5x7,

所以它们公有的素因数是2,7；

【点睛】本题考查素因数的概念：素因数也称质因数，如果一个数的约数是素数则这个数叫做这个数的素

因数.

10.14

【分析】先找出满足(3)的这个数，即找出小于100的9的倍数减去5即可，然后再从(3)中找出满足(1)的数,

最后从满足(1)的数中找出满足(2)的这个数，据此解答.

【详解】100以内9的倍数有:9、18、27、36、45、54、63、72、80、81、90、99,

满足(3)这个数除以9的余数是5的有:14、23、32、41、50、59、68、77、86、95,

满足⑴这个数与1的差是质数：14、32、68,

满足(2)这个数除以2所得的商也是质数:14,

答：这个幸运数是14

【点睛】本题考查了素数、9的倍数、除以9余5的数，解答本题要注意条件之间的兼容性与互斥行相结合.

|］可过关检测

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1.由式子6=2x3,我们说2和3都是6的()

A.素数B.素因数C.互素D.公因数

2.正整数中，关于9的倍数，下列说法正确的是()

A.都是偶数B.都是奇数C.都是素数D.都是合数

3.在下列说法中，正确的是()

A.奇数都是素数B.奇数是合数

C.两个连续的正整数互素D.在正整数中，除了素数都是合数

4.若两个正整数都是素数，则它们的乘积一定是()

A.奇数B.偶数C.素数D.合数

5.下列说法中，正确的是（）

A.3.6+04=9,所以3.6能被。.4整除B.12的因数有6个

C.一个素数和一个合数一定互素D.在正整数中，偶数都是合数

6.把110分解素因数：110=.

7.在以下数：1,2,4,9,19,51,57,81,91,93,97中，合数是.

8.一个两位数既是奇数又是合数，如果它能同时被3和5整除，那么这个数最大的是

9.三个自然数a,b,c,已知ax6=6,/?xc=15,cxa=10,那么ax/?xc=.

10.两个素数的差是15,则这两个素数的积是.

11.如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组学生素数.如11和13就是一组挛生素数，

（1）请你举出除此之外的两组学生素数;

（2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写出一组“三胞胎素数”.（本题只需直接

写出答案）

12.猜电话号码ABCDEF

A：10以内最大的素数B：最小的合数

C:即是偶数，又是素数D：它的所有因数是1,2,3,6

E：它既是4的倍数，又是4的因数F：最小的自然数

13.下列说法正确的是（）

A.比3小的自然数只有1和2

B.若“，6都是素数，则力2=axb一定是合数

C.所有正整数，不是素数就是合数

D.12的因数只有2、3、4、6

14.下列说法中正确的是（）

A.互素的两个数的最大公因数是1B.如果6+5=12,那么可以说6能被5整除

C.在正整数中，所有的素数都是奇数D.一个合数至少有4个因数

15.最小的合数是（）

A.2B.4C.6D.15

16.在正整数32,47,71,91,93中,素数的个数有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

17.下列说法正确的是（

A.9能被18整除B.所有的偶数都是合数

C.在正整数中，除了素数就是合数D.任何合数都至少有三个因数

18.阅读理解：截尾素数73939133这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是素数，还因为把最末位数

字依序“截尾”后，余下的数仍然是素数.如：73939133,7393913,739391,73939,7393,739,73,7.具

有这样性质的数叫“截尾素数”.巧的是，它也是具有这种性质的最大数，总共有83个数具有这样的性质.在

100以内的素数中，最大的截尾素数是.

19.如果两个素数的和是奇数，那么其中较小的素数是.

20.在数5、7、9、15、17、21、23、27、33、37、57、97中，素数有个.

21.已知P、。+2、。+6、。+8、p+14都是素数，则素数。值是

22.有一个三位数，百位上的数字是最小的合数，十位上的数字是最小的自然数，个位上的数字是最小的

素数，这个三位数是.

23.一个长方形的周长是20厘米，如果长、宽的值都是素数，这个长方形的面积是多少平方厘米？

24.用短除法分解素因数.

⑴12

(2)105

25.证明：40+1054是个合数.

参考答案

1.B

【分析】根据题意可知2,3都是6的因数，又2,3都是素数，即可求解.

【详解】解：由式子6=2x3,我们说2和3都是6的素因数，

故选:B.

【点睛】本题考查了素因数，掌握素因数的定义是解题的关键.

2.D

【分析】写出9的倍数，如9,18,27,36,45,54…，观察可得这些数除了1和它本身，还有其他因数，再结合合

数的定义，即可得出答案.

【详解】解：；9的倍数有：9,18,27,36,45,54…，

又•.•这些数除了1和它本身，还有其他因数，

••.9的倍数一定都是合数.

故选：D

【点睛】本题考查了倍数、偶数、奇数、素数、合数，解本题的关键在熟练掌握其定义.

3.C

【分析】根据素数、合数的定义解答即可.

【详解】解：A.奇数都是素数.说法错误，例如15是奇数，但是它是合数，故该选项不符合题意；

B.奇数是合数.说法错误，例如3是奇数，但是它是素数，故该选项不符合题意；

C.两个连续的正整数互素.说法正确，符合题意；

D.在正整数中，除了素数都是合数.说法错误，1既不是素数也不是合数，故该选项不符合题意；

故选:C

【点睛】本题考查素数和合数，解题的关键是理解素数定义：在大于1的自然数中，除了1和它本身两个

因数外不再有别的因数，这样的数叫素数；合数的定义：在大于1的整数中，除了能被1和它本身整除外,

还能被别的数整除（0除外），这样的数叫合数，1既不是素数也不是合数.

4.D

【分析】素数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身的因数外，还有其它因数的数，据

此判断即可.

【详解】:•两个素数相乘，得到的数的因数包含这两个素数，

.•.它们的乘积一定是合数，

故选：D.

【点睛】本题考查素数和合数，熟知素数和合数的概念是解答的关键.

5.B

【分析】根据有理数的除法可判断A,根据因数的定义可判断B,根据素数和合数的定义可判断D.

【详解】解：A.整除必须是：被除数、除数和商都要是整数，选项A不符合题意；

B.12的因数有1、2、3、4、6、12,共有6个，则选项B符合题意；

C.2是素数，4是合数它们不互质，则选项C不符合题意

D.在正整数中，2是偶数，但它不是合数，选项D不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了有理数的除法，因数，合数和素数，掌握因数，合数和素数的定义是解题的关键.

6.2x5x11

【分析】根据质因数定义解答即可.

【详解】解：110=2x5x11,

故答案为：2x5x11.

【点睛】本题考查了分解质因数，比较基础，掌握分解质因数的方法是解题的关键.

7.4,9,51,57,81,91,93

【分析】根据合数的意义，一个数除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；由此解答即可.

【详解】解：在1，2,4,9,19,51,57,81,91,93,97中，4=2x2，9=3x3,51=17x3,57=19x3,

81=9x9,91=13x7,93=31x3,

合数有4,9,51,57,81,91,93.

故答案为：4,9,51,57,81,91,93.

【点睛】本题考查了合数的定义，明确合数的意义，是解答此题的关键.

8.75

【分析】根据能被3、被5整除的数的特点，按照“两位数、奇数、合数”的条件对3和5的公倍数进行筛选,

找出最大的数即可.

【详解】解：能被5整除的数末尾一定是5或0,因为是奇数，所以末尾只能是5；

能被3整除的数所有数位上的数加起来一定是3的倍数；

能够同时被3和5整除的数一定是合数；

满足上述条件的两位数只有15,45,75,最大的是75.

故答案为：75.

【点睛】本题考查3和5的倍数特征，奇数、合数的概念等，解题的关键是找出能同时被3和5整除的两

位奇数.

9.30

【分析】分别将6、15、10分解质因数，从而求出自然数a,6,c的值，再相乘即可求解.

【详解】解：76=2x3,15=3x5、10=2x5,

•=Z?—3,c=5,

«xZ;xc=2x3x5=30,

故答案为：30.

【点睛】本题考查合数分解质因数，分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简

单的质数试着分解，解题的关键是求得自然数a,8,c的值.

10.34

【分析】根据质数的含义，质数又叫作素数，是指除了本身和1之外，没有其它因数的数，即质数只有1

和它本身两个约数，先找到20以内的素数，再找到差是15的两个素数，然后再求出积即可知道答案.

【详解】解：20以内的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19；

差是15的两个素数：2和17；

这两个素数的积=2x17=34

故答案为：34.

【点睛】解答此题要掌握质数的含义和熟记20以内的质数.

11.(1)3和5,17和19

(2)3,5和7

【分析】(1)根据“挛生素数”的定义进行解答即可得；

(2)根据“三胞胎素数”的定义进行解答即可得.

【详解】(1)解：根据题意得，3和5是一组挛生素数，17和19是一组李生素数；

(2)解：3,5和7是一组“三胞胎素数”.

【点睛】本题考查了素数，解题的关键是理解题意.

12.742640

【分析】根据数的特征，10以内最大的素数是7；最小的合数是4；即是偶数，又是素数是2；6的所有因

数是1,2,3,6；4既是4的倍数，又是4的因数；最小的自然数是0,即可得到答案.

【详解】解：由题意可知，

10以内最大的素数是7,则A=7；

最小的合数是4,则3=4；

即是偶数，又是素数是2,则C=2；

6的所有因数是1,2,3,6,则0=6；

4既是4的倍数，又是4的因数，则E=4；

最小的自然数是0，则尸=0；

电话号码ABCDEF是742640.

【点睛】本题考查数的认识，涉及素数、质数、合数、偶数、自然数、倍数及因数等知识，熟记相关定义

是解决问题的关键.13.B

【分析】根据自然数的定义、素数和合数的定义、因数的定义判断分析即可求解.

【详解】A.比3小的自然数有0、1和2,故本选项不符合题意；

B.若a,6都是素数，则^=。、6一定是合数，说法正确，本选项符合题意；

C.所有正整数，不是质数就是合数，说法错误，例如，1既不是质数，也不是合数，本选项不符合题意；

D.12的因数有1、2、3、4、6、12,本选项不符合题意，

故选：B.

【点睛】本题考查了自然数的定义、素数和合数的定义、因数的定义，解题的关键是熟记以上定义或概念.

14.A

【分析】根据素数的定义求解即可

【详解】解：A.互素的两个数的最大公因数是1,故A符合题意；

B.如果6+5=12,那么可以说6能被5整除，故B不符合题意；

C.2是素数不是奇数，故C不符合题意；

D.4是合数，4只有三个因数，故D不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查了合数与质数的初步认识，解题关键是理解素数与奇数的关系.

15.B

【分析】根据合数的定义即可求解.

【详解】解：最小的合数是4,

故选B.

【点睛】本题考查了合数的定义，掌握合数的定义是解题的关键.如果一个数只有1和它本身两个因数，

那么这样的数叫做素数（或质数）.如：2、3、5、7都是素数.合数：如果一个数除了1和它本身还有

别的因数，那么这样的数叫做合数.如：4、6、15、49都是合数.

16.B

【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有其他因数的数为素数.

【详解】解：根据素数的定义：47、71为素数，共2个，

故选：B.

【点睛】本题考查了素数的概念，熟记概念是解题关键.

17.D

【分析】根据整除的定义、偶数、合数与素数的定义逐项判断即可得.

【详解】解：A、9+18=0.5,所以9不能被18整除，则此项错误，不符合题意；

B、偶数2是素数，不是合数，则此项错误，不符合题意；

C、在正整数中，1既不是素数也不是合数，则此项错误，不符合题意；

D、在自然数中，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，所以任何合数都至少有三个因数，则此项

说法正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了整除、偶数、合数与素数，熟记各定义是解题关键.

18.79

【分析】根据题意，写出在100以内的素数，结合截尾素数的定义，找出最大的截尾素数即可求解.

【详解】解:在100以内的素数中，较大的素数分别为97,89,83,79,73,71,67等等，

其中是截尾素数的是79,73等等，

故100以内的素数中最大的截尾素数是79.

【点睛】本题考查了新定义，掌握新定义，以及100以内的素数是解题的关键.

19.2

【分析】根据10以内的素数，最小的素数为2,即可求解.

【详解】解：：2+3=5,2,3是素数，

较小的素数是2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了素数，掌握10以内的素数是解题的关键.

20.6

【分析】根据素数的定义：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，即可得

出答案.

【详解】解: