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文档简介
第13讲素数、合数与分解素因数
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学习目标
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1、掌握素数、合数的概念;
2、理解素数、因数与素因数之间的联系和区别;
3、能从一个正整数(1除外)因数的个数判断其属于素数还是合数;
4、知道将一个合数分解素因数的几种方法;
5、熟练掌握用短除法将一个合数分解素因数的方法
||雷基础知识],Q考点剖小
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知识点01素数、合数与分解素因
1、素数和合数
素数:一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫做质数;
合数:一个正整数,如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数。
注:1既不是素数,也不是合数。这样,正整数又可以分为1、素数和合数三类。
"1-------------------1个因数
正整数<素数------------2个因额
.合数------------至少3个因数
2、判断一个正整数是不是素数的方法
①查素数表
100以内的素数表
235711
1317192329
3137414347
5359616771
7379838997
②试除法:即从小到大用每一个素数2,3,5,7,……,依次去试除所给的正整数,如果它能比被
它小的某个素数整除,它就是合数,如果除得的商比除数小,但仍不能整除,它就是素数
3、素因数和分解素因数的概念以及分解素因数的方法
素因数:每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每一个素数都是这个合数的素因数。
分解素因数:把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。
注:(1)素因数相对于合数而言,不能单独存在,比如:不能说2是素因数,单独说时它只是一个素数
(2)分解素因数时一定要分解到全部的因数都是素数为止,一个数分解素因数的形式是唯一的
(3)书写时一般写成“合数=素因数相乘”的形式
分解素因数的方法:
①树枝分解法:利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式,
以24为例,如右图所示:
注:逐步分解法一般运用在能直接看出是哪两个因数相乘的数上
②短除法步骤:
(1)用一个能整除这个合数的素数(通常从最小的开始)去除
(2)得到的商如果是合数,再按上面的方法继续除下去,直到得到的商是素数为止;
(3)然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
注:(1)判断是不是分解素因数的关键是看每个因数是否为素数,且要符合正确的书写格式
(2)分解的结果一般将素因数按从小到大的顺序排列起来写
(3)在求一个数有哪些素因数时必须说出它的每一个素因数:例如:36=2X2X3X3的素因数有4个:2,
2,3,3,不能说2个:2和3
【典例分析】
1.下列说法正确的是()
A.素数只有自己一个因数B.素数不一定都是奇数
C.在正整数中,除了素数就是合数D.互素的两数没有公因数
【答案】B
【分析】根据素数的定义,素数,指的是“大于1的整数中,只能被1和这个数本身整除的数”,逐项分析判
断即可.
【详解】解:A.素数有1和自己两个因数,故该选项不正确,不符合题意;
B.素数不一定都是奇数,例如2,故该选项正确,符合题意;
C.在正整数中,1不是素数也不是合数,故该选项不正确,不符合题意.
D.互素的两数有公因数1,故该选项不正确,不符合题意;
故选:B.
【点睛】本题考查素数与合数的定义,掌握素数的定义是解题的关犍.
2、在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187>247中,是素数,合数有
个.
【答案】2、17、97;7.
【解析】素数:一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,则叫做素数,也叫做质数;合数:一个正整
数,如果除了1和它本身以外还有别的因数,则叫做合数;1既不是素数,也不是合数.
3.在下列说法中,正确的是()
A.合数都是偶数B.2的倍数都是合数
C.2的倍数都是偶数D.5的倍数都是奇数
【答案】C
【分析】根据奇数、偶数、合数、倍数、合数的定义分析,即可完成求解.
【详解】:15是合数,但不是偶数,
故选项A错误;
是2的倍数,但2不是合数,
故选项B错误;
•••偶数是能整除2的数,
•••2的倍数都是偶数正确,
故选项C正确;
:5x2=10,10是5的倍数,但10是偶数,
故选项D错误;
故选:C.
【点睛】本题考查了奇数、偶数、合数、倍数的知识;解题的关键是熟练掌握奇数、偶数、合数、倍数的
性质,从而完成求解.
4.18的因数有,18的素因数有.
【答案】1、2、3、6、9、182、3、3
【分析】所有能整除18的数是18的因数,素因数就是质因数,素数的定义是:一个正整数,如果只有1
和它本身两个因数,这样的数叫做素数也叫做质数;如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫
做合数,合数都可以写成几个素因数相乘的形式,据此进行解答即可.
【详解】解:18的因数有1、2、3、6、9、18;又因为18=2x3x3,故18的素因数为2、3、3.
故答案为:1、2、3、6、9、18;2、3、3.
【点睛】此题考查了因数和素因数,解题的关键是掌握因数和素因数的定义:①整数。能被整数6整除,a
就叫做。的倍数,6就叫做。的因数(也称为约数),因数和倍数是相互依存的;②每个合数都可以写成几
个素数(质数)相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数.
5、面积是72平方厘米的长方形,它的长和宽的厘米数都是合数,这个长方形的周长可能是多少厘米?
【答案】44厘米或36厘米或34厘米.
【解析】72=4x18=6x12=8x9,
则①长方形的长为18厘米,宽为4厘米,此时的周长为2xQ8+4)=44厘米;
②长方形的长为12厘米,宽为6厘米,此时的周长为2xQ2+6)=36厘米;
③长方形的长为9厘米,宽为8厘米,此时的周长为2,(8+9)=34厘米.
||西真题演练
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1.(2022秋・上海•六年级校考阶段练习)按要求填数:
1,2,3,4,7,8,9,11,15,31,47,87,123
奇数有:
偶数有:
素数有:
合数有:
2.(2022秋・上海静安•六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中)将15写成两个素数相加的形式是
3.(2022秋・上海金山.六年级校联考期末)把24分解素因数,正确的形式是()
A.24=2x3x4B.1x2x2x2x3=24
C.24=2x2x2x3D.2x2x2x3=24
4.(2022秋・上海•六年级校考阶段练习)下列各式中表示分解素因数的式子是()
A.2x3=6;B.28=2x2x7;C.12=4x3x1;D.30=5x6.
5.(2022秋.上海静安•六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中)下面说法正确的是()
A.最小的素数是1;
B.一个合数至少有3个因数;
C.因为2.6+1.3=2,所以2.6能被1.3整除;
D.16的因数有2,4,8,16.
6.(2022秋・上海•六年级校考阶段练习)把以下各数分解素因数
⑴60
(2)182
7.(2021秋・上海嘉定・六年级统考期中)规定一种新运算,对于一个合数”(〃)表示不是w的素因数的最
小素数,如(4)=3,(12)=5,那么(60)=.
8.(2022秋•上海普陀•六年级校联考期末)下列说法中,正确的是()
A.所以的素数都是奇数
B.分解素因数12=1x2x2x3
C.因为12+6=2,所以12是倍数,6是因数
D.能被5整除的奇数,它的个位上的数字一定是5
9.(2022秋・上海静安.六年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中)将28和70分解素因数,并写出它
们公有的素因数.
10.(2022秋•上海•六年级专题练习)如果某个小于100的正整数同时具备下列条件:
①这个数与1的差是素数;
②这个数被2除所得的商也是素数;
③这个数除以9的余数是5.
那么我们称这样的数是幸运数.在那么两位数中,最大的幸运数是几?
参考答案:
1.见解析
【分析】根据奇数,偶数,素数,合数的概念求解即可.
【详解】奇数有:1,3,7,9,11,15,31,47,87,123;
偶数有:2,4,8;
素数有:2,3,7,素31,47;
合数有:4,8,9,15,87,123.
【点睛】此题考查了奇数,偶数,素数,合数的概念,解题的关键是熟练掌握奇数,偶数,素数,合数的
概念.
2.15=2+13
【分析】素数是只能被1或者自己整除的自然数,然后求解即可.
【详解】解:15=2+13,
故答案为:15=2+13.
【点睛】题目主要考查素数的定义及加法,理解素数的定义是解题关键.
3.C
【分析】根据分解素因数的方法,把一个合数写成几个质数连乘的形式,叫做分解素因数,据此回答即可
【详解】;24=2仓也2?3
故选:C
【点睛】本题考查了分解素因数,熟练掌握知识点并牢记每个因数必须是质数是解题的关键
4.B
【分析】根据分解素因数的定义及计算方法逐项验证即可得到答案.
【详解】解:A、2*3=6是乘法运算,不是分解素因数,不符合题意;
B、根据分解素因数计算方法,28=2x2x7是分解素因数,符合题意;
C、根据分解素因数定义及计算方法,12=3x2x2,故12=4x3x1不是分解素因数,不符合题意;
D、根据分解素因数定义及计算方法,30=2x3x5而不是30=5x6,该项不符合题意;
故选:B.
【点睛】本题考查分解素因数的定义及计算方法,熟练掌握分解素因数定义及方法是解决问题的关键.
5.B
【分析】根据素数,合数,整除及因数的定义逐项判断即可得解;
【详解】解:A.在大于零的自然数中,除了1和它本身外没有别的因数的数叫素数,所以最小的素数为2,
不是1,故选项错误;
B.一个合数至少有3个因数,故本选项正确;
C.整数力”除以大于0的整数?",商为整数,且没有余数.我们就说。能被b整除.根据整除的定义,除
法算式的中被除数与除数必须为整数,算式26+1.3=2中被除数与除数为小数,所以不能说2.6能被1.3整
除,故选项错误;
D.16的因数有1,2,4,8,16.本选项中少1,故选项错误.
故选择:B
【点睛】考查了有理数的乘除法,完成此类题目要根据有关定义认真分析选项中的说法,从而得出正确选
项.
6.⑴60=2x2x3x5
(2)182=2x7x13
【分析】(1)根据分解素因数的方法,把一个合数写成几个质数连乘的形式,叫做把这个合数分解素因数,
据此作答即可.
(2)根据分解素因数的方法,把一个合数写成几个质数连乘的形式,叫做把这个合数分解素因数,据此作
答即可.
【详解】(1)60=2x2x3x5.
(2)182=2x7x13.
【点睛】本题主要考查分解素因数,正确理解素因数的定义是解题的关键.
7.7
【分析】根据仅)表示不是”的素因数的最小素数,可以得到(60)=7即可.
【详解】解:因为60=2x2x3x5,
所以(60)=7.
故答案为:7.
【点睛】本题考查的是素数与合数的含义,分解质因数、新运算,解答本题的关键是会用新运算解答问题.
8.D
【分析】根据素数、分解素因数等相关知识,对选项逐个判断即可.
【详解】解:A、2是素数,但是2是偶数,不是奇数,说法错误,不符合题意;
B、12=1x2x2x3,其中1不是素数,所以是错误的;
C、不能单说一个数是倍数或者因数,12是6的倍数,6是12的因数,说法错误,不符合题意;
D、个位上是0或5的数,是5的倍数,5的倍数中是奇数,个位上一定是5,说法正确,符合题意;
故选:D
【点睛】此题考查了素数、奇数、倍数及因数的相关概念,解题的关键是熟练掌握相关基础知识.
9.28=2x2x7,70=2x5x7;公有的素因数是2,7;
【分析】将28和70写成素因数的积,找出相同的因数即可得到答案;
【详解】解:28=2x2x7,70=2x5x7,
所以它们公有的素因数是2,7;
【点睛】本题考查素因数的概念:素因数也称质因数,如果一个数的约数是素数则这个数叫做这个数的素
因数.
10.14
【分析】先找出满足(3)的这个数,即找出小于100的9的倍数减去5即可,然后再从(3)中找出满足(1)的数,
最后从满足(1)的数中找出满足(2)的这个数,据此解答.
【详解】100以内9的倍数有:9、18、27、36、45、54、63、72、80、81、90、99,
满足(3)这个数除以9的余数是5的有:14、23、32、41、50、59、68、77、86、95,
满足⑴这个数与1的差是质数:14、32、68,
满足(2)这个数除以2所得的商也是质数:14,
答:这个幸运数是14
【点睛】本题考查了素数、9的倍数、除以9余5的数,解答本题要注意条件之间的兼容性与互斥行相结合.
|]可过关检测
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1.由式子6=2x3,我们说2和3都是6的()
A.素数B.素因数C.互素D.公因数
2.正整数中,关于9的倍数,下列说法正确的是()
A.都是偶数B.都是奇数C.都是素数D.都是合数
3.在下列说法中,正确的是()
A.奇数都是素数B.奇数是合数
C.两个连续的正整数互素D.在正整数中,除了素数都是合数
4.若两个正整数都是素数,则它们的乘积一定是()
A.奇数B.偶数C.素数D.合数
5.下列说法中,正确的是()
A.3.6+04=9,所以3.6能被。.4整除B.12的因数有6个
C.一个素数和一个合数一定互素D.在正整数中,偶数都是合数
6.把110分解素因数:110=.
7.在以下数:1,2,4,9,19,51,57,81,91,93,97中,合数是.
8.一个两位数既是奇数又是合数,如果它能同时被3和5整除,那么这个数最大的是
9.三个自然数a,b,c,已知ax6=6,/?xc=15,cxa=10,那么ax/?xc=.
10.两个素数的差是15,则这两个素数的积是.
11.如果两个相邻的奇数都是素数,就说它们是一组学生素数.如11和13就是一组挛生素数,
(1)请你举出除此之外的两组学生素数;
(2)如果三个相邻的奇数都是素数,就说它们是“三胞胎素数”,请写出一组“三胞胎素数”.(本题只需直接
写出答案)
12.猜电话号码ABCDEF
A:10以内最大的素数B:最小的合数
C:即是偶数,又是素数D:它的所有因数是1,2,3,6
E:它既是4的倍数,又是4的因数F:最小的自然数
13.下列说法正确的是()
A.比3小的自然数只有1和2
B.若“,6都是素数,则力2=axb一定是合数
C.所有正整数,不是素数就是合数
D.12的因数只有2、3、4、6
14.下列说法中正确的是()
A.互素的两个数的最大公因数是1B.如果6+5=12,那么可以说6能被5整除
C.在正整数中,所有的素数都是奇数D.一个合数至少有4个因数
15.最小的合数是()
A.2B.4C.6D.15
16.在正整数32,47,71,91,93中,素数的个数有(
A.1个B.2个C.3个D.4个
17.下列说法正确的是(
A.9能被18整除B.所有的偶数都是合数
C.在正整数中,除了素数就是合数D.任何合数都至少有三个因数
18.阅读理解:截尾素数73939133这个数具有相当迷人的性质,不只是因为它是素数,还因为把最末位数
字依序“截尾”后,余下的数仍然是素数.如:73939133,7393913,739391,73939,7393,739,73,7.具
有这样性质的数叫“截尾素数”.巧的是,它也是具有这种性质的最大数,总共有83个数具有这样的性质.在
100以内的素数中,最大的截尾素数是.
19.如果两个素数的和是奇数,那么其中较小的素数是.
20.在数5、7、9、15、17、21、23、27、33、37、57、97中,素数有个.
21.已知P、。+2、。+6、。+8、p+14都是素数,则素数。值是
22.有一个三位数,百位上的数字是最小的合数,十位上的数字是最小的自然数,个位上的数字是最小的
素数,这个三位数是.
23.一个长方形的周长是20厘米,如果长、宽的值都是素数,这个长方形的面积是多少平方厘米?
24.用短除法分解素因数.
⑴12
(2)105
25.证明:40+1054是个合数.
参考答案
1.B
【分析】根据题意可知2,3都是6的因数,又2,3都是素数,即可求解.
【详解】解:由式子6=2x3,我们说2和3都是6的素因数,
故选:B.
【点睛】本题考查了素因数,掌握素因数的定义是解题的关键.
2.D
【分析】写出9的倍数,如9,18,27,36,45,54…,观察可得这些数除了1和它本身,还有其他因数,再结合合
数的定义,即可得出答案.
【详解】解:;9的倍数有:9,18,27,36,45,54…,
又•.•这些数除了1和它本身,还有其他因数,
••.9的倍数一定都是合数.
故选:D
【点睛】本题考查了倍数、偶数、奇数、素数、合数,解本题的关键在熟练掌握其定义.
3.C
【分析】根据素数、合数的定义解答即可.
【详解】解:A.奇数都是素数.说法错误,例如15是奇数,但是它是合数,故该选项不符合题意;
B.奇数是合数.说法错误,例如3是奇数,但是它是素数,故该选项不符合题意;
C.两个连续的正整数互素.说法正确,符合题意;
D.在正整数中,除了素数都是合数.说法错误,1既不是素数也不是合数,故该选项不符合题意;
故选:C
【点睛】本题考查素数和合数,解题的关键是理解素数定义:在大于1的自然数中,除了1和它本身两个
因数外不再有别的因数,这样的数叫素数;合数的定义:在大于1的整数中,除了能被1和它本身整除外,
还能被别的数整除(0除外),这样的数叫合数,1既不是素数也不是合数.
4.D
【分析】素数是只有1和它本身两个因数的数,合数是除了1和它本身的因数外,还有其它因数的数,据
此判断即可.
【详解】:•两个素数相乘,得到的数的因数包含这两个素数,
.•.它们的乘积一定是合数,
故选:D.
【点睛】本题考查素数和合数,熟知素数和合数的概念是解答的关键.
5.B
【分析】根据有理数的除法可判断A,根据因数的定义可判断B,根据素数和合数的定义可判断D.
【详解】解:A.整除必须是:被除数、除数和商都要是整数,选项A不符合题意;
B.12的因数有1、2、3、4、6、12,共有6个,则选项B符合题意;
C.2是素数,4是合数它们不互质,则选项C不符合题意
D.在正整数中,2是偶数,但它不是合数,选项D不符合题意;
故选:B.
【点睛】本题主要考查了有理数的除法,因数,合数和素数,掌握因数,合数和素数的定义是解题的关键.
6.2x5x11
【分析】根据质因数定义解答即可.
【详解】解:110=2x5x11,
故答案为:2x5x11.
【点睛】本题考查了分解质因数,比较基础,掌握分解质因数的方法是解题的关键.
7.4,9,51,57,81,91,93
【分析】根据合数的意义,一个数除了1和它本身外,还有别的因数的数为合数;由此解答即可.
【详解】解:在1,2,4,9,19,51,57,81,91,93,97中,4=2x2,9=3x3,51=17x3,57=19x3,
81=9x9,91=13x7,93=31x3,
合数有4,9,51,57,81,91,93.
故答案为:4,9,51,57,81,91,93.
【点睛】本题考查了合数的定义,明确合数的意义,是解答此题的关键.
8.75
【分析】根据能被3、被5整除的数的特点,按照“两位数、奇数、合数”的条件对3和5的公倍数进行筛选,
找出最大的数即可.
【详解】解:能被5整除的数末尾一定是5或0,因为是奇数,所以末尾只能是5;
能被3整除的数所有数位上的数加起来一定是3的倍数;
能够同时被3和5整除的数一定是合数;
满足上述条件的两位数只有15,45,75,最大的是75.
故答案为:75.
【点睛】本题考查3和5的倍数特征,奇数、合数的概念等,解题的关键是找出能同时被3和5整除的两
位奇数.
9.30
【分析】分别将6、15、10分解质因数,从而求出自然数a,6,c的值,再相乘即可求解.
【详解】解:76=2x3,15=3x5、10=2x5,
•=Z?—3,c=5,
«xZ;xc=2x3x5=30,
故答案为:30.
【点睛】本题考查合数分解质因数,分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式,一般先从简
单的质数试着分解,解题的关键是求得自然数a,8,c的值.
10.34
【分析】根据质数的含义,质数又叫作素数,是指除了本身和1之外,没有其它因数的数,即质数只有1
和它本身两个约数,先找到20以内的素数,再找到差是15的两个素数,然后再求出积即可知道答案.
【详解】解:20以内的素数有:2,3,5,7,11,13,17,19;
差是15的两个素数:2和17;
这两个素数的积=2x17=34
故答案为:34.
【点睛】解答此题要掌握质数的含义和熟记20以内的质数.
11.(1)3和5,17和19
(2)3,5和7
【分析】(1)根据“挛生素数”的定义进行解答即可得;
(2)根据“三胞胎素数”的定义进行解答即可得.
【详解】(1)解:根据题意得,3和5是一组挛生素数,17和19是一组李生素数;
(2)解:3,5和7是一组“三胞胎素数”.
【点睛】本题考查了素数,解题的关键是理解题意.
12.742640
【分析】根据数的特征,10以内最大的素数是7;最小的合数是4;即是偶数,又是素数是2;6的所有因
数是1,2,3,6;4既是4的倍数,又是4的因数;最小的自然数是0,即可得到答案.
【详解】解:由题意可知,
10以内最大的素数是7,则A=7;
最小的合数是4,则3=4;
即是偶数,又是素数是2,则C=2;
6的所有因数是1,2,3,6,则0=6;
4既是4的倍数,又是4的因数,则E=4;
最小的自然数是0,则尸=0;
电话号码ABCDEF是742640.
【点睛】本题考查数的认识,涉及素数、质数、合数、偶数、自然数、倍数及因数等知识,熟记相关定义
是解决问题的关键.13.B
【分析】根据自然数的定义、素数和合数的定义、因数的定义判断分析即可求解.
【详解】A.比3小的自然数有0、1和2,故本选项不符合题意;
B.若a,6都是素数,则^=。、6一定是合数,说法正确,本选项符合题意;
C.所有正整数,不是质数就是合数,说法错误,例如,1既不是质数,也不是合数,本选项不符合题意;
D.12的因数有1、2、3、4、6、12,本选项不符合题意,
故选:B.
【点睛】本题考查了自然数的定义、素数和合数的定义、因数的定义,解题的关键是熟记以上定义或概念.
14.A
【分析】根据素数的定义求解即可
【详解】解:A.互素的两个数的最大公因数是1,故A符合题意;
B.如果6+5=12,那么可以说6能被5整除,故B不符合题意;
C.2是素数不是奇数,故C不符合题意;
D.4是合数,4只有三个因数,故D不符合题意;
故选A.
【点睛】本题考查了合数与质数的初步认识,解题关键是理解素数与奇数的关系.
15.B
【分析】根据合数的定义即可求解.
【详解】解:最小的合数是4,
故选B.
【点睛】本题考查了合数的定义,掌握合数的定义是解题的关键.如果一个数只有1和它本身两个因数,
那么这样的数叫做素数(或质数).如:2、3、5、7都是素数.合数:如果一个数除了1和它本身还有
别的因数,那么这样的数叫做合数.如:4、6、15、49都是合数.
16.B
【分析】在自然数中,除了1和它本身外,没有其他因数的数为素数.
【详解】解:根据素数的定义:47、71为素数,共2个,
故选:B.
【点睛】本题考查了素数的概念,熟记概念是解题关键.
17.D
【分析】根据整除的定义、偶数、合数与素数的定义逐项判断即可得.
【详解】解:A、9+18=0.5,所以9不能被18整除,则此项错误,不符合题意;
B、偶数2是素数,不是合数,则此项错误,不符合题意;
C、在正整数中,1既不是素数也不是合数,则此项错误,不符合题意;
D、在自然数中,除了1和它本身外,还有别的因数的数为合数,所以任何合数都至少有三个因数,则此项
说法正确,符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查了整除、偶数、合数与素数,熟记各定义是解题关键.
18.79
【分析】根据题意,写出在100以内的素数,结合截尾素数的定义,找出最大的截尾素数即可求解.
【详解】解:在100以内的素数中,较大的素数分别为97,89,83,79,73,71,67等等,
其中是截尾素数的是79,73等等,
故100以内的素数中最大的截尾素数是79.
【点睛】本题考查了新定义,掌握新定义,以及100以内的素数是解题的关键.
19.2
【分析】根据10以内的素数,最小的素数为2,即可求解.
【详解】解::2+3=5,2,3是素数,
较小的素数是2,
故答案为:2.
【点睛】本题考查了素数,掌握10以内的素数是解题的关键.
20.6
【分析】根据素数的定义:在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数,即可得
出答案.
【详解】解:
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