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文档简介
重难点07解直角三角形之“背靠背”模型
【知识梳理】
【模型展示】
【考点剖析】
1.(2022秋•上海浦东新•九年级校考期中)如图,A,2两地之间有一座山,汽车原来从/地到2地须经C
地沿折线/-C-3行驶,全长68协现开通隧道后,汽车直接沿直线N5行驶.已知的=30。,0B=45。,
则隧道开通后,汽车从/地到8地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1e〃)(参考数据:72=1.4,百
=1.7)
2.(2023・上海•一模)如图,C地在/地的正东方向,因有大山阻隔,由/地到C地需要绕行8地,已知
8位于/地北偏东67。方向,距离N地520km,C地位于8地南偏东30。方向,若打通穿山隧道,建成两地
125
直达高铁,求/地到C地之间高铁线路的长.(结果保留整数)参考数据:(sin67%,;COS67%2;
12广
tan67°=y;导L73)
3.(2020•上海杨浦・统考一模)如图,为了测量河宽,在河的一边沿岸选取3、C两点,对岸岸边有一块石
头4在AABC中,测得N3=64。,ZC=45°,3c=50米,求河宽(即点/到边3C的距离)(结果精确
至IJ0.1米).
(参考数据:72«1.41,sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan64°=2.05)
4.(2023•上海・一模)如图,在港口/的南偏东37。方向的海面上,有一巡逻艇8,/、8相距20海里,
这时在巡逻艇的正北方向及港口/的北偏东67。方向上,有一渔船C发生故障.得知这一情况后,巡逻艇
以25海里/小时的速度前往救援,问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处?(参考数据:sin37°«0.60,
12512
cos37°«0.80,tan37°«0.75,sin67°p—,cos67°®一,tan67°«一)
13135
出匕
【过关检测】
1.(2020•内蒙古赤峰•统考中考真题)如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30。,测得
底部B的俯角是60°,此时无人机与该建筑物的水平距离4。是9米,那么该建筑物的高度BC为
米(结果保留根号).
2.(2020・湖北咸宁•中考真题)如图,海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60。方向上,一艘轮船从北小岛
A出发,由西向东航行24nmile到达B处,这时测得灯塔P在北偏东30。方向上,如果轮船不改变航向继续
向东航行,当轮船到达灯塔P的正南方,此时轮船与灯塔P的距离是nmile.(结果保留一位小
数,621.73)
3.(2020・四川乐山•中考真题)如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30。,在
自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60。,A、C之间的距离为4加.则自动扶梯的垂直高度
BD=(结果保留根号)
4.(2021•湖南永州・统考中考真题)已知锐角AABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,边角总满足关
ab_c
系式:
sinAsinBsinC
(1)如图1,若a=6,ZB=45o,NC=75。,求b的值;
(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示),若
CD,AB,AC=14米,AB=10米,sin/AC8=%^,求景观桥CO的长度.
14
5.(2020・湖北黄石•中考真题)如图,是某小区的甲、乙两栋住宅楼,小丽站在甲栋楼房A3的楼顶,测量
对面的乙栋楼房C。的高度,已知甲栋楼房A3与乙栋楼房C。的水平距离AC=18百米,小丽在甲栋楼房
顶部B点,测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30。,底部C点的俯角是45。,求乙栋楼房。的高度(结果保
留根号).
6.(2021•甘肃武威•统考中考真题)如图1是平凉市地标建筑"大明宝塔",始建于明嘉靖十四年(1535
年),是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛,与嵯胴山的凌空塔遥相呼应,被誉为平
凉古塔"双璧某数学兴趣小组开展了测量"大明宝塔的高度”的实践活动,具体过程如下:
方案设计:如图2,宝塔8垂直于地面,在地面上选取A3两处分别测得/C4D和的度数
(A,0,8在同一条直线上).
数据收集:通过实地测量:地面上两点的距离为58m,/CAD=42o,NCBD=58。.
问题解决:求宝塔8的高度(结果保留一位小数).
参考数据:sin42。=0.67,cos42°=0.74,tan42°~0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.
根据上述方案及数据,请你完成求解过程.
7.(2020•湖南永州•中考真题)一艘渔船从位于A海岛北偏东60。方向,距A海岛60海里的B处出发,以
每小时30海里的速度沿正南方向航行.已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁.(参考数据:
V3«1.73,75»2.24,77»2.65)
(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险?请说明理由.
(2)渔船航行3小时后到达C处,求4C之间的距离.
8.(2020•内蒙古通辽•中考真题)从A处看一栋楼顶部的仰角为a,看这栋楼底部的俯角为夕,A处与楼
的水平距离AD为90m,若tane=0.27,tan£=2.73,求这栋楼高.
9.(2020・湖北恩施•中考真题)如图,一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行,在A处测得小岛P
位于其西北方向(北偏西45。方向),2小时后轮船到达B处,在B处测得小岛尸位于其北偏东60。方向.求
此时船与小岛尸的距离(结果保留整数,参考数据:应=1.414,百~1.732).
10.(2020•江苏淮安•统考中考真题)如图,三条笔直公路两两相交,交点分别为A、B、C,测得
ZG4B=30°,^ABC=45°,AC=8千米,求A、8两点间的距离.(参考数据:0°1.4,621.7,结
果精确到1千米).
C
11.(2020•山东潍坊・中考真题)某校〃综合与实践〃小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图,
桥A3是水平并且笔直的,测量过程中,小组成员遥控无人机飞到桥A3的上方120米的点C处悬停,此时
测得桥两端A,B两点的俯角分别为60。和45。,求桥45的长度.
C
-60^7X45"
ABAB
12.(2020•甘肃金昌•统考中考真题)图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝一一铜奔马,又称"马踏飞燕",于
1969年10月出土于武威市的雷台汉墓,1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志,在很多旅游城
市的广场上都有"马踏飞燕"雕塑,某学习小组把测量本城市广场的"马踏飞燕"雕塑(图②)最高点离地面
的高度作为一次课题活动,同学们制定了测量方案,并完成了实地测量,测得结果如下表:
课题测量"马踏飞燕"雕塑最高点离地面的高度
如图,雕塑的最高点8到地面的高度为
BA,在测点C用仪器测得点B的仰角为
a,前进一段距离到达测点E,再用该仪
测量示意图
器测得点B的仰角为夕,且点A,B,
CEC,D,E,尸均在同一竖直平面内,
点A,C,E在同一条直线上.
仪器C。(EF)的
a的度数0的度数CE的长度
高度
测量数据
31°42°5米1.5米
请你根据上表中的测量数据,帮助该小组求出“马踏飞燕"雕塑最高点离地面的高度(结果保留一位小
数).(参考数据:sin310»0.52,cos3F«0.86,tan310»0.60,sin42°®0.67,cos42°»0.74,
tan42°«0.90)
田①
13.(2020•湖南岳阳•统考中考真题)共抓长江大保护,建设水墨丹青新岳阳,推进市中心城区污水系统综
合治理项目,需要从如图A,8两地向C地新建AC,3C两条笔直的污水收集管道,现测得C地在A地北
偏东45。方向上,在8地北偏西68。方向上,AB的距离为7协1,求新建管道的总长度.(结果精确到
Q.lkm,sin22°«0.37,cos22°®0.93,tan22°»0.40,^2®1.41)
14.(2020・四川成都,统考中考真题)成都"339"电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成
都旅游打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台A处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼
顶。处测得塔A处的仰角为45。,塔底部8处的俯角为22。.已知建筑物的高CO约为61米,请计算观景台
的高的值.
(结果精确到1米;参考数据:sin22°«0.37,cos22°«0.93,tan22°®0.40)
15.(2021・四川阿坝•统考中考真题)热气球的探测器显示,从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30。,
看大楼底部B的俯角为45。,热气球与该楼的水平距离AD为60米,求大楼BC的高度.(结果精确到1
米,参考数据:g"73)
16.(2020•江苏苏州•统考中考真题)问题1:如图①,在四边形A3CD中,ZB=ZC=90°,P是BC上一
问题2:如图②,在四边形A3C。中,ZB=ZC=45°,尸是3C上一点,PA=PD,ZAPD=90°.求
AB+CT)
-BC的值.
17.(2020•四川遂宁•统考中考真题)在数学实践与综合课上,某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区
的1、2号楼进行测高实践,如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点B垂直起飞到达点A处,测得1
号楼顶部E的俯角为67。,测得2号楼顶部F的俯角为40。,此时航拍无人机的高度为60米,已知1号楼
的高度为20米,且EC和FD分别垂直地面于点C和D,点B为CD的中点,求2号楼的高度.(结果精确
至IJO.l)(参考数据sin40°=0.64,cos40°=0.77,tan400=0.84,sin67°=0.92,cos67°=0.39,tan67°=2.36)
A
飞济新丁
2
1号
楼
号
楼
cBD地面
重难点07解直角三角形之“背靠背”模型
【知识梳理】
【模型展示】
【考点剖析】
1.(2022秋•上海浦东新•九年级校考期中)如图,A,8两地之间有一座山,汽车原来从/地到8地须经C
地沿折线/-C-3行驶,全长68协现开通隧道后,汽车直接沿直线行驶.已知朋=30。,财=45。,
则隧道开通后,汽车从/地到8地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1b?)(参考数据:72=1.4,6
=1.7)
【答案】14.0千米
【分析】首先过点C作垂足为。,设CD=x,即可表示出NC,8c的长,进而求出x的值,再
利用锐角三角函数关系得出8。的长,即可得出答案.
【详解】解:如图,过点C作。。的8,垂足为D设CD=x.
—一CDCD
在RtEL4CZ)中,sinEL4=-----,AC—..............=2x,
ACsin30°
CDCD
在RtELBCD中,sinES=-----,BC—..............=0x,
BCsin45°
EL4C+3c=2x+0x=68,
6868
盟=-----r-=20,
2+y]22+1.4
在RtEUCD中,tanEL4=0,AD=⑪=2073,
ACtan30°
4—CDCD
在Rt回5c。中,tan回8=—,BD=---------=20,
BDtan45°
48=206+20=54,
AC+BC-AB=58-54=14.0(/cm).
答:隧道开通后,汽车从/地到8地比原来少走14.0千米.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,准确分析计算是解题的关键.
2.(2023・上海,一模)如图,。地在/地的正东方向,因有大山阻隔,由/地到C地需要绕行3地,已知
8位于/地北偏东67。方向,距离/地520km,C地位于8地南偏东30。方向,若打通穿山隧道,建成两地
直达高铁,求N地到C地之间高铁线路的长.(结果保留整数)参考数据:(sin67'm;COS67%2;
12「、
tan67°=y;6=1.73)
【答案】A地到C地之间高铁线路的长约为596(6”).
【分析】过点B作BDHAC于点D,利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长,进而可得出结论.
【详解】解:如解图,过点3作于点。,
国3地位于A地北偏东67°方向,距离A地520hn,
团乙血)=67°,
团A。=A3•sin67°«520x—=480(版),
BD=AB•cos67°»520=200(Am).
团。地位于3地南偏东30°方向,
团NC3O=30°,
0CD=BOtan30°=200x^-=纱由(km),
33
SAC=AD+CD=48Q+200^~596(M.
答:A地到C地之间高铁线路的长约为596(km).
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题,解题关键是添加常用辅助线,构造直角三角形.
3.(2020•上海杨浦・统考一模)如图,为了测量河宽,在河的一边沿岸选取3、C两点,对岸岸边有一块石
头4在AABC中,测得/3=64。,ZC=45°,3C=50米,求河宽(即点/到边BC的距离)(结果精确
至!]0.1米).
(参考数据:0kl.41,sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan64°=2.05)
【答案】河宽约为33.6米
【分析】过A作AD回BC于。,并设AD=x米,则由已知条件可以得到关于X的方程,解方程即可得到河的
宽度.
【详解】解:如图,过A作ADEIBC于D,并设AD=x米,
团fflC=45°,EBOAC=90°-45°=45°,
SCD=AD=x,
008=64",
ADX
0BD=
tan64°tan64°
0BC=5O米,0---------+x=50,
tan64°
解之得:x=33.6,
答:河宽约33.6米.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用,熟练掌握锐角三角函数的定义并结合方程思想求解是解题关键.
4.(2023・上海•一模)如图,在港口/的南偏东37。方向的海面上,有一巡逻艇3,/、2相距20海里,
这时在巡逻艇的正北方向及港口/的北偏东67。方向上,有一渔船C发生故障.得知这一情况后,巡逻艇
以25海里/小时的速度前往救援,问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处?(参考数据:sin37°»0.60,
12512
cos37°«0.80,tan37°®0.75,sin67°«一,cos67°»一,tan67°«一)
13135
相匕
【答案】巡逻艇能在1小时内到达渔船C处
【分析】由已知可得在0ABe中,0C=67°,勖=37。,且/2=20海里,要求2c的长,可以过/作
,。勖C于。,分别求出CD和AD的长,就可转化为运用三角函数解直角三角形.
【详解】解答:过点N作//M5C,垂足为点
由题意,得EL4cH=67。,03=37°,48=20.
在Rf^ABH中,
团sin哈必,c°sB=%
ABAB
[7]AH=ABsinB=20xsin37o«12,
BH=AB-cosB=20xcos37°«16,
在R&S中,
0tanZACH=—
CH
12
0CH=——B5,
tanZACHtan67°
^BC=BH+CH^16+5=21,
回21+25C1,
团巡逻艇能在1小时内到达渔船C处.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角
三角形的问题,解决的方法就是作高线.
【过关检测】
1.(2020•内蒙古赤峰•统考中考真题)如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30。,测得
底部B的俯角是60。,此时无人机与该建筑物的水平距离A。是9米,那么该建筑物的高度BC为
米(结果保留根号).
【答案】12百
【分析】由题意可得国CAD=30。,0BAD=6O°,然后分别解RtEIADC和RffilADB,求出CD和BD的长,进一步
即可求得结果.
【详解】解:由题意,得EICAD=30°,0BAD=6O°,
则在RtHADC中,CD=AD-tanACAD=9xtan30°=3^7^,
在RtHADB中,80=4£>-1311/84£)=9*131160°=96米,
回8。=3不+9石=126米.
故答案为:12石.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,属于常考题型,正确理解题意、熟练掌握解直角三角形的知识
是解题关键.
2.(2020・湖北咸宁•中考真题)如图,海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60。方向上,一艘轮船从北小岛
A出发,由西向东航行24nmile到达B处,这时测得灯塔P在北偏东30。方向上,如果轮船不改变航向继续
向东航行,当轮船到达灯塔P的正南方,此时轮船与灯塔P的距离是nmile.(结果保留一位小
数,数21.73)
【答案】20.8
【分析】证明回ABP是等腰三角形,过P作PD回AB,从而求得PD的长即可.
【详解】解:过P作PDEIAB于D,
0AB=24,
fflPAB=90o-60°=30°,0PBD=9O°-3OO=6O°,
EBBPD=30°,
00APB=3O°,BP0PAB=0APB,
0AB=BP=24,
在直角EIPBD中,PD=BP»sin0PBD=24x^i=12>/3=20.8.
2
故答案为:20.8.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,正确作出垂线,转化为直角三角形的计算是解决本题的关
键.
3.(2020・四川乐山•中考真题)如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯的倾斜角为30。,在
自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端8的仰角为60。,A、C之间的距离为4加.则自动扶梯的垂直高度
BD=m.(结果保留根号)
【答案】2«
【分析】先推出回ABCWBAC,得BC=AC=4,然后利用二角函数即可得出答案.
【详解】0EBAC+0ABC=0BCD=6O°,BBAC=3O°,
B0ABC=3O",
EBABC=EIBAC,
EIBC=AC=4,
在RtHBCD中,BD=BCsin6O°=4x3=25
2
故答案为:2K.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三角函数,得出BC=AB=4是解题关键.
三、解答题
4.(2021•湖南永州•统考中考真题)已知锐角AABC中,角4B,C的对边分别为a,b,c,边角总满足关
-27rxabc
系式:
(1)如图1,若。=6,/3=45。,/。=75。,求b的值;
(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥8(如图2所示),若
CD,AB,AC=14米,AB=10米,sin/ACB=%叵,求景观桥CO的长度.
【答案】(1)2。⑵&5
【分析】(I)过C作81.筋于点。,解直角三角形即可;
ARAC
(2)由已知条件可知.求得sin5,勾股定理求得30,解反△加Q即可求得CD的长
sinZACBsinB
【详解】(1)如图,过C作CDLAB于点。
.-ZB=45°
:.DC=BDfZDCB=45°
DC=DB=BCxsin5=axsin45°=6x=3A/2
2
ZC=75°
,ZACD=30。
CD
,/cosZACD=----
AC
.gCD*2表
cosZACD
2
即b=2A/6
/、ABAC,AC=14sinZACB=^-,AB=10
(2)•/-------------=f
sinZACBsinB14
14xN
sinB=
AB-W2
.-.ZB=60°
在R〃BDC中,设BD=x,贝UCD=gx
.\AD=10-x
在RhADC中,AD2+CD2=AC2
即:(10-X)2+(V3X)2=142
解得:玉=8,9=-3(不符题意,舍)
CD=>/3x=8y/3
【点睛】本题考查解直角三角形应用,掌握锐角三角函数的定义是解题关键.
5.(2020・湖北黄石•中考真题)如图,是某小区的甲、乙两栋住宅楼,小丽站在甲栋楼房A3的楼顶,测量
对面的乙栋楼房C。的高度,已知甲栋楼房与乙栋楼房8的水平距离AC=184米,小丽在甲栋楼房
顶部B点,测得乙栋楼房顶部。点的仰角是30。,底部C点的俯角是45。,求乙栋楼房8的高度(结果保
留根号).
【答案】18(V3+l)m
【分析】根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解.
【详解】如图,依题意可得回BCA=45。,
EBABC是等腰直角三角形,
EIAB=CE=AC=18A
EBDBE=30°
0DE=BExtan3O°=18
EICO的高度为CE+ED=18(V3+l)m.
【点睛】此题主要考查解直角三角形,解题的关键是熟知三角函数的定义.
6.(2021•甘肃武威・统考中考真题)如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔",始建于明嘉靖十四年(1535
年),是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛,与蟀胴山的凌空塔遥相呼应,被誉为平
凉古塔"双璧某数学兴趣小组开展了测量"大明宝塔的高度”的实践活动,具体过程如下:
方案设计:如图2,宝塔垂直于地面,在地面上选取两处分别测得/C4D和NCBD的度数
(A,0,8在同一条直线上).
数据收集:通过实地测量:地面上两点的距离为58m,NC4T>=42o,NCBD=58。.
问题解决:求宝塔CD的高度(结果保留一位小数).
参考数据:sin42°q0.67,cos42°=0.74,tan42°x0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.
根据上述方案及数据,请你完成求解过程.
【答案】33.4m
【分析】设CD=xm,再利用锐角三角函数用含》的代数式表示AZ),8。再列方程,解方程可得答案.
【详解】解:QCD^AB,设CD=;m,
3CDx_x
在小AACD中,
tanZCADtan42°-0.9
CD%%
在放ZkCBD中,BD=
tanZCB£)tan58°L6
AD+BD=AB,
X尤LC
---1---=58,
0.91.6
,125x=4176,
解得,x®33.4.
答:宝塔的高度约为33.4m.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用,掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关
系是解题的关键.
7.(2020・湖南永州•中考真题)一艘渔船从位于入海岛北偏东60。方向,距八海岛60海里的B处出发,以
每小时30海里的速度沿正南方向航行.已知在4海岛周围50海里水域内有暗礁,(参考数据:
V3弓1.73,6~2.24,近»2.65)
(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险?请说明理由.
(2)渔船航行3小时后到达C处,求4C之间的距离.
【答案】(1)没有危险,理由见解析;(2)79.50海里
【分析】(1)过A点作ADI3c于点D,在R/AAB。中求出AD与50海里比较即可得到答案;
(2)在HAAAD中求出BD得到CD,再根据勾股定理求出AC.
【详解】解:(1)过A点作AD/3C于点D,
回/AC®=NADC=90°,
由题意可得—3=60。,
El在Rt^ABD中,AD^AB-sin60°=60x二=30&a51.9>50,
2
团渔船在航行过程中没有触礁的危险;
(2)在中,3。=A3<os60°=30,
0BC=3x3O=9O,
团DC=90—30=60,
在RtAADC中,AC=^AD2+CD2=7(3073)2+602=3。币”79.50,
即A,C之间的距离为79.50海里.
【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用,正确理解题意,构建直角三角形,将已知的线段和角度放在
直角三角形中,利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.
8.(2020•内蒙古通辽•中考真题)从A处看一栋楼顶部的仰角为。,看这栋楼底部的俯角为Q,A处与楼
的水平距离AD为90m,若tanar=0.27,tan/?=2.73,求这栋楼高.
【答案】270米
【分析】根据正切的定义分别求出BD、DC的长,求和即可.
【详解】解:在RtElABD中,tana=—,
AD
贝|JBD=AD»tana=90x0.27=24.3,
在RtHACD中,tanp=-----,
AD
则CD=AD»tanp=90x2.73=245.7,
EIBC=BD+CD=24.3+245.7=270,
答:这栋楼高约为270米.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,正切理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数
的定义是解题的关键.
9.(2020•湖北恩施•中考真题)如图,一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行,在A处测得小岛尸
位于其西北方向(北偏西45。方向),2小时后轮船到达3处,在8处测得小岛P位于其北偏东60。方向.求
此时船与小岛尸的距离(结果保留整数,参考数据:疙=1.414,73^1.732).
【答案】此时船与小岛尸的距离约为44海里
【分析】过P作PHE1AB,设PH=x,由己知分别求PB、BH、AH,然后根据锐角三角函数求出x值即可求解
【详解】如图,过P作PHEIAB,设PH=x,
由题意,AB=60,0PBH=3Oe,I3PAH=45。,
在RtEIPHA中,AH=PH=x,
在RtEIPBH中,BH=AB-AH=60-x,PB=2x,
PH
0tan3O5=-----,
BH
即@=X,
360-x
解得:x=30(73-1),
0PB=2x=60(73-1)=44(海里),
答:此时船与小岛P的距离约为44海里.
北
p
【点睛】本题考查了直角三角形的应用,掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键.
10.(2020•江苏淮安,统考中考真题)如图,三条笔直公路两两相交,交点分别为A、B、C,测得
ZC4B=30°,NABC=45。,AC=8千米,求A、3两点间的距离.(参考数据:0^1.4,1.7,结
果精确到1千米).
【分析】如图(见解析),先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长,再根据等腰直角三角
形的判定与性质可得BD的长,然后根据线段的和差即可得.
【详解】如图,过点C作。0,45于点口
・.,在中,ZG4D=30°,AC=8千米
.-.C£>=1AC=1X8=4(千米),AD=VAC2-CD2=782-42=4A/3(千米)
,在RtzXBCD中,Z£)BC=45°
Rt^BCD是等腰直角三角形
.•.BD=CD=4千米
A8=A£>+80=46+4。4x1.7+4=10.8all(千米)
答:A、8两点间的距离约为11千米.
c
J^o。I45。人
ADB
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点,通过作辅助线,构造直
角三角形是解题关键.
1L(2020•山东潍坊,中考真题)某校"综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图,
桥是水平并且笔直的,测量过程中,小组成员遥控无人机飞到桥A8的上方120米的点C处悬停,此时
测得桥两端A,B两点的俯角分别为60。和45。,求桥AB的长度.
【答案】40^+120
【分析】过C地点作交AB于D点,根据桥两端A,B两点的俯角分别为60。和45。,可得
ZACD=30°,48=45。,利用特殊角懂得三角函数求解即可.
【详解】解:如图示:过C地点作交AB于D点,
则有:ZACD=30°,/BCD=45°,
团AO=CDgtan?ACDCDgtan300=120?40>/3,
BD=CDgan?BCDCD陞an45°=120?1120,
SAB=AD+BD=4073+120.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的运算,熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键.
12.(2020•甘肃金昌•统考中考真题)图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝一一铜奔马,又称"马踏飞燕",于
1969年10月出土于武威市的雷台汉墓,1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志,在很多旅游城
市的广场上都有"马踏飞燕"雕塑,某学习小组把测量本城市广场的"马踏飞燕"雕塑(图②)最高点离地面
的高度作为一次课题活动,同学们制定了测量方案,并完成了实地测量,测得结果如下表:
课题测量"马踏飞燕"雕塑最高点离地面的高度
如图,雕塑的最高点8到地面的高度为
BA,在测点C用仪器测得点8的仰角为
前进一段距离到达测点E,再用该仪
测量示意图
器测得点8的仰角为尸,且点A,B,
CEC,D,E,尸均在同一竖直平面内,
点A,C,E在同一条直线上.
仪器CD(E尸)的
。的度数夕的度数CE的长度
高度
测量数据
31°42°5米1.5米
请你根据上表中的测量数据,帮助该小组求出“马踏飞燕"雕塑最高点离地面的高度(结果保留一位小
数).(参考数据:sin31°»0.52,cos31°»0.86,tan31°«0.60,sin42°®0.67,cos42°«0.74,
tan420®0.90)
国②
【答案】10.5m
【分析】如图,延长。尸交AB于G,设3G=x,利用锐角三角函数表示尸G,再表示DG,再利用锐角三
角函数列方程求解x,从而可得答案.
【详解】解:如图,延长D尸交A3于G,
由题意得:ZBGD=ABAC=90°,DF=CE=5,DC=AG=EF=1.5,
设BG=x,
BG
由tan夕=tan42°=,
FG
.9-x
"IO-FG5
由tana=tan31°=-----,
DG
3_x
旨L
9
.-.—=15,
3
..x=9,
经检验:X=9符合题意,
:.BA=BG+AG=9+l.5=10.5
"马踏飞燕"雕塑最高点离地面的高度为105〃
【点睛】本题考查的是解直角三角形所的应用,掌握锐角三角函数的应用是解题的关键.
13.(2020•湖南岳阳,统考中考真题)共抓长江大保护,建设水墨丹青新岳阳,推进市中心城区污水系统综
合治理项目,需要从如图A,8两地向C地新建AC,3C两条笔直的污水收集管道,现测得C地在A地
北偏东45。方向上,在8地北偏西68。方向上,AB的距离为74",求新建管道的总长度.(结果精确到
0.1km,sin22°«0.37,cos22°®0.93,tan22°®0.40,5/2»1.41)
【答案】新建管道的总长度约为8.2协z.
【分析】如图(见解析),先根据方位角的定义求出NC4D=45O,NC3D=22。,设仞=4”,贝|
BD=(J-x)km,再在我以4。£)中,根据等腰直角三角形的判定与性质可得AC、CD的长,然后在RtZkBCD
中,解直角三角形可得x的值,从而可得AC、BC的长,由此即可得出答案.
【详解】如图,过点C作CDJ_AB于点D
由题意得:ZC4D=90°-45°=45°,ZCBD=90°-68°=22°,AB=7km
设则8O=(7-x)初j
CD±AB,ZCAD=45°
:.Rt^ACD是等腰直角三角形
CD=AD=xkm,AC=A/2AD='j2xkm
C7)x
在RtZXBCD中,tanZCBD=一,即----=tan22°
BD7-x
7tan22。7x0.40
解得%==2(km)
1+tan22°1+0.40
7匕0770
经检验,'=胃而是所列分式方程的解
AC=2V2«2.82(M,CD=2km
CD2
在RtZXBCD中,sinZCBD=——,即——=sin22°
BCBC
2
解得3C=x-----«5Al(km)
sin22°0.37
则AC+BC®2.82+5.41=8.23«S.2(km)
答:新建管道的总长度约为8.2Am.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、方位角的定义、解直角三角形等知识点,掌握解直角
三角形的方法是解题关键.
14.(2020•四川成都,统考中考真题)成都"339”电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成
都旅游打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台A处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼
顶。处测得塔A处的仰角为45。,塔底部8处的俯角为22。.己知建筑物的高CO约为61米,请计算观景台
的高AB的值.
(结果精确到1米;参考数据:sin22°«0.37,cos22°«0.93,tan22°®0.40)
【答案】观景台的高AB约为214米.
【分析】过点D作DM回AB于点M,由题意可得四边形DCBM是矩形,由矩形的性质可得BM=CD=61米;
在RtlBBDM中,E1BDM=22°,BM=61米,由此可得tan22-=&-,即可求得DM=152.5米;再证明EIADM为
DM
等腰直角三角形,可得DM=AM=152.5米,由此即可求得观景台的高AB的长.
【详解】过点D作DM0AB于点M,由题意可得四边形DCBM是矩形,
.,山BM
在Rt回BDM中,回BDM=22°,BM=61米,tan团BDM二——,
DM
。61
团tan22=------,
DM
解得,DM=152.5米;
EBADM=45°,DMEIAB,
00ADM为等腰直角三角形,
团DM=AM=152.5米,
0AB=BM+AM=61+152,5=213.5=214(米).
答:观景台的高约为214米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,正确作出辅助线,构建直角三角形是解决问题的关键.
15.(2021・四川阿坝•统考中考真题)热气球的探测器显示,从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30。,
看大楼底部B的俯角为45。,热气球与该楼的水平距离AD为60米,求大楼BC的高度.(结果精确到1
米,参考数据:
【答案】这栋楼的高度约为95米.
【分析】利用正切函数分别在RtHABD与RtBACD中求得BD与CD的长即可
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