沪教版九年级数学常见题型重难点专练：解直角三角形之“背靠背”模型（原卷版+解析）

重难点07解直角三角形之“背靠背”模型

【知识梳理】

【模型展示】

【考点剖析】

1.（2022秋•上海浦东新•九年级校考期中）如图，A,2两地之间有一座山，汽车原来从/地到2地须经C

地沿折线/-C-3行驶，全长68协现开通隧道后，汽车直接沿直线N5行驶.已知的=30。，0B=45。，

则隧道开通后，汽车从/地到8地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1e〃）（参考数据：72=1.4,百

=1.7）

2.（2023・上海•一模）如图，C地在/地的正东方向，因有大山阻隔，由/地到C地需要绕行8地，已知

8位于/地北偏东67。方向，距离N地520km,C地位于8地南偏东30。方向，若打通穿山隧道，建成两地

125

直达高铁，求/地到C地之间高铁线路的长.（结果保留整数）参考数据：（sin67%,；COS67%2；

12广

tan67°=y；导L73）

3.（2020•上海杨浦・统考一模）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取3、C两点，对岸岸边有一块石

头4在AABC中，测得N3=64。，ZC=45°,3c=50米，求河宽（即点/到边3C的距离）（结果精确

至IJ0.1米）.

（参考数据：72«1.41，sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan64°=2.05）

4.（2023•上海・一模）如图，在港口/的南偏东37。方向的海面上，有一巡逻艇8,/、8相距20海里，

这时在巡逻艇的正北方向及港口/的北偏东67。方向上，有一渔船C发生故障.得知这一情况后，巡逻艇

以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37°«0.60,

12512

cos37°«0.80,tan37°«0.75,sin67°p—,cos67°®一,tan67°«一）

13135

出匕

【过关检测】

1.（2020•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30。，测得

底部B的俯角是60°,此时无人机与该建筑物的水平距离4。是9米，那么该建筑物的高度BC为

米（结果保留根号）.

2.（2020・湖北咸宁•中考真题）如图，海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60。方向上，一艘轮船从北小岛

A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30。方向上，如果轮船不改变航向继续

向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是nmile.（结果保留一位小

数，621.73）

3.（2020・四川乐山•中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30。，在

自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60。，A、C之间的距离为4加.则自动扶梯的垂直高度

BD=（结果保留根号）

4.（2021•湖南永州・统考中考真题）已知锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,边角总满足关

ab_c

系式:

sinAsinBsinC

（1）如图1,若a=6,ZB=45o,NC=75。，求b的值；

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若

CD，AB,AC=14米，AB=10米，sin/AC8=%^,求景观桥CO的长度.

14

5.（2020・湖北黄石•中考真题）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房A3的楼顶，测量

对面的乙栋楼房C。的高度，已知甲栋楼房A3与乙栋楼房C。的水平距离AC=18百米，小丽在甲栋楼房

顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30。，底部C点的俯角是45。，求乙栋楼房。的高度（结果保

留根号）.

6.（2021•甘肃武威•统考中考真题）如图1是平凉市地标建筑"大明宝塔"，始建于明嘉靖十四年（1535

年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与嵯胴山的凌空塔遥相呼应，被誉为平

凉古塔"双璧某数学兴趣小组开展了测量"大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

方案设计：如图2,宝塔8垂直于地面，在地面上选取A3两处分别测得/C4D和的度数

（A,0,8在同一条直线上）.

数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为58m,/CAD=42o,NCBD=58。.

问题解决：求宝塔8的高度（结果保留一位小数）.

参考数据：sin42。=0.67,cos42°=0.74,tan42°~0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

7.（2020•湖南永州•中考真题）一艘渔船从位于A海岛北偏东60。方向，距A海岛60海里的B处出发，以

每小时30海里的速度沿正南方向航行.已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁.（参考数据：

V3«1.73,75»2.24,77»2.65）

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由.

（2）渔船航行3小时后到达C处，求4C之间的距离.

8.（2020•内蒙古通辽•中考真题）从A处看一栋楼顶部的仰角为a,看这栋楼底部的俯角为夕，A处与楼

的水平距离AD为90m,若tane=0.27,tan£=2.73,求这栋楼高.

9.（2020・湖北恩施•中考真题）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P

位于其西北方向（北偏西45。方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛尸位于其北偏东60。方向.求

此时船与小岛尸的距离（结果保留整数，参考数据：应=1.414,百~1.732）.

10.（2020•江苏淮安•统考中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C,测得

ZG4B=30°,^ABC=45°,AC=8千米，求A、8两点间的距离.（参考数据：0°1.4，621.7,结

果精确到1千米）.

C

11.（2020•山东潍坊・中考真题）某校〃综合与实践〃小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图，

桥A3是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥A3的上方120米的点C处悬停，此时

测得桥两端A,B两点的俯角分别为60。和45。，求桥45的长度.

C

-60^7X45"

ABAB

12.（2020•甘肃金昌•统考中考真题）图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝一一铜奔马，又称"马踏飞燕"，于

1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城

市的广场上都有"马踏飞燕"雕塑，某学习小组把测量本城市广场的"马踏飞燕"雕塑（图②）最高点离地面

的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：

课题测量"马踏飞燕"雕塑最高点离地面的高度

如图，雕塑的最高点8到地面的高度为

BA,在测点C用仪器测得点B的仰角为

a,前进一段距离到达测点E,再用该仪

测量示意图

器测得点B的仰角为夕，且点A,B,

CEC,D,E,尸均在同一竖直平面内，

点A,C,E在同一条直线上.

仪器C。（EF）的

a的度数0的度数CE的长度

高度

测量数据

31°42°5米1.5米

请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕"雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小

数）.（参考数据：sin310»0.52,cos3F«0.86,tan310»0.60,sin42°®0.67,cos42°»0.74,

tan42°«0.90)

田①

13.（2020•湖南岳阳•统考中考真题）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综

合治理项目，需要从如图A,8两地向C地新建AC,3C两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北

偏东45。方向上，在8地北偏西68。方向上，AB的距离为7协1,求新建管道的总长度.（结果精确到

Q.lkm,sin22°«0.37,cos22°®0.93,tan22°»0.40,^2®1.41)

14.（2020・四川成都,统考中考真题）成都"339"电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成

都旅游打卡的网红地.如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼

顶。处测得塔A处的仰角为45。，塔底部8处的俯角为22。.已知建筑物的高CO约为61米，请计算观景台

的高的值.

（结果精确到1米；参考数据：sin22°«0.37,cos22°«0.93,tan22°®0.40）

15.（2021・四川阿坝•统考中考真题）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30。,

看大楼底部B的俯角为45。，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度.（结果精确到1

米，参考数据：g"73）

16.（2020•江苏苏州•统考中考真题）问题1：如图①，在四边形A3CD中，ZB=ZC=90°,P是BC上一

问题2：如图②，在四边形A3C。中，ZB=ZC=45°,尸是3C上一点，PA=PD,ZAPD=90°.求

AB+CT)

-BC的值.

17.（2020•四川遂宁•统考中考真题）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区

的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1

号楼顶部E的俯角为67。，测得2号楼顶部F的俯角为40。，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼

的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D,点B为CD的中点，求2号楼的高度.（结果精确

至IJO.l）（参考数据sin40°=0.64,cos40°=0.77,tan400=0.84,sin67°=0.92,cos67°=0.39,tan67°=2.36）

A

飞济新丁

2

1号

楼

号

楼

cBD地面

重难点07解直角三角形之“背靠背”模型

【知识梳理】

【模型展示】

【考点剖析】

1.（2022秋•上海浦东新•九年级校考期中）如图，A,8两地之间有一座山，汽车原来从/地到8地须经C

地沿折线/-C-3行驶，全长68协现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶.已知朋=30。，财=45。,

则隧道开通后，汽车从/地到8地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1b?）（参考数据：72=1.4,6

=1.7)

【答案】14.0千米

【分析】首先过点C作垂足为。，设CD=x,即可表示出NC,8c的长，进而求出x的值，再

利用锐角三角函数关系得出8。的长，即可得出答案.

【详解】解：如图，过点C作。。的8,垂足为D设CD=x.

—一CDCD

在RtEL4CZ)中，sinEL4=-----,AC—..............=2x,

ACsin30°

CDCD

在RtELBCD中，sinES=-----,BC—..............=0x,

BCsin45°

EL4C+3c=2x+0x=68,

6868

盟=-----r-=20,

2+y]22+1.4

在RtEUCD中，tanEL4=0，AD=⑪=2073,

ACtan30°

4—CDCD

在Rt回5c。中，tan回8=—,BD=---------=20,

BDtan45°

48=206+20=54,

AC+BC-AB=58-54=14.0(/cm).

答：隧道开通后，汽车从/地到8地比原来少走14.0千米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确分析计算是解题的关键.

2.（2023・上海,一模）如图，。地在/地的正东方向，因有大山阻隔，由/地到C地需要绕行3地，已知

8位于/地北偏东67。方向，距离/地520km,C地位于8地南偏东30。方向，若打通穿山隧道，建成两地

直达高铁，求N地到C地之间高铁线路的长.（结果保留整数）参考数据：（sin67'm；COS67%2；

12「、

tan67°=y；6=1.73）

【答案】A地到C地之间高铁线路的长约为596（6”）.

【分析】过点B作BDHAC于点D,利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论.

【详解】解：如解图，过点3作于点。，

国3地位于A地北偏东67°方向，距离A地520hn,

团乙血）=67°,

团A。=A3•sin67°«520x—=480（版）,

BD=AB•cos67°»520=200（Am）.

团。地位于3地南偏东30°方向，

团NC3O=30°,

0CD=BOtan30°=200x^-=纱由（km），

33

SAC=AD+CD=48Q+200^~596（M.

答：A地到C地之间高铁线路的长约为596（km）.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形.

3.（2020•上海杨浦・统考一模）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取3、C两点，对岸岸边有一块石

头4在AABC中，测得/3=64。，ZC=45°,3C=50米，求河宽（即点/到边BC的距离）（结果精确

至！］0.1米）.

（参考数据：0kl.41，sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan64°=2.05）

【答案】河宽约为33.6米

【分析】过A作AD回BC于。，并设AD=x米，则由已知条件可以得到关于X的方程，解方程即可得到河的

宽度.

【详解】解：如图，过A作ADEIBC于D,并设AD=x米，

团fflC=45°,EBOAC=90°-45°=45°,

SCD=AD=x,

008=64",

ADX

0BD=

tan64°tan64°

0BC=5O米，0---------+x=50,

tan64°

解之得:x=33.6,

答：河宽约33.6米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义并结合方程思想求解是解题关键.

4.(2023・上海•一模)如图，在港口/的南偏东37。方向的海面上，有一巡逻艇3,/、2相距20海里，

这时在巡逻艇的正北方向及港口/的北偏东67。方向上，有一渔船C发生故障.得知这一情况后，巡逻艇

以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？(参考数据：sin37°»0.60,

12512

cos37°«0.80,tan37°®0.75,sin67°«一,cos67°»一,tan67°«一)

13135

相匕

【答案】巡逻艇能在1小时内到达渔船C处

【分析】由已知可得在0ABe中，0C=67°,勖=37。，且/2=20海里，要求2c的长，可以过/作

，。勖C于。，分别求出CD和AD的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形.

【详解】解答：过点N作//M5C,垂足为点

由题意，得EL4cH=67。，03=37°,48=20.

在Rf^ABH中，

团sin哈必,c°sB=%

ABAB

[7]AH=ABsinB=20xsin37o«12,

BH=AB-cosB=20xcos37°«16,

在R&S中,

0tanZACH=—

CH

12

0CH=——B5,

tanZACHtan67°

^BC=BH+CH^16+5=21,

回21+25C1,

团巡逻艇能在1小时内到达渔船C处.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角

三角形的问题，解决的方法就是作高线.

【过关检测】

1.（2020•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30。，测得

底部B的俯角是60。，此时无人机与该建筑物的水平距离A。是9米，那么该建筑物的高度BC为

米（结果保留根号）.

【答案】12百

【分析】由题意可得国CAD=30。，0BAD=6O°,然后分别解RtEIADC和RffilADB,求出CD和BD的长，进一步

即可求得结果.

【详解】解：由题意，得EICAD=30°,0BAD=6O°,

则在RtHADC中，CD=AD-tanACAD=9xtan30°=3^7^,

在RtHADB中，80=4£>-1311/84£）=9*131160°=96米，

回8。=3不+9石=126米.

故答案为：12石.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解直角三角形的知识

是解题关键.

2.（2020・湖北咸宁•中考真题）如图，海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60。方向上，一艘轮船从北小岛

A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30。方向上，如果轮船不改变航向继续

向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是nmile.（结果保留一位小

数，数21.73）

【答案】20.8

【分析】证明回ABP是等腰三角形，过P作PD回AB,从而求得PD的长即可.

【详解】解：过P作PDEIAB于D,

0AB=24,

fflPAB=90o-60°=30°,0PBD=9O°-3OO=6O°,

EBBPD=30°,

00APB=3O°,BP0PAB=0APB,

0AB=BP=24,

在直角EIPBD中，PD=BP»sin0PBD=24x^i=12>/3=20.8.

2

故答案为:20.8.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关

键.

3.（2020・四川乐山•中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯的倾斜角为30。，在

自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端8的仰角为60。，A、C之间的距离为4加.则自动扶梯的垂直高度

BD=m.（结果保留根号）

【答案】2«

【分析】先推出回ABCWBAC,得BC=AC=4,然后利用二角函数即可得出答案.

【详解】0EBAC+0ABC=0BCD=6O°,BBAC=3O°,

B0ABC=3O",

EBABC=EIBAC,

EIBC=AC=4,

在RtHBCD中，BD=BCsin6O°=4x3=25

2

故答案为：2K.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键.

三、解答题

4.（2021•湖南永州•统考中考真题）已知锐角AABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,边角总满足关

-27rxabc

系式：

（1）如图1,若。=6,/3=45。,/。=75。，求b的值；

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥8（如图2所示），若

CD，AB,AC=14米，AB=10米，sin/ACB=%叵，求景观桥CO的长度.

【答案】（1）2。⑵&5

【分析】（I）过C作81.筋于点。，解直角三角形即可;

ARAC

（2）由已知条件可知.求得sin5,勾股定理求得30,解反△加Q即可求得CD的长

sinZACBsinB

【详解】（1）如图，过C作CDLAB于点。

.-ZB=45°

:.DC=BDfZDCB=45°

DC=DB=BCxsin5=axsin45°=6x=3A/2

2

ZC=75°

,ZACD=30。

CD

,/cosZACD=----

AC

.gCD*2表

cosZACD

2

即b=2A/6

/、ABAC，AC=14sinZACB=^-,AB=10

(2)•/-------------=f

sinZACBsinB14

14xN

sinB=

AB-W2

.-.ZB=60°

在R〃BDC中,设BD=x,贝UCD=gx

.\AD=10-x

在RhADC中，AD2+CD2=AC2

即：(10-X)2+(V3X)2=142

解得：玉=8,9=-3（不符题意，舍）

CD=>/3x=8y/3

【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键.

5.（2020・湖北黄石•中考真题）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房A3的楼顶，测量

对面的乙栋楼房C。的高度，已知甲栋楼房与乙栋楼房8的水平距离AC=184米，小丽在甲栋楼房

顶部B点，测得乙栋楼房顶部。点的仰角是30。，底部C点的俯角是45。，求乙栋楼房8的高度（结果保

留根号）.

【答案】18（V3+l）m

【分析】根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解.

【详解】如图，依题意可得回BCA=45。，

EBABC是等腰直角三角形，

EIAB=CE=AC=18A

EBDBE=30°

0DE=BExtan3O°=18

EICO的高度为CE+ED=18（V3+l）m.

【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.

6.（2021•甘肃武威・统考中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔"，始建于明嘉靖十四年（1535

年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与蟀胴山的凌空塔遥相呼应，被誉为平

凉古塔"双璧某数学兴趣小组开展了测量"大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

方案设计：如图2,宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得/C4D和NCBD的度数

（A,0,8在同一条直线上）.

数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为58m,NC4T>=42o,NCBD=58。.

问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）.

参考数据：sin42°q0.67,cos42°=0.74,tan42°x0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

【答案】33.4m

【分析】设CD=xm,再利用锐角三角函数用含》的代数式表示AZ）,8。再列方程，解方程可得答案.

【详解】解：QCD^AB,设CD=；m,

3CDx_x

在小AACD中,

tanZCADtan42°-0.9

CD%%

在放ZkCBD中,BD=

tanZCB£)tan58°L6

AD+BD=AB,

X尤LC

---1---=58,

0.91.6

，125x=4176,

解得，x®33.4.

答：宝塔的高度约为33.4m.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关

系是解题的关键.

7.（2020・湖南永州•中考真题）一艘渔船从位于入海岛北偏东60。方向，距八海岛60海里的B处出发，以

每小时30海里的速度沿正南方向航行.已知在4海岛周围50海里水域内有暗礁,（参考数据：

V3弓1.73,6~2.24,近»2.65）

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由.

（2）渔船航行3小时后到达C处，求4C之间的距离.

【答案】（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50海里

【分析】（1）过A点作ADI3c于点D,在R/AAB。中求出AD与50海里比较即可得到答案;

（2）在HAAAD中求出BD得到CD,再根据勾股定理求出AC.

【详解】解：（1）过A点作AD/3C于点D,

回/AC®=NADC=90°,

由题意可得—3=60。,

El在Rt^ABD中，AD^AB-sin60°=60x二=30&a51.9>50,

2

团渔船在航行过程中没有触礁的危险；

（2）在中，3。=A3<os60°=30,

0BC=3x3O=9O,

团DC=90—30=60,

在RtAADC中，AC=^AD2+CD2=7（3073）2+602=3。币”79.50，

即A,C之间的距离为79.50海里.

【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在

直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.

8.（2020•内蒙古通辽•中考真题）从A处看一栋楼顶部的仰角为。，看这栋楼底部的俯角为Q,A处与楼

的水平距离AD为90m,若tanar=0.27,tan/?=2.73,求这栋楼高.

【答案】270米

【分析】根据正切的定义分别求出BD、DC的长，求和即可.

【详解】解：在RtElABD中，tana=—,

AD

贝|JBD=AD»tana=90x0.27=24.3,

在RtHACD中,tanp=-----,

AD

则CD=AD»tanp=90x2.73=245.7,

EIBC=BD+CD=24.3+245.7=270,

答：这栋楼高约为270米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正切理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数

的定义是解题的关键.

9.（2020•湖北恩施•中考真题）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛尸

位于其西北方向（北偏西45。方向），2小时后轮船到达3处，在8处测得小岛P位于其北偏东60。方向.求

此时船与小岛尸的距离（结果保留整数，参考数据：疙=1.414,73^1.732）.

【答案】此时船与小岛尸的距离约为44海里

【分析】过P作PHE1AB,设PH=x,由己知分别求PB、BH、AH,然后根据锐角三角函数求出x值即可求解

【详解】如图，过P作PHEIAB,设PH=x,

由题意，AB=60,0PBH=3Oe,I3PAH=45。，

在RtEIPHA中，AH=PH=x,

在RtEIPBH中，BH=AB-AH=60-x,PB=2x,

PH

0tan3O5=-----,

BH

即@=X,

360-x

解得：x=30（73-1）,

0PB=2x=60（73-1）=44（海里），

答：此时船与小岛P的距离约为44海里.

北

p

【点睛】本题考查了直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键.

10.（2020•江苏淮安,统考中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C,测得

ZC4B=30°,NABC=45。，AC=8千米，求A、3两点间的距离.（参考数据：0^1.4,1.7,结

果精确到1千米）.

【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角

形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得.

【详解】如图，过点C作。0,45于点口

・.,在中，ZG4D=30°,AC=8千米

.-.C£>=1AC=1X8=4（千米），AD=VAC2-CD2=782-42=4A/3（千米）

,在RtzXBCD中，Z£）BC=45°

Rt^BCD是等腰直角三角形

.•.BD=CD=4千米

A8=A£>+80=46+4。4x1.7+4=10.8all（千米）

答：A、8两点间的距离约为11千米.

c

J^o。I45。人

ADB

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直

角三角形是解题关键.

1L（2020•山东潍坊,中考真题）某校"综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图，

桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥A8的上方120米的点C处悬停，此时

测得桥两端A,B两点的俯角分别为60。和45。，求桥AB的长度.

【答案】40^+120

【分析】过C地点作交AB于D点，根据桥两端A,B两点的俯角分别为60。和45。，可得

ZACD=30°,48=45。，利用特殊角懂得三角函数求解即可.

【详解】解：如图示：过C地点作交AB于D点，

则有：ZACD=30°,/BCD=45°,

团AO=CDgtan?ACDCDgtan300=120?40>/3,

BD=CDgan?BCDCD陞an45°=120?1120,

SAB=AD+BD=4073+120.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的运算，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键.

12.（2020•甘肃金昌•统考中考真题）图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝一一铜奔马，又称"马踏飞燕"，于

1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城

市的广场上都有"马踏飞燕"雕塑，某学习小组把测量本城市广场的"马踏飞燕"雕塑（图②）最高点离地面

的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：

课题测量"马踏飞燕"雕塑最高点离地面的高度

如图，雕塑的最高点8到地面的高度为

BA,在测点C用仪器测得点8的仰角为

前进一段距离到达测点E,再用该仪

测量示意图

器测得点8的仰角为尸，且点A,B,

CEC,D,E,尸均在同一竖直平面内，

点A,C,E在同一条直线上.

仪器CD（E尸）的

。的度数夕的度数CE的长度

高度

测量数据

31°42°5米1.5米

请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕"雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小

数）.（参考数据：sin31°»0.52，cos31°»0.86,tan31°«0.60,sin42°®0.67,cos42°«0.74，

tan420®0.90）

国②

【答案】10.5m

【分析】如图，延长。尸交AB于G,设3G=x,利用锐角三角函数表示尸G,再表示DG,再利用锐角三

角函数列方程求解x,从而可得答案.

【详解】解：如图，延长D尸交A3于G,

由题意得：ZBGD=ABAC=90°,DF=CE=5,DC=AG=EF=1.5,

设BG=x,

BG

由tan夕=tan42°=,

FG

.9-x

"IO-FG5

由tana=tan31°=-----,

DG

3_x

旨L

9

.-.—=15,

3

..x=9,

经检验：X=9符合题意，

:.BA=BG+AG=9+l.5=10.5

"马踏飞燕"雕塑最高点离地面的高度为105〃

【点睛】本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键.

13.(2020•湖南岳阳,统考中考真题)共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综

合治理项目，需要从如图A,8两地向C地新建AC,3C两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地

北偏东45。方向上，在8地北偏西68。方向上，AB的距离为74"，求新建管道的总长度.(结果精确到

0.1km,sin22°«0.37,cos22°®0.93,tan22°®0.40,5/2»1.41)

【答案】新建管道的总长度约为8.2协z.

【分析】如图（见解析），先根据方位角的定义求出NC4D=45O,NC3D=22。，设仞=4”，贝|

BD=（J-x）km,再在我以4。£）中，根据等腰直角三角形的判定与性质可得AC、CD的长，然后在RtZkBCD

中，解直角三角形可得x的值，从而可得AC、BC的长，由此即可得出答案.

【详解】如图，过点C作CDJ_AB于点D

由题意得：ZC4D=90°-45°=45°,ZCBD=90°-68°=22°,AB=7km

设则8O=（7-x）初j

CD±AB,ZCAD=45°

：.Rt^ACD是等腰直角三角形

CD=AD=xkm,AC=A/2AD='j2xkm

C7)x

在RtZXBCD中，tanZCBD=一,即----=tan22°

BD7-x

7tan22。7x0.40

解得％==2(km)

1+tan22°1+0.40

7匕0770

经检验,'=胃而是所列分式方程的解

AC=2V2«2.82(M,CD=2km

CD2

在RtZXBCD中，sinZCBD=——,即——=sin22°

BCBC

2

解得3C=x-----«5Al(km)

sin22°0.37

则AC+BC®2.82+5.41=8.23«S.2(km)

答：新建管道的总长度约为8.2Am.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、方位角的定义、解直角三角形等知识点，掌握解直角

三角形的方法是解题关键.

14.（2020•四川成都,统考中考真题）成都"339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成

都旅游打卡的网红地.如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼

顶。处测得塔A处的仰角为45。，塔底部8处的俯角为22。.己知建筑物的高CO约为61米，请计算观景台

的高AB的值.

（结果精确到1米；参考数据：sin22°«0.37,cos22°«0.93,tan22°®0.40）

【答案】观景台的高AB约为214米.

【分析】过点D作DM回AB于点M,由题意可得四边形DCBM是矩形，由矩形的性质可得BM=CD=61米；

在RtlBBDM中，E1BDM=22°,BM=61米，由此可得tan22-=&-,即可求得DM=152.5米；再证明EIADM为

DM

等腰直角三角形，可得DM=AM=152.5米，由此即可求得观景台的高AB的长.

【详解】过点D作DM0AB于点M,由题意可得四边形DCBM是矩形，

.,山BM

在Rt回BDM中，回BDM=22°,BM=61米，tan团BDM二——，

DM

。61

团tan22=------,

DM

解得，DM=152.5米;

EBADM=45°,DMEIAB,

00ADM为等腰直角三角形,

团DM=AM=152.5米,

0AB=BM+AM=61+152,5=213.5=214（米）.

答：观景台的高约为214米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构建直角三角形是解决问题的关键.

15.（2021・四川阿坝•统考中考真题）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30。,

看大楼底部B的俯角为45。，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度.（结果精确到1

米，参考数据：

【答案】这栋楼的高度约为95米.

【分析】利用正切函数分别在RtHABD与RtBACD中求得BD与CD的长即可