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文档简介
专题06函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析
目录
01考情透视•目标导航.............................................................2
02知识导图•思维引航.............................................................3
03知识梳理•方法技巧............................................................4
04真题研析•精准预测............................................................7
05核心精讲•题型突破...........................................................24
题型一:唯一零点求值问题24
题型二:不动点与稳定点28
题型三:运用反函数思想妙解压轴题33
题型四:倍值函数37
题型五:最值函数44
题型六:嵌套函数49
题型七:共零点问题55
题型八:双参数比值型问题60
题型九:指数函数与对数函数的交点66
题型十:曼哈顿距离问题71
题型十一:平口单峰函数77
题型十二:三次函数82
题型十三:指对同构88
题型十四:切线放缩与夹逼93
题型十五:整数解问题98
题型十六:导数中的“最短距离”问题105
题型十七:等高线问题110
重难点突破:多变量问题U7
1/123
w
高考中函数与导数的经典压轴小题,往往聚焦于函数的零点、不等式恒成立等核心考点,这些考点与
函数的性质、表达式及图像紧密相连。解题过程要求考生展现出坚实的逻辑推理能力和空间直观想象力,
以及熟练的数学运算技巧。此外,面对贴近实际的数学问题,考生还需具备敏锐的数据分析能力和数学建
模思维,能够将实际问题抽象为数学模型,并运用所学知识进行求解。
考点要求目标要求考题统计考情分析
2024年天津卷第15题,5分预测2025年高考数学,导
2024年II卷第6题,5分数知识将成为重头戏。它或以
掌握零点概念,熟
零点2023年II卷第11题,5分
练求解方法。简洁明了的选择题、填空题形
2022年I卷第10题,5分
式独立出现,主要考察基础计
2021年I卷第7题,5分
算与几何理解,难度相对较低;
掌握导数应用,解2024年II卷第8题,5分或巧妙融入解答题之中,成为
不等式
决不等式问题。2021年H卷第16题,5分解题关键。特别是利用导数探
究函数单调性、极值与最值等
深层次应用,预计将作为选择
题'填空题的难点部分,出现
在题序后端,难度适中偏上,
2024年I卷第10题,6分
理解性质,熟练求综合考察学生的分析能力和解
三次函数2022年I卷第10题,5分
解应用。题技巧。这样的设计既考验学
2021年乙卷第12题,5分
生的基础知识,又挑战其综合
运用能力,是高考数学中的一
大点°
2/123
最值
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牛m口糯[里•右法拈is
1、求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,
当出现了(7(a))的形式时,应从内到外依次求值;当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分
段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足
相应段自变量的取值范围.
2、含有抽象函数的分段函数,在处理时首先要明确目标,即让自变量向有具体解析式的部分靠拢,
其次要理解抽象函数的含义和作用(或者对函数图象的影响).
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法:一种是利用代数手段,通过对x进行分类讨论将
不等式转变为具体的不等式求解;另一种是通过作出分段函数的图象,数形结合,利用图象的特点解不
等式.
4、分段函数零点的求解与判断方法:
(I)直接法:直接根据题设条件构造关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成球函数值域的问题加以解决;
(3)数形结合法:先将解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合
求解.
5、动态二次函数中静态的值:
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形,注意二次函数的系数、图象的开口、对称
轴是否存在不变的性质,二次函数的图象是否过定点,从而简化解题.
6、动态二次函数零点个数和分布问题:
通常转化为相应二次函数的图象与x轴交点的个数问题,结合二次函数的图象,通过对称轴,根的
判别式,相应区间端点函数值等来考虑.
7、求二次函数最值问题,应结合二次函数的图象求解,有三种常见类型:
(1)对称轴变动,区间固定;
(2)对称轴固定,区间变动;
(3)对称轴变动,区间也变动.
这时要讨论对称轴何时在区间之内,何时在区间之外.讨论的目的是确定对称轴和区间的关系,明
确函数的单调情况,从而确定函数的最值.
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数,所以基本的研究思路是:借助导函数的图象
来研究原函数的图象.如借助导函数的正负研究原函数的单调性;借助导函数的(变号)零点研究原函
数的极值点(最值点);综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…
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具体来说,对于二次函数=ax3+bx2+cx+d(a>0)>其导函数为f'(x)=3ax2+2bx+c(a>0),
根的判别式A=4(/_3ac).
a>0
判别式A>0A=0A<0
L
2U/kJ
2;/
/'(x)=3ax+2bx+ch1«/f
图象工
£i\o
增区间:(-00,西),
单调性(Z,+00);增区间:(-00,+co)增区间:(-co,+co)
减区间:(西,尤2)
f(x)=tzx3+bx2+ex+di
J«F|r''/
•J
J
;/
1
,f//
f
图象A1
1门i・,M,
-一—一一4•/H**-f』/;q
匕/1
T/t
//
下1If/4I
(1)当ATO时,/恒成立,三次函数/(x)在R上为增函数,没有极值点,有且只有一个零
点;
(2)当A20时,=0有两根再,々,不妨设再<%2,则再+工2=-殳,可得三次函数/(%)在
一3a
(-00,西),(x2,+8)上为增函数,在(石,工2)上为减函数,则再,入2分别为三次函数/(工)="3+6/+CX+Q
的两个不相等的极值点,那么:
①若/(西),/5)>0,则/(X)有且只有1个零点;
②若/(石)./(/)<0,则/(X)有3个零点;
③若/(石)./»=0,则/⑺有2个零点.
特别地,若三次函数/(司="3+及2+6+2(4>0)存在极值点/,且/(%)=0,则/(X)地解析式为
2
/(x)=6z(x-xo)(x-m)•
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同理,对于三次函数/")="3+/2+%+4(a<0),其性质也可类比得到.
9、由于二次函数/(%)=办3+云2+°x+d(4w0)的导函数/'(X)=362+2bx+c为二次函数,其图象变
化规律具有对称性,所以三次函数图象也应当具有对称性,其图象对称中心应当为点此
结论可以由对称性的定义加以证明.事实上,该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点.
10、对于三次函数图象的切线问题,和一般函数的研究方法相同.导数的几何意义就是求图象在该店
处切线的斜率,利用导数研究函数的切线问题,要区分“在”与“过”的不同,如果是过某一点,一定要设切点
坐标,然后根据具体的条件得到方程,然后解出参数即可.
11、恒成立(或存在性)问题常常运用分离参数法,转化为求具体函数的最值问题.
12、如果无法分离参数,可以考虑对参数或自变量进行分类讨论,利用函数性质求解,常见的是利用
函数单调性求解函数的最大、最小值.
13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时,还可以考虑利用函数图象来求解,即利用数
形结合思想解决恒成立(或存在性)问题,此时应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定
区间上函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.
14、两类零点问题的不同处理方法
利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间口,切上是连续不断的曲线,且/(a)./(6)<0一
①直接法:判断-一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明/(a).”6)<0.
②分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用零点存在性定理,
在每个单调区间内取值证明/(a)./(Z,)<0.
15、利用导数研究方程根(函数零点)的技巧
(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.
(2)根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置.
(3)利用数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
16、已知函数零点个数求参数的常用方法
(1)分离参数法:首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构
建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分类讨论法:结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题
意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围.
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葡4
育翱码折•增:住福洲
1.(2024年新课标全国11卷数学真题)设函数/(的=(》+。)1110+6),若/(》)》0,则02十〃的最小值为(
A.—B.-C.gD.1
842
【答案】C
【解析】解法一:由题意可知:/(x)的定义域为(-4+8),
令X+。=0解得%=—。;令ln(x+6)=。解得%=1—6;
若一aW—b,当xw(—6,l—b)时,可知x+a〉0,ln(x+6)<0,
此时〃x)<0,不合题意;
若一b<—a〈l—b,当%时,可知X+Q>0,ln(x+6)<0,
此时/(幻<0,不合题意;
若—4=1—b,当XE(-仇1一6)时,可知x+a<01n(x+b)<0,此时/(x)>0;
当xe[l—b,+oo)时,可知x+4201n(x+b)20,此时/(x)20;
可知若-4=1-6,符合题意;
若—a>l-b,当%—时,可知%+〃<0,111(%+6)>0,
此时/(幻<0,不合题意;
综上所述:-4=1-6,即6=〃+1,
则/+/=/+(〃+)=2二+工丫+乂L当且仅当。=-匕6=,时,等号成立,
所以/+〃的最小值为。;
解法二:由题意可知:“X)的定义域为(一小田),
令x+a=0解得%=—。;令ln(x+6)=0解得了=1一6;
则当x£(—b,l-6)时,ln(x+Z?)<0,故x+〃《0,所以1一6+〃《0;
XE(1-8+QO)时,ln(x+Z?)>0,故x+〃20,所以1-/?+〃20;
故l-6+a=0,则+/=+(〃+1)2=2^++X>L,
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当且仅当。=-!,6=:时,等号成立,
22
所以/+〃的最小值为;.
故选:C.
2.(2024年新课标全国n卷数学真题)设函数/(x)=a(x+l)2—l,g(x)=cosx+2ax,当xe(T,l)时,曲
线夕=/(幻与>=8。)恰有一个交点,则。=()
A.-1B.yC.1D.2
【答案】D
【解析】解法一:令解x)=g(x),即。(尤+1)2-l=cosx+2办,可得办2+a-l=cosx,
令尸(%)=ax2+a-l,G(x)=cosx,
原题意等价于当xe(-1,1)时,曲线y=尸(x)与y=G(x)恰有一个交点,
注意到户(X),G(X)均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,
可得尸(0)=G(0),即"1=1,解得0=2,
若°=2,令尸(x)=G(x),可得2/+l-cosx=0
因为则2x?N0,l-cosx20,当且仅当x=0时,等号成立,
可得2/+1-cosxNO,当且仅当x=0时,等号成立,
则方程2x2+1-cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,
所以。=2符合题意;
综上所述:。=2.
解法二:令〃(x)=/(x)-g(x)=ax2+a-l-C0SJC,xe(-l,l),
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点,
因为h(一无)=a(—x)+a—1—cos(―x)=cix~+a—1—cosx=〃(无),
则h(x)为偶函数,
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,
即刈0)=a-2=0,解得a=2,
若a=2,贝!|/z(x)=2x2+1-cosx,xG(-1,1),
又因为2x?>0,l-cosx>0当且仅当x=0时,等号成立,
可得当且仅当x=0时,等号成立,
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即无(X)有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意;
故选:D.
3.(2024年高考全国甲卷数学(文)真题)曲线y=x3-3x与>=-(》-1)2+。在(0,+司上有两个不同的交
点,则。的取值范围为.
【答案】(-2,1)
【解析】令x3-3x=-(x-iy+a,BP=x3+x2-5x+1,令g(x)=*3+x?-5x+l(x>0),
则g'(x)=+2x-5=(3x+5)(x-1),令g'(x)=0(x>0)得x=1,
当xe(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当xC(l,+8)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,g(O)=l,g(l)=-2,
因为曲线y=d-3x与y=-(x-1)2+。在(0,+8)上有两个不同的交点,
所以等价于>与g(x)有两个交点,所以(-2,1).
4.(2024年天津高考数学真题)设aeR,函数〃X)=2A/?二^-|办-2|+1.若/'(%)恰有一个零点,则。的
取值范围为.
【答案】卜百,-1)“1,9
【解析】令/(尤)=0,^2ylx2-ax=\ax-2\-i,
由题可得工2一QXNO,
当Q=o时,xER,<2A/?=|-2|-1=1,贝I」x=土;,不符合要求,舍去;
_____ax-5,x>—
当Q〉0时,则2,工2_办=®_21_]=<
l-ax,x<—
、a
9/123
r、2
ax-3,x>—
即函数g(x)=2,f-"与函数〃(%)=<;有唯一交点,
l-ax,x<—
a
由%2一办20,可得或x<0,
当XVO时,则办一2<0,则2,X、-4X=|QX-彳-1=1-4X,
即412—4办=0_办)2,整理得(4-Q2)%2_2(2X—1=[(2+a)x+l][(2-0x-1]=(,
当Q=2时,即4x+l=0,即x=—,,
4
当ae(O,2),x=—一—^x=—>0(正值舍去),
2+。2-a
当ae(2,+e)时,或尤=^1-<0,有两解,舍去,
2+a2-a
即当。40,2]时,2^x2-ax-\ax-2\^-l=0在x<0时有唯一解,
则当“£(0,2]时,2y]x2-ax-\ax-2\+l=0在时需无解,
当QE(0,2],且xNa时,
。2
ax-3,x>—
I3
由函数〃(%)=<;关于尤=2对称,令"x)=o可得x=—或x=-,
2aaa
l1-ax,x<—
a
且函数九(无)在上单调递减,在[2,3]上单调递增,
\aa)\aa)
令g(%)=y=2Jx2-ax
4
故xN。时,g(x)图象为双曲线丁一/二1右支的x轴上方部分向右平移£所得,
T
22
(x)y1
由丁一N=的渐近线方程为了一一Z,
T2
即g(x)部分的渐近线方程为>=,其斜率为2,
10/123
r、
ax—5,x>—2
又"(0,2],即/Z(X)=<;在时的斜率ae(O,2],
l-ax,x<—
a
令g(x)=2A/x1—ax=0,可得x=Q或x=0(舍去),
且函数g(X)在(。,+8)上单调递增,
1
一<Q
故有《[,解得l<a<6,故l<a<6符合要求;
—>a
、〃
c2
ax-3,x<—
当Q<0时,则2A/x2—ax=\ax—2|-1=<a
।2
1-ax,x>—
a
ax—3r,x<J—
即函数g(x)=2jf一办与函数/z(x)=<;有唯一交点,
l-ax,x>—
a
由J一办20,可得xNO或xW。,
当xNO时,则ax—2<0,则2,X2一办二卬一2|一1=i—办,
即4x2—4ax=(1—ax)。,整理得(4—〃卜2_2ax_1=[(2+a)x+1][(2—0x—1]=C,
当Q二—2时,即4x—l=0,BPx,
4
当。«-2,0),%=_J-<0(负值舍去)或%=0,
当ae(-e,2)时,x=-J—>0或x=]—>0,有两解,舍去,
2+a2-a
即当〃4―2,0)时,2A/?二^—辰-2|+1=0在x20时有唯一解,
则当。目-2,0)时,2A2s_版_2|+1=0在时需无解,
当Qe[—2,0),且时,
r,2
ax-5,x<—
1Q
由函数〃(%)=<:关于x=2对称,令〃(x)=0,可得工=—或%=—,
12aaa
I-ax,x>—
a
11/123
且函数九0)在(2-]上单调递减,在[3,2]上单调递增,
\aaJ\aaJ
(x)2/_
同理可得:XV。时,g(x)图象为双曲线工二一/=1左支的x轴上方部分向左平移]所得,
4一
g(x)部分的渐近线方程为J=-2口+,其斜率为-2,
C2
ax-5,x>—
又ae[—2,0),即〃(x)=<:在x<2时的斜率ae[-2,0),
12a
l-ax,x<—
a
令g(x)=2Jx?_"=0,可得x=a或x=0(舍去),
且函数g(H在(-8闻)上单调递减,
I
——〉a
故有,解得-6<a<-l,故-由<a<-l符合要求;
—<a
、a
综上所述,ae卜>/^,-1)口(1,6).
故答案为:卜百,T)u(1,6).
5.(多选题)(2024年新课标全国H卷数学真题)设函数/(x)=2d_3办2+1,则()
A.当。>1时,“X)有三个零点
B.当a<0时,x=0是/'(x)的极大值点
C.存在a,6,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴
D.存在a,使得点为曲线>=/(x)的对称中心
【答案】AD
【解析】A选项,f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,
故xe(-8,0)u(a,+8)时f\x)>0,故/(x)在(-8,0),(a,+s)上单调递增,
xe(0,a)时,f'(x)<0,单调递减,
则/W在x=0处取到极大值,在x=。处取到极小值,
由〃0)=1>0,/(a)=l-a3<0,则/(0)/(。)<0,
根据零点存在定理/(x)在(0,a)上有一个零点,
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又/(-1)=-1-3。<0,/(2。)=4/+1>0,则/(-l)/(0)<0J(a)/(2a)<0,
则/⑴在(T0),32。)上各有一个零点,于是a>1时,“X)有三个零点,A选项正确;
B选项,f'(x)=6x(x-a),a<0时,xG(a,0),f'(x)<0,/(x)单调递减,
》€(0,+8)时广(外>0,〃x)单调递增,
此时〃x)在x=0处取到极小值,B选项错误;
C选项,假设存在这样的6,使得x=b为〃x)的对称轴,
即存在这样的使得/«=fQb-x),
32
即2x-3axz+1=2(26-xf-3a(26-x)+l,
根据二项式定理,等式右边(26-x)3展开式含有尤3的项为2仁(24(-4=-2x3,
于是等式左右两边V的系数都不相等,原等式不可能恒成立,
于是不存在这样的。,6,使得x=b为“X)的对称轴,C选项错误;
D选项,
方法一:利用对称中心的表达式化简
41)=3-3a,若存在这样的。,使得(1,3-3a)为〃x)的对称中心,
则〃x)+/(2-x)=6-6a,事实上,
/(x)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3aQ-x)2+l=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,
于是6-6。=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a
12-6a=0
即12"24=0,解得。=2,即存在a=2使得(1J⑴)是/(x)的对称中心,D选项正确.
18-12。=6-6a
方法二:直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,
f(x)-2x3-3ax2+1,/'(尤)=6x?-6ax,f"{x)=12x-6a,
由/"(x)=0ox=|,于是该三次函数的对称中心为],
由题意(1J(D)也是对称中心,故•|=loa=2,
即存在。=2使得(1,7(1))是/(x)的对称中心,D选项正确.
故选:AD
6.(多选题)(2024年新课标全国I卷数学真题)设函数/(X)=(X-1)2(X-4),则()
A.尤=3是/⑴的极小值点B.当0<x<l时,f(x)<f(x2)
13/123
C.当l<x<2时,一4</(2x-l)<0D.当T<x<0时,/(2-x)>/(x)
【答案】ACD
【解析】对A,因为函数/(无)的定义域为R,而广(耳=2(》-1)(》-4)+(》-1)2=3(》-削工7,
易知当xe(l,3)时,/1(X)<0,当xe(-8,l)或xe(3,+(»)时,(久)>0
函数”X)在(-。,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+功上单调递增,故x=3是函数/(X)的极小值
点,正确;
对B,当0<x<l时,x-x2=x(l-x)>0,所以
而由上可知,函数/(x)在(0,1)上单调递增,所以错误;
对C,当l<x<2时,1<2%-1<3,而由上可知,函数”X)在(1,3)上单调递减,
所以/(1)>/(2—1)>/⑶,即T</(21)<0,正确;
对D,当-l<x<0时,/(2-x)—/(x)=(1-42(-2-4-(彳_/(工_q2-21>(,
所以“2-x)>/(x),正确;
故选:ACD.
7.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)函数/卜)=丁+办+2存在3个零点,则。的取值范围是()
A.(-℃,-2)B.(-«,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)
【答案】B
【解析】/(x)=x3+ax+2,则八幻=3/+。,
若/(x)要存在3个零点,则/(x)要存在极大值和极小值,则。<0,
令/口)=3/+”0,解得%=—后或行,
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+2>0
若/(X)要存在3个零点,则V,即,解得a<—3,
+2<0
故选:B.
8.(多选题)(2023年新课标全国II卷数学真题)若函数/(x)=alnx+:+5(”0)既有极大值也有极小值,
则(),
A.bc>0B.ab>QC.b1+Sac>0D.ac<0
【答案】BCD
【解析】函数/(无)=olnx+*二的定义域为(0,+s),求导得/(X),一上一当=竺♦与二,
因为函数/(X)既有极大值也有极小值,则函数/'(X)在(0,+8)上有两个变号零点,而QW0,
因此方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根再,马,
△=/+8。。>0
于是<芭+%2=2〉0,即有b2+8ac>0,ab>0,ac<0,显然a26c<0,即bc<0,A错误,BCD正确.
a
2c八
=--->0
、a
故选:BCD
x+2,x<-a,
9.(2023年北京高考数学真题)设a>0,函数〃x)=4,给出下列四个结论:
-\[x-\,x>a.
①〃x)在区间(a-1,+8)上单调递减;
②当a21时,〃x)存在最大值;
③设,/(%))(再4°),、(々,/(%2))(X2>。),则
④设尸卜3,/5))伍<-。),094,/旧》(匕"。).若存在最小值,则a的取值范围是[o]
其中所有正确结论的序号是.
【答案】②③
【解析】依题意,a>0,
当x<-a时,/(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线;
当-aWxWa时,==?,易知其图像是,圆心为(0,0),半径为〃的圆在工轴上方的图像(即半圆);
15/123
当时,/(x)=-6-1,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线;
显然,当xed+s),即时,"X)在上单调递增,故①错误;
对于②,当a21时,
当x<—a时,/(x)=x+2<-d!+2<1;
当-a4x4。时,f(x)=一炉显然取得最大值a;
当x>a时,于(x)=—\[x—1<—\[u-]4—2,
综上:/(x)取得最大值。,故②正确;
对于③,结合图像,易知在王=。,%>。且接近于工=。处,Wa),N(X2,/口2))(%2>。)的距
离最小,
当士=4时,>=/(尤J=0,当%且接近于x=a处,y2=/(x2)<-Va-1,
此时,|九网>%-%>&+1>1,故③正确;
对于④,取。=;则/(X)的图像如下,
16/123
因为尸(对/(再))(舄<-°),。卜4,/(%4))(尤4N-a),
结合图像可知,要使I尸。取得最小值,则点尸在“x)=x+2(x<-3上,点。在
同时|尸@的最小值为点。到〃x)=尤+2口<-3的距离减去半圆的半径a,
此时,因为/(x)=y=x+2[x<-1)的斜率为1,则%=-1,故直线。尸的方程为>=-x,
[y=-x[x=-1/、
联立.,解得,,则尸-1,1,
[y=x+2[y=l
显然尸(Tl)在“x)=x+2,<-a上,满足|尸。|取得最小值,
即。=g也满足|尸。|存在最小值,故。的取值范围不仅仅是,故④错误.
故答案为:②③.
10.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)设ae(O,l),若函数/(x)=o'+(l+a)”在(0,+司上单调递增,
则。的取值范围是.
【解析】由函数的解析式可得[。)=屋1110+(1+4皿1+.”0在区间(0,+8)上恒成立,
即(宁)2一injla)在区间(°'+。)上恒成立,
则(1+Q)'ln(l+a)>-dIna,
故=l>-t.而a+le(l,2),故ln(l+a)>0,
\aJIn(1+(2)
17/123
ln((2+l)>-lnd!故勺
故<a<\^
0<Q<1O<Q<1
11.(2023年天津高考数学真题)设QER,函数/("=加-2x-忖-QX+1,若/(%)恰有两个零点,则。的取
值范围为.
【答案】(一0)30,l)u(l,+8)
【解析】(1)当%之一办+120时,f(x)=0<=>-l)x2-2)x-l=0,
即[(Q—1)X—1](X+1)=0,
若4=1时,X=~\,此时一一方+120成立;
若QW1时,X=---或x=-1,
a-1
若方程有一根为I=一1,则l+a+120,即。2-2且
若方程有一根为x=」7,贝山,1一〃*-^+120,解得:且。片1;
a-1^-1)a-\
若x=」一=-1时,0=0,止匕时l+a+120成立.
a-\
(2)当12—〃x+l<0时,/(%)=0=(a+l)x?+2)x+1=0,
即[((7+l)X-l](X-l)=0,
若。=-1时,X=\,显然一女+1<0不成立;
若时,%=1或%=—--,
a+1
若方程有一根为%=1,贝!)1-。+1<0,即〃〉2;
若方程有一根为尤=」,贝M-Lf-ax'+lvO,解得:«<-2;
。+1\a+l)a+1
若x=」7=l时,。=0,显然一一办+1<。不成立;
综上,
当Q<一2时,零点为----,----;
a+1a-1
当一2<。<0时,零点为,-1;
a-1
18/123
当。=0时,只有一个零点-1;
当0<。<1时,零点为,-1:
a-\
当。=1时,只有一个零点一1;
当1<°42时,零点为----,-1:
a-\
当。>2时,零点为1,7.
所以,当函数有两个零点时,且awl.
故答案为:(一8,0)。(0,1)u(1,+8).
12.(多选题)(2022年新高考全国I卷数学真题)已知函数〃x)=x3-x+l,则()
A./(x)有两个极值点B.Ax)有三个零点
C•点(0,1)是曲线y=的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线
【答案】AC
【解析】由题,r(x)=3x2-l,令尸(1>0得x呼或》<_当
令"x)<。得-,<x<f,
所以“X)在(-叫-,),(g,+oo)上单调递增,(-1,手)上单调递减,所以尤=±g是极值点,故A正
确;
因/(一-二———>0,/(《-)=]---->0>J--5<0,
所以,函数/(X)在上有一个零点,
当xzg时,/(x)>/^>0,即函数“X)在上无零点,
综上所述,函数/(x)有一个零点,故B错误;
令h(x)=N-x,该函数的定义域为R,〃(-x)=(-x)3-(-x)=-d+x=-/(
则〃(x)是奇函数,(0,0)是6(x)的对称中心,
将〃(x)的图象向上移动一个单位得到〃x)的图象,
所以点(0,1)是曲线了=/(x)的对称中心,故C正确;
令/'(切=3/_1=2,可得x=±l,又〃1)=/(-1)=1,
19/123
当切点为(1,1)时,切线方程为了=2x-l,当切点为时,切线方程为y=2x+3,故D错误.
故选:AC.
13.(2022年新高考天津数学高考真题)设aeR,对任意实数x,用f(x)表示|乂-2"2-办+3a-5中的较
小者.若函数/(x)至少有3个零点,则。的取值范围为.
【答案】a>10
【解析】设g(x)=f-ax+3a-5,A(x)=|x|-2
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