函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析（讲义）-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题06函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析

目录

01考情透视•目标导航.............................................................2

02知识导图•思维引航.............................................................3

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................7

05核心精讲•题型突破...........................................................24

题型一：唯一零点求值问题24

题型二：不动点与稳定点28

题型三：运用反函数思想妙解压轴题33

题型四：倍值函数37

题型五：最值函数44

题型六：嵌套函数49

题型七：共零点问题55

题型八：双参数比值型问题60

题型九：指数函数与对数函数的交点66

题型十：曼哈顿距离问题71

题型十一：平口单峰函数77

题型十二：三次函数82

题型十三：指对同构88

题型十四：切线放缩与夹逼93

题型十五：整数解问题98

题型十六：导数中的“最短距离”问题105

题型十七：等高线问题110

重难点突破：多变量问题U7

1/123

w

高考中函数与导数的经典压轴小题，往往聚焦于函数的零点、不等式恒成立等核心考点，这些考点与

函数的性质、表达式及图像紧密相连。解题过程要求考生展现出坚实的逻辑推理能力和空间直观想象力，

以及熟练的数学运算技巧。此外，面对贴近实际的数学问题，考生还需具备敏锐的数据分析能力和数学建

模思维，能够将实际问题抽象为数学模型，并运用所学知识进行求解。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年天津卷第15题，5分预测2025年高考数学，导

2024年II卷第6题，5分数知识将成为重头戏。它或以

掌握零点概念，熟

零点2023年II卷第11题，5分

练求解方法。简洁明了的选择题、填空题形

2022年I卷第10题，5分

式独立出现，主要考察基础计

2021年I卷第7题，5分

算与几何理解,难度相对较低；

掌握导数应用，解2024年II卷第8题，5分或巧妙融入解答题之中，成为

不等式

决不等式问题。2021年H卷第16题，5分解题关键。特别是利用导数探

究函数单调性、极值与最值等

深层次应用，预计将作为选择

题'填空题的难点部分，出现

在题序后端，难度适中偏上，

2024年I卷第10题，6分

理解性质，熟练求综合考察学生的分析能力和解

三次函数2022年I卷第10题，5分

解应用。题技巧。这样的设计既考验学

2021年乙卷第12题，5分

生的基础知识，又挑战其综合

运用能力，是高考数学中的一

大点°

2/123

最值

3/123

牛m口糯［里•右法拈is

1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值,

当出现了（7（a））的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分

段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足

相应段自变量的取值范围.

2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢,

其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）.

3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x进行分类讨论将

不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不

等式.

4、分段函数零点的求解与判断方法：

（I）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；

（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合

求解.

5、动态二次函数中静态的值：

解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称

轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题.

6、动态二次函数零点个数和分布问题：

通常转化为相应二次函数的图象与x轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的

判别式，相应区间端点函数值等来考虑.

7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：

（1）对称轴变动，区间固定；

（2）对称轴固定，区间变动；

（3）对称轴变动，区间也变动.

这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外.讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明

确函数的单调情况，从而确定函数的最值.

8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象

来研究原函数的图象.如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函

数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…

4/123

具体来说，对于二次函数=ax3+bx2+cx+d(a>0)>其导函数为f'(x)=3ax2+2bx+c(a>0),

根的判别式A=4（/_3ac）.

a>0

判别式A>0A=0A<0

L

2U/kJ

2;/

/'(x)=3ax+2bx+ch1«/f

图象工

£i\o

增区间：（-00,西），

单调性（Z，+00）；增区间：（-00,+co）增区间：(-co,+co)

减区间：（西，尤2）

f(x)=tzx3+bx2+ex+di

J«F|r''/

•J

J

；/

1

,f//

f

图象A1

1门i・，M,

-一—一一4•/H**-f』/；q

匕/1

T/t

//

下1If/4I

（1）当ATO时，/恒成立，三次函数/（x）在R上为增函数，没有极值点，有且只有一个零

点；

（2）当A20时，=0有两根再，々，不妨设再＜%2，则再+工2=-殳，可得三次函数/（%）在

一3a

（-00,西），（x2,+8）上为增函数，在（石，工2）上为减函数，则再，入2分别为三次函数/（工）="3+6/+CX+Q

的两个不相等的极值点，那么：

①若/（西）,/5）＞0,则/（X）有且只有1个零点；

②若/（石）./（/）＜0,则/（X）有3个零点；

③若/（石）./»=0,则/⑺有2个零点.

特别地，若三次函数/（司="3+及2+6+2（4＞0）存在极值点/，且/（%）=0,则/（X）地解析式为

2

/（x）=6z（x-xo）（x-m）•

5/123

同理，对于三次函数/")="3+/2+%+4(a<0)，其性质也可类比得到.

9、由于二次函数/(%)=办3+云2+°x+d(4w0)的导函数/'(X)=362+2bx+c为二次函数，其图象变

化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点此

结论可以由对称性的定义加以证明.事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点.

10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同.导数的几何意义就是求图象在该店

处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点

坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可.

11、恒成立(或存在性)问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题.

12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用

函数单调性求解函数的最大、最小值.

13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数

形结合思想解决恒成立(或存在性)问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定

区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.

14、两类零点问题的不同处理方法

利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间口，切上是连续不断的曲线，且/(a)./(6)<0一

①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明/(a).”6)<0.

②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理,

在每个单调区间内取值证明/(a)./(Z,)<0.

15、利用导数研究方程根(函数零点)的技巧

(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.

(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置.

(3)利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

16、已知函数零点个数求参数的常用方法

(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构

建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题

意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.

6/123

葡4

育翱码折•增:住福洲

1.(2024年新课标全国11卷数学真题)设函数/(的=(》+。)1110+6),若/(》)》0,则02十〃的最小值为(

A.—B.-C.gD.1

842

【答案】C

【解析】解法一：由题意可知：/(x)的定义域为(-4+8),

令X+。=0解得％=—。；令ln(x+6)=。解得％=1—6；

若一aW—b,当xw(—6,l—b)时，可知x+a〉0,ln(x+6)<0,

此时〃x)<0,不合题意；

若一b<—a〈l—b,当％时，可知X+Q>0,ln(x+6)<0,

此时/(幻<0,不合题意；

若—4=1—b,当XE(-仇1一6)时，可知x+a<01n(x+b)<0,此时/(x)>0；

当xe[l—b,+oo)时，可知x+4201n(x+b)20,此时/(x)20；

可知若-4=1-6,符合题意；

若—a>l-b,当％—时，可知％+〃<0,111(%+6)>0,

此时/(幻<0,不合题意；

综上所述：-4=1-6,即6=〃+1,

则/+/=/+(〃+)=2二+工丫+乂L当且仅当。=-匕6=，时，等号成立，

所以/+〃的最小值为。；

解法二：由题意可知：“X)的定义域为(一小田)，

令x+a=0解得％=—。；令ln(x+6)=0解得了=1一6；

则当x£(—b,l-6)时，ln(x+Z?)<0,故x+〃《0,所以1一6+〃《0；

XE(1-8+QO)时，ln(x+Z?)>0,故x+〃20,所以1-/?+〃20；

故l-6+a=0,则+/=+(〃+1)2=2^++X>L,

7/123

当且仅当。=-!，6=:时，等号成立，

22

所以/+〃的最小值为;.

故选：C.

2.(2024年新课标全国n卷数学真题)设函数/(x)=a(x+l)2—l,g(x)=cosx+2ax,当xe(T,l)时，曲

线夕=/(幻与>=8。)恰有一个交点，则。=()

A.-1B.yC.1D.2

【答案】D

【解析】解法一：令解x)=g(x),即。(尤+1)2-l=cosx+2办，可得办2+a-l=cosx，

令尸(%)=ax2+a-l,G(x)=cosx,

原题意等价于当xe(-1,1)时，曲线y=尸(x)与y=G(x)恰有一个交点，

注意到户(X),G(X)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得尸(0)=G(0),即"1=1,解得0=2,

若°=2,令尸(x)=G(x),可得2/+l-cosx=0

因为则2x?N0,l-cosx20,当且仅当x=0时，等号成立，

可得2/+1-cosxNO,当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2x2+1-cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，

所以。=2符合题意；

综上所述：。=2.

解法二：令〃(x)=/(x)-g(x)=ax2+a-l-C0SJC,xe(-l,l),

原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，

因为h(一无)=a(—x)+a—1—cos(―x)=cix~+a—1—cosx=〃(无)，

则h(x)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,

即刈0)=a-2=0,解得a=2,

若a=2,贝！|/z(x)=2x2+1-cosx,xG(-1,1),

又因为2x?>0,l-cosx>0当且仅当x=0时，等号成立,

可得当且仅当x=0时，等号成立，

8/123

即无(X)有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意;

故选：D.

3.(2024年高考全国甲卷数学(文)真题)曲线y=x3-3x与>=-(》-1)2+。在(0,+司上有两个不同的交

点，则。的取值范围为.

【答案】(-2,1)

【解析】令x3-3x=-(x-iy+a,BP=x3+x2-5x+1,令g(x)=*3+x?-5x+l(x>0),

则g'(x)=+2x-5=(3x+5)(x-1),令g'(x)=0(x>0)得x=1,

当xe(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

当xC(l,+8)时,g'(x)>0,g(x)单调递增，g(O)=l,g(l)=-2,

因为曲线y=d-3x与y=-(x-1)2+。在(0,+8)上有两个不同的交点,

所以等价于>与g(x)有两个交点，所以(-2,1).

4.(2024年天津高考数学真题)设aeR,函数〃X)=2A/?二^-|办-2|+1.若/'(%)恰有一个零点，则。的

取值范围为.

【答案】卜百,-1)“1，9

【解析】令/(尤)=0，^2ylx2-ax=\ax-2\-i,

由题可得工2一QXNO,

当Q=o时，xER,<2A/?=|-2|-1=1,贝I」x=土;，不符合要求，舍去；

_____ax-5,x>—

当Q〉0时，则2,工2_办=®_21_]=<

l-ax,x<—

、a

9/123

r、2

ax-3,x>—

即函数g(x)=2，f-"与函数〃(%)=<;有唯一交点,

l-ax,x<—

a

由％2一办20,可得或x<0,

当XVO时，则办一2<0,则2,X、-4X=|QX-彳-1=1-4X,

即412—4办=0_办)2,整理得(4-Q2)%2_2(2X—1=[(2+a)x+l][(2-0x-1]=(,

当Q=2时，即4x+l=0,即x=—,，

4

当ae(O,2),x=—一—^x=—>0(正值舍去)，

2+。2-a

当ae(2,+e)时，或尤=^1-<0,有两解，舍去，

2+a2-a

即当。40,2]时，2^x2-ax-\ax-2\^-l=0在x<0时有唯一解，

则当“£(0,2]时，2y]x2-ax-\ax-2\+l=0在时需无解，

当QE(0,2],且xNa时，

。2

ax-3,x>—

I3

由函数〃(%)=<;关于尤=2对称，令"x)=o可得x=—或x=-，

2aaa

l1-ax,x<—

a

且函数九(无)在上单调递减，在［2,3］上单调递增,

\aa)\aa)

令g(%)=y=2Jx2-ax

4

故xN。时，g(x)图象为双曲线丁一/二1右支的x轴上方部分向右平移£所得,

T

22

(x)y1

由丁一N=的渐近线方程为了一一Z，

T2

即g(x)部分的渐近线方程为＞=，其斜率为2,

10/123

r、

ax—5,x>—2

又"(0,2],即/Z(X)=<;在时的斜率ae(O,2],

l-ax,x<—

a

令g(x)=2A/x1—ax=0,可得x=Q或x=0(舍去),

且函数g(X)在(。,+8)上单调递增，

1

一<Q

故有《[，解得l<a<6，故l<a<6符合要求;

—>a

、〃

c2

ax-3,x<—

当Q<0时，则2A/x2—ax=\ax—2|-1=<a

।2

1-ax,x>—

a

ax—3r,x<J—

即函数g(x)=2jf一办与函数/z(x)=<；有唯一交点,

l-ax,x>—

a

由J一办20，可得xNO或xW。，

当xNO时，则ax—2<0,则2，X2一办二卬一2|一1=i—办,

即4x2—4ax=(1—ax)。，整理得(4—〃卜2_2ax_1=[(2+a)x+1][(2—0x—1]=C,

当Q二—2时，即4x—l=0,BPx,

4

当。«-2,0),%=_J-<0(负值舍去)或％=0,

当ae(-e,2)时，x=-J—>0或x=]—>0,有两解，舍去，

2+a2-a

即当〃4―2,0)时，2A/?二^—辰-2|+1=0在x20时有唯一解，

则当。目-2,0)时，2A2s_版_2|+1=0在时需无解，

当Qe[—2,0),且时，

r,2

ax-5,x<—

1Q

由函数〃(%)=<:关于x=2对称,令〃(x)=0,可得工=—或％=—,

12aaa

I-ax,x>—

a

11/123

且函数九0)在(2-］上单调递减，在［3,2］上单调递增，

\aaJ\aaJ

(x)2/_

同理可得：XV。时，g(x)图象为双曲线工二一/=1左支的x轴上方部分向左平移］所得,

4一

g(x)部分的渐近线方程为J=-2口+,其斜率为-2,

C2

ax-5,x>—

又ae[—2,0),即〃(x)=<:在x<2时的斜率ae[-2,0),

12a

l-ax,x<—

a

令g(x)=2Jx?_"=0,可得x=a或x=0(舍去),

且函数g(H在(-8闻)上单调递减,

I

——〉a

故有,解得-6<a<-l，故-由<a<-l符合要求;

—<a

、a

综上所述，ae卜>/^,-1)口(1,6).

故答案为：卜百,T)u(1,6).

5.(多选题)(2024年新课标全国H卷数学真题)设函数/(x)=2d_3办2+1,则()

A.当。>1时，“X)有三个零点

B.当a<0时，x=0是/'(x)的极大值点

C.存在a,6,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点为曲线>=/(x)的对称中心

【答案】AD

【解析】A选项，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,

故xe(-8,0)u(a,+8)时f\x)>0,故/(x)在(-8,0),(a,+s)上单调递增,

xe(0,a)时，f'(x)<0,单调递减，

则/W在x=0处取到极大值，在x=。处取到极小值，

由〃0)=1>0,/(a)=l-a3<0,则/(0)/(。)<0,

根据零点存在定理/(x)在(0,a)上有一个零点，

12/123

又/(-1)=-1-3。<0,/(2。)=4/+1>0,则/(-l)/(0)<0J(a)/(2a)<0,

则/⑴在(T0),32。)上各有一个零点，于是a>1时，“X)有三个零点，A选项正确；

B选项，f'(x)=6x(x-a),a<0时，xG(a,0),f'(x)<0,/(x)单调递减，

》€(0,+8)时广(外>0,〃x)单调递增，

此时〃x)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的6,使得x=b为〃x)的对称轴，

即存在这样的使得/«=fQb-x),

32

即2x-3axz+1=2(26-xf-3a(26-x)+l,

根据二项式定理，等式右边(26-x)3展开式含有尤3的项为2仁(24(-4=-2x3,

于是等式左右两边V的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的。,6,使得x=b为“X)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

41)=3-3a,若存在这样的。，使得(1,3-3a)为〃x)的对称中心，

则〃x)+/(2-x)=6-6a,事实上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3aQ-x)2+l=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,

于是6-6。=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a

12-6a=0

即12"24=0,解得。=2,即存在a=2使得(1J⑴)是/(x)的对称中心，D选项正确.

18-12。=6-6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

f(x)-2x3-3ax2+1,/'(尤)=6x?-6ax,f"{x)=12x-6a,

由/"(x)=0ox=|,于是该三次函数的对称中心为］,

由题意(1J(D)也是对称中心，故•|=loa=2,

即存在。=2使得(1,7(1))是/(x)的对称中心，D选项正确.

故选：AD

6.(多选题)(2024年新课标全国I卷数学真题)设函数/(X)=(X-1)2(X-4),则()

A.尤=3是/⑴的极小值点B.当0<x<l时，f(x)<f(x2)

13/123

C.当l<x<2时，一4</(2x-l)<0D.当T<x<0时，/(2-x)>/(x)

【答案】ACD

【解析】对A,因为函数/(无)的定义域为R,而广(耳=2(》-1)(》-4)+(》-1)2=3(》-削工7，

易知当xe(l,3)时，/1(X)<0,当xe(-8,l)或xe(3,+(»)时，(久)>0

函数”X)在(-。,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+功上单调递增，故x=3是函数/(X)的极小值

点，正确；

对B,当0<x<l时，x-x2=x(l-x)>0,所以

而由上可知，函数/(x)在(0,1)上单调递增，所以错误；

对C,当l<x<2时，1<2%-1<3,而由上可知，函数”X)在(1,3)上单调递减，

所以/(1)>/(2—1)>/⑶,即T</(21)<0,正确；

对D,当-l<x<0时，/(2-x)—/(x)=(1-42(-2-4-(彳_/(工_q2-21>(,

所以“2-x)>/(x),正确；

故选：ACD.

7.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)函数/卜)=丁+办+2存在3个零点，则。的取值范围是()

A.(-℃,-2)B.(-«,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)

【答案】B

【解析】/(x)=x3+ax+2,则八幻=3/+。,

若/(x)要存在3个零点，则/(x)要存在极大值和极小值，则。<0,

令/口)=3/+”0,解得％=—后或行，

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+2>0

若/（X）要存在3个零点,则V，即，解得a<—3,

+2<0

故选：B.

8.（多选题）（2023年新课标全国II卷数学真题）若函数/（x）=alnx+：+5（”0）既有极大值也有极小值,

则（）,

A.bc>0B.ab>QC.b1+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函数/（无）=olnx+*二的定义域为（0,+s）,求导得/（X），一上一当=竺♦与二，

因为函数/（X）既有极大值也有极小值，则函数/'（X）在（0,+8）上有两个变号零点，而QW0,

因此方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根再,马，

△=/+8。。>0

于是<芭+%2=2〉0，即有b2+8ac>0,ab>0,ac<0,显然a26c<0,即bc<0,A错误，BCD正确.

a

2c八

=--->0

、a

故选：BCD

x+2,x<-a,

9.（2023年北京高考数学真题）设a>0,函数〃x）=4,给出下列四个结论：

-\[x-\,x>a.

①〃x）在区间（a-1,+8）上单调递减；

②当a21时，〃x）存在最大值；

③设,/（%））（再4°）,、（々,/（%2））（X2>。），则

④设尸卜3，/5））伍<-。）,094，/旧》（匕"。）.若存在最小值，则a的取值范围是[o]

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③

【解析】依题意，a>0,

当x<-a时，/（x）=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；

当-aWxWa时，==？，易知其图像是，圆心为（0,0）,半径为〃的圆在工轴上方的图像（即半圆）;

15/123

当时，/(x)=-6-1,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线;

显然，当xed+s),即时，"X)在上单调递增，故①错误；

对于②，当a21时，

当x<—a时，/(x)=x+2<-d!+2<1；

当-a4x4。时，f(x)=一炉显然取得最大值a；

当x>a时,于(x)=—\[x—1<—\[u-]4—2,

综上：/(x)取得最大值。，故②正确；

对于③，结合图像，易知在王=。，%>。且接近于工=。处，Wa),N(X2,/口2))(%2>。)的距

离最小，

当士=4时，>=/(尤J=0,当%且接近于x=a处，y2=/(x2)<-Va-1,

此时，|九网>%-%>&+1>1,故③正确；

对于④，取。=；则/(X)的图像如下，

16/123

因为尸（对/（再））（舄<-°）,。卜4,/（%4））（尤4N-a），

结合图像可知，要使I尸。取得最小值，则点尸在“x）=x+2（x<-3上，点。在

同时|尸@的最小值为点。到〃x）=尤+2口<-3的距离减去半圆的半径a,

此时，因为/（x）=y=x+2[x<-1）的斜率为1,则%=-1,故直线。尸的方程为>=-x,

[y=-x[x=-1/、

联立.，解得，，则尸-1,1,

[y=x+2[y=l

显然尸（Tl）在“x）=x+2，<-a上，满足|尸。|取得最小值，

即。=g也满足|尸。|存在最小值，故。的取值范围不仅仅是,故④错误.

故答案为：②③.

10.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设ae（O,l）,若函数/（x）=o'+（l+a）”在（0,+司上单调递增,

则。的取值范围是.

【解析】由函数的解析式可得[。）=屋1110+（1+4皿1+.”0在区间（0,+8）上恒成立,

即（宁）2一injla）在区间（°'+。）上恒成立，

则(1+Q)'ln(l+a)>-dIna,

故=l>-t.而a+le(l,2),故ln(l+a)>0,

\aJIn(1+(2)

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ln((2+l)>-lnd!故勺

故<a<\^

0<Q<1O<Q<1

11.(2023年天津高考数学真题)设QER,函数/("=加-2x-忖-QX+1,若/(%)恰有两个零点，则。的取

值范围为.

【答案】(一0)30,l)u(l,+8)

【解析】(1)当％之一办+120时,f(x)=0<=>-l)x2-2)x-l=0,

即[(Q—1)X—1](X+1)=0,

若4=1时，X=~\,此时一一方+120成立；

若QW1时，X=---或x=-1,

a-1

若方程有一根为I=一1,则l+a+120,即。2-2且

若方程有一根为x=」7,贝山,1一〃*-^+120,解得：且。片1；

a-1^-1)a-\

若x=」一=-1时，0=0,止匕时l+a+120成立.

a-\

(2)当12—〃x+l<0时，/(%)=0=(a+l)x?+2)x+1=0,

即[((7+l)X-l](X-l)=0,

若。=-1时，X=\,显然一女+1<0不成立；

若时，％=1或%=—--,

a+1

若方程有一根为％=1,贝！)1-。+1<0,即〃〉2；

若方程有一根为尤=」，贝M-Lf-ax'+lvO,解得：«<-2；

。+1\a+l)a+1

若x=」7=l时，。=0,显然一一办+1<。不成立；

综上，

当Q<一2时，零点为----,----;

a+1a-1

当一2<。<0时，零点为，-1；

a-1

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当。=0时，只有一个零点-1；

当0<。<1时，零点为,-1：

a-\

当。=1时，只有一个零点一1；

当1<°42时，零点为----,-1：

a-\

当。>2时，零点为1,7.

所以，当函数有两个零点时，且awl.

故答案为：(一8,0)。(0,1)u(1,+8).

12.(多选题)(2022年新高考全国I卷数学真题)已知函数〃x)=x3-x+l,则()

A./(x)有两个极值点B.Ax)有三个零点

C•点(0,1)是曲线y=的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

【答案】AC

【解析】由题,r(x)=3x2-l,令尸(1>0得x呼或》<_当

令"x)<。得-,<x<f,

所以“X)在(-叫-，)，(g,+oo)上单调递增，(-1，手)上单调递减，所以尤=±g是极值点，故A正

确；

因/(一-二———>0，/(《-)=]---->0>J--5<0,

所以，函数/(X)在上有一个零点，

当xzg时，/(x)>/^>0,即函数“X)在上无零点，

综上所述，函数/(x)有一个零点，故B错误；

令h(x)=N-x,该函数的定义域为R,〃(-x)=(-x)3-(-x)=-d+x=-/(

则〃(x)是奇函数，(0,0)是6(x)的对称中心，

将〃(x)的图象向上移动一个单位得到〃x)的图象，

所以点(0,1)是曲线了=/(x)的对称中心，故C正确；

令/'(切=3/_1=2,可得x=±l,又〃1)=/(-1)=1,

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当切点为(1,1)时，切线方程为了=2x-l,当切点为时，切线方程为y=2x+3,故D错误.

故选：AC.

13.(2022年新高考天津数学高考真题)设aeR,对任意实数x,用f(x)表示|乂-2"2-办+3a-5中的较

小者.若函数/(x)至少有3个零点，则。的取值范围为.

【答案】a>10

【解析】设g(x)=f-ax+3a-5,A(x)=|x|-2