沪教版九年级数学常见题型重难点专练：06相似三角形中的“手拉手”旋转模型（原卷版+解析）

重难点专项突破06相似三角形中的“手拉手”旋转模型

【知识梳理】

“手拉手”旋转型

模型展示：

如图，若LABCS/\ADE,则

一【考点剖析】

例1.如图，直角梯形ABC。中，NBCD=90。，AD//BC,BC=CD,E为梯形内一点，且N3EC=9O。，将

ABEC绕点C旋转90°使BC与。C重合，得到ADCF,联结跖交CD于M.己知BC=5,CF=3,则

的值为()

5

AA.-B.-D.-

354

例2、如图，。为△ABC内一点,E为△ABC外一点，且/3=/4.求证:

⑴AABDs/xCBE；

(2)AABC^ADBE.

例3.把两块全等的直角三角板ABC和QEB叠放在一起，使三角板QEF的锐角顶点。与三角板ABC的斜

边中点。重合，其中N4BC=NDEF=9O。，ZC=ZF=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动，让

三角板。所绕点。旋转，设射线DE与射线A3相交于点尸，射线。尸与线段BC相交于点。.

(1)如图1,当射线。F经过点B,即点。与点8重合时，易证AAPDSACDQ,贝|此时AP.CQ=

(2)将三角板。跖由图1所示的位置绕点。沿逆时间方向旋转，设旋转角为e.其中0。＜夕＜90。，问

AP・C。的值是否改变？请说明理由.

图1图2图3

例4.如图，已知AABC和是两个全等的等腰直角三角形，且ZBAC=ZEDF=9Q°,ADER的顶点

E与AA5c的斜边8C的中点重合.将ADEF绕点E旋转，旋转过程中，线段OE与线段AB相交于点P,

线段EF与射线CA相交于点Q.

(1)如图1,当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：ABPE义ACQE；

(2)如图2,当点。在线段CA的延长线上时，求证：ABPE^ACEQ；并求当8尸=〃，CQ=^a时，P、

。两点间的距离(用含。的代数式表示).

例5.在AABC中，CA=CB,NACB=a.点尸是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段

AP绕点P逆时针旋转a得到线段。P,连接A。，BD,CP.

(1)观察猜想

如图1,当a=60。时，毁的值是,直线与直线CP相交所成的较小角的度数是.

CP

(2)类比探究

如图2“当a=90。时，请写出坨的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明

CP

理由.

（3）解决问题

当a=90。时，若点E,尸分别是CA,CB的中点，点尸在直线EF上，请直接写出点C,P,。在同一直线

上时殁的值.

CP

【过关检测】

—.填空题（共1小题）

1.（2022秋•黄浦区期末）如图，在矩形ABC。中，过点。作对角线AC的垂线，垂足为E,过点E作BE

的垂线，交边于点孔如果AB=3,BC=5,那么。/的长是.

解答题（共7小题）

2.（2022秋•杨浦区期中）如图，已知在RtZkABC中，ZACB=90°,点。在边AC上，联结8。，以

为斜边作等腰直角三角形BDE（点E在直线BD右侧），联结CE.

（1）如果NA=45°,求证：AABDsACBE；

（2）如果8C=12,CD=5,求线段CE的长.

3.（2021春•徐汇区校级期末）如图，Z1=Z2,AD=AE,ZB=ZACE,且8、C、。三点在一条直线上,

若N，=60°.

（1）△BAO与是否全等，请说明理由；

（2）△ABC是否是等边三角形，如果是.请说明理由；

（3）CE=AC+CD是否成立，如果成立请说明理由.

4.（2022•静安区二模）如图①，已知梯形ABCD中，AD//BC,ZA=90°,AB=M，AD=6,BC=1,

点尸是边AO上的动点，联结3P,作N3PP=NAOC,设射线PF交线段BC于E,交射线。C于足

（1）求/AOC的度数；

（2）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；

（3）设AP=x,DF=y,求y关于尤的函数解析式，并写出定义域.

5.（2023•静安区校级一模）在等腰直角AABC中，ZC=90°,AC=4,点。为射线CB上一动点（点。

不与点2、C重合），以A。为腰且在AD的右侧作等腰直角ZADF=90°,射线AB与射线FD

交于点E,联结

（1）如图所示，当点。在线段CB上时，

①求证：△ACDs^ABF；

②设C£»=x,tan/8F£)=y,求y关于x的函数解析式，并写出无的取值范围;

(2)当时，求CD的长.

备用图

6.(2021秋•静安区期末)如图1,四边形A8CZ)中，的平分线AE交边BC于点E,已知A8=9,

AE=6,AEr^AB-AD,5.DC//AE.

(1)求证：DEr=AE-DC-,

(2)如果BE=9,求四边形的面积；

(3)如图2,延长A。、BC交于点、F,设BE=x,EF=y,求y关于尤的函数解析式，并写出定义域.

7.(虹口区期中)如图，在△ABC和△AOE中，ZBAD=ZCAE,ZABC=AADE.

(1)求证：AABC^AADE；

(2)判断△A3。与△ACE是否相似？并证明.

8.（闵行区期末）如图，已知在△ABC中，ZADE=ZB,ZBAC=ZDAE

AD_AE

（1）求证:AB=AC

(2)当/BAC=90°时，求证：EC±BC.

重难点专项突破06相似三角形中的“手拉手”旋转

模型

【知识梳理】

“手拉手”旋转型

模型展示：

如图，若△ABCs则△AB£）S/WCE

【考点剖析】

例1.如图，直角梯形A3CD中，NBCD=90。,AD//BC,BC=CD,E为梯形内一点，且

ZBEC=90。,将ABEC绕点。旋转90°使5。与OC重合，得到ADCF,联结EF交CD

于M.已知8C=5,CF=3,则。的值为（）

【答案】C.

【解析】旋转后，ACEB=ACFD.

,\CB=CD=5,CE=CF=3,

BE=DF,ZBEC=ZDFC=90.

在必ACS石中，BE1+CE1=BC2,

:.BE=A.

:.DF=4.

ZECF=9O,

:.ZECD+ZDCF=90.

又・・・Z.DCF+ZFDC=90

.\ZECD=ZFDC

:.CE!IDF

DMDF_4

'MC-EC_3,

【总结】本题考查旋转的相关知识，平行的判定、三角形一边的平行线的知识.

例2、如图，。为△ABC内一点，E1为△ABC外一点，且/3=/4.求

证：

⑴AABDSACBE；

(2)乙ABCs^DBE.

证明：

:.NABC-NDBC=NDBE—NDBC,即N1=N2.

又N3=N4,.,.△ABDs^CBE.

(2)VAABDsACBE,

.ABDB.ABCB

•覆=丽…丽=丽

又NABC=NDBE,：./\ABC^/\DBE.

例3.把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与

三角板ABC的斜边中点。重合，其中NABC=NDEF=90。，ZC=ZF=45°,AB=DE

=4,把三角板ABC固定不动，让三角板。所绕点。旋转，设射线OE与射线42相交于

点P,射线。尸与线段BC相交于点Q.

(1)如图1,当射线。尸经过点B,即点。与点8重合时，易证AAPDSACDQ,则

此时AP.CQ=；

(2)将三角板。EF由图1所示的位置绕点。沿逆时间方向旋转，设旋转角为c.其中

0。<o<90。，问APCQ的值是否改变？请说明理由.

44A

图1图2图3

【答案】(1)8；(2)不改变.

【解析】(1)略；

Ap4F)

(2)易证WDSACD。，得：_=―:.AP»CQ=CD»AD.

又•：AC=4四,CD=AD=2A/2,:.AP»CQ=8.

【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识.

例4.如图，己知AABC和ADEF是两个全等的等腰直角三角形，且ZBAC=NEDF=90。,

ADEF的顶点E与AABC的斜边2C的中点重合.将ADEF绕点E旋转，旋转过程中，线

段。E与线段AB相交于点P,线段所与射线CA相交于点。.

(1)如图1,当点。在线段AC上，且AP=AQ时，求证：^BPE^^CQE■,

(2)如图2,当点。在线段CA的延长线上时，求证：ABPEsACEQ；并求当BP=a,

C2=|a时，P、。两点间的距离(用含a的代数式表示).

【答案】（1）略；（2）PQ*-

【解析】（1）是中点，:.BE=EC.-.-AP=AQ,BP=CQ.

■.AB=AC,:.ZB=ZC.:.ABPE=ACQE.

（2）ZDEF+NFEC=4+ZBPE,而NB=/DEF=45,NBPE=ZQEC.

•••N3=NC=45,:.ABPEsACEQ,

BP_BEa_BE

'~CE~~CQ'''CE~9a"

T

9

:.CEBE=-a?2,

2

/.BC=3\[2ci.

在历AABC中，AB=AC=3a,

3

1.AQ=/Q,AP=2a.

.•.在RrAAPQ中，PQ=*.

【总结】本题考查了“一线三等角”相似模型.

例5.在AA8C中，CA=CB,/AC8=a.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连

接AP,将线段A尸绕点尸逆时针旋转a得到线段。P,连接A。，BD,CP.

(1)观察猜想

如图1,当a=60。时，毁的值是1,直线8。与直线CP相交所成的较小角的度数是

CP一

60°.

(2)类比探究

如图2,当a=90。时，请写出段的值及直线8。与直线CP相交所成的小角的度数，并就

CP

图2的情形说明理由.

(3)解决问题

当a=90。时，若点、E,尸分别是CA,的中点，点P在直线跖上，请直接写出点C,

P,。在同一直线上时包■的值.

CP

【分析】(1)如图1中，延长CP交3。的延长线于E,设交EC于点。证明

△CAP丝ABADCSAS),即可解决问题.

(2)如图2中，设2。交AC于点O,BD交PC于点E.证明A/MBs△切。，即可解决

问题.

(3)分两种情形：①如图3-1中，当点。在线段PC上时，延长交BC的延长线于

H.证明A£>=OC即可解决问题.

②如图3-2中，当点尸在线段CD上时，同法可证：OA=DC解决问题.

【解答】解：（1）如图1中，延长CP交2。的延长线于E,设AB交EC于点0.

图1

'：ZPAD=ZCAB=6Q°,

：.ZCAP=ZBAD,

'：CA=BA,PA=DA,

.'.△CAP名△BA。(SAS),

：.PC=BD,ZACP=ZABD,

'：NAOC=ZBOE,

：.ZBEO=ZCAO=60°,

...里=1,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60。,

PC

故答案为1,60°.

(2)如图2中，设2。交AC于点O,BD交PC于点E.

图2

9：ZPAD=ZCAB=45°,

：.ZPAC=ZDABf

嘿谭M

BDABrr

：.ZPCA=ZDBA==

fPCAC

VZEOC=ZAOBf

・•・ZCEO=ZOABB=45°9

・,・直线AD与直线C尸相交所成的小角的度数为4.5°.

(3)如图3-1中，当点。在线段尸C上时，延长交5C的延长线于

H

:.EF//AB,

：.ZEFC=ZABC=45°f

VZB4O=45°,

・・・NB40=N0尸〃，

•：NPOA=NFOH,

：.NH=ZAPO,

VZAPC=90°,EA=EC,

：・PE=EA=EC,

：.ZEPA=ZEAP=NBAH,

：.NH=/BAH,

:・BH=BA,

ZADP=ZBDC=45°f

：.ZADB=90°f

：.BD±AHf

：.NDBA=NDBC=22.5。,

,：ZADB=ZACB=90°,

・・・A,D,Cf3四点共圆，

ZDAC=ZDBC=22.5°fZDCA=ZABD=22.5°,

：.ZDAC=ZDCA=22.5°,

：.DA=DCf设AZ)=m则PD=~~a,

2

•・-CADP_-___J_W2____-_°2-「rz

a+l-a

如图3-2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA=DC,设A£>=a,则CO=AQ

.AD

"PC

【过关检测】

填空题（共1小题）

1.（2022秋•黄浦区期末）如图，在矩形A8C。中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E,

过点E作8E的垂线，交边于点凡如果AB=3,BC=5,那么。P的长是一旦—

【分析】利用矩形的性质求出AC,利用三角形的面积、勾股定理求出。E、CE的长，再

利用等角的余角相等说明N8A£=N4£）E、ZAEB^ZDEF,得ADEFSABEA,最后利

用相似三角形的性质得结论.

【解答】解：：四边形ABC。是矩形，

ZABC=ZADC=90°,AB=CD=3,BC=AD=5,AB//CD,

'AC=VAB2+BC2=^32+52=•

'：SAADC=—AD'CD=-^AC-DE,

22

.-15734

34

9：DELAC,

•••CE=n^W（誓）2=噜.

.•.♦£=AC-CE=.

34

,JAB//CD,

：.ZBAE=ZDCA.

•/ZDCA+ZCDE=ZCDE+ZADE=900,

：.ZBAE=ZADE.

'：BE±FE,DELAC,

：.ZFEA+ZAEB=ZDEF+ZFEA=90°.

ZAEB=ZDEF.

:.△DEFS^BEA.

.DF=DE=2

"ABAE5"

.-.DF=—X3=—.

55

故答案为：2.

5

【点评】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的内角和

定理及勾股定理是解决本题的关键.

二.解答题（共7小题）

2.（2022秋•杨浦区期中）如图，己知在Rt^ABC中，ZACB=90°,点。在边AC上，联

结BD,以8。为斜边作等腰直角三角形（点E在直线8。右侧），联结CE.

（1）如果NA=45°,求证：AABDsACBE；

（2）如果BC=12,CD=5,求线段CE的长.

【分析】（1）根据/A=45°可得Rt^ABC是等腰直角三角形，根据角的和差得出

=/C8E,根据等腰直角三角形的性质可得理=些=亚，即可判定△ABOSACBE；

BDBA2

（2）点。在线段AC上时，过点E作EML8C于作ENLAC,交AN的延长线于点

N,设。E、8C交于点F，易得ADCFsABEF,空=更，可推出△8。尸s△EC~,Z

EFBF

3=N4=45°,可得四边形CMEN是正方形，设证明△£>£?/会△BEM,得出

=DN,即5+x=12-无，求出无，即可得CE的长，同理，可得出点D在线段AC的延长

线上时，CE的长；

【解答】(1)证明：VZA=45°,ZACB=90°,

/.ZABC=45°,Rt^ABC是等腰直角三角形，

.BC.V2

••―-----,

AC2

是等腰直角三角形，

；./DBE=45°,理=亚，

BD2

:./ABC-NDBC=NDBE-/DBC,即理=区=亚，

BDBA2

，dABDsACBE；

(2)解：如图1,点。在线段AC上时，过点E作EM_LBC于作EN_LAC,交AN

的延长线于点N,设。E、BC交于点F,

•：ZACB=90°,△8DE是等腰直角三角形，

：.ZDCF=ZBEF=90°,Z3=45°,Z1=Z2,

:ADCFs△BEF,

.CF=DF

…EFBF

,：ZBFD=ZEFC,

:.△BDFsAECF,

.•.N3=N4=45°,

VZACB=90°,EM±BC,EN1AC,

四边形CMEN是正方形，NBME=NN=90°,

：.CN=EM=CM=NE,

在△。9V和△BEM中，

'BE=DE

'ZBME=ZN>

ME=NE

:.ADEN名ABEM,

：.BM=DN,

设EM=x,

'：BC=U,CD=5,

.,.5+x=12-x,解得：x=—,

2

在RtZ\CME中，Z4=45°,

【点评】此题属于相似形综合题综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，等腰直

角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中

考压轴题.

3.(2021春•徐汇区校级期末)如图，N1=N2,AD=AE,NB=NACE,且3、C、D三点、

在一条直线上，若NB=60°.

(1)△54。与△CAE是否全等，请说明理由；

(2)△ABC是否是等边三角形，如果是.请说明理由；

(3)CE=AC+C。是否成立，如果成立请说明理由.

【分析】(1)先判断出N8AO=NC4。，即可得出结论;

(2)先判断出A8=AC,即可得出结论；

(3)先判断出AB=AC=BC,即可得出结论.

【解答】解：(1)AABD^AACE；理由如下：

VZ1=Z2,

：.Zl+ZCAD^Z2.+ZCAD,

即NA4£）=/C4。，

在△A3。与△ACE中，

，ZB=ZACE

'ZBAD=ZCAE-

AD=AE

AAABD^AACE（AAS）；

（2）AABC是等边三角形，理由：

由（1）知，△ABDHACE,

:.BD=CE,AB=AC,

"：ZB=6Q°,

.,.△ABC是等边三角形；

（3）CE=AC+C£）成立，理由如下：

由（2）知，△ABC是等边三角形，

：.AB=BC=AC,

由（2）知，BD=CE,

：.BD=CE=BC+CD=AC+CD,

即CE^AC+CD.

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判

定和性质，判断出△A3。丝△ACE是解本题的关键.

4.（2022•静安区二模）如图①，已知梯形ABC。中，AD//BC,/A=90°,AB=M,AD

=6,BC=7,点尸是边4。上的动点，联结3P,作N8尸尸=/AOC,设射线Pb交线段

BC于E,交射线OC于

（1）求NAOC的度数；

（2）如果射线PF经过点C（即点E、/与点C重合，如图②所示），求AP的长；

（3）设DF=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域.

BC(E)

图②

【分析】(1)如图①，过点。作。于点"则/DHB=/DHC=90°,再证四边

形ABm是矩形，利用三角函数可得NC£W=30°,即可求得答案；

(2)设AP=x，则PO=6-x,可证△DPCs/\pcB,求得:PC=>/42-7x,BP=,也，

V42-72

利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；

(3)如图③，在AO上取点G,连接AG,使/A2G=30°,则NAGB=60°,可证△

BPGs^PFD,即可求得答案.

【解答】解：(1)如图①，过点。作。H_LBC于点H,则/OH8=/OHC=90°,

,JAD//BC,NA=90°,

ZABC=180°-ZA=180°-90°=90°,

ZA=ZABC=ZDHB=90°,

四边形ABHD是矩形，

:.AD=BH=6,DH=AB=M,ZADH^9Q°,

:.CH=BC-BH=1-6=1,

：.tanZCDH=^-=-^-=^,

DHV33

.•.ZCDH=30°,

/.ZADC=ZADH+ZCDH=900+30°=120°；

(2)设AP=无，则尸。=6-x,

在图①RtZkC。”中，CD=——叁——=——1^=2,

sin/CDHsin30

如图②・・・N3PC=NZ)=120°,AD//BC,

：.ZDPC=ZPCB,

:.ADPCsAPCB,

.PD=CD=PC

"PCBP前，

.6-x_2_PC

""PCBP

.•.PC=V42-7x,BP=-j-14

V42-72

在RfABP中，AB2+AP2^BP2,

：.(V3)2+?=J..J..)2,

U42-72

整理得：x3-6X2+3X+10=0,

(x-2)(x-5)(x+1)=0,

.*.X1=2,X2=5,%3=-1(舍去)，

.\AP=2或5；

(3)如图③，在AZ)上取点G,连接AG,使NABG=30°,则NAG5=60°,

：.ZBGP=120°,

：.ZBGP=ZBPF=ZADC=120°,

ZBPG+ZPBG=NBPG^/DPF=6U°,

・•・ZPBG=ZDPF,

:.△BPGs^PFD,

；.电=曳，即2=",

PGDFX-1y

；.y=—^x2+—x-3,

22

根据题意，0W%W6,>22,

当工x-3=2时，

22

解得：x=2或x=5,

2

...当y22时，2WxW5,

故y关于x的函数解析式为y=-AX2+-^-X-3,定义域为2&W5.

图③

F

APD

【点评】本题是四边形综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角

形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

5.（2023•静安区校级一模）在等腰直角△A8C中，ZC=90°,AC=4,点。为射线C8上

一动点（点。不与点B、C重合），以为腰且在的右侧作等腰直角△ADRZADF

=90°,射线AB与射线FD交于点E,联结BE

（1）如图所示，当点。在线段上时，

①求证：AACDS^ABF；

②设CZ）=x,tanZBFD—y,求y关于尤的函数解析式，并写出龙的取值范围；

（2）当AB=22E1时，求CD的长.

【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形

相似解答即可；

②过点E作EH±BD于点H,设BH=HE=m,利用相似三角形的拍等于性质和直角三

角形的边角关系定理解答即可；

（2）利用分类讨论的思想方法，画出图形，列出关于尤的方程，解方程即可得出结论.

【解答】（1）①证明：:△ABC和△ADF是等腰直角三角形，

:.AB=42AC,AF=42AD,ZCAB=ZDAF=45°.

：.AACD^AABF；

②解：过点E作于点H,如图,

・・・△ABC是等腰直角三角形，

AZABC=45°,

•：EH_LBD,

:・BH=HE.

设BH=HE=m,则8E=加m，

：.DH=BC-CD-BM=4-x-m.

VZAZ)F=90°,

AZADC+ZFDH=9Q°,

VZCAD+ZAZ)C=90°,

：.ZCAD=ZFDH.

VZACD=ZDHE=90°,

・•・MACDsXDHE,

・

••—AC——DH,

CDHE

•.•4—―-4---x---m--,

xm

：・BH=HE=4XX

4+x

由①知：△ACDs^ABR

ZACD=ZABF=90°.

VZAZ)F=90°,

AZADF=ZABF=90°.

'/ZAED=ZBEF,

：.ZBFD=ZDAE.

tanZBFD=tanZDAE—.

AD

AACDsADHE,

4x-x2

,DE_=EH=4+x=4-x

AD-CD-x_4+x

DE_4-x

y=tanZBFD=

AD4+x

...y关于尤的函数解析式丫=生二，x的取值范围：0＜尤＜4；

4+x

（2）①解：当点。在线段C8上时，如图,

由(1)②知：BH=HE='x-x

4+x

BE=®BH=近•4XT.

4+x

'：AB=2BE,AB=MAC=4\历，

2

,,,4/2=2xV2-4x-x,

4+x

；.8+2尤=4x-x1,

Ax2-2x+8=0.

A=(-2)2-4X1X8=4-32=-28<0,

此方程没有实数根，

当点。在线段C8上时，不存在

②当点。在线段CB的延长线上时，如图，

过点E作EHLBD于点H,

•/AABC和AADF是等腰直角三角形，

:.AB=®AC,AF=®AD,ZCAB^ZDAF^45°.

.AC_AD_V2

"AB"AF~ZCAD=ZBAF,

：./^ACD^AABF.

ZACD=ZABF=90°.

AABC是等腰直角三角形,

/.ZABC=45°,

：.ZEBH=ZABC=45°.

•；EH_LBD,

：.BH=HE.

设BH=HE=n,则BE=加九，

:・DH=BC-CD-BM=x-4-n.

VZAZ)F=90°,

AZADE=90°,

AZADC+ZEDH=90°,

VZCAD+ZAZ)C=90°,

：.ZCAD=ZEDH.

VZACD=ZDHE=90°,

・•・MACDs“DHE,

・

••—AC—_—DH,

CDHE

・

••—4=-x----4----n-,

xn

4+x

・•・BE=V2BH=V2.J-©.

4+x

9

：AB=2BEfAB=472,

.*.4^2一击

4+x

.•.8+2%=7-4x,

.'.x2-6x-8=0,

解得：尸6土」-6)2-4X1X(-8)=3±后,

2

Vx>0,

.,.X=3+VTF.

・・・CQ=3+\/77.

综上，当AB=2BE时，CD的长为3+，F.

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判

定与性质，函数的解析式，一元二次方程的解法，本题是相似三角形的综合题，熟练掌握

相似三角形的判定与性质是解题的关键.

6.（2021秋•静安区期末）如图1,四边形A8CD中，的平分线AE交边8C于点E,

已知42=9,AE=6,S.DC//AE.

（1）求证：DE2=AE，DC；

（2）如果8E=9,求四边形ABC。的面积；

（3）如图2,延长A。、BC交于点F,设3E=尤，EF=y,求y关于x的函数解析式，并

写出定义域.

【分析】（1）先证明△A8£'SZ\AED可得/AEB=/ADE,再由平行线性质可推出NADE

=/DCE,进而证得根据相似三角形性质可证得结论；

（2）如图2,过点B作8GLAE,运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证

得AADE会AECD（SAS）,再求得SAABE^—XAEXBG=18M，根据△ABESAAE。且

2

相似比为3：2,可求得S^AEO=SZ\CDE=8衣，由S四边形ABCD=SAABE+SAAEO+SACOE可求

得答案；

（3）由△ABES/XAE。，可求得：DE^—x,进而得出DC^—x1,再利用△ADE's4

327

42

ECD,可得：CE=2X,再利用DC//AE,可得进而求得：CF="EF,

981

再结合题意得出答案.

【解答】（1）证明：如图1,平分

；./BAE=/DAE,

"：AE2=AB-AD,

.AB=AE

"AEAD"

AABE^AAED,

：.ZAEB=ZADE,

,JDC//AE,

：.ZAEB=ZDCE,NAED=/CDE,

：.ZADE=ZDCE,

：.LADEs4ECD,

.AE=DE

"DEDC'

:.DE^=AE*DC；

(2)解：如图2,过点2作BGLAE,

；BE=9=AB,

.二△ABE是等腰三角形，

，G为AE的中点，

由(1)可得△ADE、△EC。也是等腰三角形，

\'AE2=AB-AD,AB=BE=9,AE=6,

：.AD=4,DE=6,CE=4,AG=3,

:.AADE2AECD(SAS),

在RtAABG中，BG=7AB2-AG2=^2-32=6近，

•••SAABE=』XAEX8G=2X6X6料=18我，

22

AABEs△AE。且相似比为3：2,

**•S/\ABE:SAAED=9:4,

S^AED=SACD£=8V2,

S四边形ABCD=SAABE+SAAED+SACDE=18&+8&+8&=34近；

(3)解：如图3,由(1)知：AABEs^AED,

.AB=AE

"BEDE'

；BE=x