函数的新定义问题（3大压轴考法）-2024-2025学年高一数学压轴题（人教A版必修第一册）

专题27函数的新定义问题

目录

解题知识必备..............................

压轴题型讲练.......................................................1

题型一、定义新概念...........................................................1

题型二、定义新运算...........................................................6

题型三、定义新性质...........................................................9

压轴能力测评（11题）13

♦♦解题知识必备”

一、新定义问题

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题,

有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们

考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。

二、新定义问题的方法和技巧

1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上

的概念。

♦♦压轴题型讲练”

【题型一定义新概念】

一、解答题

1.（24-25高一上•上海•期末）对于定义在区间。上的函数y=/（x）,若存在对任意的xe。，都

有/（X。），则称函数“X）在区间D上有“下界"，把/'（X。）称为函数“X）在。上的“下界”.

⑴分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；

y=l-2x(x>0)；y=x-\—(0<x<5),

x

(2)请你类比函数有“下界”的定义，写出函数/(力在区间。上有“上界”的定义；并判断函数

y=x-?(O<xV5)是否有“上界”，且说明理由.

【答案】⑴y=l-2x(x>0)无下界，理由见解析；昨无+3(0<七5)有下界，为8；

X

⑵答案见解析，>=》一3(。-45)无“上界，，，理由见解析

【分析】⑴根据〃/)称为函数在。上的“下界，，的定义，判断即可；

(2)类比函数有“下界”的定义，写出函数/'(x)在区间。上有“上界，，的定义即可；通过讨论x的范围，判

断函数昨>?(0<尤<5)是否有“上界，唧可.

【详解】⑴因为了=l-2x(x>0),所以y=l-2x<l,无吓界”；

因为0<xV5,.”=x+史22jx-收=8,当且仅当x=4时“=”成立，

所以y=x+F(0<x45)有吓界”，为8.

(2)对于定义在区间。上的函数了=〃x),

若存在对任意的xe。，都有/(丁工/仁。)，

则称函数“X)在区间D上有“上界”，把/(%)称为函数/(x)在D上的“上界”.

由题，y=X---(0<x<5),

当0<x<4时，x-----<0,

x

16口3=3-X在(0,4)上单调递减,

•••y=—%,易得产

X

当1.0时，y=--X->+00,无“上界”；

X

当4«xW5时，X-—>0,

X

=3-》在［4,5］上单调递增,

•••y=x--易得y：

X9X

X55

16

综上，函数〉=x-----(0<x45)无“上界，，

X

2.（24-25高一上•吉林长春•阶段练习）若函数G在加上的最大值记为〉皿，最小值记为几”

且满足Nmax-Nmin=1则称函数G是在加的“美好函数”

（1）己知函数G:y=ax2-2ax-3a（^a丰0）；

①函数G是在1VXW2上的“美好函数”，求。的值；

②当。=1时，函数G是在lWxVl+1上的“美好函数”，请直接写出f的值；

出已知函数6:夕=办2-20^-3见（4>0）若函数6是在加+2三_¥42加+1（加为整数）上的“美好函数"，且存

在整数七使得发=基监，求。的值.

Xnin

【答案】⑴①1或-1;②0或1.

（2）a=—

64

【分析】⑴①分a>0和"。两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用Vmax-ZniLl列方程

可求出a的值；②求出二次函数的对称轴，然后分"1,04/<；和"0四种情况求函数在给定

范围上的最值，然后利用-几山=1列方程可求出t的值；

（2）由二次函数的性质可知当加+24x42加+1时，函数G为增函数，从而可求出为”，K™，然后由后=血

Vmi

为整数可求出加，再由了2-兀山=1列方程可求出

【详解】（1）①因二次函数G:y=a/-2ax-3a（awO）的对称轴为直线x=l,

当x=l时，y=-4tz,当x=2时，y=-3tz.

（I）当〃>0时，则当”xW2时，函数G为增函数，

依题意，由Vmax一Vmin=一3。一（一4。）=1,解得q=1；

（II）当”0时，则当14x（2时，函数G为减函数，

依题意，由Vmax一Vmin=一4。一（一3〃）=1,解得。=一1.

ci—\Q=-1;

②当。=1时，函数G:尸――2x—3的对称轴为直线x=l,

2

当工=/时，y=t-2t-39当x=/+l时，y=«+1）2-2«+1）-3=/-4,当x=l时，y=-4.

⑴若,>1,则由Vmax-Win=（*-4）-（/一2看-3）=1,解得£=1（舍去）；

（II）若;WZW1,贝（）由夕11^-3由=（--4）-（-4）=1,解得才=1或/=—1（舍去）；

（HI）若0W；,贝！1由Wax-Win=（»-2”3）-（-4）=1,解得=0或％=2（舍去）；

（IV）若，<0,贝！）由Wax—ymin=（/—2"3）—（*—4）=1,解得看=0（舍去）・

综上，t的值为0或1；

(2)因二次函数G:y="？_2办一3a。0)的对称轴为直线x=l,

y^m+2<x<2m+1,贝！|加>1,于是3<加+2Wx<2加+1,

故当加+2«xW2加+1时，函数G为增函数，

即当x=2加+1时，函数取得最大值，当％=加+2时，函数取得最小值，

于是k=显=或2-+1)2—2就2-+1)—3。=4m+4=彳__

2

ymina(m+2)-2a(m+2)-3tzm+3m+3

因加，左为整数，且加〉1,则加+3=8,即冽=5,

又因以x-/n=l，即(1210-22a-3a)-(49-14a-3a)=l,解得”占.

64

【点睛】方法点睛：当二次函数对称轴确定但自变量取值区间变化时，需分“对称轴在区间左侧、中间、右

侧”进行讨论，对称轴在区间中间时，还需继续分析自变量区间中间值和对称轴的关系，以此来确定函数的

最值.

3.(24-25高一上•广东惠州•期中)对于函数/(x),若在定义域内存在实数x,满足/]£|=_/(工)，则称〃x)

为“局部反比例对称函数”.

⑴已知函数〃x)=x+g,试判断“X)是不是“局部反比例对称函数”.并说明理由；

⑵用定义证明函数〃x)=L+x在(1,+«0为单调递增函数；

X

⑶若〃%)=--2必+/—7是定义在区间口,+8)上的“局部反比例对称函数”，求实数机的取值范围.

【答案】(1)不是

(2)证明见解析

(3)[1-V7,4]

【分析】(1)判断方程=有没有实数解即可；

(2)设再<々，且%，%是(1,+8)上任意两个实数,用作差法证明/(再)</(々)；

(3)方程，j=-〃x)在口,+⑹上有解，令f=1+x,问题转化为方程〃-2皿+2(小一8)=0在左[2,+8)

上有解，再由一元二次方程根的分布知识求解.

【详解】(1)/(x)=x+：,则方程=为L+:=-x-:，

2Jx22

化为Y+x+l=0,XA=l-4=-3<0,此方程无实数解，

所以，不存在实数盯满足/，卜-〃尤)，

所以〃x)不是“局部反比例对称函数”.

（2）f（x）=—\-x,

x

00

设王<X2，且七户2是（L+）上任意两个实数，则再-々<0,玉工2〉1，

所以/（再）一/（无2）=’+占一‘一々J'无2）（"尤2Dy。,即/（再）</（%）,

玉x2xxx2

所以“X）=!+X在（1,+⑹为单调递增函数；

X

⑶若/（x）=x2-2mx+m2-7是定义在区间［1,+切）上的“局部反比例对称函数“，即/'4）=-/⑴在工+动

X

上有解.

1OTT1

BP^-------+m2-7=-x2+2mx-m2+7在口,+8）上有解.

xx

11

—+x92-2m（—+x）+2（m92-7）=0,

xx

^t=-+x,贝！J上述方程化为〃-2mt+2（加2-8）=0,

X

X>1,由（2）^\t=x+->2,

X

所以方程/-2皿+2（/-8）=0在/£［2,+8）上有解，

设g«）=»-2加+2*-16,则其图象开口向上,对称轴为1|加,

①若冽W2,g（2）=4-4m+2m2-16<0,

BPm2-2m-6<0,所以1一/W1+J7,所以加02;

②若根>2,A=（2加『一4（2加2—16）20,

即加2416,所以一44加44,所以2〈冽W4；

综上，实数俏的取值范围为口-近,可.

【点睛】方法点睛：本题函数的新定义，解题方法利用新定义把问题进行转化，第（3）小题一是直接由新

定义转化为方程/（-）=-/«在［1，+8）上有解，二是利用换元法转化一元二次方程产-2M+2（川-8）=0在

X

te2+8）上有解，然后再利用二次方程根的分布知识求解.

【题型二定义新运算】

一、解答题

1.（24-25高三上•辽宁•开学考试）定义三阶行列式运算:

。12。13

。21422423。11〃22〃33+〃12Q23。31+〃13〃21〃32〃13〃22〃31。12〃21〃33〃11〃23〃32，中W.已矢口

旬生2°33

x—a10

a>-\,关于x的不等式ax-10>0的解集为屈.

一a1x

⑴求〃；

⑵已知函数〃X)=一，?二e不存在最小值，求q的取值范围.

[e-2a-2,x

[答案](l)M={x[x>a+l}

【分析】(1)由三阶行列式运算，列不等式求解集M；

(2)由分段函数解析式,分别讨论定义区间内函数不存在最小值的条件，可求。的取值范围.

x-a10

【详解】(1)ax-10=(x-6z)(x-l)x-tzx=x2(x-di-l)>0,

-a1X

解得X〉Q+1且xwO,又。>一1,Q+1〉0,

所以不等式解集"={小>a+1}.

⑵由⑴可知M={x|x>a+1},有/(%)=]：+

所以当xVa+l时，-2a-2<ex-2,a-2<ea+1-2a-2;

当x>a+l时,〃x)=x2-(4q+l)x=(x_4"；lJ_(4a+l)

当甘wa+1,即时，/(x)>/(«+l),所以/(x)不存在最小值；

当甘^a+l,即a>:时，小)“(40+1丫,因为/'(x)不存在最小值，

22,-4

所以(4。+1)2>-2a-2»WW-<a<—>

424

综上，。的取值范围是-1,?.

I7

2.(24-25高一上•湖北荆州•阶段练习)高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之

一，享有“数学王子”之称.函数了=卜]成为高斯函数，其中⑶表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]=1,

[-1-2]-2.

⑴求-：4[x]W：的解集和2[x]2-11国+1540的解集.

7

(2)若[x[?-加[x]+4>0恒成立，求机取值范围.

⑶若时-2[X]-«2+1<0的解集为"|0<x<3),求。的范围.

【答案】⑴{X|-24X<3}；{X|3<X<4}

(2)(-8,4)

(3)(-2,-l]U[l,2)

【分析】(1)由[x]表示不超过实数x的最大整数可得x的范围；

(2)由不等式[x『-〃?卜]+4>0恒成立，分离参数可得〃?<卜]+而，再利用基本不等式可得优的范围;

(3)不等式可化为([司+0-1川司-"1卜0,分。=0,。>0,”0三类讨论解集情况可得.

【详解】(1)由题意得[x]Vx<[x]+l,且[]eZ,

由一即一2W[x]W2,所以-2Vx<3,

故彳的解集为卜|-2"<3}；

由2[xf—ll[x]+15V0,BP([x]-3)(2[x]-5)<0,

.•.|<[x]<3,则卜]=3,所以3Wx<4.

所以2[x『Tl[x]+1540的解集为{x|3Vx<4}.

(2)VlWxwg,[x『一""x]+4>0恒成立，此时14[x]W3

BPVI<x<—,加<[刃+巧恒成立，

2[xi

4

又[x]+bJN4,当且仅当[x]=2时，即24x<3时等号成立.

r14

故[司+同的最小值为4,

所以要使3+而>机恒成立，则加<4.

故加的取值范围为(一叫4).

(3)不等式[呼-23-1+140,gp([x]+a-l)([x]_a-l)<0,

由方程(3+a-1乂国-a-1)=0可得[x]=1-°或1+4.

①若a=0,不等式为_2"]+1w0,

即=所以0"<1,显然不符合题意；

②若a〉0,1-a<l+a9

由([%]+Q-1)([%]-Q-1)«。，解得1-aK[x]V1+a,

因为不等式的解集为卜I1-6Z<[x]<1+tzj={x|0<x<3}={x|-1<[x]<3},

f—1<1—a«0

所以「解得”a<2

[2<l+a<3

③若a<09\+a<1—a9

由(|%]+”1)([可—"1)(0,解得l+a«[x]W1—Q,

因为不等式解集为{x|l+“W[x]Wl-a}={尤|0Vx<3}={x|-l<[x]<3},

[―1<1+QW0

所以一।。，解得-2<aW-l.

[2W1—a<3

综上所述，-2<aW-1或1Wa<2.

故”的范围为

3.(23-24高一下•北京•阶段练习)己知函数〃无)，g(x)满足以下条件:

①HxeR,/(x)g(x)^O；

②Vx,yeR,/(x-y)=/(x)/(y)+g(x)g(j),g(x-y)=g(x)/(y)-/(x)g(力.

⑴求g(O)，/(O)的值.

⑵判断函数〃x),g(x)的奇偶性，并说明理由.

⑶若士wO,/(0=0,试判断函数g(x)的周期性，并说明理由.

【答案】(l)g(0)=0,/(0)=1

(2)/(力是偶函数，g(x)是奇函数，理由见解析

(3)g(x)是以4/为周期的周期函数，理由见解析

【分析】(D利用特殊值进行代入计算得出结果；

(2)利用函数奇偶性的定义，通过赋值进行分析判断函数的奇偶性；

(3)利用周期函数的定义，通过进行分析判断函数的周期性；

【详解】(Q令kX,则g(o)=g(x)〃x)-〃x)g(x)=o；

令y=0,则/(x)=/(x)/(o)+g(x)g(o)=/(x)/(o)

由①可取f(x)w。得/(0)=1.

综上，g(0)=0,/(o)=l.

(2)令x=0,贝!I/㈠)=/(O)/(y)+g(O)g(_v)=/(y),

即V”R,f(-y)=f(y),则〃x)是偶函数.

令x=O,g㈠)=g(O)/(〉)-〃O)g3=-g3.

即VyeR,g(-y)=-g(y),则g(x)是奇函数.

(3)由题意得，/«-)=/2(f)+g2(。，则g20=L

又/(xT)=/(x)/()+g(x)g(/)=g(x)g(/),则/(x)=g(x+f)g(f),

又g(x-f)=g(x)/(f)-〃x)g«)=-/(x)g«)=_g(x+f)g2(/)=-g(x+Z),

则g(x)=-g(x+2f),进而g(x+2f)=-g(x+4/),

所以g(x+4f)=-g(x+2/)=g(x),即g(x)是以期为周期的周期函数.

【点睛】方法点睛：研究抽象函数相关性质的方法：

法一：利用单变量赋值法求出函数的性质，利用双变量赋值求出具体值，是抽象函数函数值此类题型的通

性通法；

法二：利用熟悉的函数使抽象函数具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，也是此类题型

的解题方法；

【题型三定义新性质】

一、解答题

1.(23-24高一上•河北沧州•期末)因函数y=x+«(左＞0)的图象形状像对勾，我们称形如

“y=x+：(左＞0)”的函数为“对勾函数”.该函数具有性质：在(0,加]上单调递减，在(五,+可上单调递增.

(1)已知=3+4,xe[-l,l],利用上述性质，求函数“X)的单调区间和值域；

⑵对于(1)中的函数/'(x)和函数g(x)=a(log2X)2-4alog2X+7。-2m＞0),若对任意再e[-1,1],总存在

”1,8，使得/(xj=g(z)成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴单调递减区间为[T，。],单调递增区间为(0H,值域为[2,3]

⑵一5用4~

【分析】(1)运用整体换元法对已知函数进行变形，再根据“对勾函数”的性质得出结果；

(2)根据条件可得出〃x)值域是g(x)值域的子集，由此解决问题.

【详解】⑴解：设〃=x+2,

贝!J/!(")=?-2"+4=77+--2(77G[1,3]).

nn

由函数＞=无+&(左＞0)的性质可知，

X

忖)在〃e工2］上单调递减，在"e(2,3］上单调递增，

/(%)在xe［-1,0］上单调递减，在xe(0,1］上单调递增.

/(0)=2,/(%)_=max"(T)J(l)}=3,即/(x)e［2,3］,

・•.〃》)的单调递减区间为［-1,0］,单调递增区间为(0,1］,值域为［2,3］.

(2)当xe；,8时，今"log?无，则

则函数加(。=at2—4at+la—2=a(t—2)2+3a-2,

由于。＞0,故当代［T3］时，”(。的值域为［3a-2,12a-2］,

因为对任意再e［TJ,总存在马61,8,使得/&)=8(迎)成立，

所以［2,3仁］30-2,12"2］,

12a-2＞3

故3〃-2W2,解得5?崂4，

a＞0

~54-

即实数a的取值范围为1Pl.

2.(23-24高一上•浙江温州•期中)如果函数＞=/(x)的定义域为R,且存在实常数。，使得对定义域内的

任意X,都有〃x+a)=〃r)恒成立，那么称此函数具有“尸(。)性质”.

2

⑴已知y="x)具有“尸(0)性质”,且当XV0时,f(x)=(x+m),求y=〃x)在［0』的最大值;

⑵已知定义在R上的函数^=〃(对具有“夕(2)性质”，当x21时，"x)=|x-4］.若函数

尸(x)=/(x)T.〃(x)+/有8个零点,求实数/的取值范围.

【答案】⑴答案见解析

9

⑵(4,/)

【分析】(1)根据给定的性质，求出函数/(x)在［0刀的解析式，再分类讨论求出最大值.

(2)根据给定的性质，求出函数〃(x)的解析式，并分析函数性质作出图象，令/!(x)=〃2,把函数尸(x)的零

点问题转化为一元二次方程实根分布求解.

【详解】(1)由y=f(x)具有“尸(0)性质"，得对xeR恒成立，则函数/⑴是R上的偶函数，

当xe［0,l］时，f(x)=f(-x)=(-x+m)2=(x-zw)2,

则当加W：时，〃无)=/(1)=(1-加)2；当机时，

1mx/(0)=m2,

2N

191

所以当加最大值为(1-〃?)一；当加时，最大值为小.

(2)函数产力(X)具有“尸⑵性质”,则〃(x+2)=〃(-x),即〃(x)=〃(2-无)，

而当1之1时，/z(x)=|x-41,则当x<l时，2-x>1,A(x)=h(2-x)=|x+21,

fJQ—4x21

于是”X)='，，函数〃(x)在(-*-2］上单调递减，函数值集合为［0,+8),

［x+2,x<l

在［-2,1］上单调递增，函数值集合为［0,3］,在口,4］上单调递减，函数值集合为［0,3］,

在［4,+功上单调递增，函数值集合为［0,+8),函数了=/z(x)的图象如图，

令h(x)=m,显然当加<0时，方程〃(%)=%无解，当〃?=0或加>3时，方程〃(x)=%有2个解,

当"?=3时，方程/z(x)=加有3个解，当0<加<3时，方程〃(x)=a有4个解，

函数尸(x)=后(无)—•〃(x)+/有8个零点，则夕(。=/-5?+/=0在(0,3)上有两个不等的实数根加1,m2,

A=r-4z>0

研0)=t>0

SjtfcL(3)=32-3/+/>0解得4<f<9W，

0<-<3

2

所以I的取值范围为(4,”9

3.(23-24高一上•上海・期末)(1)/(")是定义在正整数集上的函数，并且满足

①当〃为正整数时，/(〃"))=4〃+9；

②当先为非负整数时,/(叫=犷+3.

求)(1789)的值.

(2)函数/定义在有序正整数对的集合上，且满足下列性质：

①〃x,x)=x；(2)f(x,y)=f(y,x)；③(x+y)〃x,y)=j/(无,x+y).

求7(14,52).

【答案】(1)3581；(2)364

【分析】(1)由/(/(明=4"+9可得〃4"+9)=/(/(〃")))=4/5)+9,后续迭代计算即可得;

(2)结合所给性质逐个计算即可得.

【详解】(1)由/(/(明=4〃+9,则〃4"+9)=/(/(〃叫)=4/⑺+9,

又1789=445x4+9,故/(1789)=4/(445)+9,

445=4x109+9,故/(445)=4/(109)+9,

109=4x25+9,故/(109)=4/(25)+9,

25=4x4+9,故〃25)=4/(4)+9,

当左=2时，有/(22)=〃4)=23+3=11,

即〃25)=4〃4)+9=53,4109)=4/(25)+9=221,

〃445)=4/009)+9=893,“1789)=4〃445)+9=3581；

(2)由(x+y)/(x,y)=W(x,x+y),故〃x,x+y)=,

/(14,52)=/(14,14+38)=||/(14,38)=||/(14,38),

321o

7(14,38)=/(14,14+24)=—/(14,24)=-/(14,24),

2412

/(14,24)=/(14,14+10)=—/(14,10)=y/(14,10),

由=/(y,x),故414,10)=/(10,14),

147

/(10,14)=/(10,10+4)=-/(10,4)=-/(10,4),

/(10,4)=/(4,10)=/(4,4+6)=^/(4,6)=|/(4,6),

63

/(4,6)=/(4,4+2)=|/(4,2)=3/(4,2),

4

/(4,2)=/(2,4)=/(2,2+2)=-/(2,2)=2/(2,2),

由D=x,故〃2,2)=2,

即有〃14,52)=煞(14,38)=手身(14,24)=**争(14,10)

261912726191275

啜唠X家打"4)嗑喑x5甘宁(毋)

2619127526191275

=------X------X------XX——X——X——X—X2/(2")

19125231912523

型x'UJx级2x2=364.

1912523

【点睛】关键点睛：第一小问关键在于能借助/(/(〃))=4〃+9得到〃4〃+9)=/(/(/(〃)))=4/(〃)+9；

x+y

第二小问关键在于能借助性质(X+力/(X/)=0(X,X+力得到/(X,X+了)=/(x,y),并通过该性质不

y

断计算化简.

“压轴能力测评♦♦

一、解答题

1.(23-24高一上•海南海口•阶段练习)若函数〃x)满足下列条件：在定义域内存在%,使得

+=+/⑴成立，则称函数“X)具有性质M；反之，若「不存在，则称函数"X)不具有性质

M.

(1)证明：函数/(x)=3，具有性质并求出相应的无。；

(2)已知函数g(x)=1g-4—具有性质M,求实数。的取值范围.

2x+1

【答案】⑴/=1幅2

⑵[6-3后6+3网

【分析】(1)由新定义，将〃x)=3*代入/(x°+l)=/(x0)+"l),化简计算即可得证；

(2)由g(x)的定义域为R,可得“>0,根据函数g(x)具有性质存在％,使得g(xo+l)=g(%)+g⑴

成立，代入化简整理得到关于天的方程，转化为方程有解的问题，进而求出a的取值范围.

【详解】(1)证明：〃x)=3,代入〃x°+l)=/(x°)+/⑴得：3M=3'。+3,

即3』=；3,解得x°3=log3；=l-log32,

，函数〃x)=3,具有性质M,x0=l-log32；

(2)由题知g(x)的定义域为R,且。>0,

・•・函数g(x)具有性质

存在修,使得8(%+1)=8(/)+86成立，

1a1a1Q

代入得：想而诃gR+汨'

a_aa

A2=2

2(X0+1)+12X0+1,3*

11a

VFL>0,2=2

2(X0+1)+12X0+1'3

整理得：(2。-6)x；+4%+3。-3=0有实根，

①当〃=3时，解得/=-；，，。=3;

②当a*3时，#A=(4o)2-4(2a-6)(3a-3)>0,

BPa2-Ua+9<Q,解得：6-36V。V6+3指，,ae16-3方,3)u(3,6+3石]

综上可得：°e[6-3省,6+3若].

2.对于定义域分别为外，与的函数V=〃x),y=g(x),规定：函数

/(x)-g(x),xeDz.l.xeDg

/?(x)=</卜]》已力且工已与.

g(x),xeZ>gJlx^£>z

⑴若>=〃x),其中/y=g(x),其中g(x)=%2,求y=〃(x)；

(2)对(1)中的力(x),求y=〃(x)的值域.

【答案】⑴心)/41”(一8'1)51'+功

l,x=1

(2)(-°o,0]u{l}u[4,+co)

【分析】(1)根据函数的新定义，结合函数的定义域可得h(x)解析式；

(2)利用基本不等式可得函数h(x)的值域.

【详解】(1)由函数〃x)=々的定义域为xe(-8,l)"l,+8),函数g(x)=)的定义域为R,

X—1

2

所以当X£(-8,l)D(L+8)时，〃(％)=/(x)-g(%)=----；

当x=l时，M%)=g(x)=l,

.2

综上所述：蛆)=巾4(5)31，+8).

1,X=1

2

(2)由(1)得当xe(-8,l)u(l,+e),尸士,

x-1

设"X-1,贝！P€(-8,0)。(0,+功，y=1+l)=/+1+2,

■tt

当fe(O,+s)时，y=t+：+222陋+2=4,当且仅当"；，即f=l时等号成立，

当fe(_s,O)时，y=/+；+2,BP-j=(-/)+f-^-2>2J(-Z)/-^-2=0,即yVO,

当且仅当-即时，等号成立,

即当》£(-。,1)。(1,+8)时，y£(-8,0]D[4,+8)；

当x=l时，y=l,

综上所述ye(-吗0]u{1}u[4,+“).

3.(23-24高一上•北京通州•期中)设函数/(x)=x2+2加x+机，函数g(x)=2x+2,VxeR,用M(x)表示

〃x),g(x)中的较大者，记为M(x)=max{〃x),g(x)},再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作

为己知.

条件①：/(-3)=/(1)；

条件②：VxeR,/(x"/(-1)恒成立.

(1)求不等式〃x)>g(x)的解集;

(2)当xe[l,4]时,关于x的不等式M(x)>a(g(x)-2)恒成立*求实数。的取值范围.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(l)(-8,-l)U(l,+8)

(2)a<2

【分析】(1)选择条件①代入计算即可求得加值，再列出不等式解出即可；选择条件②根据二次函数的最

值即可得到〃?的值；

(2)求出分段函数M(x),再分离参数，利用基本不等式即可得到答案.

【详解】(1)若选择条件①因为"-3)=/⑴，

所以9-5加=1+3"?,故加=1.

所以f(x)=x2+2x+l,g(x)=2x+2,

因为/'(x)>g(x),故f+2x+l>2x+2,

解得x<-l或x>l,

所以不等式解集为(-'-l)U(l,+s).

若选择条件②VxeR,/(x)2/(-1)恒成立，故f(x)最小值为/(-I),

所以对称轴方程为x=-l,所以x=-加=-1,故羽=1.以下同条件条件①.

(2)不论是条件①或是条件②均可以得到=1,

因为VxeR,A/(x)=max{/(x),g(x)},

根据(1)中条件①的同种方法即可得到当-1<X<1时，〃x)<g(x),

x?+2x+1,x2-1

所以A/(x)=<2x+2,-1<尤<1,

x2+2x+l,x<1

又因为当xe[1,4],不等式M(x)>a(g(x)-2)恒成立，

故当xe[l,4],不等式/+2尤+1>2"恒成立，

即2a＜xd---F2恒成立，xe[1,4].

无

H^Jx+-+2＞2L-+2=4,

XVX

当且仅当X=1时等号成立，故2。＜4,即a＜2.

4.（23-24高一下•浙江杭州•期末）已知函数/'（x）的定义域为。，若存在常数仪人＞0）,使得对。内的任意

X],X2（X]WX2）,都有|/（占）-/（%2）归后归-引，则称“X）是“"利普希兹条件函数”.

（1）判断函数y=2x+l/=x是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；

（2）若函数）/=/（久）（尤€1＜）是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的

士,工2eR。f）,均有|/（再）-f（X2）|wl.

【答案】（DP=2x+l与丁=彳是“2-利普希兹条件函数”，理由见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）根据所给定义推导|/（演）-/（马）卜2卜-司的正负，即可判断；

（2）首先证明对任意的项,马€[0,2]（玉片马），都有|〃再）-〃马）,1,再由周期性，即可证明对定义域内

任意的百户2eR（X]Wx2）,均有|/（%）-/（%2）归1.

【详解】（1）由题知，函数了=/（x）=2x+l的定义域为R,

所以|/（玉）-/（七）卜2卜-》2|=|2玉-2》2|-2|项-司=。，

即|/（玉）-/（七）|=2上-司，

所以函数了=2x+l是“2-利普希兹条件函数”；

函数v=g（x）=x的定义域为R,

所以|g（%）-g（%）1-2忖一X?|=卜-xj-2W-％|=-忖-%|＜0,（X]W）,

所以|g（xj-g（xj|＜2|玉，

所以函数＞=x是"2-利普希兹条件函数”；

（2）若占,％e[0,2]（x,^x2）,

当上1-司41,则，（xj-区为一工2|41；

若-%21＞L设0＜玉＜1＜工2（2,

则|/（占）一/。2）|=|/&）-/（0）+〃2）-/（尤2）|4|/（再）一/（0）|+|八2）-/（3|

W+12-%|二再+2—%2＜1,

所以对任意的芭,%e[0,2]（x产乙），都有|〃西）-"X2）归1,

因为函数＞=/（x）（xeR）是周期为2的周期函数，

所以对任意的国/2eR(X]*%)，都存在口也式。，2],使得/国)=/("),f(x2)=f(p2),

所以|/(%)-7'(9)|=|/'5)-/5)归1,

综上可得对定义域内任意的国,迎eR(x产X2),均有|〃西)-/5)|VL

【点睛】关键点点睛：本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知

识，紧紧抓住定义.

5.(23-24高一下•云南昆明・期中)若函数〃x)的定义域为。，集合"勺。，若存在非零实数，使得任意xeM

都有x+/e。，且+则称为M上的一增长函数.

⑴已知函数g(x)=x,直接判断g(x)是否为区间上的3-增长函数；

(2)已知函数〃无)=国，且〃x)是区间上的"-增长函数，求正整数”的最小值；

(3)如果〃尤)是定义域为R的奇函数，当xNO时，f(x)=\x-a2\-a2,且为R上的4-增长函数，求

实数。的取值范围.

【答案】⑴是:-增长函数

⑵9

⑶(-U)

【分析】(1)根据所给定义判断即可；

(2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；

(3)根据题设条件，写出函数/(x)的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求.

【详解】⑴g(x)=x的定义域为R,Vxe[-l,O],x+|eR,g[x+|^-g(x)=x+|-x=|>0,

即g(x+£|>g(x),所以g(x)为区间[T。]上的T-增长函数；

(2)依题意,Vxe[-4,-2],/(x+〃)>/(x)恒成立,

即|x+司>国在[-4,-2]上恒成立，

整理得2内+〃2>0在卜4,-2]上恒成立，

因为力>0,所以关于x的一次函数>=2次+〃2是增函数，

所以当x=-4时，(2nx+n2\.=»2-8M,

所以〃2-8〃>0,解得〃〉8,

所以正整数〃的最小值为9；

(3)由题意可得：当尤20时，仆)=卜-"卜/^,0<x<a

\x-2aJC>a

因为函数y=〃x)是定义域为R的奇函数,

—X,—/<X<0

所以当x<0时，则〃x)=-〃-x)=-(卜%-/卜/)=_卜+―+a2=

x+2a2^<-a2

x+2a2,x<-a1

22

故〃x)=<-x,-a<x<a,

x-2a2,x>a2

当a=0时，/(x)=x,/(x+4)=x+4>x=/(x),

故为R上的4-增长函数，

所以。=0符合题意；

当时，则可得函数大致图象如图：

易知图象与x轴交点为〃(-2/,0),N(2〃,o),

而VxeR,/(x+4)>/(x),

因为/(X)在区间［-力，。［上单调递减，则X,x+4不能同在区间［-。2,力］上,

所以4>)=2a~,

又因为当xe[-2a\o]时，/(%)>0,当xe[o,2a2]时，/(x)<0,

若2/<444/时，令X=-202,贝(]x+4e[0,2/],故/(x+4)W/(x),不合题意;

所以4a?<4,解得-1<”1且a*0,

若-l<a<l且"0,贝！|有：

当时，贝!|/。+4)>/(对成立；

当-a?<x+4</时，贝!|尤<>2-4<-3.2,

可得/(x+4)=—(x+4)>—a~,/(x)=x+2a~<—a",即/(x+4)>/(x)成立;

当x+4>/时，贝！］/(》+4)=(》+4)-2。2八+2/2/(司，即〃x+4)>/(x)成立；

故当T<a<1且aW0时，符合题意，

综上所述：当时，对VxeR均有/(x+4)>/(x)成立，

故实数。的取值范围为

【点睛】方法点睛：(D以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决;

(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进

行分类讨论.

6.(2024高一上•浙江杭州・专题练习)对于函数/(x),若〃x)=x,则称x为/'(x)的“不动点”；若

=则称x为〃无)的“稳定点”.

⑴求证；若x为〃x)的“不动点，，，则x为〃x)的“稳定点”;

(2)若/(x)=4-l(aeR,xeR),若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”的集合分

别记为A和B,即么=卜"3=工},8=卜"(7'3)=工},且/=求实数。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

⑵匕W

【分析】(1)借助“不动点”和“稳定点”的定义代入计算即可得；

(2)分。=0与a片0进行讨论，当a片0时结合一元二次方程的根的判别式与“不动点”和“稳定点”的定义可

得力/+办一。+1=0要么没有实根，要么实根是方程办的根，计算即可得.

【详解】(1)由x为/(x)的“不动点，，,则有〃x)=x,

则/(/(x))=〃x)=x,即x为〃x)的“稳定点”；

(2)由题意可知/片0,；.办2-1=%有实根，即办2_%_1=0有实根，

当a=o时，有〃X)=-1,即有x=-l是函数〃X)的“不动点，，，

令/(/(x))=x,即/(一l)=T=x,故x=T是函数/(x)的“稳定点”，

故/=8={-1},符合要求，

当a.0时，贝！|△=l+4a20,解得aN—即ae——,0^U(0,+oo),

由(1)知478,所以。(办=BPa3x4-2a2x2-x+a-l=0,

即有(亦2-工一1)((Z2尤2+。、-々+1)=0,

=+办-。+1=0要么没有实根，要么实根是方程办2-工-1=0的根，

若//+办―Q+1=o没有实根，贝［jA=/一八?(一。+1)<0,解得

若a2x2+ax-a+1=0有实根且实根是方程"2_%_1=o的根，

则由方程〃%2—%—1=0,得CIX=CIX+〃，〃X+ax—〃+1=0,

1.113

有2办+1=0.由此解得％=-二，再代入得—-1=0,由此。二:，

2a4。2a4

「131

综上所述，〃的取值范围是-.

44

7.(23-24高一下•贵州六盘水•期末)对于定义域为。的函数y=〃x),如果存在区间［加,”仁。，同时满足:

①/(x)在［a上是单调函数;②当时，f(x)&\m,n\,则称卜是该函数的“优美区间”.

⑴求证：［0,3］是函数/(x)=:/的一个“优美