函数性质2：“广义”奇偶性-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题2-2函数性质2：“广义”奇偶性

目录

一、热点题型归纳......................................................................1

【题型一】奇偶函数性质................................................................1

【题型二】“广义奇函数”：点(a,b)中心对称.............................................3

【题型三】“广义偶函数”：竖直对称轴....................................................4

【题型四】奇偶性与周期性..............................................................4

【题型五】奇偶性与零点................................................................6

【题型六】奇偶性与比大小..............................................................6

【题型七】奇偶性与导数................................................................7

【题型八】奇偶性与求参................................................................8

【题型九】抽象函数与奇偶性............................................................9

【题型十】中心对称应用：倒序求和.....................................................10

二、真题再现..........................................................................11

三、模拟检测..........................................................................13

热点题型归纳

【题型一】奇偶函数性质

【典例分析】

已知函数g(x),力(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，＞g(%)+/2(%)=er+sinx-%,若函数

〃对=3小网_而。一2020)-2万有唯一零点，则实数4的值为

A.-1或！B.1或C.-1或2D.-2或1

22

【提分秘籍】

基本规律

奇偶性

(1)奇偶函数的性质

①偶函数7(—x)=/U)今关于y轴对称—1■称区间的单调性相反;

③奇函数在x=0处有意义时，必有结论"0)=0；

(2)奇偶性的判定

①“奇士奇”是奇“偶土偶”是—偶—，“奇x/一奇”是—偶,“偶x/十偶”是_偶_,“奇x/+偶”是

奇___；

②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均

为偶函数.

(2)常见奇函数

①/(无)=系不7②次X)=log%工③次X)=g(X)—g(一尤)®fix)=ioga(ylx-+l+

X)

/(x)=sinx,/(x)=tanx等等；

【变式演练】

…(…)

1.若函数〃X)={2'+1对任意的相目一必］,总有了(〃氏一1)+笈>0恒成立，则尤的

_；(一+3彳)?,卜(一或X))

取值范围是

A.jB.(-12,)C.，_£|D.(-笈，)

2.设函数〃x)=ln(斤石一目，若a,b满足不等式/(/一2勾+/(26-62)40,则当lVaV4时，2a-b

的最大值为

A.1B.10C.5D.8

3.已知函数/'(幻=(1+4卜|>111卜+7771),则在同一个坐标系下函数“尤-4)与“X)的图像不可能是

【题型二】“广义奇函数”：点(a,b)中心对称

【典例分析】

定义在R上的函数“尤)若满足：①对任意X]、龙2(%片/)，都有(芯-尤2)[/(尤1)-/(%)]<。；②对任意

x,都有/(a+x)+"q-x)=26,则称函数为“中心捺函数”，其中点(。力)称为函数的中心.

已知函数y=〃x-l)是以(1,0)为中心的“中心捺函数”，若满足不等式/'(布+2")<-/(-"一2根)，当

me-,1时，的取值范围为

_2Jm+n

A.「[…2,4]B,「11]。「111口.匕「1」「

【提分秘籍】

基本规律

对任意尤，都有了("+x)+〃"一无)=",则称函数“X)为“中心捺函数”，其中点(°力)称为函数“X)

的中心.

【变式演练】

1.已知定义在R上的奇函数，满足"2-x)+f(x)=0,当xe(O,l]时，/(x)=-log2x,若函数

F(x)=/(x)-sin(^x),在区间[T,间上有10个零点，则加的取值范围是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]C.(5,5.5]D.[5,5.5)

2.已知函数/(X)是定义域为R的函数，/(2+x)+f(-x)=0,对任意X],e[l,-Ko)<x2),均有

〃々)-〃％)>0,已知°,6")为关于x的方程炉-2尤+"3=0的两个解,则关于f的不等式

/■⑺>0的解集为()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

111-I-?

3.已知函数/(x)=—+=+1+3图像与函数g(x)=W-图像的交点为(小必)，(x2,y2),

xx2x42+1

m

&，%)，则2(%+%)=()

4=1

A.20B.15C.10D.5

【题型三】“广义偶函数”：竖直对称轴

【典例分析】

已知函数/(耳=(必—4x)(e"2—e2f)+尤+1在区间的值域为上九,"],则加+/=()

A.2B.4C.6D.8

【提分秘籍】

基本规律

_a+b

函数对于定义域内任意实数尤满足〃"+“)=”》—X),则函数“X)关于直线X-2对称，特

别地当〃x)=〃2a-x)时，函数/(x)关于直线x=a对称；

【变式演练】

1.已知函数)(刈=优+1)(、_2犬+2)，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有

①函数"X)是周期函数；

②函数〃力既有最大值又有最小值；

③函数/(x)的定义域为R,且其图象有对称轴；

④对于任意的xe(-1,0),r(x)<0(r(x)是函数“力的导函数)

A.②③B.①③C.②④D.①②③

2.定义域为R的函数〃x)满足：①对任意24%<々，都有(网-马)[/«)-〃%)]>0；②函数

y=〃x+2)的图象关于y轴对称若实数s,f满足〃2s+2f+2)4/(s+3),则当代[0』时,的

取值范围为()

£2

A.B.2

453P

D.U[2,+8)

3.已知函数~^-皿4.—5|,则使得不等式〃3"1)>汽”2)成立的,的取值范围为()

2%—JX+7

C.1一8,d，+8

【题型四】奇偶性与周期性

【典例分析】

定义在R上的奇函数f(x)满足/(2+x)="2-x),当xe[0,2)时，f(x)=-4x2+8x.若在区间[a,可上,

存在皿加23)个不同的整数天(7=1,2,满足力/(彳)-7%]),72,贝峰-。的最小值为

1=1

A.15B.16C.17D.18

【提分秘籍】

基本规律

若f(-x)=f(x+a\f(-x)=1可知函数的周期T=2a,

f(x+a)

关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论

1.若函数有两个对称中心(a,0)与(b,0)),则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。

2.若函数有两条对称轴*=2与*=卜则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。

3.若函数有一个对称中心(a,0)与一条对称轴x=b,,则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。

【变式演练】

1.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德・黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的

1，当x=K(p应都是正整数，旦是既约分数)

应用，其定义为：尺。)=Pqp，若函数Ax)是定义在R上的偶函

o,当x=0/或[0,1]上的无理数

(2022

数，且对任意工都有/(2+x)+f(x)=0,当尤£[0,1]时，=R(x),贝IJ/(lg2022)+/!30+丁(

1

ABcD.——

-1-1-45

2.已知函数/(x)对任意x£R都有/(%+4)=/(x)-/(2),若y=/(x+1)的图象关于直线x=-l对称,且

对任意的，士,々©[0,2],当王大马时，都有"看)一"%)<0,则下列结论正确的是()

x2一%

]11111

<<

Ip/(4)

A./(-3)八4)力)B./(-3)f

11111

<-----

、/(-3)、/(4)D.”4)I)/(-3)

3.若函数y=满足对VxeR都有/(x)+〃2-x)=2,且>=/(»-1为口上的奇函数，当彳«-1,1)时,

4)=2'-,+sin寻J+1,则集合4=卜|〃耳=1%耳中的元素个数为()

A.11B.12C.13D.14

【题型五】奇偶性与零点

【典例分析】

设函数“X)为定义域为R的奇函数，且/(x)=〃2—x),当x目0』时，/(x)=sinx,则函数

,「59一

g(x)=|cos时-/(九)在区间-5上的所有零点的和为

A.6B.7C.13D.14

【提分秘籍】

基本规律

利用函数性质，推导出中心对称，轴对称等等函数图像特征性质,因而函数的零点也可以对称性来研

究计算。

【变式演练】

1.定义在R上的函数满足/(—x)+〃x)=0J(x)=〃2-x),且当时,〃力=/.则函数

y=7/(x)-x+2的所有零点之和为()

A.7B.14C.21D.28

2.已知定义在R上的奇函数/(X)恒有〃X—1)=〃X+1),当xe［O,l)时，/(%)=|_己知

左€(-2，-工］,则函数g(x)=/(x)-日-g在(—1,6)上的零点个数为()

I13loy3

A.4个B.5个C.3个或4个D.4个或5个

3.设〃尤)是定义在R上的偶函数，对任意xeR,都有〃x+4)=〃x),且当xe［-2,。］时，

/(X)=QJ-6.若在区间(-2,6］内关于x的方程〃力一14.(彳+2)=0(4>1)恰有3个不同的实数根,

则。的取值范围是().

A.(1,2)B.(2,+8)C.(1,返)D.(科,2)

【题型六】奇偶性与比大小

【典例分析】

已知定义在R上的函数y=/(x)满足函数y=/(x-i)的图象关于直线尤=1对称，且当

xw(y,0),〃x)+#Q)<0成立(尸⑺是函数〃力的导数)，若

«=1/(log2^),&=(ln2)/(ln2),c=2flogl,则a,b,c的大小关系是

2\2

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【提分秘籍】

基本规律

1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来”去除f()外衣”比较大小。

2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小

【变式演练】

1.已知函数/(x)满足〃x)=/(f),且当xe(—,0］时，/(x)+4(x)<0成立，若。=(2与"(2。6),

Z?=(ln2)-/(ln2),则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.ob>a

C.a>c>bD.c>a>b

2.已知函数/。)=^+1-28$工，若不相等的实数。",c成等比数列，/?=/(上广)，S=f(b),T"函),

则R、S、T的大小关系为()

A.R<S<TB.T<R<S

C.S<R<TD.T<S<R

3.已知函数y=的图像关于直线x=l对称，且当xe(F,O),〃尤)+4'(力<0成立，若

1，5

«=2-7(2-)<6=(ln3)〃ln3),c=|logl11/log,1|,贝|()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【题型七】奇偶性与导数

【典例分析】

已知函数〃尤)=2+6-小，若不等式/(加)+〃1-2分)21对,。恒成立，则实数。的取值范围

是()

A.(0,e]B.[0,e]C.(0,1]D.[0,1]

【提分秘籍】

基本规律

解函数不等式：

(1)把不等式转化为/[g(x)]>/[/z(x)]的模型；

(2)判断了(X)的单调性，再根据函数的单调性将脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇

偶函数的区别

【变式演练】

1.已知偶函数"X)的定义域为R,导函数为((X),若对任意xe[0,+e),都有2/(x)+矿(x)>0恒成立，

则下列结论正确的是()

A./(0)<0B.9/(-3)</(1)C.4/(2)>/(-1)D./(1)</(2)

2.已知可导函数是定义在「会上的奇函数.当时，+广(x)tanx>0,则不等式

cosx-f[x+l+sin尤•/(f)>0的解集为)

3.已知定义在R上的可导函数〃x),对WxeR,都有)=e2"(x),当x>0时〃x)+/'(x)<。，若

2a+1

e^f(2a-l)<ef(a+l),则实数a的取值范围是()

A.[0,2]B,(^»,-l]u[2,+oo)C.(^»,0]U[2,-H»)D.

【题型八】奇偶性与求参

【典例分析】

Ie'—1,0<x<1,■关

定义在R上的偶函数“可满足〃2-x)=〃2+x),且当xe[0,2]时，f(x)

[x2-4x+4,Kx<2.

于尤的不等式加国4〃力的整数解有且仅有9个，则实数机的取值范围为()

e-1

7

【提分秘籍】

基本规律

利用奇偶性和单调性，解决恒成立或者存在型求参

常见不等式恒成立转最值问题：

(1)Vxef(x)>m=/(无)而。>m；

(2)3xeZ),/(x)>m/(x)max>m；

(3)VxeD,/(x)>g(x)o(/(x)-gO))*>0；

(4)HxeD,/(x)>g(x)o(/(x)-g(x))1mx>0；

(5)GD,X2eM,/(^)>g(x2)<^>/(^)^>g(x2)max；

(6)期eA/eM，/(5)>8(々)=/(3)1mx>g(%)1nin；

⑺eD,3x2eM,/(占)>g(%)=­n>后每焉；

(8)eD,X/X2eM,/(演)>g(x2)o>g(x2)max；

【变式演练】

1.设/(x)是定义在R上的偶函数，且“X+2)="T),当xe［-l,O］时，/(x)=Qj-1,若在区间(一1,6)

内关于尤的方程/(x)-log.(x+2)=。(a>0且awl)有且只有5个不同的实数根，则实数。的取值范围是

()

A.5mB.(5,7)C.(1,5)D.(5,y)

2.已知定义在R上的奇函数在［。,+⑹上是减函数，且对于任意的9©［。,万］都有

/(sin?sin0)+-3)<0恒成立，则实数加的取值范围是()

A.m>2B.m<2C.m>2D.m<2

3.已知偶函数/(x)的定义域为R,对VxeR,/(x+2)=/(x)+f(l),且当xe[2,3]时，/(x)=-2(x-3)2,

若函数"x)=log”(禺+1)-/(x)①>O,aWl)在R上恰有6个零点，则实数。的取值范围是()

【题型九】抽象函数与奇偶性

【典例分析】

已知函数/(尤)的定义域为。，值域为A,函数f(x)具有下列性质：(1)若则(2)

若光,ye。，则/⑺+”了人从下列结论正确是()

①函数)(力可能是奇函数；

②函数尤)可能是周期函数；

70?1

③存在xe。，使得〃力=疆；

④对任意xe。，都有r(x)eA.

A.①③④B.②③④C.②④D.②③

【提分秘籍】

基本规律

涉及到抽象型题，一般要用到奇偶性和对称性，周期性，单调性，对学生的分析问题解决问题的能力、

转化与化归能力要求较高，试题综合度高，没有固定的方法，较难

【变式演练】

1已知/(%)是定义在［-1,1］上的奇函数，且/(-1)=-1,当a,-1,1］,且〃+厚0时，(a+b)

(7(a)+f(Z?))>0成立，若/(x)V/-2切t+l对任意的户［T,1］恒成立，则实数机的取值范围

是()

A.(-oo,-2)U{0}U(2,+oo)B.(-oo,-2)U(2,+oo)

C.(-2,2)D.(-2,0)U(0,2)

2.已知函数f(x)(xwR)满足/(-x)=2-/(x),若函数y=3Y4-1与y=/(x)图像的交点为

X

10

(占,另),％…’Mo)，贝!IX(%+%)=•

i=l

【题型十】中心对称应用：倒序求和

【典例分析】

已知函数y=〃尤)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)=/(x-5)+x,数列{4}

为等差数列，且公差不为0,若g(%)+gQ)+…+g(%)=45,则4+的+…+佝=

A.45B.15C.10D.0

【提分秘籍】

基本规律

倒序求和的数学思想是中心对称。

【变式演练】

1.已知函数仆)=x、+ln合，若忌［+/］盖:…+/［罂］+/(篇)2019a

亍(Z》)

其中6＞。，则洞1+》\a\的最小值为

C.72D,正

2

2.设函数尸r(x)是y=r(x)的导数,经过探究发现,任意一个三次函数/(%)=渥+凉+u+d(aw0)

7

的图象都有对称中心(％"工)),其中％满足/伉)=0,已知函数〃x)=2d_3无2+%\,则

V()

/fI—2022V)/f1—2022K)/f(—2022VJ---+/(f—2022)

20214021

A.2021C.2022

3.已知函数F(x)满足/(x)=f(2-x),与函数y=|x—1|图象的交点为&,必),(%2，乂)，…，((，%)，则

玉+4二

A.0B.rnC.4mD.2m

真题再现

1.已知函数y=〃x)是偶函数，当xe(O,y)时，y=al(O<a<l),则该函数在(一j0)上的图像大致是

已知函数/(x)的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数毛，巧，总有“无2)-"芭)>0成立,

2.

X?一石

则函数尤)一定是()

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数

5.已知函数〃尤)的定义域为R,〃x+2)为偶函数，〃2尤+1)为奇函数，贝IJ()

A.=0B.〃-1)=0C.42)=0D."4)=0

6.设函数/(力的定义域为R,+1)为奇函数,6(九+2)为偶函数,当尤笠[1,2]时,f(x)=ax2+b.若

〃0)+〃3)=6,则/弓]二()

5

7.设是定义域为R的奇函数，且“1+力=/(-%).若/，则/)

51I5

A.B.C.D.

3333

8.已知定义在R上的奇函数Ax)满足/(尤-4)=--。)，且在区间［0,2］上是增函数，则

A./(-25)</(11)</(80)B./(80)</(11)</(-25)

C./(11)</(80)</(-25)D./(-25)</(80)</(11)

9.定义在R上的函数/(工)既是奇函数，又是周期函数，丁是它的一个正周期.若将方程/(工)=0在闭

区间[-rr]上的根的个数记为〃，则〃可能为

A.0B.1C.3D.5

10.若定义在R的奇函数/(x)在(-8,0)单调递减，且式2)=0,则满足-1)>0的x的取值范围是()

A.[-l,l]U[3,+«>)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-1,0]31,+8)D.[-1,0]kJ[1,3]

11.设函数/(%)=ln|2x+l|—ln|2x—l|,则於)()

A.是偶函数，且在(J,+8)单调递增B.是奇函数，且在(-；,：)单调递减

C.是偶函数，且在(-«,-；)单调递增D.是奇函数，且在(f,-；)单调递减

12.已知函数/(刈是定义在R上的偶函数，且在区间[0*+⑹单调递增.若实数a满足

/(log2«)+/(logi«)<2/(1)5则a的取值范围是

2

A.[1,2]B.C.1,2D.(0,2]

13.若定义在R上的函数/(x)满足：对任意/巧eR有以X、+无2)=/(再)+/(%)+1则下列说法一定正确

的是

A."X)为奇函数B.7(x)为偶函数C.，(元)+1为奇函数D./。)+1为偶函数

二号模妈检测

1.已知正方形的四个顶点都在函数y=图象上，且函数y=/(同图象上的点(龙,村都满足

(尤3-4龙-。-⑼+尤+J?-3x-y=0,则这样的正方形最多有()

A.I个B.2个C.3个D.4个

2.已知无)是定义域为R的偶函数，式5.5)=2,g(x)=(x—1)，(龙).若gCr+1)是偶函数，则g(-0.5)=

()

A.-3B.-2C.2D.3

3.已知函数〃尤)=1-±+。卜1+已用)，其中aeR,则()

A.在(2,+8)上单调递增B.在(2,+8)上单调递减

C.曲线y=/(x)是轴对称图形D.曲线y=/(x)是中心对称图形

4.已知〃尤)是定义在R上的奇函数，且当xe(O,E)时，都有不等式/(x)-4''(x)>0成立，若

4=45/45,b=4if3,c=log19/log,73,则a,b,c的大小关系是()

\3V3y

A.a<b<cB.a<c<b

C.b>a>cD.a>b>c

5.函数e,-e-'的大致图象为()

3x-3sinx

6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且/(x+1)为奇函数.若/⑴=-2,则曲线y=/(x)在点

(-9,〃-9))处的切线方程为()

A.2尤—y+14=0B.2%+y+14=0

C.2%+y+18=0D.2%—y+18=0

7.偶函数满足〃4+X)=〃4T),当无«0,4］时,/(力=处亨，不等式r(x)+W(x)>0在

［-200,200］上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围是()

A.|^-1ln6,ln2B.-In2,-|ln6j

C.f-ln2,-^ln6D.f-^ln6,ln2j

8.设函数/(x)是函数〃x)(xeR)的导函数,已知/'(x)<3〃x)-3,>/，(x)=/，(-2-x),/(-3)=l-e,

则使得了(司-23>2<1成立的X的取值范围是()

A.(-2,+co)B.(0,+oo)C.(1,+°°)D.(2,+co)

9.已知函数式x)满足：对任意xGR,贯-无)=-fix),fi2-x)=fl2+x),且在区间[0,2]上，4无)=5+cos尤T,

〃7=A括)，"=A7),讨10),则()

A.m<n<tB.n<m<tC.m<t<nD.n<t<m

10.已知函数〃