沪教版（上海）八年级第一学期数学期末试卷

上海市八年级（上）期末数学试卷（附答案与解析）

一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）

1.（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.需B.«C.心口.V?

2.（2分）已知函数y=K（k卉0）中，在每个象限内，y随X的增大而增大，那么它和函数y

=kx（20）在同一直角坐标平面内的大致图象是（）

A.x=4B.x=2C.冗=4或x=OD.x=O

4.（2分）已知反比例函数>=区的图象经过点（3,-2）,则左的值是（）

X

A.-6B.6C.2D.-2

33

5.（2分）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与

地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）

A.（2+2加）米B.（2+2«）米C.4米D.6米

6.（2分）己知下列命题中：

①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；

②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；

③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；

④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）

7.（3分）计算：776=.

8.（3分）函数y43x+6的定义域是.

9.（3分）在实数范围内分解因式：尤-3=.

10.（3分）如果正比例函数y=晨-2）尤的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围

是.

11.（3分）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为y普&，

X

如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为度.

12.（3分）已知直角坐标平面内点A（1,2）和点B（2,4）,则线段AB=.

13.（3分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：.

14.（3分）以线段为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是.

15.（3分）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC,平分/C48,如果CO=1,

那么BD=

16.（3分）如图，在四边形ABC。中，ZABC=90°,ZADC=90°,AC=26,BD=24,

联结AC、BD,取AC和8。的中点M、N,联结MN,则MN的长度为

17.（3分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数1（x>0），有若干个正方形如图依次

叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（4,A2,A3在反比例函数图象上），以此作图，我

们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么42的坐标为

18.（3分）如图，已知RtZkABC中，ZACB=90°,ZB=30°,BC=3,。是边48上的

一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点8落在点81的位置，若8LDJ_BC,则的长

度为.

三、计算题（本大题共2题，满分10分）

19.（5分）计算：（1飞）2+7§.

20.（5分）解方程：2x（x-2）=7-3.

四、解答题（本大题共5题，21-24每题6分，25题8分，满分32分）

21.（6分）已知关于x的方程（机-1）口^蛆+:小^二。有两个实数根，请求出机的最大整

数值.

22.（6分）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件

设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元.

（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；

（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？

23.（6分）如图，ABLBC,DCA.BC,垂足分别是点8、C,点E是线段BC上一点，且

AE1DE,AE=ED,如果8E=3,AB+BC=U,求AB的长.

24.（6分）如图，在△ABC中，AB^AC,ZB=30°.

（1）在2C边上求作一点N,使得AN=BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，求证：CN=2BN.

B

25.（8分）如图，已知一次函数y」工和反比例函数y」L（k卉0）的图象交点是A（%m）.

2x

U）求反比例函数解析式；

（2）在x轴的正半轴上存在一点P,使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标.

五、综合题：（本大题只有1题，满分10分）

26.（10分）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,CA=CB,点。、E在线段A8上.

（1）如图1,若CD=CE,求证：AD=BE-,

（2）如图2,若/OCE=45。，求证：£）E2=AD2+BE2；

（3）如图3,若点P是△A3C内任意一点，ZBPC=135°,设AP=a、BP=b、CP=c,

请直接写出“，b,c之间的数量关系.

八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）

1.（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.五B.V8C.⑶D.^2

【分析】根据最简二次根式的概念判断即可.

【解答】解：A、点=坐，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

B、«=2后，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意;

瓦是最简二次根式，符合题意；

D、Q=lyl，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；

故选：c.

2.（2分）已知函数y=&（k¥：o）中，在每个象限内，y随X的增大而增大，那么它和函数y

=kx（人力0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（）

【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，在确定其所在象限，进而确

定正比例函数图象所在象限，即可得到答案.

【解答】解：•••函数y支（k卉0）中，在每个象限内，y随X的增大而增大,

：.k<0,

.•.双曲线在第二、四象限，

，函数y=履的图象经过第二、四象限，

故选：B.

3.（2分）方程7=4x的解是（）

A.x=4B.x=2C.x=4或x=0D.x=0

【分析】本题可先进行移项得到：X2-4x=0,然后提取出公因式尤，两式相乘为0,则这

两个单项式必有一项为0.

【解答】解：原方程可化为：?-4x=0,提取公因式：无（尤-4）=0,

.•・x=0或％=4.

故选：C.

4.（2分）已知反比例函数y=K的图象经过点（3,-2）,则左的值是（）

X

A.-6B.6C.2D.-2

33

【分析】把（3,-2）代入解析式，就可以得到人的值.

【解答】解：根据题意，得左=盯=-2X3=-6.

故选：A.

5.（2分）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与

地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）

A.（2+2加）米B.（2+2e）米C.4米D.6米

【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度,

再加上离地面的距离就是折断前树的高度.

【解答】解：如图，根据题意8c=2米，

VZBAC=30",

.*.A8=2BC=2X2=4米，

；.2+4=6米.

故选：D.

6.（2分）已知下列命题中：

①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；

②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；

③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等;

④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质分别对每一项进行分

析即可.

【解答】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；

②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题；

③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；

④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题.

其中真命题的个数是2个；

故选：B.

二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）

7.（3分）计算：4.

【分析】根据算术平方根的概念去解即可.算术平方根的定义：一个非负数的正的平方

根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果.

【解答】解：：42=16,

•1•V16~4,

故答案为4.

8.（3分）函数3力刀+6的定义域是x2-2.

【分析】函数关系中主要有二次根式.根据二次根式的意义，被开方数是非负数.

【解答】解：根据题意得：3x+6N0,

解得」2-2.

故答案为：工2-2.

9.（3分）在实数范围内分解因式：r-X-3=_（x-）（x+卜尸

【分析】首先解一元二次方程7-尤-3=0,即可直接写出分解的结果.

【解答】解：解方程f-x-3=0,

得尸i±W瓦

2

贝U：y-x-3=（X1源）@+上好〉

故答案是：&士弊）6+上浮〉

10.（3分）如果正比例函数y=（%-2）x的图象经过第二、四象限，那么上的取值范围是k

<2.

【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数y=Ax"W0）,当左<0时，该函数的图象

经过第二、四象限）解答.

【解答】解：：正比例函数y=2）尤的的图象经过第二、四象限，

：.k-2<0,

解得,k<2.

故答案是：k<2.

11.（3分）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为

x

如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为400度.

【分析】把近视眼镜镜片的焦距为0.25米代入函数解析式就可解决问题.

【解答】解：把X=0.25代入

X

解得y=400,

所以他的眼睛近视400度.

故答案为：400.

12.（3分）已知直角坐标平面内点A（1,2）和点3（2,4）,则线段48=_巡_.

【分析】利用勾股定理列式计算即可得解.

【解答】解：：点A（1,2）,B（2,4）,

'AB=q（b2）2+（2-4）2=巡.

故答案为：V5-

13.（3分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：如果三角形有两个锐角互余，

那么这个三角形是直角三角形.

【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题.

【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是

“两个锐角互余”，

所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”.

故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.

14.（3分）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是线段的垂直平分线

（线段MN的中点除外）.

【分析】满足△MNC以线段为底边且CM=CN,根据线段的垂直平分线判定得到点

C在线段的垂直平分线上，除去与的交点（交点不满足三角形的条件）.

【解答】解：:△MNC以线段为底边，CM=CN,

...点C在线段跖V的垂直平分线上，除去与的交点（交点不满足三角形的条件），

/.以线段为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是：

线段的垂直平分线（线段的中点除外）.

故答案为：线段的垂直平分线（线段MV的中点除外）.

15.（3分）如图，在RtaABC中，ZC=90°,AC^BC,平分NCA8,如果C£>=1,

那么BO=_V2_.

【分析】过点D作DELAB于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE

=CD,再求出△BDE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的加

倍解答.

【解答】解：如图，过点。作。ELA8于E,

平分/CAB,ZC=90°,

：.DE=CD=1,

'：AC^BC,NC=90°,

•,.ZB=45°,

ABDE是等腰直角三角形,

/.BD=~\f^pE=\j'2-

故答案为：、历.

16.（3分）如图，在四边形ABCZ）中，ZABC=9Q°,ZADC=90°,AC=26,80=24,

联结AC、BD,取AC和8。的中点M、N,联结MN,则MN的长度为5.

【分析】连接M3、MD,利用直角三角形斜边上中线的性质得出△M3。为等腰三角形,

再利等腰三角形“三线合一”得出MN±BD,BN=ND=1BD=12,最后利用勾股定理

2

即可求出MN的长度.

【解答】解：如图，连接M3、MD,

D

B

VZABC=90",ZA£)C=90°,M是AC的中点,

.-.MB=AAC,MD=AAC,

22

：AC=26,

：.MB=MD=lx26=13,

2

：N是的中点，BD=24,

C.MNLBD,BN=DN=LBD=工乂24=12,

22

MN=7MB2-BN2=V132-122=5'

故答案为：5.

1

17.（3分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数y二（x>0），有若干个正方形如图依次

叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（4,42,加在反比例函数图象上），以此作图，我

们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么山的坐标为（士返，上正）

—2-2-

【分析】根据题意求得43（1,1）,设42所在的正方形的边长为则42（m,777+1）,

由图象上点的坐标特征得到％=根（祖+1）=1,解得比=二1、用,即可求得42的坐标为

2

r~1W51+V^）

-2~'2'

【解答】解：•••反比例函数的解析式为y」(x>0),

・・・A3所在的正方形的边长为1,

.'.A3（1,1）,

设A2所在的正方形的边长为相，则A2（m,m+1）,

.\m(m+1)=1,

解得加=士何（负数舍去）,

2

的坐标为（号,），

22

故答案为：（士匹，上班）.

22

18.(3分)如图，已知RtZXABC中，ZACB=90°，ZB=30°，BC=3,。是边A2上的

一点，将△BC。沿直线CD翻折，使点8落在点Bi的位置，若81OL8C,则8D的长

度为_

【分析】延长为。交BC于E,由BiO_L8C,可得。BE=^-BD,设BD=x,

22

在Rt^BiCE中可得（x+工）2+（3-返x）2=32,即可解得答案.

22

【解答】解：延长81。交于E,如图：

：.ZBED=ZBiEC=9Qa,

VZB=30°,

:.DE=LBD,BE=叵BD,

22

设BD=x,

・・,将沿直线CD翻折，使点B落在点Bi的位置，

'.B\D=x,

•；BC=3,

；.CE=3-返x,BiC=BC=3,

2

在RtABiCE中,BI£2+C£2=BIC2,

（x+Xx）2+（3-2=32,

22

解得尤=0（舍去）或彳=«,

：.BD=^

故答案为：

三、计算题（本大题共2题，满分10分）

19.（5分）计算：三+27（1^/^）2+•>/§.

【分析】先进行分母有理化、化简二次根式，再去括号，计算加减即可.

【解答】解：原式=,「一（泥-1）+2加

（V5+勺2）（；VJ5-2）、

=近-2-娓+1+2亚

=2如-L

20.（5分）解方程：2x（x-2）=7-3.

【分析】先把方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解（x-1）（x-3）=0,方

程就可化为两个一元一次方程x-1=0或x-3=0,解两个一元一次方程即可.

【解答】解：方程变形为：/-4x+3=0,

...（X-1）（X-3）=0,

.,.x-1=0或x-3=0,

・・XI=1,X2=3.

四、解答题（本大题共5题，21-24每题6分，25题8分，满分32分）

21.（6分）已知关于x的方程（加-1）/+2mx+7"+3=0有两个实数根，请求出机的最大整

数值.

【分析】根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0,确定出m的范围，进而

求出最大整数值即可.

【解答】解：：关于尤的方程（/"-1）/+23+〃计3=0有两个实数根，

b2-4ac—（2m）2-4（m-1）（祖+3）—4m2-（4；M2+8m-12）—4m2-4m2-8m+12

-8〃2+122O,m-IWO,

解得：加《3■且，"Wi,

2

则m的最大整数值为0.

22.（6分）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件

设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元.

（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；

（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？

【分析】（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为尤，利用2022年投资额=2020

年投资额X（1+年平均增长率）2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可

得出结论；

（2）利用这三年我校总共投资的金额=2020年投资额+2020年投资额X（1+年平均增长

率）+2022年投资额，即可求出结论.

【解答】解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为尤，

依题意得：110（1+x）2=185.9,

解得：xi=0.3=30%,X2=-2.3（不合题意，舍去）.

答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%.

（2）110+110X（1+30%）+185.9

=110+143+185.9

=438.9（万元）.

答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元

23.（6分）如图，AB±BC,DCVBC,垂足分别是点2、C,点E是线段BC上一点，且

AE±DE,AE=ED,如果8E=3,AB+BC^ll,求AB的长.

【分析】求出/A=NQEC,ZB=ZC=90°,根据AAS证△ABEg/kECZ),推出A8=

CE,求出A8+8C=2A8+8E=H,把8E=3代入求出AB即可.

【解答】解：DCLBC,垂足分别是点B、C,

：.ZB=ZC=9Q°.

：.ZA+ZAEB=90°,

\'AE±DE,

：.ZA£D=90°,

ZAEB+ZAED+ZDEC=180°,

AZAEB+ZDEC=90°,

ZA=ZDEC,

•・•在△ABE和△EC。中，

<ZA=ZDEC

,NB=NC，

AE=ED

AABE^AECD(AAS),

：.AB=CE,

,?BC=BE+CE=BE+AB,

：.AB+BC=2AB+BE=11,

•:BE=3,

24.（6分）如图，在△ABC中，AB=AC,ZB=30°.

（1）在5c边上求作一点N,使得AN=BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，求证：CN=2BN.

【分析】（1）作线段A8的垂直平分线上；

（2）根据等腰三角形的性质计算出NC的度数，再计算出NCAN的度数，然后根据三角

形的性质可得CN=2AN,进而得到CN=25N.

【解答】（1）解：作图正确；

（2）证明：连接AM

*：AB=AC,

：.ZB=ZC=30°.

：.ZBAC=18O°-2ZB=120°.

■:AN=BN,

：.ZNAC=ZBAC-ZNAB=120°-30°=90°.

VZC=30°,

:.CN=2AN.

ynX(kKO)的图象交点是A(4,m).

(1)求反比例函数解析式;

(2)在x轴的正半轴上存在一点P,使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标.

【分析】(1)根据一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析

式即可；

(2)若使△A。尸是等腰三角形，分04=0尸，OA^AP,。尸=AP三种情况讨论分别求

出尸点的坐标即可.

【解答】解：(1)点是一次函数yJ-*和反比例函数y=K8卉0)图象的交点，

2x

.*.m=Ax4,

2

解得加=2,

即A(4,2),

把A点坐标代入反比例函数y上G卉0)得，2=区,

x4

解得k=8,

...反比例函数的解析式为y=B；

(2)设尸点的坐标为0),

若使△AOP是等腰三角形，分以下三种情况:

①当OA=OP时，

n~^42+22=2巡，

即P（2泥，0）；

②当。4=A尸时，作A"J_O尸于”,

OH=4,

9

：0A=APf

：.OP=2OH=2X4=8,

即P(8,0)；

•'•«=7(4-n)2+22,

即n2=(4-ri')2+22,

解得n=—,

2

即p（A,o）,

2

综上，符合条件的P点坐标为（2掂，0）或（8,0）或（$,0）.