函数图象及性质应用（讲义）-2025年北京高考数学二轮复习（解析版）

专题03函数图象及性质应用

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

07军nt口旦囱.田姓己I白吉q

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测...........................................................15

05核心精讲•题型突破...........................................................22

题型一：函数定义域'值域、解析式22

题型二：函数单调性、周期性'奇偶性'对称性26

题型三：函数零点所在区间及分段函数值域求参问题31

题型四：对数的实际应用37

题型五：指对幕比较大小42

题型六：指对塞运算及解不等式45

重难点突破：函数的新定义50

差情;奏汨•日标旦祐

函数作为高中数学内容的一条主线，对整个高中数学有着重要的意义，题目分布在选择题和填空题居多,

有关函数图像与性质的北京高考试题，考查重点是以基本初等函数、基本初等函数组成的复合函数为载体，

以函数内容和性质为主导，考查函数的定义域、值域，函数的表示方法、图象及性质（单调性、奇偶性、对称

性、周期性）。通常与不等式、方程等必备知识结合，考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等

思想.考查学生运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力和数学建模等关键能力，尤其加大了对数学建模

的考查力度,根据实际问题，建立函数模型或用已知模型解决实际问题。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年北京卷第10题，5分

熟练掌握函数的2023年北京卷第4题，5分预测2025年高考，函

数图像与性质主要以小题

函数的性质定义域、值域、解2022年北京卷第4题，5分

析式及四大性质形式出现，通常与不等式、

2017年北京理科卷第5题，5分

方程等必备知识结合具体

评估为：

（1）以选择题或填空

题形式出现，数形结合、

2024年北京卷第7题，5分分类讨论、转化与化归和

加大基本初等函2024年北京卷第9题，5分函数与方程等思想.

数（指对塞）的图2022年北京卷第7题，5分（2）热点是函数用于

基本初等函数

像应用及互换运2020年北京卷第6题，5分新定义中，加强学生的逻

算技巧

2019年北京理科卷第6题，5分辑推理思维能力。

2017年北京理科卷第8题，5分

牛ni口捺理•右法怙,

1.指数基本运算

技巧总结

0、有理数指数号的分类)

〃个

_______________A_______________

⑴正整数指数累an=a-a-a-a-a---a(n&N]⑵零指数累a0=l(tzw0)

⑶负整数指数幕成'=4r(a*O,«G2V*)(4)O的正分数指数募等于0,0的负分数指数募没有意义.

@有理数指数塞的性质已

⑴a'"•a"=am+n(a>0,m,〃eQ)

^(am)'=anm(a>0,m,n&Q)

⑶(a/?)"'=a"'bm(a>0,b>0,m&Q)

__m

(4)Vtz™"=an(a>0,m,neQ)

②全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

2.对数基本运算

雪巧总结、

G、对数运算法而)

①外和内乘：loga(A»V)=logaM+log〃N②外差内除：logj=logaM-logaN

③提公次方法：k)gI„A"='■logaM根,〃eR)④特殊对数：log"=0

am

losbh

⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几：a^=b,\oSaa=b

对数的定义)

一般地，如果优=N(a〉0,awl),那么数x叫做以。为底N的对数，记x=log〃N,其中。叫做对数的底

数，N叫做对数的真数(N>0)

(3、换底公式)

①常用换底log,/=电频2②倒数原理log〃b=」一

%alog。a

③约分技巧log,*•logbc=里2义处=处=log”C④具体数字归一处理：1g2+1g5=1

IgaIgblg«

3.指数函数的图象及其性质

后这

（并数函数及其性质）

I概念：函数》=炉（庐0且存1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R,。是底数.

II指数函数的图象与性质

函数y=axy=ax

a>\0<a<l

Pjy=ax

图象

o|~~i~~*

O|~~1~~A-

最特殊点a*=〃即x=1,>=a图象都过(1,a)

①定义域R值域（0,+8）

②a°=l即当x=0,y=l图象都过定点(0,1),

性质③即不是奇函数也不是偶函数

④当x>0时，y>l；当x<0时，0<y〈l④当x<0时，y>l；当x>0时，0<y〈l

⑤在（一CO,+oo）上是增函数⑤在（-00,+◎上是减函数

（注意：）①当底数大小不确定时,必须进行a>1,0<«<1两种形式讨论.

②当。>1时，。的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.

当0<。<1时，。的值越小，图象越靠近y轴，递减速度越快.

4.对数函数的图象及其性质

技巧总结

I概念：函数y=log°x（a>0,且存1）叫做对数函数，其中尤是自变量，函数的定义域是（0,+<»）.

II对数函数的图象与性质

由于对数图象是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只需由相应的指数函数图象关于y=x对称即可,

当然也分a>1和0<a<1两种情况讨论，讨论如下

a>l0<〃<l

}=log„A-X=1

%,())一

图象

O

')=log“N

①定义域：(0,+oo)

②值域：R

性质③当x=l时，y=0,即过定点(1,0)

④当x>l时，y>0；当0<%<1时，j<0④当x>l时，y<0；当0<%<1时，y>0

⑤在(0,+oo)上是增函数⑤在(0,+oo)上是减函数

①当底数大小不确定时，必须进行a>1,0<«<1两种形式讨论.

②当。>1时，。的值越大，图象越靠近x轴.当0<。<1时，。的值越小，图象越靠近x轴.

5.指对数大小比较问题

砺总章

指对数大小比较问题已经成为高考的重难点问题，我们这里介绍五大核心思想.

心思想一：同步《升o降》

n

logab=loga,„b

234

形如：log23=log/3=log233=log243=log2T3T

注意：一般情况下以2,3为底的对数比较大小，底数真数次方一起同升同降.

口诀：2,3为底眼睛亮，底真次方同升降.

心、思想二：先分离常数再比娅)

当底数与真数出现倍数关系，必须先将对数分离常数后作比较.

①log,„(/?m)=log,„p+log,„m=log,“夕+1

n

②log,,,(pm)=log“p+logm"=logmp+n

口诀：底真出现倍数时，分离常数用起来

避兀思想三：利用糖水变甜不等式比较砂)

当对数比较大小形式中出现底数与真数成等差数列时，可以采用糖水不等式放缩处理.

r17八b+mb+a+ma

形如：。>〃>0,m>0则存在----->—,或------<—

a+mab+mb

模型演练：①比较log23与log34的大小

3

n

Icln3In3+zn/八人,3Hnln31B+ln2

根据糖水不等式log,3=----->-----------(m>0),令"z=In—,即---->--------今

In21n2+7〃2In2i,i

Inn2+ln—

2

।9

%ln4

^j>—=log34故logz3>log34

②比较log43与logfS的大小

4.Hj-R,k*icln3ln3+m/八人.6Pr1ln33+ln

根据糖水不等式log43=-----<-----------{m>0),令〃z=ln—,即----<--------去

4ln4ln4+/〃'74ln4]4,16

ln4+ln—

4

।18

In-]s

=

-r^-<—bg65故bg43<log65

ln6Ino

①/(6=皿在(0,e)T在(e,+8)J,在x=e时，取得最大值且为工

xe

②极大值左偏，且〃2)=/⑷

③若0<b<a<e,则^~^>^~^nZ?lna>alnbnlnQ/7>]nba=^>ah>ba

ab

e<b<a<+oo,贝U^^c^^nblnaVQln匕nlnQ"<lnb"na"<Z?"

ab

口诀：大指小底永为大(大小指e)

6.涉及指数分段函数判断参数的取值范围

技巧总结

一/\ff(%),x<m

形如:G(x)=，<

g\x\x>m

①如果G(x)为单调递增函数，满足：/⑺为递增函数，g(x)为递增函数，

②如果G(x)为单调递减函数，满足：/"(X)为递减函数，g(x)为递减函数，g("D<f(m).

③如果G(x)由最大值，满足：/为递增函数，g(x)为递减函数，g(m)</(m).

④如果G(x)由最小值，满足：/为递减函数，g(x)为递增函数，g(m)>f(m).

7.涉及对数分段函数判断参数的取值范围

技巧总结

形如：G^=[f^X~m

g\x\x>m

①如果G(x)为单调递增函数，满足：/"(X)为递增函数，g(x)为递增函数，g(m)>f(m).

②如果G(x)为单调递减函数，满足：/为递减函数，g(x)为递减函数，g("D<f(m).

③如果G(x)由最大值，满足：/为递增函数，g(x)为递减函数，g(m)</(m).

④如果G(x)由最小值，满足：/"(X)为递减函数，g(x)为递增函数，

8.已知函数解析式求定义域

技巧总结

在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一

函数.定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题

通过对近几年高考试题的分析看出，本讲内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题.试题难

度较小.

造区数八x)的解析式为已知函数的形式n采用有邈，

(解百模板如下♦

第一步：找出使函数/(x)所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：

(1)分式中分母不为0;(2)偶次方根中被开方数非负；(3)/(%)=x°的底数不为零；

(4)/(力=f(左<0,左eR)的底数不为零；

(5)对数式中的底数大于0、且不等于1,真数大于0；

(6)正切函数y=s〃x的定义域为］左左+］,左ez).

(7)指数式中底数大于零且不等于1.

(8)正弦函数、余弦函数、多项式函数(一次函数、二次函数、三次函数,...)的定义域为R.

m

(9)对于幕函数/(%)=%"N")：

“为偶数，〃为偶数，函数的定义域为R,m为偶数，〃为奇数，函数的定义域为R,

机为奇数，”为偶数，函数的定义域为［0,+oo),机为奇数，〃为奇数，函数的定义域为R.

注：y=产=«的定义域为［0,+8),而y=/=#系的定义域为R

第二步：列出不等式(组)

第三步：解不等式(组)，即不等式(组)的解集即为函数加0的定义域.

9.求函数解析式五大思路

砺总算

盘型一：待定系数法求函数解析⑥

适用条件：己知函数解析式的类型

步骤如下：

第一步：先设出了(九)第二步：再利用题目中给的己知条件，列出等式

第三步：列出关于待定系数的方程组(左右对应匹配)，进而求出待定的系数.

(g型二：换元法求函数解析中

适用条件：已知函数/［g(x)］且g(x)=t能够很轻松的将X用/表示出来.

步骤如下：

第一步：令g(%)=/,解出X且注意新元的取值范围

第二步：然后代入/［g(x)］中即可求得了(。

第三步：从而求得/(X).

慧型三：配凑法求函数解析至。

适用条件：已知函数且g(x)=f不能够很轻松的将X用/表示出来.

步骤如下：

第一步：将等号右边先出现g(x)

第二步：将题干等号右边形式变形成g(x)的形式.

第三步：从而求得〃尤)的解析式.

型四：方程组法求函数解析至)

适用条件：已知/'(X)与/(-X)、于3与f(k-x)(左为常数)等之间的关系式

步骤如下：

第一步：将原式抄写一遍，如/(m)±_/'[)=A

第二步：将加，〃交换，再写一遍y(")±/®)=氏

第三步：建立二元一次方程组，进行消元从而求得了(力的解析式.

适用条件：已知xWO的解析式求％>0的解析式.

步骤如下：

第一步：明确函数的奇偶性

第二步：x>0,-x<0,/(—x)=代入已知函数解析式

第三步：利用奇偶性从而求得了(x)的解析式.

10.各种函数的值域

砺总结

'形如①)/(%)=Ax+B^+bx+c或/(%)=次+")采用判别式法.

、--------Jax+bx+c

解题步骤：

dx1+ex+f

第一步：观察函数解析式的形式，型如y=一匕的函数；

ax+/zx+c

第二步：将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值

域.

dx^\-ex+fdx2+ex+/=y^x2+bx+c]

ax+bx+c

=>(d—ay)x2+(e-by)x+(/-cy)=0=>(e-by^-4(d-ay\f-cy)>0

ax1+bx+c^y-Ax=By/ax1+bx+c

=^(y-Ax)2=B2(ax2+bx+c)移项继续利用形式1进行处理.

11.复合函数分析单调性

技巧总结

使用前提：简单的复合函数类型

解题步骤：

第一步：先求函数的定义域；

第二步：分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性；

第三步：根据同增异减，确定原函数的增减区间.

剖析：若函数y=/(a)在U内单调，a=g(x)在X内单调，且集合｛“/〃=g(x),xeX｝。U.

⑴若y=J(a)是增函数，M=g(x)是增(减)函数，则y=/[g(x)]是增(减)函数

⑵若y=，(u)是减函数，M=g(x)是增(减)函数，则y=/[g(x)]是减(增)函数

口诀：同则增，异则减(同增异减).

12.结论法(函数性质法)分析单调性

胸

使用前提：将所给的函数进行“庖丁解牛”后每一部分都是一个很明显可以判断单调性的函数.

解题步骤：

第一步：确定所给函数是由哪些可以判断单调性的简单函数组合而成的.

第二步：结合函数的性质即可确定函数的单调性.

区见的结论(函数性质)包括1)

(1)/(%)与/(%)+C单调性相同.(C为常数)

(2)当左＞0时，/(X)与好(x)具有相同的单调性；当左＜0时，/(X)与好(x)具有相反的单调性(3)当

/(X)恒不等于零时，/(%)与一工其有相反的单调性.

“X)

(4)当/(x)、g(x)在。上都是增(减)函数时，则/'(x)+g(x)在。上是增(减)函数.

⑸当/'(X)、g(x)在。上都是增(减)函数，且两者都恒大于。时，/'(x)g(x)在。上是增(减)函数；当/'(X)、

g(x)在。上都是增(减)函数，且两者都恒小于0时，/"(x)g(x)在。上是减(增)函数.

(6)设y=/(x),xeD为严格增(减)函数，则函数必有反函数，且反函数在其定义域D上也是严格增(减)函数.

(7)奇(或偶)函数的单调性：

由奇偶函数定义易知：奇函数在对称的区间上有相同的单调性；偶函数在对称的区间上有相反的单调性.

(8)周期函数的单调性：

若/(%)是周期为T的函数，且/(%)在(。力)单调递增或单调递减，则/(%)在(a+kT,b+kT/keZ)上单

调递增或单调递减.

13.函数奇偶性的妙解

展五总结

(善本方法判定函数的奇偶性二)

使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解.

解题步骤：

第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；

第二步：若是，则确定/(*)与/(-x)的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；

第三步：得出结论.

14.根据函数奇偶性的规律判定

展|强直

使用前提：函数解析式比较复杂，由若干基本函数经过运算之后的函数判定奇偶性.

解题步骤：

第一步：确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断；

第二步：结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性.

常见的结论包括：

(1)几个奇函数的代数和是奇函数；几个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函

数.

(2)奇函数的乘积或商是偶函数，偶函数的乘积或商是偶函数，奇函数与偶函数的乘积或商是奇函数.

常见基本函数的奇偶性：

1)一次函数y=kx+b^Q),当人=0时，是奇函数，当6/0时，是非奇非偶函数.

(2)二次函数y=ad+6x+c(aw0),当Z?=0时，是偶函数；当b/0时，是非奇非偶函数.

(3)反比例函数y=—[k丰0,xw0)是奇函数.

(4)指数函数丁=优(。>0且awl)是非奇非偶函数

(5)对数函数y=k)gaX(a>0且awl,x>0)是非奇非偶函数.

(6)三角函数y=sinx(xe尺)是奇函数，y=cosx(xeR)是偶函数，y=tanx[xw左]+',左ez]是奇函

数.

(7)常值函数/(x)=。，当awO时，是偶函数，当a=0时，既是奇函数又是偶函数.

特殊函数的奇偶性:

奇函数：两指两对

(X1、(X1、

a+12ma—I=m——也-(机£R)

⑴/(%)=用-m-\-(-x--w---0-),/(x)=m

(优-ax-l、ctx+1,ax+r7

/a2x-I

(2)函数/(%)=±1ax-a~x)=±p-l)=±

x+mi112mx-m(2m

G)/(X)=bg〃，f(x)=logfl

x-mx+m2i一。

⑷函数/(%)=log/』(mxf+1+mx\，函数/(%)=logflf(mxf+1-mx\

2

⑸函数/(。=玄乎a'+1

a2x+l

偶函数:

(i)函数/(x)=+(ax+「)⑵函数/(x)=log“(*+1)—券

15.函数周期性的妙解

技巧总结

使用前提：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期

解题步骤：

第一步：合理利用已知函数关系并进行适当地变形；

第二步：熟记常见结论，准确求出函数的周期性；

至见的结论包括D

(结论1：)若对于非零常数M和任意实数X,等式/(x+zn)=-y(x)恒成立，则/■(%)是周期函数，且2机是

它的一个周期.

(结论2)定义在R上的函数/(%),对任意的xeR,若有/(x+a)=/(x+4(其中。力为常数，a手b),

则函数/(力是周期函数，卜-4是函数的一个周期.

由痴独义在R上的函数“X),对任意的xeR,若有/(x+a)=—/(%+/?)(其中a,6为常数，awb),

则函数/(%)是周期函数，2|a—4是函数的一个周期.

［结论4：)定义在R上的函数“X),对任意的xeR,若有/(x+a)=7\,(或/(刀+口)=—京)(其

中a为常数，awO),则函数/(可是周期函数，2时是函数的一个周期.

(结论5:应义在R上的函数/(x),对任意的xeR,有f(a+%)=/(a-x)且f(b+x)=f(b-x),

(其中a)是常数，awb)则函数y=f(x)是周期函数，2|a—4是函数的一个周期.

另一种题干出现的信息：①若y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b都对称，则等价于f(a+%)=f(a-x)

S.f(b+x)=f(b-x),则y=〃x)为周期函数且7=2,_同

②若y=/(%)为偶函数且图象关于直线x=a对称，则y=/(%)为周期函数且T=2时

侬诉)若定义在尺上的函数y=/(x)对任意实数xeR,恒有_/'(%)=/(。+6+/(%-。)成立(。/0),

则/(x)是周期函数，且是它的一个周期.

l+/(x)

结论7:若对于非零常数m和任意实数x,等式/(x+m)=成立，则/(x)是周期函数，且4机是

它的一个周期.

结论8》若对于非零常数机和任意实数x,等式/(x+m)=：］；；；；成立,则/(x)是周期函数，且2根是

它的一个周期.

画「9节对于非零常数m和任意实数x,等式/(x+⑼=1-w0)成立，则/(x)是周期函数，

且是它的一个周期.

(结论10：)①若定义在H上的函数y=/(x)的图象关于两点A(a,y0),B(b,%)都对称，则/⑴是周期函数,

且23—4是它的一个周期.

②若奇函数y=的图象关于点A(a,O)对称，则是周期函数，且2时是它的一个周期.

(^71}①若定义在R上的函数y=/(x)的图象关于点A(a,y0)和直线x=b都对称，则是周期函

数，且4劭—4是它的一个周期.

②若奇函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称，则/(%)是周期函数，且4时是它的一个周期.

16.函数对称性的妙解

技巧总结

0型一：函数自身的对称桂)

使用前提：单一的函数本身具有轴对称或中心对称的特征

解题步骤：

第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性

(不见函数的对称性包危)

(定理］：函数y=f(x)的图像关于点A(a⑹对称的充要条件是/(x)+f(2a-x)=2b.或

/(2a+x)+/(-x)=2b或f(a+x)+f(a-x)=2b

推论1：函数y=/(x)的图像关于原点。对称的充要条件是/(%)+/(-x)=0.

定理2：)函数y=/(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a—x),即f(x)=f(2a-x).

推论2：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是/(%)=/(-x).

㈤4

1.(2023•北京・高考真题)下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A./(%)=-In%B./(x)=5

2

c./(%)=--D./(X)=3M

X

【答案】c

【详解】对于A,因为y=lnx在(0,+8)上单调递增，＞=一》在(0,+8)上单调递减,

所以〃x)=-lnx在(0,+巧上单调递减，故A错误；

对于B,因为y=2,在(0,+“)上单调递增，y=:在(0,+")上单调递减，

所以〃x)=：在(0,+“)上单调递减，故B错误；

对于C,因为y=(在(0,+。)上单调递减，》=-%在(0,+8)上单调递减，

所以〃无)=-5在(0,+。)上单调递增，故C正确；

对于D,因为/=3切=3、右，〃1)=3卜1=3°=1,〃2)=尹=3,

显然〃*=3只在（0,+。）上不单调，D错误.

故选：C.

1

2.（2022.北京・高考真题）已知函数/（x）则对任意实数X,有（）

1+2,

A./(-%)+/(%)=0B./(-x)-/(x)=0

D./(-x)-/(x)-1

C./(-尤)+/(》)=1

【答案】C

【详解】〃T）+〃X）=------1------------1-----故A错误，C正确;

l+2-xl+2x\+2xl+2x

/(-x)-/(x)=^-1__127_]_2

r不是常数，故BD错误;

1+2"1+2"-1+2"2X+1~2X+1

故选：C.

3.（2022.北京.高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰

技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和母尸的关系，其中T

表示温度，单位是K；尸表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（）

A.当T=220,P=1026时，二氧化碳处于液态

B.当T=270,尸=128时，二氧化碳处于气态

C.当7=300,尸=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当7=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】D

【分析】根据T与尼尸的关系图可得正确的选项.

【详解】当T=220,尸=1026时，坨尸>3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当T=270,P=128时，2<lgP<3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当T=300,P=9987时，IgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错

误.

当T=360,尸=729时，因2<lgP<3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

4.(2021・北京・高考真题)已知/(无)是定义在上［0」的函数，那么“函数/(x)在［0,1］上单调递增，是“函数/(尤)

在上的最大值为了⑴”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若函数在［0』上单调递增，则“X)在［0』上的最大值为了⑴，

若在［0』上的最大值为"1),

比如=,

但〃尤)=1-：2在0,1为减函数，在1,1为增函数，

故在［0』上的最大值为了⑴推不出“X)在［0,1］上单调递增,

故“函数在［0』上单调递增”是““X)在［0川上的最大值为了⑴”的充分不必要条件，

故选：A.

5.(2020•北京・高考真题)已知函数/(为=2丁无一1,则不等式/。)＞。的解集是().

A.(-K1)B.(^»,-l)U(l,+°o)

C.(0,1)D.(-co,0)0(1,+«))

【答案】D

【分析】作出函数,=2工和y=x+l的图象，观察图象可得结果.

【详解】因为/(x)=2，—x—1,所以/(x)＞。等价于2、＞x+l,

在同一直角坐标系中作出y=2,和y=x+l的图象如图：

两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),

不等式2工>x+l的解为尤<0或x>L

所以不等式/(尤)>0的解集为：(F,0)D(LE).

故选：D.

6.(2023•北京・高考真题)已知函数/(x)=4'+log2X,贝k]£|=_________..

【答案】1

【详解】函数/(x)=4，+log2无，所以/(g)=4，k)g2g=2-1=1.

故答案为：1

x+2,x<-a,

7.(2023•北京・高考真题)设。>0,函数/(x)=<da-4x4a,,给出下列四个结论：

-\[x-1,x>a.

①f(x)在区间(a-1,+s)上单调递减；

②当时，/(幻存在最大值；

③设加(再,/(占))(占<4)小(尤2，/(々))(尤2>4),贝"MN|>1；

④设人马/卜川马一口久期/小))®"。).若IPQI存在最小值，则4的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③

【详解】依题意，。>0，

当x<-a时，/(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；

当-aWxWa时，f(x)=^a2-x2,易知其图像是，圆心为(0,0),半径为。的圆在x轴上方的图像(即半圆);

当为>。时，f(x)=-«-l,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；

显然，当xe(a-l,+8),即时，在上单调递增，故①错误；

对于②，当。21时，

当工<一〃时，/(X)=X+2<-«+2<1；

当-时，/(X)=心"显然取得最大值。;

当x>a时，y(x)=—y/x—1<—\[ct-1V—2,

综上：八元)取得最大值。，故②正确；

对于③，结合图像，易知在玉=。，々>。且接近于*处，加(石,/(%))(大(a),N(X2，/(X2》(X2>。)的距

离最小，

当士=a时，j=/(^)=0,当3>a且接近于x=a处，y2=/(x2)<-V«-l,

此时，|施7|>%-%>6+1>1，故③正确；

因为尸(8/(马》(马<-a),2(x4,/(x4))(x4>-a),

结合图像可知，要使|尸。取得最小值，贝U点尸在〃x)=x+2(x<-gj上，点。在

同时忸。|的最小值为点。到/⑺=x+2卜<-的距离减去半圆的半径a,

此时，因为/（x）=y=x+2[x<-^|的斜率为1,则%,=-1,故直线。尸的方程为》=一》,

（y=-%fx——1/、

联立C，解得，，则尸-1,1）,

白=尤+2[y=l

显然尸（一1,1）在/（"=x+2〔尤<-g]上，满足|尸。|取得最小值，

即a=g也满足|尸。|存在最小值，故0的取值范围不仅仅是,故④错误.

故答案为：②③.

8.（2022・北京•高考真题）函数/（无）=1+71=7的定义域是

【答案】（y,o）u（o』

【详解】解：因为〃x）=B+^/i=,所以l-x>0

"。‘解得E且"0,

故函数的定义域为（y,o）u（o』

故答案为：（7）,0）口（0』

9.（2020•北京•高考真题）函数/。）=2+ln尤的定义域是_________.

X+1

【答案】（。，+8）

-fx>0

【详解】由题意得।八，.”>0

[x+1^0

故答案为：（0,+s）

-ax+1,x<a,

10.（2022•北京・高考真题）设函数/（尤）=/八2若了⑺存在最小值，则a的一个取值为_______;

（x-2）,x>a.

a的最大值为.

【答案】0（答案不唯一）1

1,x<0

【详解】解：若。=0时，fM=[.•./（X）疝=o；

（x-2）,x>0n

若a<0时，当x<a时，/（x）=-ax+l单调递增，当xf-oo时，/（x）f_oo,故/（x）没有最小值，不符合题

目要求；

若a>0时，当无时，f(x)=-方+1单调递减，f(x)>f{d)=-a2+1,

0(0<a<2)

222

当时，/U)={.c、2,、c、A-a+l>0^-a+l>(a-2),

mm(a-2){a>2)

解得。<a«l，综上可得OVaVl；

故答案为：0(答案不唯一)，1

11.(2024.北京・高考真题)生物丰富度指数1=片是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流

中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没

有变化，生物个体总数由M变为生,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则()

A.3忆=2乂B.2N[=3N\

C.N；=N；D.N；=N；

【答案】D

S—]S—1

【详解】由题意得二=2/，1^=3」5,则2.11nM=3.151nN2,即21nM=31nN?,所以N；=N；.

11JL/V]JL1JL/V2

故选：D.

12.(2024・北京・高考真题)已知(国,必)，(%,%)是函数>=2'的图象上两个不同的点，贝I()

A.log^±A<A±^B.log,江—三

222-22

C.log?X；%<%+/D.log?%%>4+无2

【答案】B

【详解】由题意不妨设%<%,因为函数y=2,是增函数，所以0<2%<29，即。<%<力，

XX+X

2』,221--------------------l2v_1_v再+-2

2

对于选项AB：可得>J2%？=2=,即X±A>22>o,

22

根据函数V=log2X是增函数，所以log221户>logz2=="生，故B正确，A错误;

对于选项D：例如玉—0,x2=1,则%=1,丫2=2,

可得log?%；%=log2e(a1)，即log?%；%<]=&+二，故D错误；

对于选项C：例如X]=-1,々=-2,则%=：,%=；,

n：Wlog2=log2j=log23-3e(-2,-1),即log?>一3=占+%,故C错误，

2X2

故选：B.

0

〃「核心靖进懒型突破\\

题型一：函数定义域、值域、解析式

【典例1」】函数/）=有的定义域为（

A.(0,+oo)B.(0,l)u(l,4w)

C.[0,+oo)D.[0,l)u(l,+w)

【答案】B

»fx>0,

【详解】由题意得：八得]>0且"1,

所以函数的定义域为（O，l）D（l，y），

故选：B

【典例1-2】已知函数/仁）=宜｝,则对任意实数x,函数/（X）的值域是（）

A.（0,2）B,（0,2]C.[0,2）D.[0,2]

【答案】C

【详解】依题意，〃>笥手=2-高

所以函数/（X）的值域是[0,2）.

故选:C

定义域：（D确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式

有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，

零次基的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件

②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义

③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合

（2）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必

须用集合或区间来表示

值域：实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域

就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有观察法、配方法、判别式法、换元法、

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，

求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约

解析式：(1)解析式类型已知的，如