湖南省浏阳市2024-2025学年高二年级上册期末质量监测数学试卷

湖南省浏阳市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.过点（3,-2）,倾斜角为30。的直线方程为（）

A.y-2=f（x+3）B.y+2=^-（x-3）

C.y-2=V^（x+3）D.y+2=V^（x-3）

2.双曲线2/72=i的渐近线方程是（）

A.y=±—xB.V=±2x

2

C.y=~~^xD.y=±y[2x

3.如图，在平行六面体中，M为z。和助的交点，若

AB=ajD=bjAx=c,则下列式子中与函相等的是（）

4.设函数/（x）满足肥，（％-2-）-/宙）=2,则/'（%）=（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.已知直线/的方向向量为3=（T0/），点4=（1,2,-1）在/上，则点尸=（2，-1,2）至心的距

离为（）

A.V15B.4C.V17D.3A/2

试卷第1页，共4页

6.已知数列｛%｝中，%=1,%=3%_+4（〃eN*且"22）,则数列｛4｝通项公式。”为（）

A.3"TB.3n+1-8C.3"-2D.3"

7.已知函数〃X）=X2+2COSX,设则（）

A.c>b>aB.c>a>b

C.b>a>cD.a>b>c

22

8.过椭圆与+[=1（°>6>0）上的点M作圆/+/=/的两条切线，切点分别为尸,。.若直

ab

2

线尸。在X轴，丁轴上的截距分别为见〃，若「/+勺h=3,则椭圆离心率为（）

nm

A.-B.-C.—D."

3333

二、多选题

9.下列四个结论正确的是（）

一一、——、一兀

A.任意向量用6,若万万=0,则5=6或B=6或<〉=Q

B.若空间中点。,48,c满足云=^刀+：砺，则43,c三点共线

C.空间中任意向量忑都满足（小与々=，♦,♦,）

D.已知向量@==（-2,x,4）,若x<g,贝!]«石）为钝角

10.已知S,,是等差数列｛%｝的前"项和，且凡>邑>工，下列说法正确的是（）

A.d<0B.512>0

C.数列6J的最大项为品D.|七|>|?|

11.已知函数/（力=丁+加+6「+c,x=0,X=3是/（无）的两个零点，且/'⑶=0,贝!]（）

A.a+b+c=4B.x=3为/（尤）的极小值点

C.7（x）的极大值为4D.满足〃x）>/⑴的解集是｛小>4｝

三、填空题

12.在等比数列｛4,｝中，%=1,%=4,贝1]&=.

试卷第2页，共4页

13.已知向量)=(2,3,-1),6=(1,2,2),则万在B上的投影向量为.

14.已知函数/(x)=alnx-x+l(a>0)有且只有一个零点，贝I］。=,若勿'(无)〈土在

X

xe(O,+s)内恒成立，则实数6的取值范围是.

四、解答题

15.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程.

⑴顶点在原点，准线是x=4的抛物线方程；

⑵两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且经过点(5,0)的椭圆方程;

⑶离心率e=Vi，经过点M(-5,3)的双曲线方程.

16.已知圆C：(x-l)2+(y-2)2=25,直线/:(2m+l)%+(w+l)v-7w-4=0.

(1)求证：直线/恒过定点；

(2)判断直线/与圆C的位置关系

(3)直线/被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时机的值及最短弦长.

17.如图，正四棱柱/BCD-44GA中，窗=2JS=4,点E在CG上且C£=3EC.

⑴证明：4C_L平面班D；

(2)求异面直线BE与4c所成角的大小；

(3)求平面4DE与平面BDE所成角的正弦值.

18.已知函数/(x)=e*+其中.>-1

(1)当。=0时，求曲线>=/(x)在点仅)⑼)处的切线方程;

(2)当。=1时，求函数/(x)的单调区间；

试卷第3页，共4页

(3)若/'(x)+x+6对于xeR恒成立，求6-a的最大值.

19.已知数列｛%｝,若｛。"+。向｝为等比数列，则称｛%｝具有性质P.

(1)若数列｛%｝具有性质?，且％=%=L%=3,求处的值；

⑵若6“=2"+(-1)",判断并证明数列｛2｝是否具有性质?；

⑶设C1+C2+L+c„=n2+n,数列｛d.｝具有性质?，其中&=1,4一4=9,〃2+4=。2，试

求数列｛4｝的通项公式.

试卷第4页，共4页

《湖南省浏阳市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BDABCCADABABD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】由直线的点斜式方程即可求解.

【详解】因为倾斜角为30。，所以左=tan3（F=YL

3

由直线的点斜式方程得y+2=Y（x-3）.

故选：B.

2.D

2_]

【分析】化简双曲线的方程为丁一、一，即得解.

2

2_.

【详解】由题得双曲线的方程为17，

2

所以"==孝力=1'

所以渐近线方程为y=+-x=+41x.

a

故选：D

3.A

【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把胸用刀、力、您表示即可.

【详解】解：由题意知，MB^MB+BB^^DB+M

=^（AB-AD）+AA{

1—1——r

=-AB——AD+AA

22

1.1t-

--ab+c.

22

故选：A.

4.B

【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得.

答案第1页，共14页

【详解】/、）=妈小=曳f60-2Ax卜)

--lim-2二4，

2Ax->0Ax

故选：B

5.C

【分析】先求出向量方，再计算a与力夹角的余弦值，进而得到正弦值，最后利用距离公

式求出点尸到直线/的距离.

【详解】点次1,2,-1),点/(2,-1,2),所以9=(-1,3,-3).«=(-1,0,1).

根据向量点积公式可得：

.仁西•展⑸_(_DxJD+ON+1x(-3)J+0-3=_m

1，1同.同7(-1)2+02+12X7(-1)2+32+(-3)2V2XV19V19

因为sin?。+cos?6=1，所以:

且网=7（-1）2+32+（-3）2=Jl+9+9=M,

则点p到直线/的距离为I西.sinR,现=Mx/|=Vi7.

故选：C.

6.C

【分析】先构造新数列｛为+2｝,可知为等比数列，再求等比数列通项公式,进而求出数列｛%｝

通项公式即可.

【详解】由于。.=3%+4,两边同时加上2,得到%+2=3%_]+6=3（°“_]+2）.

因为q=1,所以%+2=3,可知数列｛%+2｝是等比数列，首项为3,且公比为3.

等比数列｛%+2｝的通项对=3"-2.

故选：C.

7.A

【分析】证明函数/（无）为偶函数,利用导数判断函数的单调性，比较大小OZO'oj^log。/,

可得a,6,c大小关系.

【详解】函数/■（工）=尤2+2。。8%的定义域为口，

答案第2页，共14页

f（-x）=（-尤）2+2cos（-尤）=x?+2cosx=/（尤），故/'（无）=x?+2cosx为偶函数,

当x20时，/,（x）=2x-2sinx,令g（无）=/'（x）=2无一2sinx,

贝Ug'（x）=2-2cosxN0,当且仅当x=2航，4eN时等号成立，

所以g（无）在［0,+司上单调递增，g（x）>g（O）=O,当且仅当x=0时等号成立，

所以/■'⑺之。，当且仅当x=0时等号成立，所以/（x）在［0,+旬上单调递增，

因为函数夕=03为减函数，所以0.3°3<O,30-2<0.3°,

因为函数y在（0,+s）上单调递增，所以0<0.2"3<0.3°3,

0202

所以0<0.2°3<O.3-<0.3°=l=log^<log57,所以/（0.严）</（O.3）</（log57）,

77

c=/（log0.27）=/10gL7H°§5）=/^°g5）-故c>b>a.

I5）

故选：A.

8.D

【分析】设出点P,AM的坐标，借助向量垂直的坐标表示求出切线方程，进而求出直线尸。,

并求出横纵截距，再求出离心率.

【详解】设尸每，必）,0&,%），M（x。，外），贝UW+誓=l,x；+*=〃，

ab

>

令坐标原点为。。尸=（项,必）,〃7=（占一％0，%一乂）），由MP切圆/+/=/于尸，

得OP上MP,则。尸-71。=再（%-M）+乂（乂一%）=0,于是项）国+%）%=从，

b2b2

同理//+%%=加，因此直线月。的方程为/工+为歹=/,,

tm=——,n=——

%为

ab1_a2y^b2x^_a2y^+b2M_a2b2_a2

2

/+版="丁=—LF,=3即“3b,

所以椭圆离心率

故选：D

答案第3页，共14页

【分析】由=|同卡卜05工3=0,则同=0或W=0或COS@,B=0,从而可判断A；

—►1—►2—►1—►2—►

WOC^-OA+-OB,^-AC=-CB,从而可判断B；

3333

根据空间向量数量积的定义即可判断C；

根据3石为钝角，求出x的范围，即可判断D.

【详解】解：对于A,a-b=\c\^cosa,b=Q,则同=0或忖=0或cos1,B=0,即N=6或B=0

-JT

或</,/）〉二大，故A正确；

2

对于B,因为云历，贝！jg（反一（砺一灰），gp1^c=|c5,所以

AC//CB,所以N,B,C三点共线，故B正确；

对于C,（5-fe）-?=|5|-p|cos5^-c,是与之共线得向量，

a-（b-c）=^\^\cosb,c-a,是与£共线得向量，

而［与"方向不确定，故无法确定与展（讥己）是否相等，故C错误；

一一2

对于D,Q.B=-2+X+4X=5X-2，若n<1，则4%=51-2<0，

当Z//B时，则存在唯一实数4,使得3=花，即（一2,羽4）=（2,4疝）,

—2=4

所以<x=4,解得x=A=—2,

4=Ax

7

所以当且xw-2时，落3为钝角，故D错误.

故选：AB.

10.ABD

【分析】根据％,=S"-S“T（〃上2）,得到为<0，a6>0,a6+a7>0,即可判断A、B、D,

答案第4页，共14页

再根据。“的符号即可判断c.

【详解】由题意,S6>S7>S5,则%=邑-$6<0，a6=S6-S5>0,

又｛%｝是等差数列，所以1=%-。6<0,故A正确；

Xa6+a7=Sy-Ss>0,贝lj［七|>|%|，故D正确；

因为%」2侬+%)=12(&+%)>0,故B正确；

1222

因为(〃cN*)时，«„>0,当〃27(〃eN*)时，an<0,

所以当〃=6时，S,,取得最大值，所以数列｛，｝的最大项为$6,故C错误.

故选：ABD

II.BCD

【分析】根据x=0,x=3是/(x)的两个零点可得6=-9-3a,c=0,进而结合/'(3)=0即

可求得6的值，进而判断A；结合导数分析函数的单调性，可判断BC；结合函数/(尤)的

图象可判断D.

【详解】因为x=0,x=3是/(X)的两个零点，

f/(0)=c=0

则｛,八、n>即6=-9-3a,c=0,

(3)=27+9“+3b+c=0

贝！］/(x)=x3+ax2-(9+3a)x,

所以/'(x)=3x2+2办-(9+3a),

即广(3)=27+6"(9+3.)=0,

解得a=—6,贝!Jb=9,BPf(x)=x3—6x2+9x.

对于A,a+6+c=-6+9+0=3,故A错误；

对于B,由r(x)=3f-12x+9,

令/'(x)>0,得x<l或x>3；令/''(x)<0,得l<x<3,

所以函数/(X)在(-8,1)和(3,+8)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

则x=3为/(》)的极小值点，故B正确；

答案第5页，共14页

对于C,当x=l时，函数/(x)取得极大值/⑴=4,故C正确;

对于D,由于"4)=4,画出函数/(尤)的图象，如图，

满足/'(x)>〃l)的解集是{小>4},故D正确.

故选：BCD.

12.±8

【分析】由等比数列的两项求公比，在通过%和“求出为的值.

【详解】《2=，=4,q=±2,二%=±8,

故答案为：±8

【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.

【详解】设向量£、刃的夹角为。，

因为°在■上的投影向量为:

又因为°=(2,3,-1),3=(1,2,2),

所以73=2x1+3x2-1x2=6，|^|=Vl+22+22=3,

所以.在各上的投影向量为：［I，*：］

故答案为：

答案第6页，共14页

[-e2,+”

14.1

【分析】第一空，注意到了⑴=0,然后分4=1,0<^<1,三种情况结合零点存在性

定理可得答案；

第二空，令，=/。）<0,贝壮士，然后由导数知识可得答案.

Xt

【详解】由题/'（无）=q-1=匕，因。>0,则洋（x）>0n0<x<a,

XX

则/（X）在（0,。）是增函数，（a，+8）是减函数,所以/⑷.

因为/⑴=0,当。=1时，/«<0,且只有x=l一个零点，符合题意；

若则/⑷>/⑴=0,

构造函数g（x）=e*-x,x>0,贝1]8，@）=6，-1>0=>8（力在（0,+00）上递增，

]<|A1\\_1_1

又一〉1,则g—=e"——>g（l）=e-l>0^>l>—e。=e。<a

a\a）aa

（二、_1/_1A

结合[ea=-e"<0,则肛eea,a，使得/（再）=0,与已知矛盾；

k7\7

若"1,则/⑷>/(1)=0,

构造函数〃(x)=f+l-etx>0,则/(x)=2x-e”.

构造函数"(x)=p(x)=2尤-e。x>Q,则p[x)=2-e”.

p\x)>0=>0<x<ln2,//(%)〈0=>龙)1112,

则以x)在(0,In2)是增函数，(In2,+s)是减函数，

贝得网力=/+1-e，在(0,包)上递减，

则〃(a)=r(e")=/+l-e"<0.又e">a,所以改?e(a,e"),使得/(毛)=0,与己知矛盾;

综上可知，a=\.

bf(x)<—^b(]nx-x+l)<—=ex-inx,当尤=1时，OVe成立，

XX

当xwl时，由第一空分析可知，/(x)</(l)=0,设/=〃x)<0,

xIT(\-t、

贝[]x-lnx=lJ0从48一<=>b>-—=bN--.

X\Jmax

设加(。=^—,E<0,贝!)"(%)=(1+；)e.

答案第7页，共14页

m'(t)>0=/<—1,加'«)<0=—1</<0.

得加⑺在是增函数，在（-1,0）是减函数，

故〃⑺max=〃（T）=-e2,所以6N-e2，即实数6的取值范围是[-2,+8）.

故答案为：1；[-e2,+oo）.

【点睛】关键点睛：对于零点相关问题，可由数形结合思想将问题转化为研究直线与函数图

象交点，

也可以利用零点存在性定理分析；对于恒成立问题，常分离参数后，转化为求相关函数的最

值

15.（1）/=-16x

（2）—+^=1

259

22

⑶土-匕=1

1616

【分析】（1）判断抛物线开口向左，根据准线方程求出。=8,即可求得抛物线方程;

（2）根据两个焦点的坐标以及椭圆经过点（5,0）求出。涉，即可求出椭圆的方程；

（3）根据双曲线离心率e=也可得”=6,设出双曲线方程，把点加（-5,3）代入即可求出双

曲线的方程

【详解】（1）因为抛物线的顶点在原点，准线是：x=4,

所以抛物线开口向左，且5=4np=8.

所以抛物线的标准方程为：y2=-16x

（2）因为椭圆的焦点在五轴上,

所以可设它的标准方程为:=l(a>b>0).

a2b2

又椭圆过点（5,0）得：Q=5,又c=4,

所以/=a2—c2=25-16=9.

22

故所求椭圆的标准方程为：工+匕=1

259

(3)由e=>/2—=A/2nc=y[la,

a

又02=/+62,所以"6.

答案第8页，共14页

设双曲线方程为：%2-/=2,

把点M(-5,3)代入，得:

25—9=%=>X=16.

所求双曲线的标准方程为：—-^=1

1616

16.(1)证明见详解

(2)相交

(3)答案见详解

【分析】⑴将直线/的方程化为(2x+y-7)/M+(x+y-4)=0,若过定点，则与加无关,

2x+y-l=0

即可得求解可得定点坐标;

X-^-y-4=0

(2)根据直线方程得到直线/恒过再求出即可得到直线/与圆。必相交;

(3)根据圆的性质可得，当直线/过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长，当直线CM时,

直线被圆截得的弦长最短，进而即可求解.

【详解】(1)依题意将直线/的方程化为(2尤+了-7)机+(尤+了-4)=0,

2x+y-7=0%=3

联立,解得

x-^-y-4=0y=i

故直线/恒过定点M(3,1).

(2)结合(1)可得直线/恒过定点M(3,1),

又圆心为C(l,2),半径为r=5,

又31=J(3-1)2+(1-2)2=45<5=r,

则定点M(3,l)在圆C内，所以直线/与圆C必相交.

(3)设直线/过圆C交于点尸，Q,设圆心C0,2)到直线/的距离为d,

显然当直线/过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长，即|尸。|1mx=2.=10,

当直线/不过圆心C时，直线被圆截得的弦长为忸。|=2产二产，

即当△最长时，直线被圆截得的弦长|尸。|最短，

答案第9页，共14页

又结合（2）可得定点M（3,l）在圆C内，M|m|=V5,

若直线/_LCM时，d=\CM\■若直线/与CA/不垂直时，d<\CM\,

所以当直线/LCM时，直线被圆截得的弦长最短，且

闿L=26一可=4-⑼=5,

此时直线/'CM,则勺•后CM=（一迎=T，解得机=一。-

Im+1）3-14

故当直线/过圆心C时，被截得弦长最长；

3

当直线UCM时，被截得弦长最短，此时及最短弦长为4氐

17.(1)证明见解析

(2)90°

"加

42

【分析】（1）建系，利用空间向量可得即可证明线面垂直;

（2）利用空间向量可得即可得线线夹角;

（3）分别求平面皿组和平面的法向量，利用空间向量求二面角.

【详解】（1）以。为坐标原点，射线ZU为x轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系

。一个.依题设，5（2,2,0）,C（0,2,0）,矶0,2,1）,4（2,0,4）.

历=（0,2,1）,丽=（2,2,0）,葩=（一2,2,一4）,瓯=（2,0,4）.

丽=0

因为，

A^C-DE=0

故4C_L&),AXC±DE.

又DBcDE=D,BD,DEu平面DBE,

答案第10页，共14页

所以4c_L平面

(2)砺=(-2,0,1),近=(-2,2,-4),

BE-Afi=-2x(-2)+Ox2+lx^4)=0

则所以异面直线BE与4c所成角为90。.

(3)设向量万=(无,％z)是平面D&E的法向量，则万J_诙，nlD4.

f2y+z=0

故、,八，令y=l,则Z=-2,X=4,所以元=4,1,一2.

[2x+4z=0

后.I--y^l河飞|4x(-2)+lx2+(-2)x(-4)|V14

11|H|-|4c|J42+F+(-2)2XJ(—2)2+2Z+(-4)242

设平面与平面3DE所成角为凡贝hind=袁龙.

42

18.(1)x-y+l=0；(2)增区间为(0,+8),减区间为(-甩0)；(3)1+-.

e

【分析】(1)当“=0时，求得/'(x)=e'+x,得到〃0)=1,尸(0)=1,即可求得切线的方程;

(2)当°=1时，求得/''(X)=e*-1+无，令g(x)=/-1+x,得到g'(x)>0,结合g⑼=0,

再根据导数的符号，即可求得函数的单调区间；

(3)由题意得到e*-(a+l)x-6N0在xeR上恒成立，设g(x)=e*-(a+l)x-6,利用导数

求得函数的单调区间和最值，得到6-a41-(a+l)lnm+l),设以x)=1-xlnx(x>0),利用导

数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】⑴当。=0时，函数/(尤)=/+；£,可得/(x)=/+x,则〃0)=1,八0)=1,

所以曲线了=〃尤)在点(0,7(0))处的切线方程为x-j+l=0.

答案第11页，共14页

(2)当a=l时，函数/■(》)=/一》+；/,可得/'(x)=e*-l+尤，

令g(x)=e，-l+x,则g'(x)=e*+l>0,所以函数g(x)在(YO,+℃)上单调递增,

又由g(o)=/'(o)=o，

则令厂(x)=e=l+x>0,可得x>0,所以函数/(x)在(0,+⑼上单调递增，

令r(x)=/-l+x<0,可得尤<0,所以函数“X)在(-8,0)上单调递减.

综上，函数“X)的单调递增区间为(0,+功，单调递减区间为(-叫0).

(3)由/(x)>：/+x+b,得e*—(a+l)x-6»0在xe7?上恒成立，

设g(x)=e*-(a+l)x-6,则g'(尤)=e*-(a+1),

由g，(x)=e、_(a+l)=0,解得x=ln(a+l),(其中a>-l),

随着X变化，g'(x)与g(x)的变化情况如下表所示：

X(-oo,ln(a+1))ln(tz+1)(ln(a+l),+oo)

g'(x)-0+

g(x)极小值/

所以g(x)在(-8,ln(a+l))上单调递减，在(ln(a+l),+8)上单调递增.

所以函数g(x)的最小值为g(ln(a+1))=(a+1)-(a+l)ln(a+1)-b.

由题意得g(ln(a+l))》0,即b-a<\-(a+\)ln(a+1).

设/z(x)=1—xlnx(x>0),贝I]1(x)=-lnx-l.

因为当0<x<1时，-lnx-l>0；当x>[时，一lnx-l<0,

ee

所以例x)在(