第五讲平面上取点线平面的辅助投影线面相对位置

第五讲平面上取点线平面的辅助投影线面相对位置(1)平面上取任意直线

若一直线通过平面上得两点,则此直线必在该平面内。

若一直线通过平面上得一点,且平行于该平面上得另一直线,则此直线在该平面内。方法一:方法二:如何判断直线在平面内？一、平面上得点和直线abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例1已知平面由相交得两直线AB、AC所确定,试在平面内任作一条直线。解法一解法二(利用方法一)(利用方法二)有无数个解。例2在平面ABC内作一条水平线,使其到

H面得距离为20mm。n

m

nm20c

a

b

cab

结论:唯一解！问题:本题有几个解？(2)平面上取点即:找出过此点而又在平面内得一条直线作为辅助线,然后再在该直线上确定点得位置。例1

面上取点得方法——定点先定线利用平面得积聚性求解k

●bacc

a

b

已知K点在平面ABC上,求K点得水平投影。k●例2●efge

f

m

g

h

m●h通过在面内作辅助线求解已知M点在平面EFG上,求M点得水平投影。kk

例3如图所示,已知一般位置平面ABCD得正面投影和AB、AD两条边得水平投影ab和ad,补全该面得水平投影。a

b

d

c

abd分析:ABCD既然就是平面,则她得对角线必相交。作图:1)连接a′、c′和b′、d′,得交点k′;2)连接b、d,在bd上求出k,并连接a、k;3)在ak上求出c,连接b、c和d、c,即得该平面得水平投影;c例

完成平面得水平投影二、平面得辅助投影(一)把一般位置平面变为投影面垂直面(二)把投影面垂直面变为投影面平行面(三)把一般位置平面变为投影面平行面三个基本问题大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点a

c

XVHb

bac(一)把一般位置平面变为投影面垂直面

cdd

DX1H1a1c1b1d1

d

X1H1V

db1a1c1d1k1X1H1Vb1a1c1d1s1[例题]求点S到平面ABC得距离距离e

Nd

dX1VH1k1e1[例题]已知E到平面ABC得距离为N,求E点得正面投影e

。b1a1c1d1[选讲](二)把投影面垂直面变为投影面平行面

V1c1

b1

a1

X1X1V1c1

b1

a1

a1

c1

b1

X1d

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2X2V2H1(三)把一般位置平面变为投影面平行面

实形[例题]已知E点在平面ABC上,距离A、B为15,求点E得投影。d

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2X2V2H11515ee

e1e2

a'b'ac'cbd'da1(b1)d1c1[例题]

求平面ＡＢＣ与平面ＡＢＤ得夹角。(一)平行问题

1、熟悉线、面平行,面、面平行得几何条件;

2、熟练掌握线、面平行,面、面平行得投影特性及作图方法。(二)相交问题

1、熟练掌握特殊位置线、面相交(其中直线或平面得投影具有积聚性)交点得求法和作两个面得交线(其中一平面得投影具有积聚性)。

2、熟练掌握一般位置线、面相交求交点得方法;掌握一般位置面、面相交求交线得作图方法。

3、掌握利用重影点判别投影可见性得方法。(三)垂直问题

掌握线面垂直、面面垂直得投影特性及作图方法。(四)点、线、面综合题

1、熟练掌握点、线、面得基本作图方法;

2、能对一般画法几何综合题进行空间分析,了解综合题得一般解题步骤和方法。

三、线面相对位置一、直线与平面平行几何条件若平面外得一条直线与平面内得一条直线平行,则该直线与该平面平行。这就是解决直线与平面平行作图问题得依据。有关线、面平行得作图问题有:判别已知线面就是否平行;作直线与已知平面平行;包含已知直线作平面与另一已知直线平行。例题1例题2二、平面与平面平行几何条件若一个平面内得相交二直线与另一个平面内得相交二直线对应平行,则此两平面平行。这就是两平面平行得作图依据。两面平行得作图问题有:判别两已知平面就是否相互平行;过一点作一平面与已知平面平行;已知两平面平行,完成其中一平面得所缺投影。例题3例题4例题5直线与平面平行,平面与平面平行一、直线与平面平行

若一直线平行于属于定平面得一直线,则该直线与平面平行[例题1]试判断直线AB就是否平行于定平面fg

f

g结论:直线AB不平行于定平面[例题2]试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面b

a

af

fb二、两平面平行

若属于一平面得相交两直线对应平行于属于另一平面得相交两直线,则此两平面平行EFDACB[例题3]试判断两平面就是否平行m

n

mnr

rss

结论:两平面平行[例题4]已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k[例题5]试判断两平面就是否平行。结论:因为PH平行SH,所以两平面平行一、直线与平面相交只有一个交点二、两平面得交线就是直线三、特殊位置线面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交五、直线与一般位置平面相交六、两一般位置平面相交直线与平面得交点、两平面得交线一、直线与平面相交直线与平面相交只有一个交点,她就是直线与平面得共有点。BKAM二、平面与平面相交两平面得交线就是一条直线,这条直线为两平面所共有FKNL直线与特殊位置平面相交判断直线得可见性特殊位置直线与一般位置平面相交三、特殊位置线面相交b

ba

acc

m

mnn

直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面得某个投影有积聚性,交点可直接求出。kk

判断直线得可见性b

ba

acc

m

mn

kk

n

特殊位置线面相交,根据平面得积聚性投影,能直接判别直线得可见性。()k21k'2'1'求铅垂线EF与一般位置平面△ABC得交点并判别其可见性。

求两平面交线得问题可以看作就是求两个共有点得问题,由于特殊位置平面得某个投影有积聚性,交线可直接求出。一般位置平面与特殊位置平面相交判断平面得可见性四、一般位置平面与特殊位置平面相交nlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

MmnlPBCacbPHAFKNLkf判断平面得可见性结果判断平面得可见性一、直线与平面垂直几何条件定理1定理2

例题7例题8例题9例题10二、两平面垂直几何条件例题11例题12例题13直线与平面垂直、两平面垂直直线与平面垂直得几何条件:若一直线垂直于一平面,则必垂直于属于该平面得一切直线。定理1若一直线垂直于一平面、则直线得水平投影必垂直于属于该平面得水平线得水平投影;直线得正面投影必垂直于属于该平面得正平线得正面投影。knk

n

定理2(逆)若一直线得水平投影垂直于属于平面得水平线得水平投影;直线得正面投影垂直于属于平面得正平线得正面投影,则直线必垂直于该平面。[例题7]平面由

BDF给定,试过定点K作平面得法线。a