贵州省铜仁市2024-2025学年高二年级上册期末数学试卷（含答案）

贵州省铜仁市2024-2025学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列｛a九｝是等差数列，若a1=1,a9=17,则⑥=()

A.5B.7C.9D.11

2.已知椭圆C：^J+x2=l(a>0)的左顶点到上焦点的距离为2,则C的离心率为()

人DO厂八=

A.-1B.—C.—V-3D.V3

3.已知方程+y2-C7nx++7n2+1=0表示圆，则TH的取值范围为()

A.(-00,-1)U(1,+8)B.(-1,1)

C.(-00,-3)U(3,+00)D.(-3,3)

4.已知沅=(2,-1,3),元=(—4,九〃)分别是平面a,0的法向量,且则()

A.4=2〃B.A=〃C.34+〃=0D.2+3〃=8

5.圆M：(%—3)2+(y+2)2=1与圆N：/+y2—14%—2y+14=0的公切线条数是()

A.1B.2C.3D.4

6.若数^1｛。九｝满足的=2,CL+i=TZ-'则。2025=()

n^--an

A.2B,1C.-1D4

7.平行六面体4BCD-AiBiGDi中，底面ABCD是边长为3的正方形，AA±=4,ABAA±=^DAAr=60°,贝U

AC】的长为()

A./58B.C.<82D.10

8.过抛物线E：*=2p久(p>0)的焦点尸作倾斜角为45。的直线/与E交于4B两点，且4B两点在y轴上的

正射影分别为点D,C.若梯形4BCD的面积为48，2贝切=()

A.2B.4C.6D.8

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知数列｛即｝的前几项和%="+2九+1,数列｛姐｝满足%+i=2秩,则()

A.数列｛厮｝的通项公式是与=2几+1

B.若瓦>0,则数列｛“｝是递增等比数列

C.若匕机-bn=bp-bq,则m+n=p+q

D.若瓦=4,则数列5­匕｝的前?i项和〃=｛;弁_J.2n+2+8,n>2

10.已知直线"：x+2ay-1=0；直线"：(3a—1)%—ay-1=0,则()

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A.当a=-l时，"的一个方向向量为(1g)

1

B.若l/也，则a=?

C.若k112,贝！Ja=1

D.点(-4,1)到"距离的最大值为5

11.直三棱柱—中，侧面4414B为正方形，AB=BC=2,E、F分别为“、CC】的中点，。为棱

&&上的动点.设瓦方=2瓦不，2e(0,1),S.A1B11BF,则()

A.过点Bi，E,。的平面截该三棱柱所得的截面为梯形

B.无论点。如何运动，都有

C.当4时，点B到平面DFE的距离为孚

D.已知“是平面DEF上的一动点，若NACiC=NHCiC,则点”的轨迹为抛物线

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知双曲线C：捻一，=l(a>03>0)过点(4,0),且焦距为10,则C的渐近线方程为.

13.最新发布的Figure02实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆。：x2+y2=1,则它在行进过程中与经

过点2(3,0),8(0,4)的直线的最近距离是.

14.鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均

同球心的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固

定的数量.制作3个层数分别为3,6,小的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼

工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36,则zn=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知等差数列的前n项和为%,且&=2,S3=2ci3.

(1)求的通项公式；

(2)求数列｛R｝的前几项和加

16.(本小题15分)

已知△ABC三个顶点分别是4(—1,5),8(5,5),C(6,-2).

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(1)求4ABC外接圆M的标准方程；

(2)若M与直线/：2x—y+2=0交于P,Q两点，求|PQ|.

17.(本小题15分)

如图,三棱锥P-28C的边8c上存在一点。，使得平面PAD，底面ABC,且PD1平面P4B,过点P作PE1AD,

垂足为E.

(1)证明：4B_L平面PAD；

(2)若力B=AD=2,AP=PD,BD=2CD,求PD与平面P4C所成角的正弦值.

18.(本小题17分)

平面直角坐标系;cOy中，已知点后(-2,0),F2(2,0),动点P满足|PF/-IPF2I=±2后，记点P的轨迹为曲线

C.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线心y=与C交于4,B两点，且瓦I•布>9,求k的取值范围.

19.(本小题17分)

平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：鸟+4=l(a>%>0)的左、右焦点分别为a,&,离心率为,，经过

F1且倾斜角为。(0<e<$的直线］与C交于a,B两点(其中点4在久轴上方)，且△ABB的周长为8.现将平面

%0y沿x轴向上折叠，折叠后4B两点在新图像中对应的点分别记为Bi，且二面角&-尻？2-Bi为直

二面角，如图所示.

折桂前折叠后

(I)求折叠前C的标准方程;

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(2)当。=5时，折叠后，求平面&&尸2与平面4/处夹角的余弦值；

(3)探究是否存在。使得折叠后△&B1F2的周长为苧？若存在，求tcm。的值；若不存在，说明理由.

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1.【答案】c

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】AD

11.【答案】ABD

12.【答案】y=±^x

13.【答案】|

14.【答案】2

15.【答案】解：(1)等差数列｛即｝的前几项和为％,设公差为d,

_1

由=2,S3=2a3，可得3x2+-x3x2d=2(2+2d),

解得d=2,

则a九=2+2(n-1)=2n,nGN*；

⑵—=1=--1

I)S九-ln(2+2n)-九九+1'

n

可得”=1-1+

223nn+ln+ln+l

16.【答案】解：(1)设圆的标准方程为(％—a)2+(y—与2=产,

△/8。三个顶点分别是4-1,5),3(5,5),C(6,—2),

r(-l-a)2+(-5-b)2=r2a=2

则卜5—a)2+(5—力/=r2

解得b=1,

222

((6—a)+(—2—Z?)=r?=5

故圆M标准方程为。一2)2+(y-l)2=25；

(2)设Q(%2,y2),

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联立伊-2)言(y-1)2=25,解得2或尤2=-2.

(2%—y+2=0

2

故|PQ|=Vl+fc|x2-^il=x4=4\^5.

17.【答案】(1)证明：因为平面PADJ■底面ABC,平面PADC底面ABC=AD,

PELAD,PEu平面PAD,

所以PE1平面ABC,

又ABu平面ABC,所以PE1AB,

因为PD_L平面P4B,ABu平面ABC,所以PD1AB,

又PECPD=P,PE、PDu平面PAD,

所以AB1平面PAD.

(2)解：以4为原点，AB,4。所在直线分别为x,y轴，作4z〃PE,建立如图所示的空间直角坐标系,

由(1)知4B1平面PAD,

因为2。u平面PAD,所以ABLAD,

又AB=AD=2,所以BD=2V^,CD==A/~2,

因为PD_L平面PAB,PAu平面PAB,所以PD1PA,

而4P=PD,AD=2,所以△PAD是等腰直角三角形，

所以4(0,0,0),P(0,l,l),D(0,2,0),C(-1,3,0),

所以丽=AP=(0,1,1),AC=(-1,3,0),

设平面P4C的法向量为沅=Q,y,z),贝,竺=y+z=°,

\jn•AC=—%+3y=0

取y=l,则％=3,z=-1,所以布=(3,1,-1)，

设PD与平面PAC所成角为仇则sin。=|cos<丽，m>\=鬻?=噂

1\PD\-\m\V2XV1111

故PD与平面P4C所成角的正弦值为导.

11

18.【答案】解：(1)根据题意可得曲线。是以尻(一2,0),尸2(2,0)为焦点，实轴长为2c的双曲线，

・•・c=2,a=­••b2=c2—a2=1,

•••双曲线C的标准方程为9y2=1;

(2)设4。1，、1)8。2，、2)，

联立卜二,得(3/一1)/+672/CX+9=0,

旧—3yz=3

则I/=72fc*-36(3fc2-1)>0,解得左6(一1，1)且卜H土石，

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6/2/c9

又11+冷=21%i%2=7

1—3/3/c-1

2

•••ym=(kq+-/2)(fcx2+=kxrx2+(久i+x2)+2

9k2V2h6/2k,c3k2-2

=-7-------------5----------r2=-7—,

3k'-13/?—13/cz-l

・•・。力•OB>9可化为:xrx2+yiy2>%

9।31-2

>9,

3/C2-13/C2-1

3必+7、

>9,

3k-1

综合可得人的取值范围为(-孚,-?)u(?，苧).

仔」

19.【答案】解：⑴由题意得：pa=8，

la2=h2+c2

a=2

解得b=7-3,

c=1

故折叠前椭圆c的标准方程5+9=1.

(2)当。=狎，直线I的方程为：y=73(%+1),

(贮+J1

联立4+3_I,

y=-^3(%+1)

解得4(0,0，B(—；等,0),

以原来的x轴为x轴，y轴正半轴所在直线为z轴，y轴负半轴所在的直线为y轴建立空间直角坐标系，如图所

不，

贝山式0,0,0)，当(一2一苧,0)，&(—1,0,0),F2(1,0,0),

故包=(—卷,字,0)，取；=(—1,0,4)，

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设平面a/1&的法向重为万=（%,y,z）,

(―>*133A/-3

则卜.r处D=on,即h%一丁y=N°,

(巾-F2A1=0(r+Oy=0

取z=3,贝卜=36，y=-13,

故记=(3时,—13,3),|万|=V27+169+9=<205.

平面/F/2的一个法向量为元=瓦1=(0,0,0，

I/..—>m-n3A/-33A/205

故cos〈m,n>=砌=77+169+9x43=

设平面当鼻尸2与平面4B/2所成的角为a,

,,―>-3A/205

cosa=|cos（m/n;|=2Q5>

即平面816F2与平面&B1F2所成角的余弦值为春鲁；

（3）以原来的x轴为x轴，y轴正半轴为y轴，y轴负半轴为z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

B1（X,0,

设折叠前4（石,乃）,B（x2,y2）,则折叠后A1（%1，%,0）,2-y2）,

设直线1的方程为久=my-1,其中m=：=

kland

，2y2

联立了+京=1,消去X,

%=my—1

得(3m2+4)y2—6my—9=0

显然△>(),且为+火=缶2yly2=一洋,

由|公尸2|+田园+依祖|=与，\AF2\+\BF2\+\AB\=8,

1

得阿|一|4/