福建省福清市海口镇高中数学 第一章 三角函数 1.6 同角三角函数的基本关系教学实录 新人教A版必修4

福建省福清市海口镇高中数学第一章三角函数1.6同角三角函数的基本关系教学实录新人教A版必修4科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）福建省福清市海口镇高中数学第一章三角函数1.6同角三角函数的基本关系教学实录新人教A版必修4课程基本信息1.课程名称：福建省福清市海口镇高中数学第一章三角函数1.6同角三角函数的基本关系教学实录

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2023年3月10日，星期五，第三节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.数学抽象：通过探究同角三角函数的基本关系，培养学生的抽象思维能力，理解数学概念的本质。

2.逻辑推理：通过证明三角函数关系的推导过程，提高学生的逻辑推理能力，学会运用演绎推理解决数学问题。

3.数学建模：引导学生将实际问题转化为数学模型，运用三角函数关系解决实际问题，提升数学建模能力。

4.实践应用：通过实例分析，让学生体会数学在生活中的应用，增强数学学习的实用性意识。学情分析高一年级的学生正处于数学学习的关键阶段，他们在初中阶段已经接触了三角函数的基本概念，但进入高中后，三角函数的学习内容更加深入和复杂。本班学生整体数学基础较好，能够理解和掌握基本的三角函数概念和性质。然而，以下几方面需要特别关注：

1.知识层面：部分学生对三角函数的基本概念理解不够深入，对于诱导公式、特殊角的三角函数值等基础知识的掌握不够牢固，这可能会影响他们对同角三角函数基本关系的理解和应用。

2.能力层面：学生的逻辑推理能力和抽象思维能力有待提高。在证明三角函数关系时，部分学生可能难以构建严密的推理过程，缺乏数学证明的基本训练。

3.素质层面：学生的数学学习兴趣和自主学习能力存在差异。部分学生对数学学习缺乏热情，依赖教师讲解，自主探究能力较弱，这可能会影响他们在课堂上的参与度和学习效果。

4.行为习惯：学生的课堂参与度和合作学习习惯有待加强。在小组讨论和合作探究活动中，部分学生可能缺乏主动性和积极性，影响整体学习氛围。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新人教A版必修4教材，以便查阅同角三角函数的基本关系相关内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的几何图形、三角函数图像等图表，以及相关的教学视频，以帮助学生直观理解。

3.教学工具：准备直尺、圆规等基本绘图工具，以及计算器，以便学生在课堂上进行辅助计算和绘图。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行小组合作学习，并确保教室环境安静，便于学生集中注意力。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

1.教师通过提问：“同学们，我们已经学习了三角函数的基本概念，那么如何更好地理解这些概念之间的关系呢？”来激发学生的学习兴趣。

2.展示一组三角函数图像，引导学生观察不同角度的正弦、余弦和正切函数的变化规律，引出同角三角函数的基本关系。

3.提问：“大家能否根据已知信息，推导出同角三角函数之间的关系？”以此引出本节课的主题。

二、新课讲授（用时15分钟）

1.教师讲解同角三角函数的基本关系，如正弦、余弦、正切的和差公式，以及倍角公式等。

-举例：讲解正弦和差公式时，以45°和30°的正弦函数为例，引导学生推导出sin(45°-30°)的表达式。

-分析：强调公式推导过程中的逻辑推理和数学抽象能力。

2.教师讲解同角三角函数的倍角公式，如sin(2θ)=2sinθcosθ，cos(2θ)=cos²θ-sin²θ等。

-举例：以θ=30°为例，引导学生推导出sin(2×30°)和cos(2×30°)的表达式。

-分析：强调倍角公式的应用，以及在实际问题中的解决能力。

3.教师讲解同角三角函数的半角公式，如sin(θ/2)=±√[(1-cosθ)/2]，cos(θ/2)=±√[(1+cosθ)/2]等。

-举例：以θ=60°为例，引导学生推导出sin(60°/2)和cos(60°/2)的表达式。

-分析：强调半角公式的应用，以及在实际问题中的解决能力。

三、实践活动（用时10分钟）

1.学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。

2.教师选取典型题目，让学生上台展示解题过程，其他学生进行点评和补充。

3.教师针对学生的解题过程，进行点评和总结，强调解题技巧和注意事项。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.教师提出问题：“如何运用同角三角函数的基本关系解决实际问题？”

2.学生分组讨论，举例回答：

-举例1：如何求解直角三角形中未知边的长度？

-举例2：如何求解圆的周长和面积？

-举例3：如何求解平面几何中的角度问题？

3.学生分享讨论结果，教师进行点评和总结。

五、总结回顾（用时5分钟）

1.教师回顾本节课所学内容，强调同角三角函数的基本关系在解决实际问题中的应用。

2.教师提出思考题：“如何将同角三角函数的基本关系应用于实际问题中？”

3.学生分享自己的思考，教师进行点评和总结。

本节课用时共计45分钟，通过导入新课、新课讲授、实践活动、学生小组讨论和总结回顾等环节，帮助学生掌握同角三角函数的基本关系，提高学生的数学抽象能力、逻辑推理能力和实践应用能力。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握：

-学生能够熟练掌握同角三角函数的基本关系，包括正弦、余弦、正切的和差公式，倍角公式，以及半角公式。

-学生能够根据已知信息，推导出同角三角函数之间的关系，如sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ等。

-学生能够应用三角函数的基本关系解决实际问题，如求解直角三角形中的未知边长、角度，以及求解圆的周长和面积等。

2.能力提升：

-学生的逻辑推理能力得到锻炼，能够通过严密的推理过程推导出三角函数关系，提高了解决数学问题的能力。

-学生的抽象思维能力得到提升，能够将实际问题转化为数学模型，运用三角函数关系进行建模和求解。

-学生的数学建模能力得到加强，能够将数学知识应用于实际生活，提高了解决实际问题的能力。

3.应用能力：

-学生能够将所学的三角函数知识应用于实际问题中，如物理、工程、建筑等领域，提高了数学学习的实用性。

-学生在解决实际问题时，能够灵活运用三角函数的基本关系，提高了问题解决的效率和质量。

-学生在遇到与三角函数相关的生活问题时，能够迅速运用所学知识进行分析和解决，提高了生活技能。

4.学习兴趣：

-学生通过本节课的学习，对三角函数产生了浓厚的兴趣，激发了进一步探索数学知识的欲望。

-学生在课堂上的参与度提高，能够积极回答问题，提出自己的见解，增强了学习的自信心。

-学生在课后主动复习和预习，提高了自主学习的能力，为后续学习打下了坚实的基础。

5.团队合作：

-学生在小组讨论中，学会了与他人合作，共同解决问题，提高了团队协作能力。

-学生在讨论过程中，学会了倾听他人的观点，尊重他人的意见，培养了良好的沟通和交流能力。

-学生在合作中，学会了分享和总结，提高了总结归纳和表达能力。内容逻辑关系①三角函数基本概念

-重点知识点：三角函数的定义、周期性、奇偶性、单调性。

-重点词句：角、弧度、正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。

②同角三角函数的基本关系

-重点知识点：正弦、余弦、正切之间的关系，和差公式，倍角公式，半角公式。

-重点词句：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，sin²α+cos²α=1。

③三角函数在实际问题中的应用

-重点知识点：三角函数在几何、物理、工程等领域的应用，如求解角度、长度、面积等。

-重点词句：三角函数在直角三角形中的应用，如勾股定理，三角函数在圆的应用，如圆的周长和面积公式。

④三角函数图像

-重点知识点：正弦、余弦、正切等函数的图像特征，如形状、周期、对称性等。

-重点词句：y=sinx的图像为周期性的波浪形，y=cosx的图像为周期性的波动线。

⑤三角函数的求值

-重点知识点：特殊角的三角函数值，利用和差公式、倍角公式、半角公式求值。

-重点词句：30°、45°、60°、90°等特殊角的三角函数值，以及公式的灵活运用。

⑥三角函数的证明

-重点知识点：利用三角恒等变换证明三角函数关系式。

-重点词句：三角恒等变换的基本公式，如sin²α+cos²α=1，以及证明过程中的推理和归纳。作业布置与反馈作业布置：

1.完成教材课后习题，选择与同角三角函数基本关系相关的题目，如：

-证明sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

-利用倍角公式求解sin(2×30°)和cos(2×30°)。

-应用半角公式求解sin(45°/2)和cos(45°/2)。

2.实际应用题：

-设计一个实际问题，如直角三角形中求解未知边长或角度，并运用同角三角函数的基本关系进行解答。

3.综合练习题：

-结合所学知识，解决一个综合性问题，如在一个圆形建筑中，如何利用三角函数关系计算楼层间的垂直距离。

作业反馈：

1.批改作业时，首先检查学生是否完成了所有的作业，并对未完成的作业进行记录。

2.对于完成正确的作业，给予肯定，并在作业上标注“√”或“Goodjob!”以鼓励学生。

3.对于出现错误的作业，首先指出错误的具体位置，如公式应用错误、计算错误等。

4.分析错误原因，可能是对基本概念理解不透彻，或者是在应用公式时出现了混淆。

5.提出改进建议，如：

-对于概念理解不透彻的，建议学生回顾教材中的相关章节，加深对概念的理解。

-对于公式应用错误的，建议学生整理公式列表，加强记