2024春新教材高中数学 5.4.3 正切函数的性质与图象教学实录 新人教A版必修第一册

2024春新教材高中数学5.4.3正切函数的性质与图象教学实录新人教A版必修第一册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024春新教材高中数学5.4.3正切函数的性质与图象教学实录新人教A版必修第一册教材分析2024春新教材高中数学5.4.3正切函数的性质与图象教学实录新人教A版必修第一册。本节课以正切函数的性质与图象为主要内容，通过引导学生观察、分析、归纳，帮助学生掌握正切函数的基本性质，理解正切函数图象的特点，并能运用所学知识解决实际问题。教学内容与课本紧密相连，符合教学实际，注重培养学生的数学思维能力和应用能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过探究正切函数的性质，学生能够提高抽象思维能力，学会运用数学语言描述和表达数学现象；通过逻辑推理，学生能够理解函数性质与图象之间的关系，提升逻辑推理能力；通过数学建模，学生能够将实际问题转化为数学模型，提高解决实际问题的能力；通过直观想象，学生能够从图象中获取信息，培养空间想象能力；通过数学运算，学生能够熟练运用运算技能，提高运算效率。教学难点与重点1.教学重点：

-正切函数的定义域和值域：重点强调正切函数的定义域为所有实数除去π的整数倍，值域为所有实数。

-正切函数的单调性：通过具体例子，如tan(x)在(-π/2,π/2)内是增函数，帮助学生理解正切函数的单调性。

-正切函数的周期性：明确正切函数的周期为π，通过绘制正切函数图象，让学生直观感受周期性。

2.教学难点：

-正切函数图象的理解：学生可能难以直观理解正切函数图象的无穷间断点，需要通过多个例子和图象分析来加深理解。

-正切函数的应用：将正切函数的性质应用于解决实际问题，如求解角度、计算三角形的边长等，学生可能对如何将理论知识与实际问题结合感到困难。

-正切函数的导数：理解正切函数的导数公式及其应用，学生可能对导数的概念和计算过程感到抽象和复杂。通过具体的计算实例和导数的几何意义，帮助学生突破这一难点。教学资源-软硬件资源：计算机、投影仪、电子白板、数学函数绘图软件

-课程平台：学校内部教学平台，用于发布教学材料和学生作业

-信息化资源：正切函数图象动画、相关数学概念的视频讲解

-教学手段：实物教具（如三角板、量角器）、黑板、粉笔教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：教师通过在线平台发布PPT和视频，要求学生预习正切函数的定义和基本性质。

-设计预习问题：教师设计问题如“正切函数的定义域和值域有何特点？”和“如何通过图象理解正切函数的单调性？”

-监控预习进度：通过在线平台的访问记录和学生的反馈，监控预习情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生阅读PPT和视频，理解正切函数的基本概念。

-思考预习问题：学生根据预习资料思考并提出问题，如“正切函数在哪些区间内是单调的？”

-提交预习成果：学生整理预习笔记，提交至平台或纸质笔记给老师。

方法/手段/资源：

-自主学习法：通过自主学习，学生初步掌握正切函数的基本知识。

-信息技术手段：利用在线平台，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-为课堂学习做好准备，帮助学生建立初步的知识框架。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示正切函数在生活中的应用案例，如机械运动分析，引出课题。

-讲解知识点：详细讲解正切函数的周期性和奇偶性，结合图象说明。

-组织课堂活动：分组讨论如何利用正切函数的性质解决实际问题，如计算角度。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，共同解决问题。

方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解，帮助学生理解正切函数的性质。

-实践活动法：通过小组合作，让学生在解决问题中应用所学知识。

-合作学习法：通过小组讨论，培养学生的团队协作能力。

作用与目的：

-深入理解正切函数的性质，掌握其应用。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置包含正切函数性质应用题的作业，如计算特定角度的正切值。

-提供拓展资源：推荐相关的数学竞赛题目或在线学习资源。

学生活动：

-完成作业：学生独立完成作业，巩固课堂所学。

-拓展学习：学生利用推荐资源进行进一步的深入学习。

方法/手段/资源：

-自主学习法：学生通过完成作业和拓展学习，提高自学能力。

-反思总结法：学生通过反思作业和拓展学习，总结学习经验。

作用与目的：

-巩固和拓展学生的知识，提高学生的应用能力和自主学习能力。教学资源拓展1.拓展资源：

-正切函数的历史背景：介绍正切函数的起源和发展，以及它在数学史上的重要地位。

-正切函数的应用领域：探讨正切函数在物理学、工程学、计算机科学等领域的应用实例。

-正切函数的极限性质：深入研究正切函数的极限性质，包括极限存在性、极限值等。

-正切函数的微分与积分：介绍正切函数的微分和积分公式，以及其在实际问题中的应用。

-正切函数与三角恒等式的关系：探讨正切函数与其他三角函数之间的关系，如正弦、余弦、余切等。

-正切函数在几何中的应用：分析正切函数在解析几何、立体几何等几何学领域的应用。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐学生阅读《数学分析基础》、《高等数学》等书籍，深入了解正切函数的数学理论。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如美国数学竞赛（AMC）、国际数学奥林匹克（IMO）等，提升解题能力。

-观看在线课程：推荐学生观看相关的在线课程，如《数学之美》、《高等数学教程》等，拓宽知识面。

-实践项目：引导学生参与实践项目，如设计一个基于正切函数的物理实验或编程项目，将理论知识应用于实际问题。

-小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享对正切函数的理解和应用经验，培养团队合作能力。

-制作思维导图：要求学生制作正切函数的思维导图，梳理知识点，加深对正切函数的理解。

-探究性学习：鼓励学生进行探究性学习，如研究正切函数在特定领域的应用，提出自己的观点和见解。

-参加学术讲座：组织学生参加学术讲座，邀请相关领域的专家分享研究成果，激发学生的学习兴趣。

-实地考察：组织学生进行实地考察，如参观科技馆、实验室等，直观感受正切函数的应用场景。

-编写论文：指导学生撰写论文，对正切函数的性质和应用进行深入研究，提高学术写作能力。典型例题讲解1.例题：已知函数f(x)=tan(x)+2，求函数的值域。

解答：由于tan(x)的值域为(-∞,+∞)，因此f(x)=tan(x)+2的值域为(-∞,+∞)+2，即(-∞,+∞)。

2.例题：证明正切函数tan(x)在区间(-π/2,π/2)内是增函数。

解答：设x1,x2属于(-π/2,π/2)，且x1<x2。由于tan(x)在(-π/2,π/2)内连续，且tan'(x)=sec^2(x)>0，因此tan(x)在(-π/2,π/2)内是增函数。

3.例题：已知tan(θ)=1/2，求θ的值。

解答：由于tan(θ)=1/2，且θ在(-π/2,π/2)内，因此θ=arctan(1/2)≈0.4636弧度。

4.例题：求函数f(x)=tan(x+π/4)的周期。

解答：由于tan(x)的周期为π，因此tan(x+π/4)的周期也为π。即f(x)的周期为π。

5.例题：已知函数f(x)=2tan(x)-1，求f(x)在x=π/4时的导数。

解答：f'(x)=2sec^2(x)。当x=π/4时，f'(π/4)=2sec^2(π/4)=2(2)=4。

补充说明：

-例题1和例题2涉及到正切函数的值域和单调性，这是正切函数的基本性质，需要学生掌握。

-例题3和例题4涉及到正切函数的逆函数和周期性，这些知识点是学生需要理解和应用的重要部分。

-例题5涉及到正切函数的导数，这是高等数学中的知识点，需要学生有一定的数学基础。

-例题1：通过观察tan(x)的图象，可以发现其值域为整个实数集。因此，对于任何实数y，都存在一个x值使得tan(x)=y。在本例中，由于f(x)=tan(x)+2，因此值域为(-∞,+∞)+2，即(-∞,+∞)。

-例题2：通过求导数和利用导数的正负性，可以判断函数的单调性。在本例中，由于tan'(x)=sec^2(x)>0，因此tan(x)在(-π/2,π/2)内是增函数。

-例题3：利用反正切函数的性质，可以求得tan(θ)=1/2时的θ值。在本例中，θ=arctan(1/2)。

-例题4：由于tan(x)的周期为π，因此tan(x+π/4)的周期也为π。这意味着对于任何实数k，都有tan(x+π/4)=tan(x+kπ/4)。

-例题5：通过求导数公式，可以求得f(x)的导数。在本例中，f'(x)=2sec^2(x)，当x=π/4时，f'(π/4)=4。内容逻辑关系①正切函数的定义

-定义：正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，即tan(x)=sin(x)/cos(x)。

-定义域：正切函数的定义域为所有实数除去π的整数倍，即{x|x≠kπ,k∈Z}。

-值域：正切函数的值域为所有实数，即(-∞,+∞)。

②正切函数的性质

-单调性：正切函数在(-π/2,π/2)内是增函数，在其他区间内是减函数。

-奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

-周期性：正切函数的周期为π，即tan(x+π)=tan(x)。

③正切函数的图象

-图象特点：正切函数的图象在y轴上存在无穷多个间断点，图象呈现周期性波动。

-间断点：正切函数在x=kπ处（k为整数）存在无穷间断点。

-周期：正切函数的周期为π，图象每隔π个单位长度重复一次。

④正切函数的应用

-解三角形：利用正切函数的性质求解三角形的边长和角度。

-物理学：在物理学中，正切函数用于描述物体在斜面上的运动。

-工程学：在工程学中，正切函数用于计算角度和斜率等参数。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.回顾正切函数的定义和基本性质，强调定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等关键概念。

2.通过图象分析，让学生直观理解正切函数的间断点和周期性。

3.强调正切函数在解决实际问题中的应用，如解三角形、物理学和工程学中的角度和斜率计算。

4.引导学生总结本节课所学内容，包括正切函数的基本性质和图象特征。

当堂检测：

1.单项选择题：

-下列哪个选项不是正切函数的定义域？

A.(-∞,+∞)

B.(-π/2,π/2)

C.(-∞,0)∪(0,+∞)

D.(-π,π)

-正切函数在哪个区间内是增函数？

A.(-π/2,π/2)

B.(π/2,3π/2)

C.(-π,0)

D.(0,π)

-正切函数的周期是多少？

A.2π

B.π

C.π/2

D.4π

2.判断题：

-正切函数是偶函数。（×）

-正切函数在x=π/4时的值是1。（√）

-正切函数的图象在y轴上没有间断点。（×）

3.填空题：

-正切函数的定义域是__________，值域是__________。

-正切函数的周期是__________，即tan(x+__________)=tan(x)。

-当x=π/6时，tan(x)的值是__________。

4.应用题：

-已知tan(θ)=3/4，且θ在第二象限，求θ的度数。

-一个三角形的两个内角分别是30°和45°，求第三个内角的度数。

-在一个直角三角形中，已知直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

检测目的：

-通过当堂检测，检查学生对正切函数基本性质的理解和应用能力。

-帮助学生巩固所学知识，及时发现并解决学习中存在的问题。

-提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。教学反思与总结这节课上完之后，我感到收获颇丰，同时也意识到在教学过程中还存在一些需要改进的地方。

首先，我觉得我在教学方法上做得还是比较好的。我尽量采用直观的教学方式，比如通过图象展示正切函数的性质，让学生能够更直观地理解抽象的数学概念。我还设计了小组讨论和实践活动，让学生在互动中学习，这样的方式很受学生欢迎，他们的参与度和积极性都提高了。

但是，我也发现了一些问题。比如，在讲解正切函数的周期性时，我发现有些学生对于周期的概念理解不够深刻，他们对周期性图象的直观感受还不够。这可能是因为我对于周期的讲解还不够生动，没有足够的时间让学生通过实践来感受周期的重复性。

在教学策略上，我尝试了多种教学方法，包括讲授法、讨论法、实践法等，这些方法在一定程度上都起到了作用。但是，我也意识到，对于一些理解力较强的学生，单纯的讲授可能不足以激发他们的学习兴趣，而实践活动可能对于一些基础较弱的学生来说又显得有些难度。因此，我需要在今后的教学中更加注重分层教学，根据学生的不同需求来调整教学策略。

在课堂管理方面，我发现自己在维持课堂纪律上还有待加强。有时候，课堂