贵州省黔南布依族苗族自治州2025届高三第一次模拟考试数学试题（解析版）

贵州省黔南布依族苗族自治州2025届高三

第一次模拟考试数学试题

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

1.已知全集"={12'45,6,7},集合A={x[(x—l)(x—3)=0},则务A=()

A.{1,3}B.{2,4,5,6,7}C.{1,3,5,7}D.{2,4,6}

【答案】B

【解析】依题意，A={1,3},所以eA={2,4,5,6,7}.

故选：B

2.已知向量a=(—1,4),石=(3,%).若£J_石,则％=()

33

A.-12B.——C.-D.12

44

【答案】C

-*-*3

【解析】向量a=(—l,4),b=(3,x),由力_1_。得£/=—3+4x=0，所以％=屋

故选：C

3.样本数据：11,12,15,13,17,18,16,22,36,30的第70百分位数是()

A.16B.19C.20D.22

【答案】C

【解析】共有10个数，10x70%=7,故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平

均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数.

故选：C.

4.曲线“x)=lnx在点(1,7(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()

1e

A.—B.1C.—D.e

22

【答案】A

【解析】由/(x)=lnx,求导得尸(无)=L贝=而/⑴=。，

X

因此曲线f(x)=lnx在点处的切线为y—0=x—1,该切线交x于点(1,0),交V

轴于点(0,—1),

所以该切线与两坐标轴围成三角形的面积S=Lxlxl=L.

22

故选：A

5.若"为圆(％+l)2+y2=2上的动点，则点“到直线x+y—3=。的距离的最小值为

A.夜B.3-72C.2后D.3正

【答案】A

【解析】圆(X+1)2+/=2的圆心C(—1,O),半径厂=0,

|-1+0-3|

点C(-1,O)到直线x+y—3=0的距离d==2^/2>5/2,

即直线x+y—3=0与圆(x+iy+V=2相离，又点M在该圆上,

所以点M至IJ直线x+y—3=0的距离的最小值为d-r=41-

故选：A

3TC

6.若cos(tzH—)=—,则COS(2<7—)=()

353

247724

A.---B.----C.—D.

25252525

【答案】C

7T3717r37T3

【解析】由cosg+—)=—,得cos[(c——)+—]二—,即—sing——)=—,解得

3562565

sin(«

65

jrjrjr37

所以cos(2a-§)=cos2(cr--)=l-2sin2(cr--)=1-2x(--)2.

故选：C

7.三次函数/⑴=皿3+以2+5+2的图象如图所示.下列说法正确的是()

A.〃<0,b<0,c>0,d>0B.〃<0,b>0,c<0,d<Q

C.”>0,b<0,cvO,d<0D.a〉0,/;>0,cvO,d<0

【答案】D

【解析】函数/(x)=ax3+bx2+cx+d,求导得f(x)=3ax2+2bx+c,

观察函数图象，得函数/(%)有异号两个极值点玉/2,且玉<-2<0<w<2,

函数/（x）在（—°，再），（工2,4<0）上单调递增，在（须,X2）上单调递减，4=/（。）<。，排除

A；

八-2)=12a-4b+c<0

由一26(X1，/),2d(々,+°0),得则<

/'(2)=12a+4A+c>0

8b=/'(2)—/'(—2)>0,得力>0,排除C；

由不等式3公2+2笈+°>0的解集为（一8,石）1］（々,+8）,得3a>0,即。>0,排除

B；

又看,电是方程30^+2法+c=0的二根，玉x,=£<0,则c<0,选项D符合题意.

3a

故选：D

8.通常用24小时内降水在平地上的积水厚度（单位：mm）来判断降雨量的大小，如下

表：

降雨等级小雨中雨大雨暴雨大暴雨特大暴雨

积水厚度

(0,10)[10,25)[25,50)[50,100)[100,250)[250,+oo)

（mm）

某同学用如图所示的圆台形容器接了24小时雨水，则这24小时内降雨的等级是（）

<—200mm―>

40mm

A.中雨B.大雨C.暴雨D.大暴雨

【答案】A

由题意得AB=200mm,CD=40mm,=40+200=120mm,

2

所以容器内雨水的体积

・100=当°0°5,

3

52000071

52

所以小时内降水在平地上的积水厚度为=—mm

243

因为10〈——<25,所以这24小时内降雨等级是中雨.

3

故选：A.

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分)

9.已知等差数列｛«„｝的前〃项和为S,,,等比数列他,｝的前〃项和为7；.下列说法正确的是

()

A.数列｛邑｝为等差数列

n

B.若Sz=2,S6=12,则S4=7

C.数列｛；｝为等比数列

D.若”=94，则数列也｝的公比为2

【答案】ACD

【解析】对于A,令等差数列｛叫公差为d,则S“=叫+=

身江―2=q+'d—(%+巴二12)=&为常数，数列｛区｝为等差数列，A正确；

n+1n222"

对于B,等差数列｛%｝中，82,64—S2，S6—S4成等差数列，则2(54-2)=2+12-$4，

解得$4=6,B错误;

1

hhi1

对于C,令等比数列他/的公比为q,则¥=广=—为常数，数列｛厂｝

―2+1q",

b,

为等比数列，c正确;

对于D,等比数列也｝的公比为心由＜=94,

得%+%+%+“4+%+”6=9(%+%+%)，

则/(%+出+〃3)=8(〃]+%+〃3)，而〃]+&+〃3=/(1+q+q2)w0,解得q=2,D

正确.

故选：ACD

10.函数/(x)=Asin(0x+。＞0,|同＜(的部分图象如图所示.下列说法正确的是

7兀3兀

A.函数y=/(%)在区间上单调

函数y=/(久)在区间g,27r上有两个极值点

B.

函数y=/(久)的图象关于点F,0中心对称

7117兀

D.函数y=/(%)的图象与直线y=l在区间-—上有两个公共点

【答案】BD

71兀,_2兀

【解析】由图象可知，最小正周期7=-x2=7l=—

367CD

所以①二2,

Asin12鼻+夕)=2

t，，［一^，—21代入/(%)中得＜

将

Asin2-+(p=-2

A=2

结合|。|＜3,解得＜兀，

片一飞

所以/(x)=2sin[2x-《

因为y=2sinx在上不单调,

故A错;

,-n

xep,2n贝！]2x_qe

I6

上单调递增，在上单调递减,

所以“X)在［不,211)有两个极值点，故B正确；

lln八.(一1Inn=2sin—=-2,所以(野',0］不是/(%)的对称中心，故

2sin2-----------

666

C错；

/兀|TTTT

令f(x)=2sin2x----=1,解得x=―+左兀/eZ或x=—+而,左wZ,

16/62

i1>-1

因为,所以x=J"或g,所以/(x)的图象与直线y=1在-9~--上有

_212_62_212

两个公共点，故D正确.

故选：BD.

11.已知抛物线。：/=4'的焦点为尸，过点尸的直线/与抛物线。交于A,3两点.若

抛物线c在点A,3处的切线的斜率分别为占，k2,且抛物线c的准线与y轴交于点

N,则下列说法正确的是()

A.|AB|的最小值为4

B.若|AB|=4,则N4LNB

C.若左+七=4,则直线A3的方程为％—丁+1=。

TT

D.直线AN倾斜角a的最小值为一

4

【答案】ABD

【解析】抛物线。：/=4'的焦点/(0,1),准线方程为y=—l,N(0,—1),

显然直线/的斜率存在，设其方程为y=Ax+l,4和必),3(%,%)，

y=kx+l

由<,,消去y得_?一4履一4=0，显然A〉。，石+X,=44=一4,

k=4y--

对于A,\AB\=\AF\+\BF\=y}+l+y2+l=+2>^^+2=4,

当且仅当石=-々时取等号，A正确；

对于B,由选项A知，|AE|=|3E|=2,而|NF|=2,因此N4LN3,B正确;

对于C,由丁=；工2,求导得/=gx,则左1=：X],左2，

由勺+履=4,得%+%=8,则4左=8,解得左=2,直线AB的方程为

2x—y+l=O,C错误；

对于D,直线AN的斜率/^二互出二字士，|心，=卓[2斗薛=1，

国4国41玉|41玉|

当且仅当1%1=2时取等号，

।'11j।j।

则k<-l^k>l,因此直线AN的倾斜角aG[-,-)U(-,—]，

ANAN4224

77

直线AN的倾斜角a的最小值为一，D正确.

4

故选：ABD

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.己知i是虚数单位，复数z满足z(l—i)=l+i,则』=.

【答案】—i

rAmc.11+i(1+i)1+2i—1

【解析】z=---=,'"~-=-------=1,

1-i(l-i)(l+i)2

所以z=—i

故答案为：-i.

13.^+-j的展开式中，常数项为.(用数字作答)

【答案】60

【解析】由题意二项式展开式的通项为

令r=2,可得展开式的常数项为4=22・屐=60.

故答案为：60.

n

14.已知集合A={x|x为不超过左的正整数},ZreN,xk&Ak,=60,则”的

k=l

最大值与最小值之和为.

【答案】71

,7

【解析】由题意可得,4={1,2,3,…/cN*,且2>斤=60,

k=\

对于”的最小值，要尽可能让每一项/取最大值；

对于"的最大值，要尽可能让每一项队取最小值；

当々尽可能取大的值时，〃会取到最小值，

当Vx*=1时，n取到最大值，最大值为60；

1011

当/二左时，因为Z%=55<60,，％=66>60,

k=lk=l

所以取％=k(k=l,2,---,10'),x]i=5时，工刀卜=60,

k=\

此时n恰好取到最小值，

综上”的最大值为60,〃的最小值为11,

则〃的最大值与最小值之和为71.

故答案为：71

15.已知VABC的三个内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,且si〃A+&cosA

=0,a=7,b=3.

(1)求A和c；

(2)已知点。在线段上，且平分/B4C,求AD的长.

解：(1)在VABC中，由si〃A+A=0，得tanA=一百，

而0<4<兀，则A=—,

由余弦定理，Wa2=b2+c2-2bccosA，即49=9+。2+30，即c?+3c—40=0，

而c>0,所以c=5.

27r

(2)由(1)知，A——,由AD平分/B4C，得SAADC+=S^ABC，

1jr1jr19jr

即一/?•ADsin—+—c・ADsin—=—bcsin——,则(Z?+c)AZ)=Z?c,即8AD=15,

232323

所以AD=[

8

16.己知函数/(工)=m“一x+l(aeR).

(1)讨论函数/(x)单调性；

(2)若当。>0时，函数/(%)有两个不同的零点，求实数。的取值范围.

解：(1)函数/(x)=ae*-x+l的定义域为R,求导得/'(x)=ae*-1,

当aW0时，f'(x)<Q,函数/(x)在R上单调递减；

当a>0时，由/'(%)<0,得x<—lna；由/'(x)>0,得x>—lna,

即函数/(%)在(-8,Tna)上单调递减，在(Tna,+0。)上单调递增，

所以当aW0时，函数/(x)的单调递减区间是(-8,+8)；

当a>0时，函数/(幻的单调递减区间是(—8,—Ina),单调递增区间是(—Ina,+8).

(2)由(1)知，当。>0时，/(x)^=/(-Ina)=2+In«,

当X->-CO时，/(x)->+oo；当尤一>+CO时，/(无)—>+00,

要函数/(X)有两个不同的零点，当且仅当2+lna<0,解得Ovave」，

所以实数。的取值范围0<a<e-2.

17.如图，四棱锥P—ABCD的底面A5CD为平行四边形，上4_L底面A5CD,

?ABD90?.

(1)求证：平面八钻，平面QB。；

(2)若Q4=A5=5D,求平面与平面P£)C的夹角的余弦值.

(1)证明：在四棱锥P—A6CD中，由R4,底面ABC。，5Du底面A5CD,

得如，班>，

由？ABD90?,得AB_LBD,而上4cA3=AB4,A3U平面B4B,

则801平面MB,又5£><=平面P5£),

所以平面上48平面P5£).

(2)解：过8作直线Bz//B4,由上4_L底面A5CD,得及，底面A6CD,直线

5D,5A,5z两两垂直，

以点5为原点，直线BD,BA,Bz分别为苍％z轴建立空间直角坐标系，

令AB=1,又A5C£>为平行四边形，则3(0,0,0),。(1,0,0),。(1,-1,。),尸(。,1,1),

BD=(1,0,0),CD=(0,l,0),DP=(-1,1,1),

_m-BD=a=0

设平面PB£>的法向量为加=(a/,c)，则，_.,

m-DP=-a+b+c=0

取c=l，得加=(0,—1,1),

一n-CD=y=0

设平面PDC的法向量为〃=(x,y,z)，贝叫一.

n-DP=-x+y+z=0

取z=l,得7=(1,0,1),

—».一lm.nlI|

所以平面PBD与平面PDC的夹角的余弦值为Icos(m,n)|==厂厂=-

18.已知椭圆C:工+==l(a〉6〉0)的左、右焦点分别为£(-右,0),6(6,0),且

ab

椭圆C经过点D(V3,1).过点TQ,0)Q>2)且斜率不为0的直线交椭圆C于A,3两点,

过点A和的直线AM与椭圆C的另一个交点为N.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线的倾斜角为90。，求，的值.

丫221

解：（1）椭圆C:=+4=l的二焦点为耳（-0,0）,与（Jlo）,点。（A/3，Z）在椭圆C

ab2

上，

则2a=|。可|+|。心|=J(—20)2+(g)2+g=4,解得。=2,则

所以椭圆C的标准方程为—+/=1.

4

（2）依题意，点A,8不在x轴上，即直线AM不垂直于,轴，且直线AM不垂直于x

轴，否则A,5重合，

设直线4W方程为％=6+1，k/0,

Y=rCV+1

由2―：2,消去X得，/2+4）丁+2h一3=°，

X2+4/=4'-

显然A>0,设AOQIXN®,%），由直线BN的倾斜角为90。，得点8（%2，-%），

2k3

贝|J%+为=—%%=—7T^,所以3（必+%）=2份1%，

K十4/C十4

直线AN的方程为>—X=X+%