广东省六校2024-2025学年高二年级上册12月联考数学试题（含解析）

高二年级上学期六校联考数学

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号

填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.

不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

22

C:—=1（。>0/>0）

1.已知双曲线矿b~的离心率为J5,则C的渐近线方程为（）

A口，2亚

A.y=+—xB.y=+——x

y=±2x

【答案】D

【解析】

b

【分析】由双曲线的离心率求出一的值，即可得出该双曲线的渐近线的方程.

1+与=逐，可得2=2,

【详解】由题意可得e=£=

/7

b

因此，双曲线C的渐近线方程为y=±-x=±2x.

故选：D.

2.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角

形的欧拉线.已知及钻。的顶点坐标为A(O,O)I(0,4),C(4,4),则欧拉线的方程为()

A.x+y-4=0B.x-j+4=0

C.x+y+4=0D.x-y-4=0

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，判断三角形形状并求出垂心及外心，进而求出欧拉线的方程.

【详解】由4(0,0)1(0,4),C(4,4),得则RtAABC的垂心为8(0,4),外心为(2,2),

所以VABC欧拉线的方程为丁=——x+4,即x+y-4=0.

2—0

故选：A

3.已知抛物线必=：的准线为/,则/与直线8x—4y+3=0的交点坐标为(

5_j_

8，-2

7

昌16

【答案】D

【解析】

【分析】求出直线/的方程，再将直线/的方程与直线8尤-4丁+3=0的方程联立，可得出交点坐标.

【详解】对于抛物线必=：,2P=3,可得p=所以，其准线方程为y=-

224o

r1L-7

y——16

联立78,解得士:,

8x-4y+3=0y=

故选：D.

4.如图，在平行六面体—4与42中，底面ABC。和侧面4人。2都是正方形，

2兀

NB4A=3-,A3=2,点P是与CR的交点，则APAB^()

5,C1

X----------------%

A.4-2石B.2C.4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，取空间的基底{AB.AZZAA},求出ARM,再利用数量积的运算律计算即得.

【详解】在平行六面体ABCD一中，AB±AD,AAl±AD,AB=AD=AAl=2,

由点尸是与C。的交点，得AP=AD+DP=+++

..1

而ABj=AB+A4t,因此AP-AB]=5(45+胡+24。>(43+朋)

——-2-2一

110202271

=-(AB+A4+2AJB-A41)=-(2+2+2x2x2xcosy)=2.

故选：B

5.在三棱锥尸-ABC中，PA=PB=BC=6,AC=642,ABIBC,平面平面ABC,若球。是三棱

锥P-ABC的外接球，则球0的表面积为()

A.96兀B.84TIC.72兀D.48兀

【答案】B

【解析】

【分析】令.ABC.PA3的外心为取中点。，由己知可得四边形。。。仪是矩形，利用球的

截面性质求出球半径即可得解.

【详解】在VABC中，BC^6,AC=6^/2,AB1BC,则AB=?A=PB=6,AC中点。1为VABC

的外心，

于是OO]，平面ABC,取AB中点。，连接尸£>,则而平面平面ABC,

平面上18c平面ABC=AB,FDu平面上45，则？D,平面ABC,OOJ/PD,

令正的外心为。,,则。，为的3等分点，0,D=工PD义昱AB=#)，

332

又。。2,平面已45,则而则四边形OQDQ是矩形，

OOy=O2D=y/3,因此球。的半径R=。4=J(g)2+(3板力=再,

所以球0的表面积为S=4兀笈=8471.

故选：B

6.已知点。(3,0)和圆河：/+丁—4x—4y+4=0,圆M上两点4B满足|AO|=2|AD|,|BO|=2|BD|,

。是坐标原点.动点尸在圆M上运动，则点P到直线4B的最大距离为()

A.V2B.20C.2+A/2D.4+后

【答案】C

【解析】

【分析】求出满足IQO|=2|QD|的动点。的轨迹方程，进而求出直线A3方程，再借助点到直线距离公式

求得答案.

【详解】设满足IQO|=2|QD|的动点Q(x,y),则2g-3)2+/=卜+$，

整理得元2+9一8彳+12=0,则点。的轨迹是以(4,0)为圆心，2为半径的圆，

依题意，点在圆尤2+,2一8了+12=0上，圆M:(x-2)2+(y-2)2=4的圆心”(2,2),半径为2,

因为J(4—2)2+(。—2)2=2应w(0,4)，所以两圆相交，

则直线方程为x—y—2=0,

2L

点”(2,2)到直线43的距离1=g=42,所以点P到直线的最大距离为2+J5.

故选：C

y/

22

7.已知。是椭圆M:三+2r=1（0<b<3）上的动点，若动点。到定点尸（2,0）的距离|P0的最小值为1,

9b

则椭圆河的离心率的取值范围是（）

【答案】D

【解析】

【分析】设Q（3cosa》sin<9）,整理可得归6—12cos6+4+/,根据题意结合二次函

数分析可得34。2<9,进而可求离心率.

【详解】由题意可设：Q（3cosa》sin。），

2

则|PQ『=（3cos9—2）2+sh?6>=（3cos9—2）2+匕2（1一Cos6»）

=（9-b2kos之。一12cose+4+/,

令，=cosde［—1,1］,贝=（9—"2.2—12/+4+/,

注意到0<6<3,则9-加>（）,

可知了（。=（9—12f+4+/的图象开口向上，对称轴为/=3*>0,

当U^<1，即0<〃<3时，可知/⑺在［—1』内的最小值为

则4占卜倒"）［合［［4—卜4+从”

整理得"―6b2+9=o,解得/=3,不合题意；

当了，之1,即34/<9时，可知/«）在［-U］内的最小值为/。）=1，符合题意；

综上所述：3<b2<9.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：设Q（3cosa》sin〃），整理得|PQ『=（9—/'os?。—12COS6+4+ZA换元

r=cos6>e[-l,l],分类讨论对称轴的取值范围，结合二次函数最值求〃的取值范围.

8.已知矩形ABCZ）,AB=3,AD=遥，M为边。C上一点且=1,AM与交于点。，将

沿着AM折起，使得点。折到点尸的位置，贝Usin/PBQ的最大值是（）

A1B6「2回

33310

【答案】A

【解析】

【分析】分析可知，结合垂直关系可知40，平面P3Q,结合长度关系可知点P

在以点。为圆心，半径为且的圆上，结合圆的性质分析求解.

2

【详解】在矩形ABC。，AB=3,AD=C，DM=1,

由tan/2OC=弓可得/8。。=30,由tanZAATO=若可得NAMD=60，

则ZDQM=90,即5。，3,

可知折起后，PQBQ=Q,PQ,BQu平面P5Q,

故AM±平面PBQ,

因为40是确定的直线，故对任意点尸，尸,用Q都在同一个确定的平面内，

因为PQ=DQ=孝，可知点P在以点。为圆心，半径为手的圆上（如图）,

p

\QIB

由图知，当且仅当PB与该圆相切时，NP3Q取到最大值，则sin/MQ也取到最大值，

息

此时ZBPQ=90,=乎，则sinZPBQ的最大值为余=

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于在证明40，平面P3Q后，要考虑动点尸的轨迹，同时将5。

理解为点3与圆。上的点P的连线，结合图形，得出当且仅当与该圆相切时，NP3Q取到最大值的结

论.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知圆。：必+/=4,P是直线/:x+y—6=0上一动点，过点尸作直线加，分别与圆C相切于点

A,B,则()

A.圆C上恰有1个点到直线/的距离为3行-2

B.|出|的最小值是

C.|48|存在最大值

D.|AB|的最小值是生且

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出圆心C到直线的距离判断A；利用切线长定理计算判断B；利用四边形面积求得

|A6|=4/1—屋『，借助|PCI的范围求解判断CD.

【详解】圆。:炉+尸=4的圆心C(0,0),半径厂=2,

对于A,点C到直线/的距离△=+=3、历，点尸到直线/的距离的最小值为［―厂=3、历—2,

因此圆C上恰有1个点到直线/的距离为30-2,A正确;

对于B,|PA|=7lPC|2-IAC|2=7|PC|2-r2>7^2-r2=V14>当且仅当PC，/时取等号，B正

确;

对于CD,由PC垂直平分AB得，S_=1|PC||ABMSPACMPA||ACH

44A/7

—f=+,当且仅当PC，/时取等号，D正确，C错误.

则3甯寸-潟“J(3扬23

故选：ABD

抛物线r顶点在原点并以厂为焦点，过尸的直线/交抛物

43

线「于%),3(%,%)两点，下列说法正确的是()

A.若玉+%2=8,则|AB|二IO

B.当6/=4E4时，直线/的倾斜角为45。或135。

若”(4,2),P为抛物线「上一点，贝叫+户盟的最小值为屈

D.4AF+5尸的最小值为9

【答案】AD

【解析】

【分析】根据给定条件，求出抛物线r的方程，再结合抛物线的定义及韦达定理逐项计算判断得解.

22

【详解】椭圆C:?+(=l的右焦点尸(1,0),则抛物线r的方程为y2=4x,其准线为x=—1,

对于A,|AB|=|AF|+1BF|=+1+x2+1=10,A正确;

x=(y+l

对于B,直线/不垂直于y轴，设直线凡8：%=。+1,由＜2\消去心

y=4x

得/一4?-4=0,则H+由3歹=4取，得%=一4%，

34

联立解得％=±1,加=±公，因此直线/的斜率为±§,倾斜角不为45°，B错误；

对于C,过点尸作PG垂直于准线x=—1于G,过M作MQ垂直于准线x=—1于。,

由抛物线定义得|=|PG|,因此|+1PF|=|PG|+1闫MG|.M2=5,

当且仅当尸是线段MQ与抛物线「的交点时取等号，C错误；

对于D,|AF|=X+L|5F|=X2+1，由选项B知，/%=-4,则//=（"]'）=1，

又玉,々〉0，因此41A+=4石+4+%+1=4%+5>2^4x1x2+5=9,

当且仅当4玉=%2=2时取等号，D正确.

故选：AD

11.如图，三棱台A3C—4与。1中，M是AC上一点，平面,zABC=90°,

AB=BC=CQ=2,AlBi=1,贝!!()

A.AB〕//平面BMC]

B,平面BMC]，平面3。。1片

7

c.三棱台ABC—A用G的体积为-

D.若点P在侧面上运动(含边界)，且CP与平面ABB】A所成角的正切值为4,则2尸长度的最

小值为好

5

【答案】ACD

【解析】

【分析】令⑸C=0,利用线面平行判定推理判断A；求出点M在平面片上的投影点位置

判断B；求出棱台体积判断C；求出点尸的轨迹判断D.

【详解】对于A,令3cl「30=0,连接M0,由用£/ABC,蛆=M=_L,得

BCAB2

B04cl_1

由得出=!=虹，则AB//MO,

2MC2OC

而MOu平面3GM,A4a平面5GM,则A5"/平面3G”,A正确；

对于B,由CG，平面ABC,ABu平面ABC,得CCi^AB,而

CC[3。=。,。。],3。匚平面3。。4,则AB,平面3CC1用，在3c上取点N,

使得BN=LNC,则4"=网，MN//AB,因此平面5。£用，

2MCNC

即点M在平面3CC1用上的投影为线段BC上靠近点B较近的3等分点N,又点N不在直线BCi,

则过点M与平面BCC&1垂直的直线不在平面BMC,内，因此平面BMC,与平面BCC^不垂直，B错

误；

对于依题意，

C,XA1lB1lC1l=90,SARC=—xlxl=—2',SAQBUC=—2x2x2=2,

三棱台ABC-A.B.C,体积V=g(g+,gx2+2)x2=g,C正确；

对于D,由选项B知，A3,平面5CG4,而ABu平面A54A，则平面，平面§CG片，

过C作“，33]于“，平面平面BCC13i=33],则CH1.平面45及4,

CC24

在直角梯形BCCi与中，sin/CBg=瑞=不，在直角Va“中，CH=CBsinNCBB1=忑

BH=正，由CP与平面ABB】A所成角的正切值为4,得tanNCPH=4,HP=———=叵,

5tanZCPH5

因此尸点轨迹是以“为圆心，手为半径的圆在侧面内圆弧，的最小值为骼=骼,

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线4:四一丁一2024=0,/2：（3。一2）%+世+2025。=。，若乙上乙,则实数°的值为.

【答案】0或1

【解析】

【分析】利用两条直线垂直的充要条件，列式求出。值.

［详解］直线4:ax-y-2024=0,/2:(3a-2)x+ay+2025a=0,

由乙_1_4，得a(3a—2)—a=0,解得a=0或a=1,

所以实数。的值为0或1.

故答案为：0或1

22

13.已知片，鸟,3分别是椭圆C:=+二=l（a〉6〉0）的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C

ab

于点P,若.为等腰三角形，则椭圆c的离心率为

【答案】9小

【解析】

【分析】若1咫1=根，根据椭圆的定义有1尸8|=。+机、\PF2\=2a-m,应用余弦定理及

cos/PGB+cosNBGB=0得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率.

【详解】由氏2台为等腰三角形，耳|=|8玛|=〃，则有|P8|=|PBI,而|尸耳|+|尸耳|=2〃,

IPB|=|PF1|+1BF1|,若|PFX\=m,则|PB\=a+m,\PF2\=2a—m,

由a+"i=2a—m,得加="|,贝ij|尸耳尸61二三,

在△地工中，CM即右冒吃

在.「6月中，cosZPF^=+TM「_至-a2

2|P耳||朋|ac

即£='「―2厂，整理得3c2=4，则0=£=走

+cosZBfJ7^=0,

COSZPFXF2

aaca3

14.已知实数x、y满足％忖+引引=1,则|x+y—4]的取值范围是.

【答案][4-0,4)

【解析】

【分析】化简曲线方程，作出图形，令/=x+y—4,求出当直线x+y—f—4=0与曲线相切时，以及直线

x+y—/—4=0与直线x+y=0重合时对应的『的值，数形结合可得出/的范围，由此可得出|x+y—4|的

取值范围.

【详解】当x»0,yNO时，曲线方程可化为必+/=1；

当x<0,y»0时，曲线方程可化为V—炉=i；

当x<0,y<0时，曲线方程可化为—炉一y2=],即曲线1国+丁3=1不出现在第三象限;

当了20,y«0时，曲线方程可化为炉―V=i,

作出曲线%闪+引丁|=1的图形如下图所示:

设/=x+y——4,即x+y——/——4=0,

由图可知，当直线x+y-f—4=0与圆炉+丁=1相切，且切点在第一象限时，

l-r-41广

则^^=1，且—f—4<0,解得.=我一4，

72

由因为双曲线-y2=1、y2_%2=1的渐近线方程均为x土y=。，

当直线x+y—t—4=0与直线x+y=0重合时，

所以，—4〈/〈行—4，故|x+y—4|="e[4—后,4).

故答案为：[4-72,4).

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用己知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在四面体ABCZ)中，平面A8CLL平面AC。，ABLBC,AC=AD=2,BC=CD=\.

D

（1）求四面体ABCD的体积;

（2）求平面ABC与平面48。所成角的正切值.

【答案】（1）旦;

8

（2）^1.

7

【解析】

【分析】（1）作OOLAC于。并求出。0,证得平面ABC,再利用锥体的体积公式计算得角.

（2）过。作OE/ABC交于E，利用几何法求出面面角的正切.

【小问1详解】

在四面体ABC。中，在平面ACQ内过点。作DOJ_AC于。，

由平面ABCLL平面ACD,平面ABC平面ACD=AC,得。。_1_平面ABC,

在A8中，AC=AD=2,CD=1,贝=位JsinZA。=、"=史,

AC4V44

于是。0=CDsinNACD=孚，在VABC中，AB±BC,BC=1,则AB=防—俨="

S.ABC=-ABBC=~，所以四面体ABC。的体积V=1SABC-D0=-X—X^-=—.

△由223ABC3248

由（1）知，OOL平面ABC,ABu平面ABC,则。O_LAB,

过。作OE/ABC交43于E,连接。£,由ABL3C,得0ELA5,

而OE。0=0,0石,。0<=平面。。£,则平面。又DEu平面。0E，

因此AB_L,ZDEO是平面ABC与平面ABD所成的角，

由(1)知AO=-,由三=皿，得。E=?,

44BCAC8

所以平面ABC与平面ABD所成角的正切值tanZDEO=型=羽5.

0E7

16.已知点尸、。的坐标分别为(—2,0)、(2,0)直线尸河、相交于点〃，且它们的斜率之积是

(1)求点〃的轨迹方程；

(2)若直线A3与点M的轨迹交于A3两点，且Q4LOB,其中点。是坐标原点.试判断点。到直线

A3的距离是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】⑴±-+/=1(%^±2)

(2)定值，且定值为2叵

5

【解析】

【分析】(I)设点w(x,y),则xw±2,利用斜率公式结合左=-；化简可得出点"的轨迹方

程；

(2)分析可知，直线Q4、08的斜率存在且都不为零，设直线Q4的方程为丁=依，则直线08的方程

为丁=-将直线Q4的方程与椭圆方程联立，求出|。4「，同理可得出口却2,再利用等面积法可求

k

得点。到直线A3的距离.

【小问1详解】

设点”(x,y),贝Uxw±2,

由题意可得即“生———=---整理可得土+丁=1.

x+2x-244

所以，点/的轨迹方程为、+/=1(*片±2).

【小问2详解】

由题意可知，直线。4、03的斜率存在且都不为零，

设直线Q4的方程为丁=依，则直线08的方程为丁=-

k

4

y=kx1+4左24+4/2

联立可得＜，贝可。=x2+.y2

x1+4y2=44k2―1+4左2

y2

1+4左2

同理可得|。砰

则原点。到直线的距离为

d_|。叶|。3|_|。4卜|。3]_]_]_275

lABlJ|OA|+|OB|2I][]Jl+442+42工5

'V|O4「\OBfV―4-2+4

因此，点。到直线AB的距离为公已.

5

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种:

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关;

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

17.如图，在斜三棱柱ABC-431G中，VA3C是边长为2的等边三角形，侧面BCQ耳为菱形,

NBBiC=60,ABt=3.

(1)求证：±BXA；

（2）若尸为侧棱8片上（包含端点）一动点，求直线PG与平面ACC4所成角的正弦值的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

屈3713

(2)-B-，13

【解析】

【分析】（1）由题意结合图形中的几何关系取的中点。，先证明平面再由BC〃4G证得

与G1平面AB0,从而证出BXCXLBXA.

（2）根据图形中几何关系建立空间直角坐标系，再利用向量法求出线面角正弦值的表达式，最后结合函数

的单调性求出正弦值的取值范围.

【小问1详解】

如图所示,

取5c的中点为O,3CG用为菱形，且/84。=60,

所以用为等边三角形，BC±BXO,

又VA3C为等边三角形，则3C_LAO,

所以BCL平面AO瓦，

又BC〃B\Q,BXCX1平面AOB,，用Au平面AOB1,

所以用与A.

【小问2详解】

如图所示，

Zk

在，AO与中，AO=BlO=y/3,ABi=3,由余弦定理可得

(百产+(百T—3212兀

cosZAOBj=所以NAC>4=可-

2x^3x^3

由（1）得3cl,平面AO4，因为3Cu平面ABC,所以平面A04_1_平面ABC,

所以在平面AOB1内作Oz，QA,则Oz_1平面ABC,

以。L,OC,Oz所在直线为了轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示:

则0,；],3(0,-1,0),A(后0,0),c(0,1,0),G

I22J

设方=（x,y,z）是平面ACGA的一个法向量，AC=^-A/3,1,0^,

-+y=0

[巫23、n-AC=0

AC1=1F?,则・即v3四c3八

n-AC1-0--------x+2y+—z=0

、22

取z=l得"=(—6,—3,1),

设第=2阴（0<2<1）,

C[P=GB+BP=C]B+ABB]

设直线PC,与平面ACQA所成角为夕,

n-CP_________6__________________3

则sin。=cosx

I4MV13xj4(3-3/U3)岳x，川-34+3

3

令/(#=（OVXWl）,则/（4）在［0,1］单调递增,

而x〃2—32+3

V393A/13

所以/■(/1)€

-B-，13

V393A/13

故直线PC.与平面ACQA所成角的正弦值的取值范围为-B-，13

18.已知双曲线C的渐近线方程为百x±y=O,过右焦点/(2,0)且斜率为左的直线/与C相交于A、B

两点•点3关于％轴的对称点为点E.

(1)求双曲线C的方程：

(2)求证：直线AE恒过定点，并求出定点的坐标；

(3)当人之2时，求△AEF7面积的最大值.

2

【答案】(1)f—匕=1

3

(2)证明见解析，定点坐标为

(3)18

【解析】

【分析】(1)设双曲线C的标准方程为，-.=1(。〉0］〉0),根据题意可得出关于。、b的方程组,

解出这两个量的值，即可得出双曲线C的标准方程；

(2)分析可知，k彳0,设机=工，可得出直线/的方程为％=切+2,点力(%,%)、5(%2,y2),则点

k

E(马,—%)，分析可知，直线AE过x轴上的定点7亿0),将直线/的方程与双曲线的方程联立，列出韦

达定理，求出直线AE的方程，将点T的坐标代入直线AE的方程，求出/的值，即可得出定点的坐标；

(3)利用三角形的面积结合韦达定理可得出S&EF=1其中加e［结合函数的单调性可得

----3mI2

m

出4AEF面积的最大值.

【小问1详解】

22

根据题意，设双曲线C的标准方程为与-4=l(a>Q,b>0),

CTb2

/+b2=4

b厂〃二1

由题意可得《—=V3,解得<广，故双曲线C方程为必

a［力=方

a>0,b>0

【小问2详解】

当左=0时，此时，点A、3为双曲线的顶点，不合乎题意;

当上中0时，设机=工，则直线/的方程为x=my+2,

设点4（%1,yj、B（%2>y2）,则点£（%，—%），

由对称性可知，直线AE过x轴上的定点T（t,0）,

x=my+2

联立可得（3辰-1）/+12冲+9=0,

3x2-y2=3

3m2-1^0

由题意可得《/\/\,解得mw±是,

A=144m92-36（3m92-11=36（m92+1）>03，

12m9

由韦达定理可得%+%=-

3疗—1'y'y2~3m1-1

7y+%y+g

则AE的斜率为左”二，直线AE的方程为—、

将点T的坐标代入直线AE的方程可得，=曰（"西），

不俎一V%（%—々）_%逮2+%弘_（7盯1+2）%+（7盯2+2）%

口J代工=X------------------------------=--------------------------------

%+%%+%X+%

18m

：2切必।c=3疗-1।1

_%+%12m5，

3m2-1

此时，直线AE过定点

综上所述，直线AE过定点

【小问3详解】

1(119

因为人之2,则/九=740,7,且%%=——-——<0,

k[2一一3m--1

9

---3m

m

因为函数/(机)=l一3根在(0,；上单调递减，

19F

故当机=—时，S^F取最大值，且最大值为03".

22-3

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函

数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

19.如图所示，在平面直角坐标系中，点P(x,y)绕坐标原点。逆时针旋转角。至点P(x',y').

x'=xcos6-ysin0,

(1)试证明点的旋转坐标公式：\.八八

y=xsin，+ycos”.

(2)设6e(O,2»),点《(0,-1)绕坐标原点。逆时针旋转角夕至点4，点，再绕坐标原点。旋转角，

至点鸟，且直线片鸟的斜率左=—1,求角夕的值；

(3)试证明方程炉+若孙=6的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标.

11

TV

【答案】（i）证明见解析；（2）e=u上、,；（3）证明见解析;焦点坐标为6（-2A/3,-2）与R（2A/3,2）.

266

【解析】

【分析】（1）由任意角的三角比定义及三角恒等变换可得出变换前后的坐标的联系，从而得证；（2）把点

4,鸟的坐标先用极坐标表示，然后利用直线《2的斜率左=-1列出方程，再根据角e的范围求出e的

可能值；（3）由旋转坐标公式求出旋