高考数学模拟大题规范训练22（含答案及解析）

高三数学大题规范训练（22）

兀

15.已知VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,A=2B,且Aw—.

2

（1）求士"的值；

bcosA

（2）若4c=5",VA3C的面积为身"，求VA3C的周长.

4

16.为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题人根据所获

得的分数获得相应的奖品.工作人员给每位答题人提供了48两类题目.规定每位答题

人共需回答3道题目.现有两种方案供答题人任意选择：

甲方案：只答A类题目；

乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，

每次答错时，则下一次答B类题目.

已知A类题目每次答对得40分，答错得。分，8类题目每次答对得30分，答错得0

23

分.若小李每道A类题目能答对的概率均为二，每道B类题目能答对的概率均为g,且每

道题能否答对与回答顺序无关.

（1）若小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分的概率；

（2）若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？

17.如图，在四棱台4与G2—A38中，四边形A5CD是边长为4的菱形，

ZABC=60°,平面ABC。，AA1=^=2.

(1)证明：AC1AB!；

（2）求二面角4—片的正弦值.

221

18.已知椭圆C：1+]=1（。〉。〉0）的离心率为万右顶点。与c的上，下顶点所

围成的三角形面积为

(1)求C方程.

(2)不过点。的动直线/与C交于A,B两点，直线QA与Q3的斜率之积恒为;.

(i)证明：直线/过定点；

(ii)求AQAB面积最大值.

19.已知函数/(x)=5，g(x)=/(x)+tzx.

(1)若g(x)在尤=0处取得极值，讨论g(x)的单调性；

(2)设曲线y=/(x)在点尸(加"(相》(0＜加＜2)处的切线为/,证明：除点尸外，曲

线段y=/(x)(0WxW2)总在/的下方；

1140--

⑶设“5一所+而丁证明：\ga，)W2e2°+2a.

高三数学大题规范训练(22)

7T

15.已知VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,A=2B^且Aw—.

2

c—h

(1)求;------的值；

bcosA

(2)若4c=5》，VABC的面积为"也，求VABC的周长.

4

【答案】⑴2；(2)15.

【解答】

【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及二倍角公式化简即得.

(2)利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换求出cosBsinbsinA,再利用三角形面积

公式计算即得.

【小问1详解】

,,一一」c-bsinC-sinBsin(A+B)-sinB

在VABC中，A=2B,由正弦定理得------=------------=-----------------

bcosAsinBcosAsinBcosA

sin2BcosB-sinB,2sinBcos2B-sinB.cos23,八

=-----------------------+1=--------------------------+1=--------+1=2.

sinBcosAsinBcosAcos2B

【小问2详解】

由4c=5Z?及正弦定理，得sinC=』sin3,即sin33=9sin3,

44

则sinBcos2B+cosBsin2B=—sinB,即sinB(2cos23—1)+2cos?BsinB=—sinB,

44

9IT3

而sin3>0,则cos23=—，又0<25<兀，即0<B<—,解得cos3=—,

1624

._V7

sinBR=----,

4

sinA-sin2B—2sinBcosB=,由7ABe的面积为,得

84

1,-_15A/7

—besinA4--------，

24

则匕c=20,又4c=53,解得c=5,b=4,又l^csinB="立，则ac=30,解得

24

a=6,

所以VA5C的周长为a+〃+c=15.

16.为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题人根据所获

得的分数获得相应的奖品.工作人员给每位答题人提供了48两类题目.规定每位答题

人共需回答3道题目.现有两种方案供答题人任意选择：

甲方案：只答A类题目；

乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，

每次答错时，则下一次答B类题目.

已知A类题目每次答对得40分，答错得。分，8类题目每次答对得30分，答错得0

23

分.若小李每道A类题目能答对的概率均为不，每道B类题目能答对的概率均为《，且每

道题能否答对与回答顺序无关.

（1）若小李采用甲方案答题，求他得分不低于80分的概率；

（2）若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？

44

【答案】（1）—

125

（2）乙方案

【解答】

【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可；

（2）由二项分布求出小李采用甲方案答题的期望石（丫），若小李采用乙方案答题，则设他

的得分为Z，求出Z的可能取值及其对应的概率，由数学期望公式求出E（Z）,由

E（N）＜E（Z）即可得出答案.

【小问1详解】

若“小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分”记为事件E,

则小李至少答对2道A类题目，

所以但呜⑶+呜［茅蔑

【小问2详解】

若小李采用甲方案答题，设他的得分为y,则他答对的题数为x,

且乂~3（3,1],所以E（x）=3x|=g,

则E（y）=40E（X）=40xg=48,

若小李采用乙方案答题，则设他得分为Z，Z的可能取值为0,30,40,70,80,120,

呻=。）=衿冬高呻=3。）=|><|><|+|><|><|=《

71c、2321223333236

P（Z=40）=-x-x-=—,P（Z=70）=-x-x-+-x-x-=—

,、22312,.2228

p（Z=80）=-x-x-=一,P（Z=120）=-x-x-=—

'7555125'7555125

所以

1254

E（Z）=0x—+30x—+40x—+70x—+80x—+120x—=50.16

12512512512512512525

因为E（y）<E（Z）,

所以小李想要答题得分的期望值更大，应该选择乙方案答题.

17.如图，在四棱台A3C。中，四边形ABCD是边长为4的菱形,

ZABC=6Q°,平面ABC。，AAi=AlDl=2.

（1）证明：AC±ABX.

（2）求二面角Al-CDi-Bl的正弦值.

【答案】（1）证明见解答；

⑵*

【解答】

【分析】（1）根据给定条件，以点A为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量

证明推理即得.

（2）求出平面AC。和平面片CDi的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.

【小问1详解】

菱形A3CD中，ZABC=60°,则VA3C是正三角形，在平面A3CD内过A作

Ax-LBC,

由AAJ,平面ABCD,得直线Ax,AD,AA两两垂直，

以点A为原点，直线Ax,分别为羽轴建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),C(26,2,0),4(。，。，2),。1(0,2,2)，4(百,-1,2)，

于是卡=(2"2,_2)布=(5T2),4C-A^=273x73+2x(-l)-2x2=0,

因此豕，函，所以

【小问2详解】

由(1)知，西=(—26,0,2),加=(0,2,0),皿=(—6,3,0),

拓・西=-2氐+2z=0

设平面4。。法向量3=（x,y,z）则」令x=l,得

万・=2y=0

3=(1,0,®

_fm-CD,=-2s[3a+2c=0

设平面5c。的法向量机=(a,仇c),贝ij—L「令Q=^3,得

n-B1Dl=73a+3b=0

m=(G,1,3),

设二面角A-CD]-B]的大小为0,则Icose\=\cos(m,ri)|=呼T=,

17/t||nIV13x2J13

所以二面角4—CD]—4的正弦值为sine=Jl—（茱）2=*

221

18.已知椭圆C：=+多=1(。〉。〉0)的离心率为一，右顶点。与C的上，下顶点所

ab2

围成的三角形面积为2石.

(1)求C的方程.

(2)不过点。的动直线/与。交于A,3两点，直线QA与。3的斜率之积恒为1.

(i)证明：直线/过定点；

(ii)求AQAB面积的最大值.

22

【答案】(1)二+匕=1;

43

(2)(i)证明见解答；(ii)述.

2

【解答】

【分析】(1)根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得.

(2)(i)设出直线/的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得;

(ii)由(i)的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值.

【小问1详解】

尤2V21cl

令椭圆。：\+==1的半焦距为。，由离心率为不，得一=不，解得

02b22a2

a=2c,b=Ja2—c2=A/3C，

由三角形面积为2百，得次?=则C=1,a=2,b=A/3,

22

所以C的方程是土+乙=1.

43

【小问2详解】

(i)由(1)知，点Q(2,0),设直线/的方程为彳=冲+”，设4周,%),8(%,%)，

x=my+n

22

由《10消去X得:(3m+4)y2+6mny+3n—12-0,

3X2+4/=12

6mn3n2-12

贝1%+%=-，X%=

3m2+43m2+4

%

直线QA与QB的斜率分别为k=,k

QA再一2QB工2—2

干是左_k=__________些__________=___________________________________

QAQB2

(my1+n—2)(my2+n—2)+m(n—2)(^+y2)+(n—2)

3/—12

_______________3m2+4______________

23n2-12/x6mn/、2

m---z----m(n—2)---z----F(n-2)

3m2+4173m2+4v7

二:"T21,整理得1+2”—8=0,解得〃=—4或“=2,

4n2-16n+16=4

当“=2时，直线％=冲+2过点。，不符合题意，因此”=—4,

直线/：元=加,一4恒过定点?(7,0).

24m_36

(ii)由⑴知,%+%3初2+4'"%-3加2+4

2144_12Vm2-4

贝UIX_%1=)(%+%)2-4%%576m

(3m2+4)23m2+43m2+4

_1i_36\lm-4_36

因此AGAB的面积以四-51％—%I-3(而2_b+16-3、京1116

V?n2-4

喘=半当且仅当35二H，即一半时取等号,

所以AQAB面积的最大值为也.

2

【小结】思路小结：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最

值问题，可以以直线的斜率、横（纵）截距、图形上动点的横（纵）坐标为变量，建立函数关系

求解作答.

19.已知函数/'(%)=jg(x)=/(x)+ax.

(1)若g(x)在x=0处取得极值，讨论g(x)的单调性；

(2)设曲线y=/(x)在点P(m"(M)(O(机<2)处的切线为/,证明：除点尸外，曲

线段y=/(x)(O<x<2)总在/的下方；

1140--

⑶设XLrkTk'证明：自g(Z)W2e20+2a.

【答案】(1)答案见解答

(2)证明见解答(3)证明见解答

【解答】

【分析】⑴由g(x)在无=0处取极值待定。，再求导函数g'(x),根据导函数的单调性与

零点确定符号变化区间，从而讨论g(x)的单调性；

(2)构造函数将命题转化为F(x)=/(x)-二"X-1<0在区间［0,2］恒成立，通过二次

emem

求导方法，逐次观察新的导函数零点与探究单调性，再通过连锁讨论回归分析原函数值的范

围即可；

(3)应用第(2)问结论赋值根=——得/(x)V20x+——e20,由此放缩后运算求和

2020400

即可得证.

【小问1详解】

7XX，/、1-x

S［x)=-+ax,xGR,g(x)=-----ha,

''eAe"

由g(x)在x=0处取得极值，得g'(0)=a+l=0,解得a=—1.

当。=—1时，gV)=^-l=1"X；eA,

ee

设9(x)=l-x-则9(x)在R上单调递减，且9(0)=0.

则当x<0时，o(x)>9(0)=0,即g'(x)>0,故g(x)在(-8,0)单调递增;

当x>0时,<p(x)<(p(O)=0,即g'(x)<0,故g(x)在(0,+oo)单调递减;

故g(x)在X=O处取到极大值，满足题意.

g(x)在(-co,0)单调递增；g(x)在(0,+CO)单调递减.

【小问2详解】

•.•/(%)=『XER,r(x)=9^,

•••曲线y=f(>)在点P(九/(〃?))处的切线/的斜率为二3，0<m<2.

e

故切线方程为y—：=L^(x—m)，即丁=匕强》+"；

a根u1n\,

cccmcm

构造函数/(x)=/(x)」,"x-3,0<x<2,

即砥

x)=2x--rn,其中尸(根)=0,

el,/、1-x1-m

则/(x)=[-------XER

ee

Y—2

则G'(x)=±-,令G'(九)=0,得％=2,

e

当x<2时，G'(x)<0,故G(x)在2)单调递减；

当x>2时，G'(x)>0,故G(x)在(2,+“)单调递增；

所以G(x)在［0,2］单调递减，且G(加)=0,0<m<2,

故当0<x<m时，G(x)>0,即/'(x)>0,则E(x)在［0,回单调递增;

当加<xW2时，G(x)<0,即/(x)<0,则尸(x)在(机2］单调递减；

故F(x)在x=相处取极大值，且极大值为F(m)=0,

当且仅当x=7”时，F(x)=0.

所以当xe［0,2］时，尸0)<0恒成立.即/(功—?》—如40恒成立，

emem

故除点尸外，曲线段y=/(力(0WXW2)总在/的下方，命题得证.

【小问3详解】

X1—rri俏2

由(2)结论，任意0<m<2,0<x<2,二<L_^九+2恒成立.

eeem

11

又由七二鼻*后木后二可知，｛%｝单调递减,

巫＜、2,故区＜4加2

则。y=9就%+2恒成立,

x

44e«一e租〃e根

1Y1Q--1-X

令根=——,则一——e20x+——e2。恒成立.

20W20〃400

又由％,二:XI-------1r—=7(J2"+l-

2J2〃+1+J2〃—14、