高考选填题解题技巧全攻略 2025年高考数学复习热点题型专项训练

热点题型•选填题攻略

专题00高考选填题解题技巧全攻略

o-----------选填题•解法大全-----------♦>

方法一直接法..........................................................1

方法二排除法..........................................................4

方法三特例法..........................................................7

方法四构造法..........................................................9

方法五数形结合法......................................................12

方法六建系法..........................................................16

多选题方法攻略..........................................................21

选填题高考通关..........................................................30

o-----------选填题•解法探究-----------<>

方法一直接法

一—直接法在迅奔画币的真体应再就豆直接屈浚豕徉由受「刘甬巨如家柞「湿美掘卷「il届「公式丁公一

理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题

目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支.这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而

来，其基本求解策略是由因导果，直接求解.

由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空

题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运

算过程，快速准确得到结果.

彳典砒诃练j

一、单选题

1.(24-25高三上・北京•阶段练习)设等比数列｛。“｝的各项均为正数，为其前"项和，若

9

%=2,a2a3“4=。9则$3=()

A.6B.8C.12D.14

【答案】D

【分析】结合等比数列的性质可计算出公比9,由等比数列前项和的定义即可求得S3.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,则在%%=%=。讨=请,

又因为q=2,贝(]8/=2q8,所以才=4

又等比数列｛%｝的各项均为正数，故4=2,

则&=%+。2+。3=%(1+q+q?)=2(1+2+4)=14.

故选：D.

2.（24-25高三上•河北沧州•期中）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，

常用pH值来表示溶液的酸碱度.pH的计算公式为pH=-lgc（H+）,其中c（H+）表示溶液中氢离子的浓度,

单位是摩尔/升.已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的pH值约为（参考数据：

lg2«0.301,1g3«0.477）

A.0.268B.0.87C.1.13D.1.87

【答案】B

【分析】由pH的计算公式及对数的基本运算求解即可.

【详解】解：由题意得

pH=-lg0.135

=-lg（135xl0-3）

=-lgl35+3

=-lg（33x5）+3.

=-31g3-1g5+3

=-31g3-（l-lg2）+3

=-31g3+lg2+2

»0.87.

故选：B

3.（2024高三・全国•专题练习）每年的5月25日是全国大中学生心理健康日.某高校计划在这一天开展有

关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排法

总数为（）

A.540B.120C.90D.60

【答案】C

【分析】先将6位老师平均分成三组，再将三组分配即可.

【详解】将6位老师平均分成三组，共有巧”种可能,

三组老师分别到三个不同的班级进行宣讲，每个班级都有老师宣讲,

C2c2c2

则有•A；=90种排法.

A；

故选：C.

4.（24-25高三上•天津•阶段练习）已知函数〃x）=2cos（。＞0）在（0,兀）有且仅有2个极小值点，且

6）

兀兀

在上单调递增，则。的取值范围为（）

3'万

【答案】D

TT__diTT

【分析】xe（O,兀），求出0X+T的范围，对应极小值点时，区间的右端点在（3无,5可上，龙e（W）对应单调

632

递增，包含在区间E,2可上，分别得出。的范围后取交集可得.

【详解】xe（（U）时，5+为（巴,0兀+女），

666

7r1779

/'（X）在（0,兀）有且仅有2个极小值点，则3%<5+：45兀，—<a><—,

666

―需）,则ox+]e（?+刍W+今,又〃x）在值外上单调递增,

3263626kJ1）

,〃>兀71

71<——+一,

36511

则

CDlt兀，八23

—+—<2K

[26

-17,11

所以

O3

故选：D.

二、填空题

5.（24-25高三上•江西南昌•阶段练习）已知向量的夹角为差方=（追,1雨=1,则,-同=.

【答案】V7

【分析】利用向量的数量积的定义，求得万石=-1，再根据卜七。20B+庐,即可求解.

【详解】因为问=i,|5|=7（V3）2+I2=2,（a,s）=y,

所以1石=同.问cos（a,B）=2xlxcosg^=-l,

所以归-可=#-盯=yla2-2a-b+b2=^4-（-2）+1=g.

故答案为：V7.

6.（24-25高三上•天津•阶段练习）已知抛物线/=2px（p>0）,经过抛物线上一点（1,2）的切线截圆C：

（x-a）2+y2=4（a>0）的弦长为2行，则。的值为.

【答案】1

【分析】由题意可得：/=4x,设切线方程》=机（了-2）+1,结合相切可得加=1,根据垂径定理结合弦长

关系列式求解即可.

【详解】因为抛物线y2=2px（p>0）过点（1,2）,贝!12P=4,得到。=2,所以「=4一

显然切线斜率不为0,设切线方程为工=机（了-2）+1=叼+1-2机,

\x=my+1—2m°/、

联立方程2；，消去X得/-47町+42优-1=0,

[y=4x

贝！JA=16〃/_16（2机7）=0,整理得至I]相_2〃?+]=0,解得仅=1,

所以切线方程为》=〉-1,即》-尸1=0,

又因为圆。：（》-。）2+/=4（°>0）的圆心。伍,0）,半径厂=2,

则圆心C（a,0）到直线x-y+l=0的距离d=*,a>0,

2

由题意可得+（0『=22,整理得至+24-3=0,解得。=1或。=-3（舍）.

故答案为：1.

方法二排除法

一用F窿法是二邪而接篇法「而就息我而至持的命选族「布入聒症法「箕荚届就戛春齐不容百函百鎏炙而一

选项，找到符合题意的正确结论.也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐

一剔除，从而获得正确的结论.具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，比

如，可以把一些简单的数代入，符合条件的话就排除不含这个数的范围选项，不符合条件的话就排除含这

个数的范围选项，即：如果有两个选项AB你就可以选取1这个数看是否符合题意，

如果1符合题意，你就排除B,如果1不符合题意，你就排除A,这样就能快速找到正确选项，当然，选取

数据时要考虑选项的特征，而不能选取所有选项都含有或都不含有的数；也可以根据各个选项对熟悉的知

识点进行论证再排除，比如，四个选项当中有四个知识点，你就可以把熟悉掌握的知识点进行论证，看是

否符合题意即可快速而且正确找到选项，而不会因为某个知识点不会或模棱两可得到错误选项.

而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决部

分高考选择试题从而节省时间的有效方法.那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你已经

求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除.所以，我们要熟

练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间!

1.下面四个命题：

Pi：命题“V〃eN,〃2>2'”的否定是“加。WN,〃02V2"。”；

p2:向量a=（见1）,5=,则加=及是。_LZ>的充分且必要条件;

22

A：已知双曲线5-2=1（。>0,6>0）的一条渐近线经过点（1,2）,则该双曲线的离心率为后；

ab

p4：在等比数列｛4｝中，若&=2,d=8,则e=±4.

其中为真命题的是

A.Pi，P2B.p2,p3

C.PZ，PAD.pm

【答案】B

【解析】方法一：

对于Pi：命题“7〃€2〃2>2"”的否定是叮〃06电〃。2<2"。"，所以0是假命题，排除A,D；

22k

对于夕3：双曲线♦-与=1（。>0,6>0）的一条渐近线经过点（1,2）,则有一=2,则离心率

aba

C1+4=石，所以2是真命题，排除C,故选B.

e=—

aa

2.已知邑为数列｛%｝的前“项和，且log2（S“+l）=〃+l,则数列｛4｝的通项公式为

3,〃=1

A.a-2"B.a

nn2n,n>2

+1

C.a“=2"TD.an=2"

【答案】B

【解析】由10g2（S.+l）=〃+l,得S“+l=2"+l

当"=1时，/=S]=3；（解题时，到这一步就可以进行排除，得出正确选项，因为%=S]=3,A、C、

D中的%均不为3,故可排除，选B.）

当场N2时，4=5—51=2".

3,〃=1

所以数列｛«„｝的通项公式为a=<„.故选B.

n2",n>2

3.(243高三上•天津•阶段练习)函数/⑴二空等的大致图象为()

【答案】A

【分析】结合函数的定义域，零点，x>0时函数值的符号，对各个选项进行分析判断，即可求解.

【详解】由〃x)=(x+D：sin2知,/(-1)=0,所以选项C不合题意；

又x=0时，2、-2一"=2°-2°=0,所以xwO,故选项B不合题意，

因为x>0时，x>-x,根据指数函数的单调性可知，2">2，

又2弧度是第二象限角，故sin2>0,于是x〉O时，/«>0,所以选项D不合题意，

故选：A.

4.若不等式QX?+2ax-4<2—+4x对任意实数x土匀成立，则实数Q的取值范围是

A.(-2,2)B.(—00,-2)U(2,+8)

C.(-2)2]D.(-co,2]

【答案】C

【解析】当a=2时，不等式为-4<0,恒成立，符合题意，排除A、B；

当a=—2时，不等式为X2+2X+1=(X+1)2N0,不恒成立，不符合题意，排除D,故选C.

5.(2024高三・全国•专题练习)设a=3e42,b=2e02,c=2.4,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

【分析】设〃x)=e，x-l,利用导数求得函数单调性，得到〃耳>/(0)=0,得出e，>x+l,进而求得

b>c,再利用作商法，将的商的结果与1进行比较，从而可求得2<1,得到6<a,即可求解.

\b)a

hr

【详解】由题意，得W=e°2,j=1.2=0.2+l.

令/(x)=e，—x-l,x>0,则/''(x)=e*-l>0,

所以/(x)在(0,+8)上单调递增，

所以/(力>/(0)=0,即e，>x+l(x>0),

bc

所以］则b>c,故排除A,B.

因为£==^~7,59,⑹叶=e?合7.39,

所以佟『=占卜力'坐>1,所以(>1,

yb)(2)、)7.39b

所以a>6.

故选:D.

方法三特例法

一―痣丽法而是我桁帝就神猱宿一监症法「看肝田再通探薮殖;一瘠寐窗瓶「痣旗彳豆雷和音癌段田普遍家一

件，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择.特别是对于一些比较棘手的高考选择题

或填空题，若能注意到其特殊情况，从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题.

常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特例法是

解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的

特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论.比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比

数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点

等，但考虑的前提是一定要满足这种情况适合题中所有条件.

近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢

得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！

彳丽诃练】

2Y-1

1.若/(x)=(x+a)ln；^----为偶函数，则。=().

2x+1

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【详解】/(x)为偶函数，贝！I/(I)=/(-I),(1+a)In|=(-1+a)In3,得a=0

2.已知曲线C：x2+y2=16Cy>0),从C上任意一点尸向x轴作垂线段PP,P为垂足，则线段PP

的中点M的轨迹方程为()

2222

A.—+^-=1(J>0)B.—+^-=1(J>0)

164168

2222

c.匕+土=1(j>o)D.2+土=i(j>o)

164168

【答案】A

【详解】曲线C上取一点(0,4),向x轴作垂线段，中点坐标为(0,2),代入ABCD知，只有A符合

3.(2024•河南•模拟预测)若。>0/>0,则使0+6V4成立的一个充分不必要条件为()

A.-+y<lB.—+—>4C.a2+Z,2<8D.-+y>4

QbabQb

【答案】c

【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D均错误，再利用基本不等式计算可得C正确.

【详解】对于A,易知当。=4,6=4时满足1+：41,但此时不成立，可知A错误；

ab

/22

对于B,当。=4,6=4,可知幺+幺24成立，但不成立，可知B错误；

ab

对于C,由/+62«8可得包包4/+/W8,即可得a+644,即充分性成立；

2

当4=3,6=1时，满足“+6K4,但此时/+/工8不成立，即必要性不成立，可得C正确；

对于D,当。=4,6=1时，易知成立，此时不成立，可得D错误.

ab

故选：C

4.(24-25高三上•云南昆明•阶段练习)下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数为，x2(x^x2),都有

/(%)+/(尤2)〈2芭+2%2”的是()

A./(x)=x+sinxB./(x)=4x-x3

C./(x)=21n(x+l)D.f{x}=x\x\

【答案】C

【分析】利用赋值法可判断ABD,令g(x)=21n(x+l)-2x,利用导数可得/(x)=21n(x+l)42x,可判断

C.

［详解】对于A,令国=一兀，无2=-2兀，则/(占)+/(%)=_3兀，2%+2%2=-6兀，不满足条件，故A错误；

对于B,令再=0,%=1，贝!1/(再)+/。：2)=3,2x{+2x2=2,不满足条件，故B错误；对于C,因为

g(x)=21n(x+l)-2x(x>-l),求导得g，(x)='7_2=/Oy

X-i1X十J.

当T<x<0时，g'(x)>0,函数g(x)在(TO)单调递增,

当x>0时,g'(x)<0,函数g(x)在(0,+8)单调递减，

所以g(x)4g(O),Bp21n(x+l)-2x<21n(O+l)-2xO=O,所以21n(x+1)V2x

即/(x)=21n(x+l)V2x,所以/(再)+/(々)42±+2々,满足条件，故C正确;

对于D,令占=0,X2=3,贝！(无2)=9,2芭+2%2=6,不满足条件，故D错误.

故选：C.

6.(24-25高三上•四川•期中)已知(再,必)、(%,%)是函数〉=1。8炉图象上不同的两点，则()

A,甘<1幅岩B,三>1暇专

C.^+y2<log2^i^D.yl+y2>log2^^-

【答案】A

【分析】设0<药<々，利用对数的运算、对数函数的单调性以及基本不等式，特殊值法逐项判断即可.

【详解】由题意不妨设。<再<赴，因为>=lOg?X是增函数，所以log2%]<10g2X2，即必<%.

log2X|+log2X2=log2(x,x2)<log2,

则%+%<21og2”强，即乂产<1。82土言，A正确，B错误；

A|+

取X1=l,x2=2,则必=o,y2=l,yi+y2=l=log22>log21=log2^-,C错误.

X|+2

取X]=J,%=<，则乂=-2,%=T，+y2=-3=log21<log21=log2^,D错误.

42oo2

故选：A.

方法四构造法

--而造法是二种创遥桂惠维厂戛臻香运雨客初如祖厢方法「依据而窗给由的茱祥而寤语参声的信意「折

问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法

彳丽加绿i

一、单选题

1.(2024・广东•二模)函数〃x)的定义域为R,"2)=3,若VxwR/(x)>1,则〃无)>无+1的解集为

()

A.(—2,2)B.(2,+co)C.(―°°,2)D.(-oo,+oo)

【答案】B

【分析】构造函数/(x)=2x-l,解不等式即可得出答案.

【详解】构造函数〃x)=2x-l,满足"2)=3,/,(x)=2>l,

则由〃x)>x+l可得2x-l>尤+1,解得：x>2.

故选：B.

2.(2024・广东广州•模拟预测)已知定义在R上的函数〃x)的导函数为/■'(X),且〃x)+〃-x)=0.对于任

意的实数x,均有“X)〈彳g成立，若-3)=-16,则不等式的解集为()

A.(-oo,-3)B.(一叫3)C.(-3,+oo)D.(3,+8)

【答案】D

【分析】构造函数g(x)=竽，然后由已知可得g(x)=绢的单调性，最后将不等式转化为

g(x)>g(3),即可得到答案.

【详解】“X)〈咽o八x)-/(x)ln2>0,令g(x)=绢，

“、/'("2，-2"(尤)1112/'(X)--(x)ln2

贝!Ig(尤)=：------八不-------=：------5----->°，贝!Ig(x)在(一叫+⑹上单调递增.

由〃-3)=76,"X)为奇函数，得/(3)=16,则g(3)=〃3=2,

8

从而原不等式〃x)>2前可化为〃»>2,即/区〉绰，此即为g(x)>g⑶.

222

由于g(x)在(-8,+8)上单调递增，故这等价于X>3,所以不等式的解集为(3,+8).

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.

3.(2024•辽宁・模拟预测)已知a,6eR,若24a<6,ab=ba,则6的可能值为()

A.2.5B.3.5C.4.5D.6

【答案】B

【分析】构造函数/(x)=¥，求导确定其单调性，结合"2)="4)可得答案.

【详解】由/=6"得止=半，设〃司=皿，贝！］/(。)=/(6),

abx

又八刈=匕/，

当0<x<e时，/V)>0,〃x)单调递增，

当x>e时，/V)<0,/(x)单调递减.

因为7\2)=孚=*=学=/(4),所以24a<e<6W4.

244

结合选项可知B正确，ACD错误.

故选：B.

4.(2023•河北•三模)已知函数/(x)=e，+x—y―“Inx在区间(1,/)上恰有2个零点，则实数a的取值范

围是()

A.(e,-|-)B.(0,y)D.(0,e)

【答案】A

【分析】根据题意,令g(M=e，+/,转化为g(尤)=g(aInx)在区间(1,e?)上恰有2个实根,进而转化为x=aInx

即a=F在区间Ge?)上恰有2个实根，得到〃(x)=3与V=。的图象在区间Qe?)上恰有2个交点，利用

导数求得函数无(X)的单调区间和极值，进而得到答案.

【详解】由函数/播)=e"—-alnx在区间Qe?)上恰有2个零点，

令/(%)=。，可得e"+x=x"+alnx=e"1nx+aInx9

令gQ)=e"+1,则g(x)=g(aInx)在区间(1,e2)上恰有2个实根，

Y

因为g(x)在R上单调递增，所以x=aInX即a=4在区间(1,e2)上恰有2个实根，

y___

所以函数〃(x)=E与V=a的图象在区间(132)上恰有2个交点,

所以函数©x)在区间(Le)上单调递减，在区间(e,e2)上单调递增，

,、「2p2

当时，〃(x)->+e,且〃(e)=e,/?(e2)=—,所以ecav^，

22

所以实数a的取值范围是(e,5).

故选：A.

5.(23-24高三上•山西运城•阶段练习)已知〃=l+sin0.1,6=l+lnl.l,c=1.0110,则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】根据二项式展开式，得到c>Ll,设g(x)=x-sinx,利用导数得到g(x)在(0,+s)上单调递增,

根据g(x)>g(O)=O,得到"c,令/(x)=sinx-ln(l+x),xe(O,l),得到a>b,即可求解.

【详解】由4=1.011°=(1+。1—=l+Go-O.Ol+CQO.O12+...+c；；.O.Oli。>1+&-0.01+…=1.1,

设g(x)=x-sinx,可得g'(x)=l-cosxN0恒成立，函数g(x)在(0,+8)上单调递增，

所以g(x)>g⑼=0,所以x>sin尤在在(0,+co)上恒成立，

所以〃=l+sin0.1<l+0.1=l.l,所以"c,

设；

=cosx-l+%2,x£(0,1),可得"(x)=-sinx+x>0,

所以0(x)>9⑼=0,所以cosx>l-；x2

设/(x)=sinx-ln(l+x),xG(0,1),

1-x(x+2)(x-1))0

可得/"(x)=c°sx_

1+x21+x2(1+x)

所以〃x）在（0,1）上单调递增，所以〃0.1）＞〃0）=0,可得sin0」＞lnl.l,即a＞b,

所以

故选：B.

方法五数形结合法

数形结合法：对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对

图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率

和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等.

彳丽加绿i

一、单选题

1.（24-25高三上・北京•期中）已知定点一（3三）,8（0,4）,若点C在圆O4+七=4上运动,则21cH+|C却

的最小值为（）

A.2710B.6

C.2+2追D.2+2旧

【答案】A

【分析】设点。（0，。，且|CD|=JC2|,由此可求得。（0,1）,利用三角形两边之和大于第三边的性质可确定

当4C,。三点共线时取得最小值.

【详解】设点C（x））,则|以|=值76行=2户方，

设点D（0J）,S.\CD\=^\CB\,：」x2+（yT）2斗+广-2》=5有,

解得：:1,.・・存在点。（0,1）,使得|CD|=，C3|,

y

，2|C/|+|C3|=+=2(|C/|+|CZ)|"2|/。|(当且仅当

(2|C4|+|CS|)m,n=2\AD\=2,(3-0)2+(0-1]=2屈.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查圆的问题中的线段长度和最值的求解问题，解题关键是能够根据阿波罗尼

斯圆的性质，将所求线段进行长度转化，进而利用几何关系来进行求解.

2.(23-24高三上•江西南昌•开学考试)已知函数y=e"和〉=的图象与直线>=2-x交点的横坐标分别为

。，6,贝！J()

A.a>bB.a+b<2C.ab>\D.a2+b2>2

【答案】D

【分析】作出函数了=/和>=lnx的图象以及直线y=2-x的图象，即可判断大小没判断A；利用反函

数的性质可判断B；利用基本不等式可判断C,D.

【详解】作出函数了=二和y=lnx的图象以及直线y=2-x的图象，如图，

由函数y=e*和y=hu的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a,b,

结合图象可知0<“<b,A错误；

由题意知A(a,ea\B(b,\nb),也即A(a,2-a),B(b,2-b),

由于函数y=e，和y=Inx互为反函数，

二者图象关于直线P=x对称，而48为了=二和y=lnx的图象与直线y=2-x的交点,

故48关于片x对称，^a=2-b,:.a+b=2,B错误；

由0<。<仇。+6=2,故<（等>=1,c错误;

因为0<Q<6,故/+〃>2ab,.\2(a2+b2)>(a+b)2,

结合。+6=2,即得/+〃>2,D正确，

故选：D

3.(24-25高三上•湖南•阶段练习)己知Z是单位向量，向量B满足归-q=3,则,的最大值为()

A.2B.4C.3D.1

【答案】B

【分析】设0=或砺=B,由归-同=3,可得点8在以A为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何

意义，可得忖的最大值.

【详解】

设OA=d,OB=b,因为卜—6卜3,

即向-西=网=3,即国=3,

所以点8在以A为圆心，3为半径的圆上，

又方是单位向量，则网=1,

故|西最大值为网+1丽=1+3=4,即网的最大值为4.

故选：B.

4.(2024•广东•模拟预测)已知，x)=2sin(ox+o)(0>O,S|<5］,其中相邻的两条对称轴的距离为］,且/(x)

经过点(O,T),则关于x的方程〃x)=siiu在［0,2可上的不同解的个数为()

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【分析】把方程解的个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而利用数形结合可找到答案.

兀7iT2K

【详解】由已知相邻两条对称轴的距离为可得§='=丽，又。>0,可得。=3,

由函数“X)经过点(O,T),贝!J2sine=_l,即sine=-；,

p所以〃x)=2sin0x-g

又仁可得。=一

6

因为函数〉=$1取：的最小正周期为？=2兀,

所以函数/(x)=2sin0x-f的最小正周期为7=争,

所以在［0,2可函数小)=243》高有三个周期的图象,

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点,

故选:A.

5.(24-25高三上•辽宁沈阳•期中)已知a>0,6eR,若关于x的不等式(狈筌乂/+法-8)20在(0,+s)

上恒成立，则6的最小值是()

a

A.4B.472C.8D.872

【答案】C

【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点士2，由此得7三是方程

aa

，+加-8=0的根，可得。力的关系，消b再利用基本不等式求解最值可得.

【详解】设/(x)=ax-2,g(x)=x2+bx-8,

又。>0,所以/(x)在(0,+8)单调递增,

77

当0<一时，/(x)<0;当时，/(%)>0,

aa

由g(x)图象开口向上，g(0)=-8,可知方程g(x)=0有一正根一负根，

即函数g(x)在(0,+8)有且仅有一个零点，且为异号零点；

由题意知f(x)g(x)N0,则当0<x<一时，g(x)<0；当x>—时，g(x)>0,

aa

所以上2是方程/+反一8=0的根，

a

贝!)2+殳一8=0,即6=4°—工，且0>0,

aaa

所以6+9=4"工+9=4〃+322.4a•—=8,

aaaa\a

4[a—\

当且仅当4a=色，即八，时，等号成立，

a[b=2

则6的最小值是8,

a

故选：c

方法六建系法

建立平面直角或空间直角坐标系，这样相对直观，易把题中条件转化，把代数与几何有机结合.

一、单选题

1.（2024・广东梅州•模拟预测）直三棱柱N8C-44G中，NA4c=120。，AB=AC=AAX,则异面直线

与/G所成角的余弦值为（）

A.-B.--C.—D.—

4424

【答案】A

【分析】由题意，以A为原点，建立空间直角坐标系，求出异面直线34与所在直线的方向向量，由空

间向量夹角的余弦值的坐标公式求解即可.

【详解】以A为原点，在平面4BC中过A作NC的垂线交3c于。，

以/。所在直线为x轴，NC所在直线为丁轴，44所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

因为直三棱柱/8C-44G中，/A4c=120。，

设/3=/C=44i=1,

所以8再,4（0,0,1）,4（0,0,0）,G（0,1,1）,

I22）

_r1

B4=--~,ACX=（0,1,1）,

k227

设异面直线BA｛与AC,所成角为。,

画词3

则cos6=♦2=3

V2.V24

3

所以异面直线网与e所成角的余弦值为“

2.(24-25高二上•贵州贵阳・期中)图，已知圆柱QQ的轴截面/BCD是边长为2的正方形，£为下底面圆

周上一点，满足前=2就，则异面直线/£与3Q所成角的正弦值为()

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解即可.

【详解】

因为第=2就，所以//。2石=60。，所以NQNE=60。，

如图所示，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

(/71)

则/(0,0,0),2(0,2,0)0(0,1,2),E^-,-,0,

(22)

所以荏=芋3。取=(。,-1,2),

AE♦BO1

所以异面直线AE与BOX所成角的余弦值为卜的亚,B0\

HR1x^510'

则异面直线AE与BOX所成角的正弦值为

3.（23-24高一下•湖北武汉•期末）在平行四边形中，ZBAD=—,AB=\,AD=2,尸是以C为圆

心，行为半径的圆上一动点，且法=2次+〃而，则2+〃的最大值为（）

A.2+V3B.V7+V3C.2+gD.2+—

7

【答案】C

【分析】先利用余弦定理求出/C,易得NCLC。，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，设

P（GcosaGsine）,根据平面向量线性运算的坐标表示结合三角函数即可得解.

jr

【详解】由题意=

在A/CD中，由余弦定理得AC2=DA2+DC2-IDA-DC-cosZADC=3,

所以/C=5

贝!)/。2+5=/。2,故NC_LC»,

如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，

则£»(-1,0),A(0,#)),5(1,V3),设P(Gcosa6sin。)，

故AP=(百cos仇百sin。-百)，2§=(1,0),AD=(-1,-V3),

又万=/l与+〃诟=和,0)+〃(-1,_向，

艮|](acose,/sin8-6)=(4-〃,一也〃)，

V3cos61=2-zzA=l+V3cos0-sin0

所以氐in"凤-a'所”

〃=1-sin。

所以4+//=2+VJcos8-2sin6=2+近cos(6+°)W2+币,其中cos展理,sin右孚

当且仅当cos(e+0=l时，2+〃取最大值，且它的最大值为2+疗.

【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.

二、填空题

4.(24-25高三上・北京•阶段练习)已知正方形/BCD的边长为2,以3为圆心的圆与直线/C相切.若点尸

是圆3上的动点，则方.万的最大值是.

【答案】8

【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x,y),用坐标表示向量的数量积，由尸在圆上可求得最大

值.

【详解1建立如图所示的平面直角坐标系，则4-2,0),。(-2,2),3(0,0),

易知圆3的半径为圆方程为/+「=2,

设尸(元,V),则丽=(2,-2),N=(X+2,J),

贝！］丽/=2(x+2)-2y=4+2(x-y),

设x->=，，贝!|y=x-f,代入圆方程并整理得2/_2a+产-2=0,

此方程有实数解，所以解得-2W2,

所以X-〉的最大值是2,

所以丽•法=4+2(x-y)的最大值是8.

故答案为：8.

___....—>—>—>—>—>—>27r

5.（24-25高三上•上海•期中）已知平面向量°e”满足1止4,旧=1,2-止1,<°,0>=7，且对任意的实

数3均有卜-他目，-2目•则/一百的最小值为

【答案】3

【分析】利用向量的坐标运算，再用数形结合思想求出最小值.

【详解】

如图，建立直角坐标系，记方=2,瓦=），

因为匕|=4,。|=1,<募>.,所以点/（4,0）,£「,口

作方=3，设其坐标为1=（》/）,因为/8=|。3_。4/归_@=1,

所以点8在以点A为圆心，1为半径的圆上，即（x-4y+r=l,

因为对任意的实数t,均有|l/：[>Ic-2：|，

所以|c—e124c-2?/-2/0.9+4c.e-420，

由于上式对任意的实数t的一元二次不等式恒成立，

贝！|A=（m）2-16H+l640n年工一2『40,gp^_2=0,

设灰=5,又设3=（x',_/）,贝"乞=（/,1/）•-],5-=--x'+—y'=2,

\/

整理得：X=0，+4=0,所以可知点C在直线x-gj/+4=0上，

又因为点3在以点A为圆心，1为半径的圆上，且卜-可=|1-方|=|前卜

所以可以把看成两动点8和C的距离,

显然距离最小值为圆心A到直线X一0了+4=0的距离减去半径1,

s-|4-o+4|

而点A到直线x'-+4=0的距离jl+31=4,

所以园24-1=4-1=3,即。的最小值为3,

故答案为：3.

【点睛】关键点点睛：确定B,C点轨迹解决问题的关键.

多选题方法攻略

1）直接法

在多项选择题中，有很多时候只能将题干直接转化以达到求解问题。

2）先易后难法

在多个正确选项当中，经过仔细分析，可以找到一个非常好选的选项，先选上这个选项，可以保证拿

到2分，如果其他选项没有把握的话，就赶紧去做下一个题，等把其他的题都做完了，再回来看没有把握

的多选题。一定要根据自己的真实水平从多选题中拿分，切忌不可贪心。

3）排除法

在多项选择题中，尤其是当你确定其中两个选项为错误时，则另外两个肯定是正确答案。特别是从近

年的高考试题中发现一个规律：四道多选题至少两道是只有两个选项对的。

4）对立法

对立的选项中必定有一个是错误的。例如选项中，AB互相对立，CD互相对立，则AB或CD不能同

时出现的答案中。在多项选择题中，如果存在一对内容互相对立的选项，而其他两项不存在内容对立的情

况，那么在此对立两项中至少有一个正确项；若存在两对内容互相对立的选项，则应该从两对对立项中分

别选择一个选项作为正确选项。

5）分类统一法