高考数学一轮复习知识梳理：比较大小的六大技巧（含解析）

比较大小的六大技巧（五大题型）

方法归纳

技巧一：构造函数法

根据题目所给数的特点，寻求某个函数作为模型，然后将各数统一到一个模型中，利用函数的单

调性比较大小。

技巧二：中间量法

技法归纳

当两个数或式直接比较大小比较困难时，我们可以尝试引用中间量辅助判断.中间量是一种辅助手

段，选取的中间量也是因题而异，要多观察题目本身的特点，经过适当的转化，找到恰当的中间量，

完成判断.

技巧三：图像法

在同一个坐标系中画出两函数的图像，确定图像的交点，在相邻两个交点之间观察图像的高低，

进而确定函数值的大小。

技巧四：特值法

根据题意巧赋特值可快速比较大小；特殊值法是解决一些客观题的重要法宝。

技巧五：函数模型法

f（X）=如的图像如图所所示

（1）f（x）=——在区间（0,e）上单调递增，在区间（e,+8）上单调递减；当X=e时，取得最大

X

值L

e

（2）f（2）=f（4）

（3）a11与1/（a>b>0）的大小关系：当e>a>b>0时，ab>ba；当a>b>e时，ab<bao

记忆口诀：大指小底（大于e看指数，小于e看底数）

技巧六：作差（商）法

题型归纳

目录：

♦题型01混合式的大小比较、利用函数的单调性比较大小

♦题型02对数式的大小比较、利用函数的单调性比较大小

♦题型03构造函数、利用导数比较大小

♦题型04利用导数，函数的单调性、奇偶性、对称性比较大小

♦题型05不等式与利用函数性质比较大小比较综合

♦题型01混合式的大小比较、利用函数的单调性比较大小

1.（2024•天津•一模）已知a=3°3,b=log43,,则a,b,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】由幕函数和对数函数的单调性即可得出答案.

【解析】H^/0=log4l<Z?=log43<log44=l,

-0.3

=20-3>1,a=3°3>1,

因为在（0,+8）上单调递增，

所以2。.3<3。.3,所以*c<a.

故选：B.

2.（2024・安徽•三模）若。=bg37,6=log,40,°而，贝U（）

A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

【分析】根据对数函数的性质a=log37=log949,可比较a,6,然后凡。再与2比较大小，可得结果.

【解析】依题意，a=log37=log949,故。>b；nUtz<log39=2<c,

i^b<a<c,

故选：D.

3.(2024•山东潍坊・二模)已知q=eT,b=\ga,°=e。，贝I()

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【答案】A

【分析】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.

【解析】a=e~le(0,1),b=\ga=\ge~l=-1ge<0,c=e°=B

所以,

故选：A.

4.(2024•宁夏银川•三模)已知q=0.2°5,6=cos2,c=lgl5,则()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】根据/(X)=lg无，g(x)=o.2\〃(x)=cosx的单调性，分别判断。,6,C的大概范围，即可得出大小.

【解析】由题知a=0.2°-5,Z)=cos2,c=lgl5,因为/(无)=lgx在定义域内单调递增，

所以/(15)>[(10),即c=lgl5>lgl0=l,

因为g(x)=02在定义域内单调递减，所以g&]<g(O),BPO<a=O.2o'5<O.2°=l,

因为=cosx在(0,7i)上单调递减，所以〃(2)<〃D即6=cos2<cos]=0,

综上：b<Q<a<\<c.

故选：D

5.(2024•山东聊城•三模)设。=1鸣9力=题=“=31唯4,则4力箝的大小关系为£)

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【答案】A

【分析】根据对数运算性质及对数函数单调性比较大小即可.

【解析】因为函数y=bg2x在(0,+8)上单调递增，

故b=log25>log23=log49=a>log22=1,

log3

又C二31Tog34_31og33-log34_34_乡<|

--一一W'

所以

故选：A

♦题型02对数式的大小比较、利用函数的单调性比较大小

6.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）设a=log615,6=log820,c=log2te2024,则。、6、c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【分析】利用对数的性质，结合对数函数的单调性求解.

叫［5+

【解析】tz=log15=log?X6=11,

662

208j=log|+l,

/?=log20=log——x8

888

C=lo2024=lo2024)506

g2012g2012------x2012=log2012+

2012J503'

因为Iog61'>log8，所以〃>b,

因为10g8g>bg82=；,

log2oi2|^|<log2o1210=log20121000log.2012

所以6>c，

所以c<b<a.

故选：D.

7.（23-24高三下•陕西西安•阶段练习）已知〃=log42,6=log53,c=（log42）（log53）,则。，b,。的大

小关系为（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

【分析】根据对数运算得。=1，利用对数函数的单调性得。<6,根据不等式的性质可得a>c,从而可得

2

结果.

J_11

【解析】因为。=log42=log442=—,fe=log53>log55^=-,：,a<b,

22

因为0<log53<1,/.c=(log42)(log53)<log42=a,

b>a>c.

故选：D.

8.(20-21高三上•广西•阶段练习)已知实数。、6满足l°g[a=l°gl6,下列五个关系式：①。>b>l,

23

②0<b<a<l,®b>a>\,®^<a<b<\,⑤。=b.其中不可能成立的关系式有个.

【答案】2

【解析】设l°g/T°g/=，，可得出a=[£|,6=']，分/<0、七0、"0三种情况讨论，利用幕函

数y=/在区间(0,+8)上的单调性可得出结论.

【解析】设i°g/T°g[=',可得。=[]，^=QJ.

(1)当/<0时，由于幕函数y=x'在区间(0,+8)上为减函数，则，]>(1>V=1,即③成立;

(2)当，=0时，贝!Jq=6=l,⑤成立；

(3)当/>0时，由于幕函数尸/在区间(0,+”)上为增函数，贝iJOvg]<f=l,

即0<b<a<l,②成立.

因此，不可能成立的为①④.

故答案为：2.

【点睛】本题考查利用幕函数的单调性比较大小，同时也考查了对数式与指数式相互转化，属于中等题.

9.(2024•四川成都•二模)若a=ln26,6=4成都In3,c=(l+ln3)2,则。也c的大小关系是()

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】做差法比较。力的大小，利用对数的性质比较a，。的大小.

【解析】a=In26=(In2+ln3)2,c=(lne+ln3)2

因为In2+ln3<lne+ln3,所以(In2+ln3)~<(lne+ln3『，即a<c,

4Z=In26=(In2+ln3)2,ft=4In2-In3,

则q—6=(in2+In3『-4In2•In3=(in2—In3/>0,即6<a,

所以Z?<Q<c.

故选：D.

♦题型03构造函数、利用导数比较大小

10.(23-24高二下•湖南衡阳•期中)已知〃=4出3/=3兀,°=4111兀3,则的大小关系是()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.a<b<c

【答案】C

【分析】观察。的式子结构，构造函数/(》)=手，利用导数判断/'(x)的单调性，从而得到c<a,再利

用对数函数的单调性判断出6<c,从而得解.

【解析】因为a=41113"=4KIn3,Z?=3K,C=41n7i3=4x31n7t,

aIn3cIn兀工4、小〜业乙、Inx、1-lnx

—=—=——，构造函数/X=——，贝！l/'(x)=——-

1271312兀71XX

当xe(0,e)时，/'(x)>0,/(x)单调递增，

当xe(e,+s)时，/(x)<0,/(x)单调递减，

因为7t>3>e,所以/(兀)<〃3),即皿<苧，gp—<—,所以c<a；

兀312TI12TI

XIn7c>Ine=1,所以3兀<3x4<4x31n?i,即b<c.

综上，b<c<a.

故选：C.

11.(2023・辽宁抚顺•模拟预测)已知"3,3=4,,则在log",log„c,log/,log/,log”，

a-b

logc6这6个数中，值最小的是.

【答案】log/

--1

537i。午并利用导数研究其在

【分析】首先利用对数的性质得到厂6<万<"%且仍=2,构造，-

a

Nb

(1,+功上的单调性可得M"一[”<2，进而有0<c<我<2<6<h<0<二，结合6个数的正负只需判断

a-bs/ab2424

log,a、log/大小，作商法鲁q=log。"log,2-log；a判断与1的大小关系，即可得答案.

log/

【解析】由bg3^/^'='|<6=log34<k>g3；=log2£<q=log?3<log244^"^；—，

^ab=log23xlog34=log,3x^-7=2,

一log23

所以故一>1,

424b

£_12

构造V=ln(_『，令峥pe(l,+⑹,则/⑷=21n/T+L贝|]/⑺=2_]_[=_,

"巴Vbtttt

\~b

Q/b__Rn\na-\nb16

所以九)在(1,+s)上递减，故/⑺〈/⑴=0,-T<If即---------<-7=-

bqa-bTab2

综上，0<c<-^-<—<b<—<<7<—,

2424

6个数中，正数有log46、log(,。，负数有log°a<logc6<0、0>logflc=--^—>log6c=-^—

log,alog,b

logci2

所以只需比较log,。、log/大小，又■；——=\oga\ogb,JfjJ10gZ?=log-=log2-loga,

log/,cccccacc

所以器“=logaxlog2—log：a=-(log,a-log*'<号"=bg：,

logbccc\c744

由log亚亚=-l<log,0<O,故log；/<1,即。<；：：：<1，!ogca>logje.

综上，值最小的是logf.

故答案为：log/

【点睛】关键点点睛：由对数的性质得到2<6<3<a<二且。6=2,利用对数均值不等式确定C=In"二"6

424a-b

的范围，结合不等式性质找到最小数.

12.(23-24高三上•河北•期末)已知sina+2"=sinb+3"=2,贝(I()

A.blg〃>Qlgb>blgbB.blga>blgb>algb

C.algb>blga>blgbD.algb>blgb>blga

【答案】B

【分析】由题意构造〃x)=sinx+2，，g(x)=sinx+3A,结合/'(x)与g(尤)的大小关系与单调性得0<b<a<l,

从而利用对数函数的单调性和运算性质得到答案.

【解析】令〃x)=sinx+2x,g(x)=sinx+3x,

当x>0时，g(x)>/(尤)>0,当x<0时，g(x)</(尤)<2.

在(0,+s)上/'(尤)=cosx+2*ln2>0,g'(x)=cosx+3rIn3>0,

所以/(x),g(x)在(0,+8)上均单调递增,

由sina+2"=sinb+3*=2,即/(a)=g(b)=2可得。

因为幕函数y=，在(0,+e)上单调递增，所以

指数函数y=6-'在R上单调递减，所以"

综上可知,ab>bh>ba.

又因为对数函数y=1g无在(0,+(»)上单调递增，

所以Iga6>1g">lgZ>a,即blga>blgb>algb.

故选：B.

13.(23-24高三下•黑龙江大庆•阶段练习)已知a=logz986-logz985,6=l-cos3,c=上，贝|()

9oo9o5

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>b>a

【答案】C

【分析】设g(尤)=bgz(x+l)-x,根据函数的单调性比较a,c,再根据6,c作差比较大小的思想，设

/(x)=l-cosx-x,0<x<l,利用函数的导数讨论函数的单调性得出/'(x)<0,再结合6,C的具体值得出

结果.

【解析】设g(x)=log2(x+l)-x,xe(0,l),则g'(x)=a+])1n2

当时，g,(x)>0,g(x)单调递增；

当了"《一1』时，8仃”0g(x)单调递增；

又g(°)=g(l)=°，所以g(x)=log2(x+l)-x>0,xe(0,l),

所以"log2986-log2985=log2(1+/):=c

0<b=l-cos-----<1,0<—<c=—<1

986986985

设/(x)=l-cosx-x,0<x<l,

r(x)=sinx-l<0,所以函数/(，在区间(0,1)上单调递减,

所以/(%)=1-COSXTV/(0)=0,

所以1一cosX<X,又0<<1,

所以1-cos」一<二一<-1-,贝!]b<c,

986986985

综上，a>c>b.

故选：C.

14.（23-24高二下•安徽宿州•期中）已知a=In>,b=e-lc=lnV3（e为自然对数的底数），则实数a/,c

的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】根据a,6,c式子特点，构建函数/（刈=叱，利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性比

X

较仇C大小，再由y=lnx的单调性比较a,c大小，则可得结果.

【解析】令/（*）=叱，则/'。）=匕坐，

XX

故当xe（0,e）时，f'（x）>0,单调递增，

当xe(e,+s)时，r(x)<0,/(x)单调递减，

1

^/,=e-=—=/(e),c=lnV3=—=/(3),

e3

因为e<3,/(e)>/(3),故c<6,

因为函数V=lnx在(0,+e)上为增函数，

而(⑹6=[(6)；=8,(啊、](啊[.且&<9,

所以也<指，所以a<c,

所以a<c<6.

故选：A.

15.(2024•安徽•三模)已知〃=e"3,b=ln(e兀一2e),c=7i—2,贝[]()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】构造函数/'(xhei-x,利用导数求取单调性可得。、c之间大小关系，构造函数g(x)=lnx-尤+1,

利用导数求取单调性可得6、。之间大小关系，即可得解.

【解析】由。=67,6=111(或一26),

即a=eg?®=ln(ejt-2e)=ln(7t-2)+l,

令f(x)=ev-1-x(x>1),

则1(x)=ei-1>0在(1,+叫上恒成立，

故/(x)在(1,+⑹上单调递增，

则有/(兀-2)=e("2)T_(兀-2)>/(1)=0,即a>c,

令g(x)=lnx—x+l(x>l),

则g'(x)=±T=—<0在。，+8)上恒成立，

XX

故g(x)在(1,+8)上单调递减，

则有g(兀-2)=In(兀-2)+1—(兀-2)<g(1)=0,即,

故方<c<a.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数〃x)=ei-x、g(x)=lnx-x+l,以比较。、c与b、c

之间大小关系.

173

16.(2024・湖北黄冈二模)已知a,b,c,d分别满足下列关系：⑹=15,6=log]716,log]5c=Rt/utan7，则

17162

(j,6,c,d的大小关系为()

A.a<b<c<dB.c<a<b<d

C.a<c<b<dD.a<d<b<c

【答案】B

【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得a<b,利用指对数函数的单调性，通过

构造函数判断单调性可推得c<。，最后利用正切函数的单调性可得

【解析】由16"=15,可得。=10&615,

八1i[乙lnl5lnl6lnl5-lnl7-(lnl6)

a-^log15-log16=­--=

1617Inl6-lnl7

日，「Clnl5+lnl7Y(ln255V(ln256Y,

因Inl5/nl7<[-------------I=^―<1—^—1=(lZn1l6)2,

又Inl6」nl7>0,故。-6<0,即。<6；

1715

因l°g竺c=R»则，=(与％身由C.而15ki]6=ln16.ln15,

ib

而U6j16'alOg161516lnl516,15

“皿Inx,1-lnxe、,八

由函数y=—，y——2—，因x>e时，y<0,

XX

即函数y=也在(e,+8)上单调递减，则有0<器<萼，故得c<a；

x1615

3Tl

由b=logplGv1,]fu(/=tan—>tan—=1,即匕<d,

24

综上，贝！I有c<a<6<〃.

故选：B.

【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法，

（1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断；

（2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较;

（3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断.

♦题型04利用导数，函数的单调性、奇偶性、对称性比较大小

17.（2024・辽宁•二模）已知定义在R上的函数〃x）=e、-eT,设。=2°'./Q。'），6=七厂。，./（（；）-。,，

c=-log071.25./(log070.8),则0,6,c的大小关系是()

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】A

【分析】构造函数并判断奇偶性，通过导函数求出函数的单调区间，根据函数单调性比较大小即可

【解析】令尸(工)=切(》)(％€10,因为尸(-x)=-x(eT-e，)=x(e*-e-*)=F(x),

所以尸（x）为偶函数.

尸'(x)=(e*-ef+xC+eT),

因为当x20时，ex-e-i，>e°-e-0=0,x(ex+e^)>0,此时尸'(x)》0,

所以尸（x）在［0,E）上单调递增.

因为"20'7./(20-7)=F(20-7),b=(1)-0-8■/((1)-°-8)=F((1)-08),

c=-log071.25-"log。70.8)=log071.25-'./(log070.8)=log070.8•/(log070.8)=F(log070.8),

80807

因为2°，>1,(1)-°-=2->2-,log070.8<log070.7=1,

0J07

所以>2>log0,70.8>0,所以尸((g)48)>F(2)>F(log070.8),

即6〉a〉c.

故选：A.

18.(2024•山东荷泽•一模)已知/(x)=x〃(x),其中〃(%)是奇函数且在R上为增函数，则()

【答案】c

1_3_2

【分析】判断函数/(x)=x/z(x)的奇偶性和单调性，继而判断log22大的取值范围和大小关系，结合函

数的奇偶性和单调性，即可比较大小，即得答案.

【解析】由于〃(x)是奇函数且在R上为增函数，故以0)=0,

当x>0时，h(x)>h(0)=0,且/(x)=M(x)为偶函数，

且/(x)=xh(x)在(0,+8)上单调递增，在(--0)上单调递减，

12

23

又log21co<2<2<1<log23,

故小。82；］=/(-1吗3)=/(1唯3)>/(2,

故选：C

19.(23-24高二下•甘肃兰州•期中)已知函数/(x)=；+cost,设a=/(0.2°，,b=/(2°2),c=/(k>&22),

则()

A.b>a>cB.a>b>c

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】先判断函数〃尤)的奇偶性，再利用导数研究函数/(x)的单调性，最后利用指数函数和对数函数的

单调性比较0.20-2,20-2,logs2大小,即可比较.

【解析】因为函数/(X)=、+COSX的定义域为R,且/(—x)=(X)——|-COS(-x)=———FCOSX=/(@,

所以函数［(X)为偶函数，所以〃1叫22)=/(-1唱2)=/(1幅2),

又/"'(x)=x_sinx,(xNO),令g(x)=x-sinx,贝!］g'(x)=l_cosx20,

所以函数f'(x)=x-sinx在［0,+功上单调递增，所以r(x"/'(O)=O-sin0=0,

所以函数l(x)在[0,+8)上单调递增,

因为0〈log52<k)g5石=；,；=<0,2。2=&/<&]=]=2。<2°2,

所以OvlogsZvO^v^,所以〃log52)</(0.2°2)</(2B，所以6>°>c.

故选：A

20.(2024•山西•三模)已知函数[(x)=l°gi(十-2》+3)-|龙一1|,若°=/(bg。3),6=/[sin—fe5,

2V3>IJ

则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【分析】首先得到/'(x)关于直线尤=1对称，并根据复合函数单调性得到其单调性，再构造相关函数

14

g(x)=x-sinx,/z(x)=x-x2-sin^(x)=ex-x-1的单调性得到10823-1〈1一5山§<©5—1,则比较出大小关

系.

【解析】因为/3=呵[(1『+2]卜T|,

2

x[

则〃2-力=10gl[(2-无-旷+2]_|2-尤-1=log](1-2x+14-\=XK

2~2

则/(x)关于直线X=1对称，

2

当x21时，/M=logi[(X-1)+2]-(X-1)；

2

根据复合函数单调性知>=logJ(xT)。2]在[1,+00)上单调递减，

2

且歹二一(工一1)在[1,+8)上也单调递减,

则/(X)在［1,+⑼上单调递减，再结合其对称性知/(X)在(-8,1］上单调递增.

令g(x)=x-sinx,0<1,贝I，gr(x)=1-cosx>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，且g(0)=0,所以g(x)>0即x>sinx.

4^^(x)=x-x2-sinx,0<x<l,则〃'(x)=l—2x—cosx,

设0(x)=l-2x-cosx,e'(x)=—2+sinx<0,

所以为’⑶单调递减且i(o)=o,因此〃a)〈o,

所以〃(x)单调递减且〃(0)=0,所以〃(x)<0,BPx-x2<sinx.

、2.11217

由x-%2<sinx<x^—<sin—<—,所以不<1-sin^VK.

933339

3?-

3

又因为Iog23-1=10g2y=log22

2

所以log23-l<].

设0(x)=e*-x-l,0<x<1,则“(x)=e*-l>e°T=0,

则4(x)在(0,1)上单调递增,则0(x)>°⑼=0,

即eA-x-l>0,即/-1>x在(0,1)上恒成立，

347

即"一1>工，所以e5—

59

1i11

5

log23-1<1-sin-<e-1,则l<log23<2—sin§<e5,

故/(log??)〉/(2-sing)>/3,而/(2-5出皆=7,111,

即C<6<4.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到/(无)的对称性和单调性，再构造新函数，利用导数的单调性得到

1i

5

log23-l<l-sin-<e-l,则比较出三者大小.

21.(2024高三上•陕西延安•专题练习)已知偶函数〃x)的定义域为R,对任意的x满足〃-x)=〃x+2),

且在区间(-1,0)上单调递减，若b=\og3—,c=；loga20,则/'(a),/⑻，/(c)的

814

大小关系为()

A./(c)>/(a)>/(/>)B./(c)>/(Z?)>/(a)

C./(a)>/(Z?)>/(c)D./(a)>/(c)>/(^)

【答案】D

【分析】由/(r)=/(x+2)求出对称轴，再结合奇偶性求出/(x)的周期；求出。，6的范围以及。的值，

得出0<H4<C<O<1的关系式，再利用“X)在(0,1)上的单调性，即可得出答案.

【解析】因为/(—)=/(无+2),

所以“X)关于x=l对称，

又因为/(无)为偶函数，

所以/(x)=/(-x)=/(x+2),

所以/(无)为周期函数，7=2,

51

因为b=log3——=log3\2-log381=^og32-4,且0<log32<l,

812

71

所以一4<b<——,0<6+4<—，

22

3

4

H^log44=log42^-<log43<log44=1'

所以a=log43e2,l]

又因为c=，log拒2应=：,

所以0<6+4<c<a<l,

因为/(x)在(T,0)上单调递减，/(X)为偶函数，

所以/⑺在(0,1)上单调递增，

所以"6+4)</(c)</(a),

所以，

故选：D.

22.(2024高三•全国•专题练习)函数/'(x)=x3+2x-cosx,a=/(lg3),6=小电，c=/£,则a,6,c的

大小关系为()

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】先通过求导确定函数/(x)的单调性，再通过比较23,lg3,ln(的大小来得答案.

【解析】由题意知/''(x)=3/+2+sinx>0,易知/(无)在R上单调递增.

11

因为O=lgl<lg3<lglO=l,ln-<In1=0,23>2°=1,

所以才>lg3>lng，所以小nJ,

即C〉4>6.

故选：D.

23.(2022高三•全国•专题练习)若/(x)Tn丽厂e，T,a=/(logo30.5),6=/(bgz52),c=/(log052),

则()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

【分析】根据题意可知：/(x)为定义在R上的偶函数，且在［0,+。)内单调递减，再结合对数运算以及单调

性、奇偶性分析判断.

【解析】由题意可知：/(x)的定义域为R,

且/(-%)=In—-el)、=In匕一1一=/(x),可知/'(x)为偶函数，

当x20时，贝|/(x)=ln匕一e'j,

因为夕=占在［0,+e)内单调递减，且V=lnx在定义域内单调递增，

可知y=ln」一在［0,+e)内单调递减，

且>=炉-1在［0,+8)内单调递增，且尸=-二在定义域内单调递减，

可知y=_e-在［。,+的内单调递减,

所以/(无)在［0,+8)内单调递减,

.__In0.5In2__In2,_

l°go.3°-5==—j77，l°gz52=，l°go-52=-1n

XIAIZJIn0.3In2.5

nT

In2In2

贝！|lnW>ln2.5>ln2>0,可得,gpO<log030.5<log252<1,

3lnJ

所以/(logo.30.5)>/(log2.52)>/(1)=/(-I),即c<6<“.

故选：D.

♦题型05不等式与利用函数性质比较大小比较综合

24.（2023・四川内江•一模）已知实数a,6满足3。=5〃=15,则。、6满足的关系有.（填序号）

@a+b>4；②（a-1）-+（6-1）2<2；③3a<56；@«2+Z>2>10.

【答案】①③

【分析】对于①，先得到工+1=1,再利用基本不等式判断得解；对于②③，利用作差比较即得解；对于④,

先作差，再求出4<。6<4.3,即可判断得解.

【解析】解：，门"=5"=15,6=logs15,

对于①，1=7^77=10§153+logi55=bgisl5=1,

ablog315log515

所以“+6=(“+6)(工+9=2+冬2>2+2、"=4(由于/b,所以不能取等).

yab)ba\ba

所以该命题正确；

对于②，由，+；=1得〃+6=,因为

ab

a+6>4,.二ab>4——2="+炉-2{a+b)=(a+b^-2ab—2(a+b)=廿"一40

="（仍-4）>0,所以（〃_1）2+他_1）2>2,所以该命题错误;

对于③，3°-56=31呜15-51叫15=4吟骋=*5(三耳

1g31g5lg3lg5

=lgl5(31g：5f3)=[g]5(lgl2；：g；43)<0,所以九筌人所以该命题正确;

Ig3-lg5Ig34g5

对于④，10=(Q+b)2—2ab—10=//—游6—10=(ab—l)2—n,

5.--9-Q

tz=log15<log9V3=-,­«-5>35,.\55>3,/.55>15,/.b=log15<log/55)=一，

33255

所以4<a+6<4.3,所以4<a6<4.3,

所以-11<（4.3-1）2-11=10.89-11<0,

所以所以该命题错误.

故答案为：①③

【点睛】关键点睛：这道题关键是如何处理④，利用作差法得到/+〃-10=（而-1）2-11,然后用利用

r-5-Q

a=log15<log9V3=-,b=log15<log（55）=一得至U4<<4.3,即可求解

332555

h51n

25.（23-24高三下•重庆•阶段练习）已知a=3%2=4叫c=5,2=63则在匕一味用一c|,

-4，卜-4这6个数中最小的是（）

A.\b-a\B.|c-Z7|C.\d-b\D.|c-a|

【答案】C

【分析】分析题意得出d=b,进行下一步转化得出最小值是|d-6|即可.

【解析】因为Ina=ln3」n7,InZ?=In4-In6,

Inc=In5-In5,In（7=In4-In6,则d=b,故—4=0,

又|―a1〉0,卜―耳>0,|<7—c|>0,|c—6/|>0,—6z|>0,故最小值是J-一同,

故选：C.

26.（23-24高三上•黑龙江哈尔滨•开学考试）已知a>b>0且而=1,若把彖，㈤,（按照从大

到小的顺序排列，则排在中间的数是（）

A.冬B.""C.专D.无法确定

【答案】B

【分析】本题可以采用特殊值法、不等式的性质、构造函数解决.

【解析】法一：特殊值法.

1a3

令a=3,b=-,则声=下>1,

3223

4（《+（1）-111、1、1_1

◊=23=—,而1>=>尹=/

2323

X，所以所以中间数为后…

法二：不等式的性质

由题意，所以所以及＞彳，

,a1厂'-(a+b)

又・."Vr'后涉=2%所以吩＞声=6，

b1/--(a+b)

又•；2«=&"＞'回"，所以初＜方寸=夜’

所以/＞VT("间＞£,所以中间数为VT(*).

法三：构造函数

Q21°g2alog2a_J_log2b_j_

~b

_____—___________7a…"bb

»1=z—

一2"

问题变为比较log2"La+bi71,,,

——,log,6一7的大小r.

a2b

11

XH--X---

构造函数/、I1/x>0

g(x)=log,x----(-—^=\ogx+—^'

X2

很显然，g(x)为两个增函数的和，在(0,+8)为增函数，所以g(〃)＞g⑴=0〉g(6),

所以噫.」＞一％b+-.

a+b寸>bg27

a22

GKI'Iioga_J.iogHri"、f--(a+6)b

所以22">22>2b，即>—.

故选：B.

模拟精练＜

一、单选题

3

1.(2024•全国•模拟预测)已知a=Log512,ft=sin—,c=fl>,贝lj()

31°⑺

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

7r7rl1

【分析】由6=si啥<sin2=：,利用对数运算将a缩为！比较a,b；由

/?=sin—>sin—cos—=^-sin—>^sin—=-,利用指数运算将c放为工比较6,c.

101010252644

【解析】解：因为a=：log512=3k>gJ44>bog5125==,6=sin=vsin,

36621062

所以.

1.711.71]_

因为b=sin——>sin——cos——=—sin—>—sin—二

10101025264

所以c<b.

综上可知，c<b<a.

故选：B.

2.(2024・全国•模拟预测)已知函数〃力满足/(x)=/(2-x),且在区间工+8)上单调递减.设。=/(-lnl.1),

6=/(2。4),c=/(log25),贝!]()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>a