高考数学一轮专项复习练习卷：导数的概念与运算（含解析）

限时跟踪检测-导数的概念与运算

一、单项选择题

1.（2024•山东青岛模拟）设段）是可导函数，且满足limfW+1~f1=~2,

Axt02Ax

则y=/（x）在点（1,八1））处切线的斜率为（）

A.-4B.4

C.2D.~2

x~\~1

2.曲线y=—在点（3,2）处的切线的斜率是（）

X—1

A.2B.~2

3.（2020•全国I卷，理）函数加）=/一2/的图象在点（1,火1））处的切线方程为（）

A.y——2x—1B.y——2x+1

C.y=2x—3D.y=2x~\~1

4.若曲线y=/（x）在点尸（一1,八一1））处的切线/如图所示，则八一D+八-1）=（）

C.-2D.-1

5.(2024•湖南株洲模拟)设%(x)=sinx,力(工)=九(%)，力a)=A(x),…，n

£N,贝！)力020(%)=()

A.sinxB.—sinx

C.cos%D.—cosx

6.设函数4）在（0,+oo）内可导，且义力=、+巴则/（2023）=（）

A.1B.2

C，D2024

20232023

4

7.（2024•河北沧衡八校联盟）若直线/与曲线於）=——一相切，则直线/的斜率的最大

首+2

值为（）

A.—B.1--

22

C.-D.In2

2

8.若函数於)=lnx+2N一办的图象上存在与直线2x—y=0平行的切线，则实数。的

取值范围是()

A.(—00,—6]

B.(—oo,—6]U[2,+oo)

C.[2,+oo)

D.(—oo,—6)U(2,+oo)

9.已知尸是曲线y=-sinx(x£[0,兀])上的动点，点。在直线％—2y—6=0上运动，

则当|尸。|取最小值时，点P的横坐标为()

A.-B.-C.-D—

4236

10.(2024•河北邯郸模拟)已知函数/(x)=|cosxKxN0),若方程J(x)=fcv恰有两个根，记较

大的根为仇则sin20=()

A."B.-"

1+。21+。2

二、多项选择题

11.若函数外)在D上可导，即/(x)存在，且导函数/(x)在。上也可导，则称火x)在。

上存在二阶导函数，记「(x)=|/(x)了.若「(x)<0在D上恒成立，则称兀0在D上为凸函数.以

下四个函数在j上是凸函数的是()

A.f(x)=-x3+3x+4

B./(x)=lnx+2x

C./(x)=sinx+cosx

D.Xx)=xe%

三、填空题与解答题

12.已知函数外)=汹%—1)(%—2)(%—3)(工一4)・(%—5),贝U/(0)=.

13.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为U型分式，比如：当x-0时，

0x

的极限即为。型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696

0

年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方

叶加1.11，y].丫o1mrii.’In%

法.如：lim-------=lim--------------=lim—=limex=e°=l,贝Uhm-------=________.

xx'1x2—1

1ox—>0x->0x—0x—>1

14.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=L(x>0)在点尸处的切线垂直，则点尸的

坐标为________.

15.已知曲线了=炉+》-2在点尸o处的切线/i平行于直线4x—y—1=0,且点尸o在第三

象限.

(1)求切点Po的坐标；

(2)若直线且/也过切点R,求直线/的方程.

高分推荐题

16.(2024・天津南开中学检测)N同学与K同学为了纪念他们深厚的友谊，以三次函数及

其图象的三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，把它放入一个盒子，并为盒子设置了一个密

码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：盒子中有一枚我们留下的徽章，它

由“N”“K”两个字母组合而成.其中“N”蕴含在函数於)=$3+3N+x—1的图象中，过点P(—

6,㈤与曲线y=/(x)相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的形状，如图.请你求出

满足条件的整数。的个数，这就是打开盒子的密码：.

解析版

一、单项选择题

1.(2024•山东青岛模拟)设段)是可导函数，且满足lim72Ax+1~f1=~2,

Ax—02Ax

则y=/(x)在点(1,人1))处切线的斜率为()

A.-4B.4

C.2D.-2

解析：因为limfW+1~f1=/(l)=-2,故yfx)在点(1,{1))处切线的

斜率为-2.故选D.

答案：D

x+1

2.曲线y=——在点(3,2)处的切线的斜率是()

%—1

A.2B.—2

—Lx+1'x-1—x+1x-1'2,,,,,,,,

解析：y=------------------------------------=---------故曲线在⑶2)处的

X—12X—12

71

切线的斜率左=团m3=一工37^=一故选D，

答案：D

3.(2020•全国I卷，理)函数加)=/—2如的图象在点(1,火1))处的切线方程为()

A.y——2x-1B.y——2x+1

C.y=2x—3D.j/=2x+1

解析：V/(x)=x4—2x3,.*•/(x)=4x3—6x2,・\f(l)=—2,又大1)=1—2=—1,；・所求的

切线方程为y+1=—2(x—1),即＞=—2x+1.故选B.

答案：B

4.若曲线歹=加)在点P(—1,八一1))处的切线/如图所示，则八一1)+八-1)=()

A.2B.1

C.12D.—1

0+2

解析：因为切线/过点(-2,0)和(0,-2),所以了(-1)=---------=—1,所以切线/的方

-2-0

程为y=—x—2,取x=—1,则＞=—1,即八一1)=一1,所以/(—1)+八-1)=一1—1=一

2,故选C.

答案：C

5.(2024・湖南株洲模拟)设%(x)=sinx,力(%)=九(%)，力(x)=/i(x),…，%+1(%)=〃(%)，n

£N,则加o2o(x)=()

A.sinxB.—sinx

C.cosxD.—cosx

解析：根据题意，76(x)=sinx,/iW=/o(x)=cosx,%(x)=/i(x)=—sinx,力(%)=72(%)=

一cos%,%a)=/3(x)=sinx,则有/)(%)=%(%),力(%)=加)，…,所以另+4(%)=%(%)(〃£N),

则fi020(x)=yo(x)=sinx.故选A.

答案：A

6.设函数/（x）在（0,+oo）内可导,且次旷)=%+^,则了(2023)=()

A.1B.2

2024

C

20232023

解析：令，>0,则x=lnf,所以/(£)=lnt+t,故於)=lnx+x.

1।12024、生「

求导得/(%)=-+1,故/(2023)=--------F1=------.故44r选D.

X20232023

答案：D

4

7.（2024•河北沧衡八校联盟）若直线/与曲线小）=———相切，则直线/的斜率的最大

e^+2

值为（）

.In2「一

A.——B

2

c.-D.In2

2

4

解析：由/（x）=一

e^+2

4cx_____4

可得/(x)=

己+22H+&+4

因为d+:+色2A^：+4=8,当且仅当e-也即e=2‘x=ln2时等号成立，所以

0</（%）<|,所以直线/的斜率的最大值为:

答案：c

8.若函数於）=lnx+2x2一办的图象上存在与直线2x—y=0平行的切线，则实数〃的

取值范围是（）

A.(—00,—6]

B.(—00,—6]U[2,+oo)

C.[2,+oo)

D.(—oo,—6)U(2,+co)

解析：直线2x—y=0的斜率左=2,又曲线小)上存在与直线2x—y=0平行的切线，・・・

/(x)=l+4x—a=2在(0,+◎内有解，则a=4x+1-2,x>0.又4x+1N2[，4x1=4,当且

XXX\1X

仅当x=I时取“=”.，d4一2=2.

2.

答案：C

9.已知尸是曲线y=—sinx（x£[0,兀]）上的动点，点。在直线工一29-6=0上运动，

则当|尸。|取最小值时，点P的横坐标为（）

A.-B.-C.-D.-

4236

解析：如图所示，若使|尸。|取得最小值，则曲线y=—sin%a£[0,兀]）在点尸处的切线

与直线x—2y—6=0平行，对函数y=-sinx求导得j/=—cosx,令可得cosx=一；

又OSrSt，解得彳=为.故选C.

3

答案：c

10.（2024•河北邯郸模拟）已知函数兀v）=|cosx|（xNO）,若方程/（x）=fo（:恰有两个根，记较

大的根为仇则sin20=（

A.”

1+。2B•二

解析：函数兀0的图象如下:

V»=Ax恰好有两根，.♦由x）与>=质的交点只有2个，即人为与了=日在J'"J上相切,

当XG，於）=-cosx,由题意设该切点坐标为（仇—cos6）,且一cos9=A：e①,

••,加0与〉=依在1，4上相切,

・•・左=/(8)=sin0>0,

代入①式，得一cos0=0sin0,

tan9=11,

e

2sin6cos62tan°2。

sin26=2sin3cos0=.故选D.

sin2^+cos201+tan2^1+俨

答案：D

二、多项选择题

11.若函数")在。上可导，即/(X)存在，且导函数/(X)在。上也可导，则称火X)在。

上存在二阶导函数，记/(x)=[f(x)/若/(x)<0在D上恒成立，则称作)在D上为凸函数.以

下四个函数在力上是凸函数的是()

A./(%)=—x3+3x+4

B.J(x)=\nx+2x

C.fix)=sinx+cosx

D.Xx)=xe%

解析：对A,/(x)=—x3+3x+4,

f(x)=-3x2+3,fr(x)=-6x,

当4]时，/，(x)V0,故A为凸函数；

对B,Xx)=lnx+2x,/(x)=-+2,

/◎)=一3

当xe(°'Z]时，-(X)<0,故B为凸函数；

对C,7(x)=sinx+cosx,/(x)=cosx—sinx,

fr(x)=—sinx-cosx=—也sinl4J.

当xe[°'%]时，/(x)<0,故C为凸函数；

对D,兀r)=xeS/(%)=(%+1)^,f,(x)=(x+2)ex,

当XG[0'Z]时，/(X)>0,故D不是凸函数.

答案：ABC

三、填空题与解答题

12.已知函数/[X)=MX—1XX—2XX—3)(X—4>(X—5),贝!1/(0)=.

解析：/(x)=(x—l)(x—2)(x—3)(x—4)(x—5)+x[(x—1)(X—2)(x—3)(x—4)(x—5)丫,所以/(0)

=(-1)x(—2)x(—3)x(-4)x(—5)=-120.

答案：-120

13.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为。型分式，比如：当x-0时，—

0%

的极限即为。型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696

0

年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方

、士-hn1-首一]1-—]，「「丫n1milVNlnx

法.5□：lim-------=11m--------------=hm—=limex=e()=1,lim--------________.

xx'1x2-1

x—>0x—>0x—>0x—>0x—>1

々刀i匚「x2lnx-x2lnx'2xlnx+x「|lnx+|l,.11

解析：lim-------=lim--------------=lim------------=limI2j=lnH--=—.

x2-1x2—1'2x22

X—>1X-1x—>1x—>1

答案：1

2

14.设曲线y=e"在点(0,1)处的切线与曲线y=l(x>0)在点P处的切线垂直，则点P的

坐标为.

解析：曲线在点(0,1)处的切线斜率左=j/|x=o=l；由>=1,可得V=—4.因为曲线

XX2

歹=1。>0)在点尸处的切线与曲线在点(0,1)处的切线垂直，故一!=-1,解得XP=1,

XXp

由y=l,得抄=1,故所求点P的坐标为(1,1).

答案：(1,1)

15.已知曲线歹=%3+%—2在点尸o处的切线/i平行于直线4x~y—1=0,且点尸o在第三

象限.

(1)求切点尸o的坐标；

(2)若直线L/i,且/也过切点尸。,求直线/的方程.

解:(1)由y=%3+x—2,得j/=3N+l,

由已知令3/+1=4,解得X=±1.

当x=l时，y=0；当x=-1时，y=~4.

又点尸o在第三象限，

「・切点Po的坐标为(一1,