高考数学一轮复习考点总结-正弦定理、余弦定理（含解析）

正弦定理、余弦定理（2种核心题型+基础保分练+综合提升

练+拓展冲刺练）

m【考试提醒】

1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.

2.理解三角形的面积公式并能应用.

3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.

E1【知识点】

1.正弦定理、余弦定理

在△48C中，若角/,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△NBC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

层=62+-2Z?CC0S4;

-^—=^—=—^—=2R

内容按=/+层一2cqeOSB;

sinAsinBsinC

。2=层+接_24反05C

(l)a=2Rsin4,

b=2RsinB,

.b2+c2~a2

c=2RsinC；cosA=---------；

2bc

(2)sin4=抵，c2+a2~b2

变形cosB----------；

lac

sinsinC=£；

万a2+b2-c2

2R2RcosC=—

lab

(3)。\b\c

=sin—:sin5：sinC

2.三角形解的判断

A为锐角A为钝角或直角

cc工

图形

A旌一A、、—'/

ABA，B

关系式bsinAbsinA<a<ba^ba>b

解的个数一解两解一解一解

3.三角形中常用的面积公式

(1)5=)儿(肌表示边Q上的高);

(2)S=；absinC=|tzcsin5=gbcsin/；

(3)5=$(〃+b+c)(r为三角形的内切圆半径).

【常用结论】

在△45C中，常有以下结论:

(1)N/+N5+NC=7L

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(3)a>b<>A>Bosin24>sinB,cos/〈cosB.

4+5cA+B

(4)sin(4+B)=sinC；cos(A+B)=—cosC；tan(4+5)=-tanC；sin---=cos—；cos

2

_.C

—sin.

2

(5)三角形中的射影定理

在中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(6)三角形中的面积S=7p(p-a)(p-b)(p—cP

E3【核心题型】

题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

(1)由y=sin5的图象到y=sin(0x+9)的图象的变换：向左平移9(0>0,夕>0)个单位长度而

co

非9个单位长度.

(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数,

口为负时应先变成正值

【例题1】(2024•广东江门•二模)户是“5c内一点，

ZABP=45°,ZPBC=ZPCB=ZACP=30°,则tan/"P=()

2211

A.-B.-C.-D.—

3532

【答案】D

【分析】在A/BPQ/CP中，分别使用正弦定理，结合8P=CP化简整理即可得解

【详解】因为ZABP=45。,NPBC=ZPCB=ZACP=30°,

所以ABAC=180°-(45°+30°+30°+30°)=45°,

设NB4P=a,因为NPBC=NPCB,所以BP=CP.

A

APsin45°APsin30°

在AABPQACP中,由正弦定理可得而=飞病，于=sin（45。-。）,

sin45°sin30。

则QBPsin45°sin（45°—a）=sin30°sina,

sin（45。-a）'

年X等（cosa—sina）=gsina，

即

fsma1

解得tana=----二一.

cosa2

故选：D

【变式1］（2024•河北沧州•模拟预测）记”式C的内角4瓦。的对边分别为〃也c,若

3bcosB=acosC+ccosA,且36=4c,则。=.

JT

【答案】y/45°

4

【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得cos8=：,由同角的平方关系可得显豆=速,

33

结合正弦定理计算即可求解.

【详解】36cos8=tzcosC+ccosZ，

3sinScos5=sirUcosC+sinCcos^,

3sinScos5=sin（Z+C）,又sin（力+C）=sin5w0,

所以CQSB=J,所以sinB=71-cos2B=~~~•

因为%=4c,由正弦定理知3sin5=4sinC,

所以sinC=Y2,又B>C,所以C=^.

24

TV

故答案为：—

4

【变式2］（2024•山东日照•二模）”3C的内角45,C的对边分别为a,6,c.分别以a/,c为

边长的正三角形的面积依次为几邑，邑，且S「邑-邑=/6c.

⑴求角A;

（2）若前=4①，©DM，求sin/ZCB.

O

【答案】⑴7

（2注

7

【分析】（1）根据题意，化简得到/一〃-,2=儿，利用余弦定理求得cos/=-;，即可求

解;

（2）设44cB=々，在△/AD和A/CD中，利用正弦定理化简得到cosa=&sina,结合

2

三角函数基本关系式，联立方程组，求得sin乙4cs的值.

【详解】（1）解：由分别以。，ac为边长的正三角形的面积依次为

W_也2v6入2sM2

=a

4~^~，邑-,53=-^-c,

222

贝IE-S2-S3=^-a-^-b-^-c=^-bc,可得/=加，

1234444

由余弦定理得cosZ=J匚且=-1,

2bc2

因为力£（0,兀），所以4=?.

（2）解：设N4cg=a（其中a为锐角），

A

BD_/QCD_4。

在和△ZCZ)中，由正弦定理可得.,2兀71兀、且.兀sin(兀一°)，

sin(---F—)sin(——a)sm—v7

3636

兀

BDsin(——a)「八.

土日v37CDsma

于於二二二

sina_sina_

又因为8。=4cZ>,sin"=sin5，所以兀〃、也1.，

66sm\T-a)——cosa——sma

322

化简得cosa=^-sina，

2

根据同角三角函数的基本关系式，可得cos?a+sin?a=1,

因为sina>0,联立方程组，解得sina=£Z,即sin//C8=3夕

77

【变式3](2024•辽宁沈阳•模拟预测)在“3C中，内角N,B,C所对的边分别为a,b,c,

□sin2C-sinCsin5.

且----2-------------2——=L

coscosA

(1)求角/的大小；

(2)若“3C为锐角三角形，点尸为“BC的垂心，AF=6,求CF+AF的取值范围.

【答案】⑴若三

(2)(6百,12]

【分析】(1)由正弦定理及余弦定理可得cosZ的值，再由角A的范围，可得角A的大小；

(2)设=分别在两个三角形中，由正弦定理可得8尸，CF的表达式，由辅助角

公式可得BF+CF的取值范围.

【详解】(1)因为sin2fsinC：ing=],

cos5-cosA

所以sin2C—sinCsinB=cos2B—cos2A-\—sin25—1+sin2A

所以sin2B+sin2C-sin2A=sinCsinB，

由正弦定理可得〃+。2—4=,

由余弦定理可得cos/Ne(0,兀)，

2bc2

可得/界;

(2)延长AF交于。，延长B尸交/C于石，延长CF交45于P,AF=6,

根据题意可得4。，BE人AC,因为NC4B=5，所以/后氏4=乙4。尸=看，

设/E43=a,。£(05)，在4/3厂中，由正弦定理可得.工厂.口田

3sinZEBAsmZFAB

6_BF

即1"可得即=12sina,

2

jr

同理在中，可得CF=12sinq-。)，

冗百1

所以即+C77=12[sina+sin(1—a)]=12(sina+-y-coscr-于ina)

=12(；sina+乎cosa)=12sin(a+1),

因为ae(0,9,所以6/+三£(1,-^-),

所以sin(a+,£(£/],

所以昉+C产W(6GJ2].

题型二正弦定理、余弦定理的简单应用

命题点1三角形的形状判断

判断三角形形状的两种思路

（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用/

+2+C=兀这个结论.

【例题2】（2024•陕西渭南•三模）己知“3C中，角4,B,C所对的边分别是a,b,c,若

bcosC+ccosB=b,且。=*0$8,则AJBC是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】由正弦定理和sin/=sin（8+C）得到“=b,cosC=0,求出。=],得到答案.

【详解】bcosC+ccosB=bnsin5cosC+sinCcosB=sin5nsin（B+C）=sin8,

即sin/=sin8,故

a=ccos5=>sin4=sinCcos3=sin（B+C）=sinCcosB

=^>sinBcosC+cosBsinC=sinCcos^=>sin5cosC=0,

因为3e（0,7i）,所以sinBwO,故cosC=0,

因为Ce（0,7r）,所以C=],

故“3C为等腰直角三角形.

故选：D

【变式1]（2024•湖南衡阳•模拟预测）在“3C中，角4SC的对边分别为a,6,c,若

sin2A=sin2B,则^ABC的形状为.

【答案】等腰三角形或直角三角形.

【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，得至⑵.6"2/=2方/+»2,化简

2bc2ac

得到（〃-⑹I-/-⑹=0,进而得到答案.

【详解】因为sin24=sin28,可得2sin/cos/=2sin5cosB,

72.2_222_A2

由正弦定理和余弦定理，可得2e=2b&，

2bclac

整理得/伊+,2一〃）=/（〃+,2一〃），即A—Jb2c2+b4=0,

即（?（/-/）一（/_/）（/+人2）=0,可得_/）卜2_/）=0,

所以。=%或/+〃=02,所以"3C是等腰三角形或直角三角形.

故答案为：等腰三角形或直角三角形.

【变式2】（2024•安徽淮北,二模）记”BC的内角4瓦c的对边分别为a,6,c,已知

c-b-2csin2—

2

⑴试判断“8C的形状；

（2）若c=l,求“8C周长的最大值.

【答案】（1）“3C是直角三角形

（2）72+1

【分析】（1）根据题意，求得cos/=2,利用余弦定理列出方程，得至U/+〃=c2,即可求

C

解；

（2）由（1）和c=l,得到。=sin/,6=cos/,则AABC周长为l+sin/+cos/,结合三角

函数的性质，即可求解.

解：由c-b=2csin24，可得sinzW=所以上吧1=

【详解】（1）

222c22c

一1cos/

又由余弦定理得=2,可得/+〃=02,所以c=E，

2bcc2

所以是直角三角形

（2）解：由（1）知，是直角三角形，且。=1,可得a=sin46=cos/,

所以周长为1+sinN+cosZ=l+V^sin[/+：）,

因为/£[0,1，可行衣片匕彳J，

所以，当/=£时，即28C为等腰直角三角形，周长有最大值为8+1.

【变式3](2024•内蒙古・三模)在“中，内角4伐。的对边分别为见仇。，且

-V2Z?jcosC=c(亚cosB-cosZ).

⑴求2的值；

a

(2)若B=2C,证明：为直角三角形.

【答案】⑴收

(2)证明见解析

【分析】(1)由正弦定理和逆用正弦和角公式得到6=缶，求出答案；

(2)由(1)得到sinS=V2sirU，结合B=2C,得到sin2C=亚sin2CcosC+41cos2CsinC，

化简得到cosC=e,C=”=B，得到答案.

242

【详解】(1)由(〃一瓶6kosc=c(J^cosB-cos/),

可得acosC+ccosA=42(Z)cosC+ccos5),

所以sin4cosc+sinCcosZ=V2(sinScosC+sinCcos5),

所以sinB=V2sinA，

则6=缶，即

a

(2)证明：由(1)可得sin3=J^siiL4.

又B=2C,所以sin2C=后sin(3+C)=Ssin3C,

即sin2C=g_sin(2C+C)=Ain2CcosC+bcosZCsinC,

故2sinCcosC=2忘sinCcos2C+41cos2CsinC

所以2cosc=2顶cos2c+2亚cos2c-亚，

即4缶os2c-2cosC-VI=0，

因为B=2C,所以C为锐角，

解得cosC=，^(负值舍去)，即C=?,5=g,

242

所以23c为直角三角形.

命题点2三角形的面积

三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S=ga6sinC-^acsinB—^bcsmA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

【例题3】（2024•云南昆明•三模）已知“3C中，/3=3,BC=4,AC=&,则“3C的

面积等于（）

A.3B.VTTC.5D.275

【答案】B

【分析】由余弦定理及同角三角函数的平方关系得出sinB,再根据三角形面积公式计算即

可.

【详解】由余弦定理得，8g_/笈+"32_32+4?一网_5,因为B为三角形内

2AB-BC2x3x46

角，

则sinB=Vl-cos2B=也!，

6

所以SB=-x3x4x—=巧，

"226

故选：B.

【变式1]（2024•安徽•三模）在“8C中，a,b,c分别为内角/,B,C所对的边，且满足

qin01_ccqc

+

a=^）（sin24+sinC）=/?sin5+3csinA,----=-------,贝!JAY43c的面积

sin5cos5

是.

【答案】巫2仙

44

【分析】先化角为边结合余弦定理得出3,利用*=匕半可得/=3,利用面积公式

sinBcosB

可得答案.

【详解】因为（a+c）（sin/+sinC）=bsin5+3csin4,

a

由正弦定理可得（。+。）2=/+3以，整理得一〃=碇，cosB=~=-,

lac2

因为8€（0,兀），所以B=g；

qjnC1—cocC

由一---二-------得5抽。0058+5出8贫5。=5由8,即sin（8+C）=sinB,

sin5cos5

因为sin（5+C）=sin（兀-4）=sin/,

TT

所以sinZ=sin5,即4=B=],所以三角形是正三角形，

因为a=6,所以“BC的面积是5=3x3=述.

44

故答案为：巫

4

【变式2］（2024•浙江绍兴•二模）在三角形N8C中，内角48,C对应边分别为a,6,c且

6cosc+67sin5=a+2c-

⑴求的大小；

⑵如图所示，。为AA8C外一点，ZDCB=ZB,CD=43,BC=1,/C4D=30°,求sinN8C4

及AABC的面积.

【答案】⑴120°

sS3+V3

24

【分析】（1）利用正弦定理边化角可得sin3cosc+J5sinCsin3=sinN+2sinC,根据式子

特点，变换sinN=sin（8+C）,从而可以化简三角恒等式为道sinB-cosB=2,最后利用辅

助角公式求出3=120°；

（2）设ZBC4=。，可知用。表示ND,ZBAC,利用正弦定理可得公共边/C的式子，最

后可得一个关于角6的三角方程求解出角9的大小，然后求出求出sinZBCA=正和

2

屈,最后利用面积公式即可求出面积.

2

【详解】（1）vZ）cosC+\5csin5=a+2c,由正弦定理边化角得：

sinBcosC+6sinCsinB=sin4+2sinC，由三角形内角和为180°可得：siny4=sin(5+C),

即，sinBcosC+百sinCsinB=sin(3+C)+2sinC=sinBcosC+cosBsinC+2sinC,

即V3sinCsinB—cosBsinC=2sinC,

又,/sinCw0>/3sinB-cosB=2n——sinB---cosB=\,

22

即sin伊—30°)=l,又丁。。<5<180°,.•.8—30°=90°,即5=120°.

ACCD

(2)设NBCA=9,在"CD中,

sinZDsinACAD'

ND=180°-30°-(120°-6>)=30°+6>,CD=^3,

-=端义…"(0+3日

ACBC

在中,--_■,ZBAC=180-120-0=60-0,BC=l,

sinZBsinABAC

sin1200“V5V3

sin(60°-6>)2sin(60°-6>)2cos(6+30°)

BP2A/3sin(6+30°)=--------.........

'72cos(<9+30°)

/.4sin(6+30°)cos(6+30°)=1n2sin(26+60°)=1,

sin(20+60°)=—,又0°<。<120°,

.•.26+60°=150°,解得6=45°,

/.sinABCA=sin。=sin45=^~,

2

又由AC==2j^sin(6+30°)=26sin(45°+30°)

午曰0o•/D0113V2+V6V23+V3

~~TZES4Rr——BC'A.C'sinNBC4——x1x------------x-----=---------

“BC22224

sinA+sinBsinC

【变式3](2024•全国•模拟预测)在中，已知=而万.

(1)求证：sin力=2sin8；

万

(2)若。为48的中点，且/2=百，CD=—,求“3C的面积.

2

【答案】⑴证明见解析；

(2)-

2

sinA+sinBsinCsin(4+B)

【分析】(1)由.m=「一.n，利用两角和与差的正弦函数化简求解；

sm(4-5)sin3smB

(2)由。为的中点，得到丽=g(宓+赤)，再两边平方得到C4,C8的一个关系式,

由/2=百，利用余弦定理得到再得到得到C4,CB的一个关系式，然后利用(1)的结论

BC=2AC求解.

sinA+sinBsinC_sin(^+5)

【详解】（1）因为

sin(A-B)sin5sin8

所以sinZsinB+sin^B=(sinZcosBJ-£osZsinB)2-sin2^4-sin25,

即(sinZ+sin8)(sin/-2sin8)=0,

因为sinZ+sinBwO,所以sinZ=2sin8；

(2)因为D为的中点，且48=百，CD=—,

2

所以函=g(0+Q),

两边平方得CD=^\CA+CB+2℃制，

=；(市+CB+2同.同.cosZAC^,

^CA2+CB2+2CA-CBcosZACB=7,

又AB2=CA2+CB2-2CACBcosNACB,

即CA2+CB2-2cACB-cosNACB=3,

由(1)知8c=2NC,

解得8c=2,/C=l,又AB=4i,且C42+/82=CB2,

所以/=4,则S42C=」/C-48=走.

2AHOC22

命题点3与平面几何有关的问题

在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常

是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，

常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用

正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若研究最值，常使用函数思想

【例题4】（2024•山东聊城•二模）如图，在平面四边形/BCD中,

/8=40=2,/8=2/。=120°,记28。与“。的面积分别为几52，则邑-岳的值为（）

D

A.2B.V3C.1D.—

2

【答案】B

【分析】根据余弦定理得3c2-4C2=-23C-4、CD2-AC2=2CD-4,两式相减可得CD-BC=2,

由三角形的面积公式得邑/=曰(CZ)-BC),即可求解.

【详解】在"3C中，由余弦定理得cos8=/炉+80一一/02,

2ABBC

即」=4+叱一上,得BC~C2=_2BC_4①，

在ANC中，由余弦定理得cosD=任*匕空，

。2ACCD

22

即J_=4+CZ)*4c2,^cD-AC=2CD-4(2)f

24CD

ici「%

又§=—435Csinl20°=—BC,S=-AD-CDsm6()工CL,

12222?2

所以S「S、=*D-与BC=9gD-BC'^,

由②一①，^CD2-BC2=2(CD+BC),由CD+8C>0,

得CD-BC=2,代入③得S2-S|=G.

故选：B

【变式1］（22-23高三上•江苏扬州•期末）如图，在“3C中，sinN=g,AB=243,D、E

分别在边8C、AC±,EC=EB,即，8。且。£=1.则3$。值是；的

【分析】分析可得//E3=2/C,E8=—二，在A/EB中，利用正弦定理结合二倍角的正

弦公式可求得cosC的值；求出仍的长，利用两角和的正弦公式求出sin/NBE的值，利用

三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】因为EB=EC,则/£3C=NC,ZAEB=2ZC,

DF1

因为即，BC,则。为3C的中点，且破=^-------=,

sinZ.EBCsinC

在用中，由正弦定理可得一^—=手，即义6-=工，

sinZAEBsin/sin2CsinC

易知C为锐角，故一空—=工，可得cosC=必，

2sinCcosCsinC3

所以，sinC=Vl-cos2C=，则sin//EB=sin2C=2sinCcosC=,

33

.91

cosZAEB=cos2C=1-2sin2C=——,

3

-EB=—^—=—<AB,故在中，A为锐角，故cosZ=Jl—sin?/

sinC23

/7

所以，sin/ABE=sin(/AEB+ZA)=sinZ.AEBcosA+cos/AEBsinZ=—,

i7g

因此，S=-AB-BEsmAABE=^—.

LAXADC,Cr

2o

故答案为：立；逆.

36

【变式2](2024•广东梅州•二模)在“8C中，角/,B,。所对应的边分别为a,b,c,

y/3acosB-bsinA=\Tic,c=2,

⑴求/的大小：

(2)点。在5。上，

(I)当AD7.N8,且40=1时，求NC的长；

(II)当BD=2DC,且AD=1时，求的面积S@c-

【答案]⑴/号

i-)\Ar873+43-J2+J3

(2)AC=———;SJBC=-------------

【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan/的值，结合

/40,万)即可求解A的值；

(2)(1)根据锐角三角函数和差角公式可得

cosN/3C=M=2，sinNABC=^=W，sinC=-9+41正弦定理即可求解.

DL)75DL)751U3

(II)采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决.

【详角军】(1)HV3d;cos5-Z?sin74=V3c,

所以由正弦定理可得百sin4cos5-sin5sin^4=A/3sinC,

又sinC=sin(/+3)=sinAcosB+cosAsinB,

所以一sin5sinZ=A/3COSAsinB，

因为3为三角形内角，sinB〉0,

所以一sin/=cosA,可得tan4二-百，

因为4E(0,兀)，所以4=H；

(2)(I)止匕时45=2=240,AD1AB,

所以施=yjAB2+AD2=指，所以

cos/ABC=—=^,sinNABC=—=2y/3后、y[5~

BDV5BDT号―10

在小BC中，由正弦定理可得

AC_AB="_ABsinZ4BC_?乂忑8®+4

sin/ABCsinCsinC石-J1511

--------1-------

105

(II)设/CAD=a,由=S*BAD+SAGW,

可得VJb=2sin(与-a)+bsina,化简可得由b-bsina=2sin(看-a)

bCD2BD

有sin//DCsina?sinZADB.,2兀

sm(3--a)

bsinasinZADB_1

由于=2。。，所以sin/ZOCX。./2兀一-=f,

zsin(——CC)

所以人sin(5-a)iCb-bstnaV3b=^+1,

/ZI△b=-----------------=-x---------；--------nsma=一，?

sina2sina3

贝I」S，ABC=gbcsin/=3后;".

【变式3](23-24高三下•山东,开学考试)如图所示，圆。的半径为2,直线与圆。相

切于点A,AM=4,圆O上的点P从点A处逆时针转动到最高点B处，记NAOP=0,9^(0,兀].

(1)当6=}-时，求△APM的面积；

(2)试确定。的值，使得■的面积等于A/OP的面积的2倍.

【答案】(1)6

(2)夕=；

【分析】(1)过点尸作尸。，/可，利用圆的性质求得尸。，代入面积公式直接求解即可；

(2)设A/。尸的面积为E，AN尸河的面积为邑，结合三角形面积公式建立方程，利用辅助角

公式化简求解即可.

【详解】(1)过点尸作尸交于点。，如图：

因为圆O的半径为2,由题意PQ=2+2sin^——j=2—2cos8=2—2cos-^-=3,

又4Af=4,所以的面积为一x4x3=6.

2

(2)连接AP,设A/OP的面积为Si，”尸M的面积为邑，

又S]=gx2x2xsin6=2sin6,S2=^AM-PQ=gx4x2x(l-cos8)=4(l-cos8),

由题意知邑=25，所以4(l-cose)=4sin6,即sinJ+cos。=1,所以sin[o+：]=

因为阻。,可，所以。+台0:所以吃寸，所以，?

7T

所以当。=5时，使得△■的面积等于乂。尸的面积的2倍.

【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.（2024•河南新乡•二模）在“BC中,内角A,B,C的对边分别为“，b,且a=7,

b=3,c=5,贝（J（）

A.”BC为锐角三角形B."3C为直角三角形

C.“3C为钝角三角形D.AABC的形状无法确定

【答案】C

【分析】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.

【详解】由于cos/l+l——32+52—72=9+25-49

2bc3030

故A为钝角，进而三角形为钝角三角形

故选：C

2.（2024・贵州遵义•三模）在"3C中，角4瓦。的对边分别为“,6,c,。为NC的中点，已

、/7

知c=2,BD=——，且acosB+6cos/=-2ccos_8,则的面积为（）

2

A.2月B.3C.V3D.t8

22

【答案】D

【分析】先利用正弦定理化边为角求出角8,在向量化求出边。，再根据三角形的面积公式

即可得解.

【详解】因为acos5+6cos/=-2ccosB,

由正弦定理得sin/cos5+sin5cos/=-2sinCcosB,

即sin（%+8）=sinC=-2sinCcosS,

又sinC〉0,所以cos5=-工，

2

又3e（0,兀），所以8=T，

在AA8C中，。为NC的中点，则砺=2（函+元）,

则丽2=：（茄+呵2=；叵+SC2+2BA-JC

即W=^（4+/—2。），解得。=3（a=—1舍去）,

cep]_1>A6_£!

所以Sv%c=5*2*3*5=^-,

故选：D.

3.（23-24高三下•河南•阶段练习）记AABC的内角/,2,。的对边分别是a,b,c,已知。=3,

b2=C2+3C+9,248C的平分线交边NC于点。，且8。=2,贝防=（）

A.2港B.2A/7C.6D.377

【答案】D

127r

【分析】根据题意，利用余弦定理求得COS2=-5,得到8=$,结合％

列出方程求得c=6,再利用余弦定理，即可求解.

【详解】因为a=3及6?=/+3c+9,可得〃=a?+/+ac,

由余弦定理得cosB=a-”*=_1；

2ac2

2兀

又由0<8<兀，所以5=3-,

因为SAC=SMBD+S^BCD，即gacsin乙4BC=g8Z）-（a+c）sin乙480，解得。=6，

27r—

由余弦定理得〃=62+32-2x6x3xcos—=63,即b=3g.

故选：D.

4.（2024•山东枣庄•模拟预测）在中，4405=120。，BC=2AC,。为力5C内一点,

ADLCD,NBDC=120。,贝han4C0=（）

A.2A/2B.在C.V6D.—

22

【答案】B

【分析】在RS/。。中，设44CD=6,AC=x,即可表示出C5,CD,在△55中利用

2x_xcos6

正弦定理得到国=sin（。-60。）,再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切,

即可得解.

【详解】在RtA/DC中，设/NCD=6»，<6<m），令/C=x（x>o）,

则CB=2x，CD=xcos6,

在中，可得/5。。=120。一。，ZCBD=0-60°,

BCCD

由正弦定理

sinZCDBsin/CAD

2xxcosOxcosO

得6W)-二m旦3

222

41

所以耳二不再

22

可得tan0=,即tanNACD=--

22

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到△BCD中

利用正弦定理得到关系式.

二、多选题

5.（2024・江西・二模）已知ABC中，48=1,/。=4,/&1。=60。,4£为/5/1。的角平分线,

交8c于点及。为ZC中点，下列结论正确的是（）

A.BE=—

5

B.AE=^~

5

C.的面积为如

5

D.尸在△/ED的外接圆上，则尸8+；尸。的最大值为近

【答案】ACD

【分析】对每一个选项逐一判断，由余弦定理求出店，再由角平分线定理可知

BE=^~,利用三角形面积公式求出S板

54ABE=—x^KlKsin—=,再设/尸AD=6,将

265

依+表示为°的三角函数求最值即可判断

【详解】在“3C中，由余弦定理得8C2=l+42-2xlx4xcosP=13,2C=Jim,

3

由角平分线定理得：BE:EC=BA:AC=T:4,BE:BC=1:5,BE=%C=叵,所以A正确;