高考数学一轮复习练习卷：一元二次函数、方程和不等式（原卷版+解析版）

高考仿真重难点训练-一元二次函数、方程和不等式

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知。c为实数，则下列命题成立的是（）

A.若a<b,则

B.若,则

C.若.上|>可则

D.若。>6,则

ab

2.如果0<。<6,那么下列不等式正确的是（

r~ra+b,

A.yl~ab<"2<a<bB.a<7ab<------<b

22

C.y[ab<a<a+^-<b+

D.a<—<y[ab<b

22

3.一元二次不等式4%2+必+0>0的解为{川―2<x<3},那么qf—6%+c〉。的解集为（）

A.{%卜>3或％<-2}B.{%[%>2或％<-3}

C.{司-2<x<3}D.|x|-3<x<2|

4.若/=1%£2卜：<0：,5={x|log5x<l},则ZcB的元素个数为（）

A.0B.1C.2D.3

12-

5.若0<x<l,则一■F的最小值是（）

X1-x

A.1B.4C.2+2V2D.3+2收

6.已知/=[』竺Wvo],若2e4,则加的取值范围是（）

[\mx-lJ

11111511…、1

A.——<m<—B.——<m<—C.m<——>—D.m<——或冽》一

22222222

7.已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为加元和〃元（加工"）,甲、

乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买

平均单价分别为可,出，则（）

A.B.ax<a2C.ax>a2D.。卜出的大小无法确定

8.已知正实数a,b,贝心。+26V2”是“/+4/42”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知命题。：关于x的不等式/-23-°>0的解集为R,那么命题。的一个必要不充分条件是（）

12

A.-\<a<——B.——<a<0

23

C.-l<a<0D.a>-l

10.已知正实数。,6满足劭=。+6+3,贝！J（）

A.a+b的最小值为6

B.的最小值为3

c.工I+；1的最小值为21

abJ

D.。+2〃的最小值为8

11.已知正实数。，b,c,且a>b>c,x,九z为自然数，则满足三+4+」>0恒成立的x,九

a-bb-cc-a

z可以是（）

A.x=l,2=4B.x=\,>=2,z=5

C.x=2,y=2,z=7D.x=l,歹=3,z=9

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合/={T，若且/UBHN,则实数。的取值范围是

13.已知函数/口）=-/+6+6（凡6€火）的值域为（-8,0],若关于x的不等式的解集为

（m-4,m+l）,则实数c的值为

14.某希望小学的操场空地的形状是一个扇形计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所

示），有如下两个方案可供选择.经测量，ZAOB=6Q°,。4=2.在方案1中，若设OE=x,EF=y,则x,

了满足的关系式为,比较两种方案，沙坑面积最大值为.

AA

四.解答题：本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.已知集合2=卜|=2—41240},集合8=喋合-

(1)当。=4时，求4c5；

(2)若“xeA”是“xe3”的充分条件，求正实数。的取值范围.

16.已知关于x不等式加_3工+2>0的解集为门,<1或x>6}.

⑴求值；

/7b

(2)当x〉0/〉0,且满足--+—7=1时，求2x+y+3的最小值.

x+1歹+1

17.已知二次函数>=。/+桁+2(a,b为实数)

⑴若函数图象过点(1,1),对VxeR,V>0恒成立，求实数。的取值范围；

⑵若函数图象过点(1,1),对\/。目-2,-1],y>0恒成立，求实数x的取值范围;

18.某服装厂拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)机万件与年

促销费用x(0<x<10)万元满足加=3-一已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件

该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固

定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).

(1)将2022年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数；

(2)该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，利润最大？

19.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若£＞三,那么称点是点(cd)的“上位点”,

同时点(G")是点®6)的“下位点

⑴试写出点(1,2)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

(2)已知点(a/)是点(G")的“上位点”，判断点［专，审］是否是点(。㈤的“下位点”，证明你的结论；

(3)设正整数〃满足以下条件：对集合k|0＜，＜2022jeZ｝内的任意元素加，总存在正整数4=2机+1,使得

点(〃㈤既是点(2022,〃?)的“下位点，，，又是点(2023,〃?+1)的“上位点，，，求满足要求的一个正整数〃的值，并

说明理由

高考仿真重难点训练01一元二次函数、方程和不等式

一、选择题

1.已知。力,C为实数，则下列命题成立的是（）

A.若a<b,贝！

B.若a〈b,贝！JQ-C〉6-C

C.若dd〉Md，贝lja〉b

22

D.若a>b,则一

ab

【答案】C

【分析】根据不等式性质对选项逐一判断即可得出结论.

【解析】对于A,若a<b,当。=0时，不满足ac<6c,即A错误;

对于B,若a<b,贝!］。一。<6—c,所以B错误；

「a\c\b\c\

对于C,若可c|,可知cwO不等式两边同时除以上|,即才〉才，可得即C正确;

22

对于D,若a>6,不妨取=则上=2>：=-2,可得D错误;

ab

故选：C

2.如果0<。<6,那么下列不等式正确的是（）

z+ba<4ab<"+"<b

A.y[ab<-<a<bB.

22

+b

C.Jab<a<—<bD.a<°*,<<b

22

【答案】B

【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出而<¥，再结合0<。<6可得出结果.

2

【解析】由已知0<。<6,利用基本不等式得出而<审，

因为则/〈abv/,a+b<2b,

所以acdabcb,--—<b,

.a+b,

a<7ab<-----<b.

2

故选：B

3.——兀二次不等式ax?+bx+c>0的解为{%卜2<x<3},那么ax?—6%+。〉0的解集为()

A.{%卜>3或％<-2}B.{%上〉2或工<-3}

C.1x|-2<x<3jD.1x|-3<x<2j

【答案】D

【分析】根据题意得出〃、6、。的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.

【解析1一元二次不等式ax2+bx+c>0的角军为{x|-2<x<3},

所以4%2+/+0=0的解为巧=一2,%2=3,且〃<0,

Xj+%2=--=1

a/6=一。

由韦达定理得，=一&，代入得

ax2+QX-6Q>0=>%2+X-6<0=>—3Vx<2,

故选：D.

4.若/=，eZ|51wO；,S={x|log5x<l},则的元素个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】分别确定集合48,再求交集.

【解析】根据题意，可得集合/={xeZ|xW2或x>8},

B=|x|0<x<5},

则/c8={l,2},所以NcB的元素个数为2个.

故选：C

5.若0<x<l,则上1+六2的最小值是()

Xl-x

A.1B.4C.2+2后D.3+2也

【答案】D

【分析】根据基本不等式及"1"的妙用计算即可.

【解析】因为O<X<1,所以l-x>0,

则'12=f—+[2][x+(1-x)]=3I^~X1丁23+3/2,

X1-xkXl-x)Xl-x

当且仅当」1—y=卢0y，即％=e-1时，等号成立，取得最小值3+2女，

X1-x

故选：D.

6.已知/=竺，若2e/,则加的取值范围是（）

[\mx-lJ

11111—11—1

A.——<m<—B.——<m<—C.m<——或冽>二D.m<——或加〉一

22222222

【答案】A

【分析】将x=2代入%然后转化为一元二次不等式求解可得.

mx-1

【解析】因为2eA,所以手等价于中^）"。，

2m-1⑵"一1/0

解得一：〈加<!.

22

故选：A

7.已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为加元和〃元（加R"）,甲、

乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买

平均单价分别为q,电，则（）

A.ax=a2B.ax<a2C.ax>a2D.%,出的大小无法确定

【答案】B

【分析】由题意求出知的的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.

2002mn、

【解析】由寇思得10。+100m+n>出=--n=一~一，

mn"

e位八八,,m+nI—2mn2mn/—

因为加〉〉0,加W〃,故---->y/mn,--------------<-7^=y/mn,

2m+n2y/mn

即a1<a2,

故选：B

8.已知正实数a,b,则“4+26«2”是"/+4/«2”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】由充分条件和必要条件的定义结合基本不等式求解即可.

31g19137

【解析】取。=—,6=—,满足a+2b42,但/+46~=—F4x—="i---=—>2,

2846441616

故"a+26W2"推不出"力+疝a，,

因为片+4/227792=2-2融=4办当且仅当"。=2〃’时取等，

当。2+万W2时，。2+助2+4。6V2+4。6V2+〃+4〃V4，

所以。2+4/+4。6«4,即(a+26y44,因为。+2b>0,

所以0<a+2642,所以a?+4从V2能推出a+2b<2.

故"a+26W2"是"/+疝v2"的必要不充分条件.

故选：B.

二、多选题

9.已知命题。：关于x的不等式/-2"-a>0的解集为R,那么命题。的一个必要不充分条件是()

,12八

A.-\<a<B.——<。<0

23

C.-l<tz<0D.a>-\

【答案】CD

【分析】求出命题p成立时。的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可.

【解析】命题p关于x的不等式/-2分-0>0的解集为R,

贝！IA=4/+4a<0,解得-1<。<0

又(-1,0)[-1,0],(-1,0)[-1,+8),

故选：CD.

10.已知正实数a/满足a6=a+6+3,贝！]()

A.a+6的最小值为6

B.的最小值为3

C.▲+；的最小值为]

ab3

D.a+2b的最小值为8

【答案】AC

【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式解法判断AB；由脑的范围结合单调性判断C；变形给定等

式，利用基本不等式求解判断D.

【解析】正实数满足仍=〃+6+3,

对于A,a+b+2>=ab<^Y^,贝!!(.+6)2-4(°+6)-1220,即(。+6—6)(。+6+2)0,

解得〃+当且仅当。=6=3时取等号，所以Q+6的最小值为6,A正确;

对于B,ab=a+b+3>2yl~ab+3，贝!J—3)(7^+1)20,解得即“629,

当且仅当。=6=3时取等号，所以打的最小值为9,B错误；

对于C,由选项B知，ab>9,-+-=3±±=也11=1-2_>1_3_=2_,

abababab93

11?

所以当a=6=3时，一+:取得最小值z，C正确；

ab3

对于D,由a6=a+6+3,得(a-l)(bT)=4,而。=小>0,贝

b-\

°+26=("1)+2(6-1)+322痴-1).2(6-1)+3=4也+3,当且仅当。一1=2(6-1)时取等号，

缶-1=2(6-1)广L厂LL

由,八人八“，解得。=2拒+1,6=5+1，所以当。=2拒+1/=后+1时，。+26取得最小值4拒+3,

[(4一1)(匕-1)=4

D错误.

故选：AC

【点睛】方法点睛：在运用基本不等式时，要特别注意"拆"、"拼"、"凑"等技巧，使用其满足基本不等式的

"t正"、"二定"、"三相等”的条件.

11.已知正实数a,b,C,且a>b>c,X,y,z为自然数，则满足上+—L+上>o恒成立的X,儿

a-bb-cc-a

z可以是()

A.x=l,V=l,z=4B.x=l,V=2,z=5

C.x=2,y=2fz=7D.x=l,>=3,z=9

【答案】BC

【分析】利用基本不等式"1"的妙用得到X।y.(4+6),进而得到只需(4+6丁>z即可，再依

a-bb-ca-c

次判断四个选项即可.

【解析】要满足弋+卢+上〉。，只需满足」7+4>工，

a-bb-cc-aa-bb-ca-c

其中正实数a,b,c,且a>b>c,x,y,z为正数，

无।了(”6)+4一耳[x]y]

a-bb-ca-c\a-bb-c)

=上+(6-c)x।("少।y

a-c(a-b)(q-c)(a-c^(b-c)a-c

(b-c^x(a-b^y

2上+上+2

a-ca-c(a-b^(a-c^(a-c)

x,y,2历_(4+6),

-----------1-------------1--------------------------------------

ci—ca—cct—cci—c

(b-c^x[a-b^y

当且仅当即（6-C）2x=（q_6）2y时,等号成立,

(q-8)(q-c)(a-c)0-c)，

观察各选项，故只需（、「+及）》z,故只需（6+V7f>z即可,

a-ca-c

A选项，x=lV=l,z=4时，(VI+0)=4,A错误;

B选项，x=ly=2,z=5时，(&+拒『=3+26>5,B正确;

C选项，x=2y=2,z=7时，（拒+后『=8>7,C正确;

D选项，x=l,y=3,z=9时，(Vi+石y=4+26<9,D错误.

故选：BC.

三、填空题

12.己知集合/={x|x2a},3=，若且/UBwN,则实数。的取值范围是.

【答案】0,3]

【分析】根据已知条件，利用分式不等式求解集合3,结合集合交集、并集的定义，即可求解.

【解析】由-X+2]2得：1K3,

x-1

所以8={x[l<x43},

因为4c8/0且,

所以ae(l,3].

故答案为：（1,3].

13.已知函数/^）=-》2+依+666€&的值域为（_8,0],若关于x的不等式/（尤）>。-1的解集为

（m-4,m+l）,则实数c的值为.

【答案】-弓21

4

【解析】由题意得△=O,/+46=o.../(x)=_(x—W)2,由得

C<1,(X--)2<1-C-s/l-c<x<—+V1-C,因止匕

222

--V1-C=m-4,—+yJl-c=m+\2jl-c=5,c=--

224

14.某希望小学的操场空地的形状是一个扇形NOB,计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑(如图所

示)，有如下两个方案可供选择.经测量，ZAOB=60°,。/=2.在方案1中，若设OE=x,EF=y,则x,

》满足的关系式为,比较两种方案，沙坑面积最大值为.

【答案】4f+2盯+/-4=0(其中xw(O,l),ye(0,2))，或尸,(xe(0,l))”/灿

33

【分析】(1)连接。C,在RtAOC厂中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；

2一

(2)由(1)及基本不等式求得孙4],结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接，OC,设OE=m,

EF=n,在心中应用勾股定理得疝+鬲〃+”2=4,结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最

大值，比较大小即可.

【解析】连接0C,由OE=x,EF=y,ZAOB=6Q°,OA=2,得DE=6x,

在RMOC尸中，（了+y）2+（岳）2=4,由8=2x<2,得0<x<l,

显然j="-3x2一x在(0,1)上单调递减,o<”2

所以阳〉满足的关系式为4x?+2中+_/-4=0(xe(O.l),ye(0,2))或了=，4-3为-x，(xe(OJ))；

方案1：设游泳池DEFC的面积为E，

212

由(1)得4=4，+2中+/22中+4町=6盯，解得孙工§,当且仅当2x=y,即％=耳，》=用时取等号,

所以S]=y/3xy<2脂；

3

方案2：设游泳池。防。的面积为S2，取CF的中点M,

连接。M,OC,设。£=加，EF=n,在Rt^OCM中，(夕)2+(理+"=4，

则4=加？+加〃+/Q+JJ)加〃，解得加〃44(2—JJ),当且仅当冽=〃=&一时取等号，

S2=mn<4(2-G),

而”4(2一G)=里"鼻叵>3

333

所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为毡.

3

故答案为：4/+2孙+_/-4=0(xe(0,l),ye(0,2)),或y="-3--尤,(xe(。」))；冬8

'3

【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最

值是解决问题的关键.

四、解答题

15.已知集合/={x|x?-4x-1240},集合3={尤4a}.

(1)当。=4时，求Nc3;

⑵若"xe""是"xe3"的充分条件，求正实数。的取值范围.

【答案】(1)[-2,5]

(2)a>5

【分析】(1)先解一元二次不等式，求出集合A,再将。=4代入求出集合8,求/C3即可;

(2)由“xeZ"是"xeB”的充分条件，可得集合A是集合8的子集，即可求得。的取值范围

【解析】⑴解一元二次不等式得：A={x\X2-4X-12<0}=[-2,6]

当。=4时，集合8={到》一144}=[-3,5],

所以/c3=|-2,5],

(2)由已知"尤e/"是"xeB”的充分条件，可得集合A是集合B的子集，

a>0,5={x||x-l|<a}=[l-a,l+o],

而/=[-2,6],且集合A是集合8的子集,

1+6Z>6

所以1一2'解得"3

综上a>5.

16.已知关于x不等式依2一3工+2>0的解集为卜,<1或x>6}.

⑴求。,6值;

⑵当x>0/>0,且满足含+[=1时，求2x+y+3的最小值.

【答案】（1）E6=2

(2)8

【分析】（1）根据题意，得到1和6是方程a/_3x+2=0的两个实数根，结合韦达定理列出方程组，即可求

解;

1712

(2)由(1)得到---T+^=1,化简2x+y+3=[2(x+l)+(y+l)]-(----J,结合基本不等式，即可

x+1y+1x+1y+l

求解.

【解析】（1）解：因为不等式依2-3x+2>0的解集为上,<1或x>b},

可得1和6是方程a/—3尤+2=0的两个实数根，且a>0,

l+b=-

a

则解得a=1,6=2.

lxb=2

a

12

⑵解：由⑴知"1/=2'可得Q+衣=1，

因为x〉0,y〉0,所以2x+y+3=2(x+1)+(y+1)=[2(x+1)+(y+1)]•

=4+自+驾±44+2回远亘=8

x+1y+\x+1y+\

当且仅当E=X时,即X一尸3时，等号成立，

所以2x+y+3的最小值为8.

17.已知二次函数y=a/+bx+2（a,。为实数）

（1）若函数图象过点（1,1）,对VxeR,y>0恒成立，求实数。的取值范围;

⑵若函数图象过点（1,1）,对\/。目-2,-1],y>0恒成立，求实数x的取值范围;

【答案】⑴（3-2后,3+2近）

(1-V171+47^1

【分析】（1）由已知可得6=-1-。，由VxeR,y>0恒成立列出不等式求解即得.

（2）由（尤2一尤）。_丫+2>0对Vae[-2，T恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可.

【解析】（1）依题意，a+b+2=l,即6=-1一〃，

Q〉0

由VXER，>>0恒成立，得△=〃—8。<0'

(―a-1)—8tz<0a>0

即整理得

4>0Q2-6〃+1<0

解得3-2a<。<3+2万

所以实数0的取值范围是（3-2后,3+2五）.

(2)由(1)知，b——1—ci9

由y〉0,ax?—(1++2〉0,即(x?—x)Q—x+2>0,

依题意，卜之——x+2>0对Va£2,-1]恒成立,

令g(Q)=(f-x)a-x+2,

「i_2）=—212+x+2〉0

则对Vae-2,-1,g⑷>0恒成立，于是一二2nn，

[g（-l）=-x+2>0

解得匕姮<》<1±近，

44

所以实数X的取值范围是[上北，叶卫.

I44

18.某服装厂拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）加万件与年

促销费用x（0<x<10）万元满足m=3-一，.已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件

该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固

定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.

（1）将2022年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数;

⑵该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，利润最大？

【答案】⑴尸56-77rM9。,1。］）；

（2）投入3万元时，利润最大.

【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可;

（2）对函数解析式进行配凑，运用基本不等式，即可求得利润的最大值.

【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为2xi生,

38+16m—.z-、c、，

y=m-2x-----------(8+16m+x)=8+16m-x

m

=56----------x,即y=56-----------x{xG[0,10])；

x+1x+1

(2)由y=56--2一丫=57一p1pb(x+l)<57-2^|^(x+l)=49,

当且仅当£=x+l,即x=3时取等号.

x+1

故该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.

19.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若:>三，那么称点6）是点（G"）的"上位点”,

同时点（G"）是点（a,b）的"下位点".

（1）试写出点（1,2）的一个"上位点”坐标和一个"下位点”坐标；

（2）已知点（凡为是点（c,d）的"上位点"，判断点［