高考数学一轮复习考点总结-任意角和弧度制、三角函数的概念（含解析）

任意角和弧度制、三角函数的概念(2种核心题型+基础保分

练+综合提升练+拓展冲刺练)

m【考试提醒】

1.了解任意角的概念和弧度制

2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.

3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

血【知识点】

1.角的概念

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

⑵分类

按旋转方向不同分为正角、负角、零角

’按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)相反角：我们把射线ON绕端点。按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反

角.角a的相反角记为二口

(4)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=/|£=a+

上360°,kb].

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示.

⑵公式

m=4弧长用i表示)

角a的弧度数公式

r

角度与弧度的换算1°=-rad；1rad=[nJ°

180

弧长公式弧长l=\a\r

扇形面积公式S=-lr=~\a\r2

22

3.任意角的三角函数

⑴任意角的三角函数的定义：

设尸(x,y)是角a终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r,则sina=^,cosa=-,

r

tana=2(xW0).

x

⑵三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦,如图.

【常用结论】

1.象限角

第一象限角|｛$|2ATT<a<2k,n+^-,A6Z

象

限T第二象限角阐2而+£<a<2而+八*勾

错

的+TT<a<2k^+^~,Aez}

集

小

Ja|2Air+a<2,kw+2TT,4CZ

2.轴线角

r/终边落在x轴上的角］｛戊,=而，*ez）

轴

线a、

患T终边落在y轴上的角）｛眼透+而，

集

凹7终边落在坐标轴上的剧上卜=胃

S【核心题型】

题型一角及其表示

确定ht,2（左GN*）的终边位置的方法

k

先写出hx或9的范围，然后根据左的可能取值确定kx或旦的终边所在位置.

kk

【例题1】（2023•安徽•模拟预测）已知角。终边上有一点尸［sin7,cosw）贝I」兀-。为（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【分析】根据终边相同角的定义即可求解.

【详解】已知角a终边上有一点尸siny

兀

CC=-------F2kjt(keZ),

6

7TL

：.it-a=---2kit(kGZ)为第三象限角.

6

故选：C.

（4jr47r\

【变式1】（2023•辽宁•一模）己知角"的终边上一点的坐标为sing,cos^J,则a的最小

正值为（）

兀3兀47i17K

A.-B.—C.—D.---

510510

【答案】D

【分析】通过用诱导公式将点的坐标化为（cos%sine）,根据三角函数的

定义即可写出判断选项即可.

所以角a的终边上点的坐标可写为：严［一而J,叫-mJJ,

所以。=-普Qjr+2阮,左iZ,因此a的最小正值为一存+2兀=17IT

故选：D

【变式2］（2024•北京东城•一模）已知角见£的终边关于直线N=x对称，且sin（a-£）=；,

则a,"的一组取值可以是a=,B=.

【答案】?jr（答案不唯一，符合题意即可）7Jr（答案不唯一，符合题意即可）

36

【分析】由角名尸的终边关于直线＞=x对称，可得a+£=；7T+2E,再由sin（c-4）=51可

7TTT

得尸=：+E或4=-二+配，即可求出答案.

66

【详解】因为角的终边关于直线＞=x对称,

7T7T

贝!Ja+尸=万+2E,k£Z,贝！)0=5-/?+2左兀,

因为sin（a_尸）二;，所以sin1T-4+2左兀-/?j=sinf-^--2yff+2左兀j=cos2/3=；,

jrjr

所有2/?=§+2E或2/7=--+2hi,keZ,

jrIT

解得：B=—FE或/?=---卜ku,k£Z,

66

TTTV

取人=0,万的一个值可以为7，a的一个值可以为三.

63

7171

故答案为：3（答案不唯一，符合题意即可）；6（答案不唯一，符合题意即可）

【变式3】（2024•湖南岳阳•三模）已知角a,尸的终边关于直线了=x对称，且sin（a一仍=冬

则a,"的一组取值可以是a=,p=.

【答案】需5（答案不唯一，符合£=（左+加）兀+泮尸=（""）兀+5或

A4I乙1.乙A乙

a=（左+加）兀+工，0=（k-m）冗-q,左，加cZ即可）

【分析】由条件角/夕的终边关于直线y=x对称可得a+£,由sin（a-〃）=g可得

解方程求a,6即可.

【详解】因为角d£的终边关于直线了=彳对称,

■JI

所以a+,=2kli+—,左eZ,

又sin（cr-0）=，

兀、271

所以a-/?=2冽兀+§•或a-/?=2zrni+?-,mGZ,

57r7C/ITjr

所以a=（左+加）兀H-----,0=（k---或a=（左+加）兀H-----,夕=（左一加）兀----,k,meZ,

12121212

取左=0,加=0可得a=&，尸=±或°=四，夕=--—

12121212

所以a*的一组取值可以是a=骨57r,4qJi,

5%[,（答案不唯一，符合=（左+加）兀+需，（左一加）兀+；或

故答案为:a/=1

U，

7兀jr

a=（k+加兀H-----,（3=[k-m）Tt~—,左，加EZ即可）

）12

题型二弧度制及其应用

应用弧度制解决问题的方法

（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.

【例题2】（2024•全国•模拟预测）设a=；cos；,b=sin；,c=tan；,则（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【分析】由sina<a<tana,可证—>1,得结论.

a

【详解】先证明：当二寸，sina<a<tana.

如图，角。终边为OP其中点尸为角。的终边与单位圆的交点，尸轴，交x轴于点

M,

4点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角a终边于点T,

则有向线段MP为角a的正弦线，有向线段4T为角。的正切线，

设弧PA长/=axl=a,

由图形可知：SAOAP<S扇形OAP<S.OAT，即,xO/x/<5xCMx/T,

所以,xCUxsinavLxCUxavLxOZxtana,即sina<a<tana.

222

贝ljsin」<tan!，所以b<c.

33

ffij-=3tan->3x-=l,所以心。，

a33

所以C>6>Q.

故选：D.

【变式1］（23-24高三上•北京•阶段练习）已知圆锥的顶点为S,母线$4,S3所成角的余弦

值为1,S4与圆锥底面所成角为45。，若△S3的面积为1,则该圆锥的侧面积

为.

【答案】4拒兀

【分析】根据条件算出母线长和底面半径即可求出侧面积.

【详解】如图：其中。是底面圆心，设半径为r,则/O=r,

s

3i------------------4

cosZASB=—,,/Z.ASBG（0,兀）,「.sin//SB=Jl—cos2Z.ASB=—,

由于S4,SB都是母线，所以“=SB,

2

LSAB的面积SASAB=^SA-SB-sinZASB=^SAx^-==26,

因为1s4与圆锥底面所成角为45。，所以/WO=45。，

所以在等腰直角三角形S/。中，AO=r=^SA=2,

2

所以侧面积=!"-2兀厂=工-2e-2兀-2=4行71；

22

故答案为：4也71■

【变式2］（22-23高一下•辽宁朝阳•期中）已知扇形的面积为4,圆心角的弧度数是2,则该

扇形的半径为.

【答案】2

【分析】根据扇形的面积公式列式可求出结果.

【详解】依题意得S=4,a=2,设半径为〜

11

由5=—得4=—x2/，得，=2.

22

故答案为：2

【变式3］（2024•内蒙古呼和浩特•一模）用一个圆心角为120。，面积为3万的扇形。儿W（O

为圆心）用成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为P,底面圆的直径为N8,则

cos/APB的值为.

【答案】j7

【分析】根据扇形的面积及弧长求出母线及底面圆半径，再由余弦定理求解.

【详解】设圆锥的母线长为/,底面半径为小

•••扇形的圆心角为鼻

•・・$扇形=［”./2=叱=3兀，解得/=3，

扇形233

:扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长,

:.生/=2口:.r=\,

3

所以圆锥的轴截面尸中，PA=PB=3,AB=2,

PA2PB2AB218-4_7

由余弦定理可得C0S//P8=+-

2PAPB2x3x3—9

,,7

故答案为：—

题型三三角函数的概念

（1）利用三角函数的定义，已知角a终边上一点尸的坐标，可以求出a的三角函数值；已知角a

的三角函数值，也可以求出点尸的坐标.

（2）利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标

轴上的情况.

【例题3】（2023•福建福州•模拟预测）已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重

合，cosa=*,尸（加,2）为其终边上一点，则机=（）

A.-4B.4C.-1D.1

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解.

【详解】始边与x轴非负半轴重合，cosa=立，尸（见2）为其终边上一点，

5

17]JS

则/2=~V，且加＞0,解得冽=1.

y/m+43

故选：D.

【变式1】（2024•河南•一模）以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角其终边落在

直线〉二x上，则有（）

起亚

A.sina=----B.coscr=——C.sina+cosa=±eD.tana=±1

22

【答案】C

【分析】利用角a的终边落在直线y=x上易于求得角&W+2E或a=3+2E1eZ,分别

44

求出角a的正弦、余弦值，即可对选项一一判断.

【详解】因角a的终边落在直线y=x上，故a=：TT+2析或a=STL+2MKeZ.

44

对于A,当c=：+2E,左eZ时，sina='＞故A项错误；

42

对于B,当时，cosa=一也,故B项错误；

42

兀5兀

对于C,当a=—Jr2kn，左eZ时，sina+cosa=y/2，当a=~^+2kji,k£Z时，sina+cosa=一万，

44

故C项正确;

对于D项，当a=f+2祈，左eZ时，sina=cosa=,则tana=1；

422

当a=¥+2E,左eZ时，sina=--,cosa=-—,贝！Jtana=1.故D项错误.

422

故选：C.

【变式2］（2024•湖南邵阳•二模）在中，/=£,/8边上的高为145,则

33

cosC=

【答案】与》近

【分析】作出图形，利用真假三角形边角关系求出sin3,cos8,再利用诱导公式及和角的余

弦公式计算得出结果.

A

【详解】令的内角//CB所对边为c,过。作于。则CZ）=火c，

3

CD12

罚’则从而以

222cI2不

在直角△3。中,BC=y]CD+DB=3一CY+-c

3/

,_.DCV3n_DB_2

从(T而7sinn8=-----=-=c,cos5=——=-^

BCV7BCV7

在中，C=+

ri2vjV7

所以cosC=-cos--cos5-—sin5

22120214

7

故答案为：f

【变式3］（2023•广东佛山•一模）若点/（cos。,sin。）关于原点对称点为

SCOSR-0Lsin7PT-0j,写出夕的一个取值为

6

【答案】—（答案不唯一，e=—+kn,左eZ均可以）

【分析】根据A、8关于原点对称，所以两角的终边在一条直线上，得：8=3-。+（24+1）兀,

左eZ.再令左随意取值，可得结论.

【详解】•••/（cos。,sin。）和3卜小@,sin]-矶关于原点对称.

jrjr

二。与二一0的终边在一条直线上.即：0=。+（2左+1）兀，kez.

66

7兀

0-----Fkit,keZ.

12

7兀

令人=0得e=—.

12

ZZE。=乂+而

故答案为：12（满足12,上eZ即可）

口【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

Qjr

1.（2023高三・全国•专题练习）与丁终边相同的角的表达式中，正确的是（）

4

TT

A.45°+2版,左eZB.h360°+—,后eZ

4

C.h360。+315°,在eZD.2kn-号keZ

【答案】D

【分析】根据角度的表示方法分析判断AB,根据终边相同的角的定义分析判断CD.

【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A,B错误.

与M终边相同的角可以写成2版+智信eZ）的形式，

左=-2时，2E+岑=-4，315。换算成弧度制为了，所以C错误，D正确.

444

故选：D.

2.（23-24高三上■江西赣州•期中）已知C为第一象限角，且sinacos£=costzsin"+l,则"

为（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【分析】由已知，利用差角正弦公式可得sin（c-£）=1,进而有a=2匕兀+]7T+/?,匕eZ,结

合&为第一象限角列不等式求尸范围即可.

兀

【详解】由题设sinacos,—cosasin/?=sin（a—/）=l,则a-尸=2尢兀+,尢GZ,

JT

所以a=2左兀+,+/,左eZ,而夕为第一象限角，

r

JJJIJI

所以2祈<2^71+—+^<2析+万,左，左iGZ,贝I」2（左一左）兀一,<P<2（左一左]）兀,左一左1GZ,

7T

所以2右兀-]<£<2后2兀，后2©Z,即用为第四象限角.

故选：D

3.（23-24高三上•重庆渝北•阶段练习）已知角a终边上有一点尸（sin27^r,co2s7r]）,贝5+a是

（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【分析】首先由点尸的坐标确定角a终边的位置，再确定兀+□所在象限.

【详解】sing=1,即

点?在第四象限，即角£的终边在第四象限，k+a的终边为角a终边的反向延长线，

那么兀+。的终边在第二象限.

故选：B

4.（23-24高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）若a是第一象限角，则下列各角为第四

象限角的是（）

A.90°-aB.90°+aC.360°-aD.3600+a

【答案】C

【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项.

【详解】因为a是第一象限角，所以是第四象限角，

则90。-a是第一象限角，故A错误；90。+a是第二象限角，故B错误;

360。-夕是第四象限角，故C正确；360。+&是第一象限角，故D错误.

故选：C.

二、多选题

5.(2024•全国•模拟预测)如图，设单位圆与无轴的正半轴相交于点/(1,0),以x轴的非负

TT

半轴为始边作锐角C,P，a-/3,它们的终边分别与单位圆相交于点耳，4,P-若□=］，

则下列说法正确的是()

A.当£=:兀时，尸的面积为1:

44

IT

B.当尸=2时，扇形。46的面积为72T

66

C.当月=：时，四边形O4P4的面积为2+6一收

48

D.四边形"44面积的最大值为1

【答案】AC

【分析】根据三角形面积公式可判断A；由扇形面积公式可判定B；S四边形

根据三角形面积公式即可判断C；S四边形借助三角函数恒等式化简即

可判断D.

【详解】由题意，得圆的半径厂=1,ZAOP^a,NAOA1=0,ZAOP=a-/3.

对于A,由々=—,p——,得/AQP=0—(a—/3)=20—a=—,

346

1JT1

则S/\o4.n彳xlxlxsiniu：，故A正确；

264

对于B,当/?=1时，因为N4O4=a_£=g_m=2，

6366

所以扇形。4《的面积S=1X2XF==,故B错误；

2612

兀11

对于C,当，二^时,§四边形04尸4=S△ONP+8根4尸=,xlxlxsin(。-夕)+1

1.(717l)12+-\/~6—,,_

=—sin-----+—=-------------，故C正确；

2H4J48

对于D,S四边形叫M=S4AOA]+5毡04

=gxlxlxsin6+(x1x1xsin(a-0)sin/?-H^sir(a-0),

由戊二1，得S四边形%/=gsin尸+；sinp

1.Q1(.兀Q兀.f-.|

=-sin/>+—Isin—cosp-cos^-smpI

=-sin/7+—cos/?=--sin^+—cosy5

442222

所以当月+f=J,即4时，S四边形即出取得最大值，为;，故D错误.

32oz

故选：AC

6.（2024•全国•模拟预测）如图，已知正三棱锥/-P8C和正三棱锥。-P8C的侧棱长均为

41,BC=2.若将正三棱锥/-P8C绕8C旋转,使得点4尸分别旋转至点4,尸,处，且

也氏C,。四点共面，点HQ分别位于8C两侧，则下列说法中正确的是（）

A.多面体4BDPC存在外接球B.PP'±BC

D.点尸运动所形成的最短轨迹长大于叵

C.尸P//平面HBOC

3

【答案】BCD

【分析】若多面体4BOPC存在外接球，则球心必为ABCP的外心。，由OCw。/即可判断

A；正三棱锥N-PBC中侧棱互相垂直且相等，正三棱锥。-P8C中侧棱互相垂直且相等，

将正三棱锥。-尸3c放到正方体中，即可判断BCD.

【详解】若多面体/8DPC存在外接球，则球心必为ABCP的外心O,连接NO,OC,

则0。=速，/O_L平面2cP,又OCu平面3cP,所以/O_LOC,

3

所以CM=S!AC2-OC2=—,

3

因为OCwCM,所以多面体4B0PC不存在外接球，故选项A错误;

H

D

因为正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为板,BC=2,

则正三棱锥N-PBC中侧棱两两互相垂直且相等，正三棱锥。-P3C中侧棱两两互相垂直且

相等，

所以正三棱锥D-PBC可以放到正方体EPFP'-BDCA'中，当点4P分别旋转至点H,尸处，

且四点共面，点4。分别位于3C两侧时，如图所示，

易知四边形DPP'A'为平行四边形,则A'DUPP',

又4。u平面HBOC,且尸尸'平面43DC,所以尸尸'〃平面HBOC,故C正确；

因为四边形5OCH为正方形，所以所以PPU3C,故B正确；

设交于点G,则8c,4。互相平分，DP=y/2,DG=l,PP'=A'D=2,

在RtAPDG中，尸G=6，同理可得PG=6，

3+3-411

在△尸GP中，cos/PGP'=------,所以NPGP〉一，

2x3323

又因为点尸运动的最短轨迹是以的中点G为圆心，半径为6的圆弧尸P,

所以点P运动所形成的最短轨迹长大于叵.故选项D正确.

3

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题BC选项的关键是利用线面平行的判定得到尸尸7/平面HBOC,D

选项的关键是得到点尸运动的最短轨迹是以8c的中点G为圆心，半径为右的圆弧PP.

三、填空题

7.(2023•天津河北•一模)直线x-y-1=0将圆(x-2)2+(y-3)2=8分成两段圆弧，则较短

圆弧与较长圆弧的弧长之比为.

【答案】1:2

【分析】首先假设直线与圆的两个交点为48,圆心为C,乙4cB=2a(Q<a<吟,利用已

知求得a,再用两段圆弧的弧长之比等于两段弧长所对的圆心角的弧度数之比即可求得两段

圆弧的弧长之比.

【详解】设直线与圆的两个交点为圆心为C,^ACB=2a(0<a<^),

b-3-ll

•.•圆心到直线的距离d='.——1=V2,

V1+1

V2_1

cosa=

2V2-2

・「0<a<乃,

71

•・•cc-_j

3

24

AZACB=2a=——,

3

所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧长所对的圆心角的弧度数之比为1:2.

故答案为：1:2.

8.(2024高三•全国・专题练习)已知一个扇形圆心角60°,。所对的弧长/=3兀，则该扇形面

积为.

【答案】冬27兀

2

【分析】根据题意，结合弧长公式以及扇形面积公式，即可求解.

【详解】因为扇形圆心角a=60。，且a所对的弧长/=3兀，

设扇形所在圆的半径为「，可得/=1r=3兀，解得r=9,

所以扇形的面积为S=』r=3兀x9=*.

222

、,27N

故答案为：.

2

9.(2024•全国•模拟预测)己知。是第二象限角，且其终边经过点(-3,4),贝!]tan£=.

【答案】2

【分析】根据题意，求得++得到tan1>0,再结合三角函数的定

2142J2

义和正切的倍角公式，即可求解.

【详解】因为a是第二象限角，可得ae［^+2ht,兀Z,

则—e］彳+析,—+也］,左eZ,所以tan^->0,

,a

42tanV4

又因为a的终边经过点（-3,4）,可得tana=-:,可得tana=-------==-；，

31-tan2-3

2

解得tan?=2或tan［=-：（舍去）.

222

故答案为：2.

四、解答题

10.（2024高三・全国•专题练习）已知角a终边经过点「1,-收）（x^0）,且COSCC—%,求

sina+---的值.

tana

［冬:安］6拈一&或6A/5+yj~6

66

【分析】根据三角函数定义求解.

【详解】：网无，-拒）（户0）,.••点尸到原点的距离—在

FV3.X_V3

又cosa=—xJ.•cosa=',=~—x.

6six2+26

•xwO,••x=±J10,••r=2-\/3•

当x=时，尸点坐标为（而,-0），

由三角函数的定义，有sina=-如，—=-V5,

6tana

..1V6/-6V5+V6

・・sinaH-------=----------75=---------------;

tana66

当x=-厢时，同理可求得Sina+—^=6.一

tana6

IL（22-23高三上•安徽阜阳•期中）已知角。的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半

轴重合，终边经过点（T9）.

（1）求tan（2a+亳的值；

（2）求sin2a+3cos2a的值.

【答案】⑴-;

（2）-3

【分析】（1）根据三角函数的定义求出三角函数值，再利用正切的倍角公式与和差公式即可

得解;

（2）利用正余弦函数的倍角公式，转化为齐次式，从而化简代入即可.

9

【详解】（1）依题意，tan^z==—3.

-2tana-63

贝!jtan2a=--------

1-tana^84

,,(.3兀tan2a-l41

故^tan12aH——

1+tan2a27

4

(2)依题意，sin2a+3cos2a

_2sinacos。+Seos2a-3sin2a

一•22

sina+cosa

_2tan<7+3-3tan2a

—2,

tana+1

_-6+3-27

―9+i

=—3.

【综合提升练】

一、单选题

1.(2024・河南商丘•模拟预测)"sin(a-2024?i)>0"是"a为第一象限角”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.

【详解】易知sin（a—2。24兀）=sine,所以sin（a—2024兀）>0=>sina>On

«为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，

显然不满足充分性，满足必要性.

故选：B

2.（2024•黑龙江•二模）已知角a的终边与单位圆的交点尸-g],则sin[a-]）=（）

【答案】B

3

【分析】根据题意可知cosa=（,利用诱导公式运算求解.

【详解】因为角a的终边与单位圆的交点尸可知cosc=|,

（兀）3

所以sin（a-5J=-cosa--—.

故选：B.

3.（2024•北京怀柔・模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式

建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为

1671,屋顶的体积为期5兀，算得侧面展开图的圆心角约为（）

3

5兀4717兀

B.D.

6T~6

【答案】C

【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧长,

再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开

图的圆心角.

【详解】底面圆的面积为16冗，得底面圆的半径为r=4,

所以底面圆周长为8兀，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为/=8兀，

屋顶的体积为必亚兀，由』xl6M=""兀得圆锥的高力=2追，

所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形半径R="2+,.2=720716=6，

兀

得侧面展开图扇形的圆心角约为a=!I=?8=：47r.

R63

故选：C.

4.（2024・辽宁抚顺•三模）已知圆锥的底面圆的半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为万的

扇形，则该圆锥的母线长为（）

57

A.—B.3C.—D.4

22

【答案】D

【分析】设母线长为/,根据题意得到g/=2兀xl,即可求解.

2

【详解】设母线长为/,由题意，可得g7T/=2兀xl,解得/=4,即圆锥的母线长为4.

2

故选：D.

JT

5.（22-23高三上•安徽安庆•阶段练习）已知条件0：。二;，条件q：tanawl,则P是1的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】将已知条件转化为逆否命题来判断，在利用充分条件和必要条件的定义进行判断即

可得结论

【详解】命题转化为逆否命题："tana=l〃是〃，的充分、必要问题

4

7T7T

因为tana=1,有a=—+E（4eZ）,所以a不一定为一

44

故充分性不成立

7T

当。=—时，则tana=1,

4

所以必要性成立

所以“tanc=l"是"a=："的必要不充分条件

4

由原命题与逆否命题等价性

所以。是9的必要不充分条件

故选：B.

6.(22-23高三上・贵州贵阳•期末)己知集合/=卜|2航+航+|•，左ez1,

B=ja|AK+^-<a<kn+e,贝I」()

A.A=BB.BuAC.A=BD.AcB=0

【答案】A

【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断.

【详解】当％=2%〃eZ时，B=|«|2«71+-^-<a<2,nn+^,kezj-=^4,

当左=2〃+1,”eZ时，B=,a|2〃7i+n+：Ma<2ml+n+^,kezj,

所以N=

故选：A

7.(2024・重庆・模拟预测)已知角c的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边

上有两点/。⑷，8(2,6),且cos2a=丁贝!］卜一,=()

A.yB.—C.—D.1

252

【答案】A

【分析】利用二倍角的余弦公式可求得cos2g=1,进而可求得|tanc|的值，利用斜率公式

可求得的值.

【详解】•••角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点

8(2,6),

L33

且cos2a=—,cos2a=2cos2a-\=—,

55

421

解得cos2a=1,；.|cosa|=为，|sina|=-^=,

।।b-a।,|sine1

tan«=----=\a-b\=------=—.

112-111cose2

故选：A.

8.(2024・四川南充•三模)如图，圆。内接一个圆心角为60。的扇形48C,在圆。内任取一

点，该点落在扇形/3C内的概率为()

A

【答案】c

【分析】根据圆的半径与扇形半径的关系及扇形的面积公式，由几何概型求解即可.

【详解】设圆的半径为R,过。作于。点，如图，

所以扇形的面积5'=!/£=』*二尺2=或，

2232

圆的面积5=兀尺2,

nR2

由几何概型可得：p_£_3Z_l-

~S~nR2~2

故选：C

二、多选题

9.（2024•广东广州•模拟预测）下列命题正确的是（）

A.是第二象限角或第三象限角"，4："cosa<0",则P是9的充分不必要条件

B.若。为第一象限角，则/c°s"+sina=零

A/1+COS2。“一cos2a2

C.在一BC中，若taidtan5>l,则为锐角三角形

D.已知且cos2a=则tana=—

I4；32

【答案】ACD

【分析】对A,根据充分，必要条件的概念判断；对B,利用二倍角余弦公式化简求解；对

C,将条件式切化弦结合三角变换求解判断；对D,利用二倍角余弦公式化简条件式，再弦

化切求解.

【详解】对于A,若a是第二象限角或第三象限角，则