高等数学（第2版）课件：有理函数与三角有理式的积分

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有理函数与

三角有理式的积分初等函数求导初等函数积分一、有理函数的积分二、三角有理式的积分一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理假分式相除多项式+真分式分解若干部分分式之和

1.有理函数及其分解部分分式的形式为

特点：●当分母是一次因式及其方幂时，分子是常数●当分母是二次质因式及其方幂时，分子是一次因式●确定若干个部分分式中的待定常数A，M，N，使得真分式与它们的和相等例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)拼凑法

(2)赋值法故

令，得令，得(3)比较系数法原式=

令，得比较的系数：比较的系数：比较的系数：得(3)

比较系数法四种典型部分分式的积分:

变分子为再分项积分

例2.（1）解:原式

（2）解:原式（3）解:原式

（4）解:原式例3.解:说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.

设表示三角函数有理式,令万能代换t的有理函数的积分二、三角函数有理式的积分则

例4.解:令则

例5.解:

说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换

内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,

作业P150

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