自动控制 第八章 非线性控制系统分析第二讲学习资料

8-3非线性系统的描述函数法达尼尔（P.J.Daniel）于1940年首先提出。

基本思想：非线性系统满足一定假设条件时，其中的非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波（基波）分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。

描述函数的基本概念典型非线性特性的描述函数组合非线性特性的描述函数非线性系统的稳定性周期运动的稳定性(自振荡)8.3.1描述函数的基本概念概述：描述函数法是线性系统理论中频率法在非线性系统满足一定假设条件的推广。研究在没有输入信号作用下，非线性系统的稳定性和自振荡问题；一种近似的频率分析方法,不能给出时间响应的确切信息(非线性系统不能直接使用频率法，但某些非线性环节可对正弦信号的响应进行谐波分解，满足一定条件时，非线性特性对系统的影响可用基波来描述）；该方法不受系统阶次限制。应用条件①：结构图可以简化为:结构特点：（1）单位反馈;（2）前向通道可以简化成由两部分组成：非线性环节N后面串联线性环节G(s).应用条件②：奇对称性要求非线性元件N的输入——输出特性是奇对称的（典型非线性均满足奇对称性，如P294：图8-6）。这样，当非线性环节的输入为正弦信号时，输出为同频率的非正弦周期信号，而且平均值为零，即不产生直流项。应用条件③：线性环节G(s)具有良好的低通滤波特性

这样,非线性环节在正弦输入下的输出中,高次谐波分量将被大大削弱,可以近似认为在闭环通道内只有一次谐波分量流通,此时应用描述函数法分析结果较准确。（一般控制系统能满足，且阶次↑→低通特性好）则当非线性元件输入正弦信号时，其输出中的高次谐波分量（本来就比比基波分量小）经线性部分后将大大↓。因此，可以用非线性元件的输出信号的一次谐波分量来代替非线性元件在正弦信号下的实际输出（高次经线性部分已↓↓，可忽略）。这就是描述函数法的概念。（2）描述函数的定义针对一任意非线性系统，设非线性环节的输入x=Asinωt,则稳态输出y(t)一般为与输入信号同频率的非正弦周期函数，且可以将y(t)展开成如下傅里叶级数形式当y=f(x)为奇对称函数，直流分量A0=0

非线性特性的线性化表示方法：以输出y(t)的基波分量近似地代替整个输出。亦即略去输出的高次谐波，将输出表示为这样，非线性元件在正弦输入下，其输出也是一个同频率的正弦量，只是幅值值和相位发生了变化。这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。一般高次谐波的幅值小于一次谐波的幅值，从而为进行上述近似处理提供了可靠的物理基础。

参照线性系统中频率特性的定义,非线性环节描述函数法的定义是：输入为正弦函数时，稳态输出的基波分量与输入正弦量的复数比。其数学表达式为

在此，N—非线性元件的描述函数，常用N(A)表示，又称等效幅相特性；A—正弦输入信号的幅值；

—非线性元件输出的一次谐波分量的振幅；的相位。若非线性元件中不含有储能元件，则N只是A的函数，若非线性元件中含有储能元件，则N是A和ω的函数：(1)若y=f(x)是x的奇函数，即f(x)=-f(-x)或正弦输入下的输出为t的奇对称函数，即，则。(2)若y(t)为t的奇函数，则

(3)若y(t)为奇函数，且又为半周期内对称时，即描述函数与线性环节频率特性的比较描述函数：当非线性环节退化成放大系数为k的线性放大器时，此时描述函数N（A）=k；对于一般非线性环节，N（A）相应地可看成正弦输入的非线性复增益。该复增益的幅值和相角是输入正弦信号幅值A的函数；线性环节频率特性：频率特性与正弦输入信号幅值无关。描述函数的物理意义：当非线性系统满足假设条件时，非线性环节可用一个对正弦信号的幅值和相位进行变换的环节来代替，描述函数描述的就是该等效环节的特性，该函数的幅值为输出信号中基波分量与输入正弦信号两者幅值之比，相位为两者之间的相位差。举例说明：∵非线性特性为奇函数，故A0=012–1–2–1–2–3–412340xy。。。。（只与A有关）。也就完全确定了。相当于用斜率为1.25的直线代替了元件的非线性特征

之间成为线性关系，即当12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。∴只要x(t)的A一定，

同理，A＝4时，用斜率为3.5的直线代替；即进行了线性化处理。的线性关系也随之改变。

12–1–2–1–2–3–412340xy。。。。并且说明：当A改变时，N（A）随之改变，

用描述函数表示非线性特性时，相当于用斜率随输入振幅A而变的一簇直线代替了元件本来的非线性特性，因此，可以把非线性元件看作是一个放大器，其增益是一个复数，该复数的幅值和相角是输入信号幅值A的函数。用描述函数表示非线性元件后，就可以用线性理论中的频率法来研究非线性系统的基本特性，关键是

N（A）的计算。1.理想继电器特性的描述函数傅氏展开奇对称、奇函数

A0=An=0(偶对称性)8-3-2典型非线性特性的描述函数2死区特性的描述函数3饱和特性的描述函数4、间隙特性的描述函数：（见下页图）当A>c时，当A<c时，在间隙之内，y=0。

(A>c)因为间隙特性是多值函数，它在正弦信号作用下的y(t)都需要计算，既不是奇函数也不是偶函数。5有死区和滞环的继电特性描述函数理想继电器特性死区继电器特性滞环继电器特性非线性增益I非线性增益II

表8-1列出了一些典型非线性特性的描述函数，以供查用。非线性特性描述函数的共同点:单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函数是复数。1）并联:具有单值函数的两个非线性环节并联后,总的描述函数等于各非线性环节描述函数之和.8-2-3非线性特性的简化2）串联:两具非线性环节串联,总的描述函数不等于两个非线性环节描述函数之积.必须首先求出两个非线性环节串联后的等效非线性特性,然后再求总的描述函数.8-2-3非线性特性的简化结构图的等效变换（1）与线性系统等效变换一样，简化的原则是信号的等效变换。（2）由于在讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部产生的周期运动，并不考虑外作用，因此在将结构化简时，可认为所有外作用均为零，只考虑系统的封闭回路。8.3.4非线性系统稳定性分析的描述函数法(奈奎斯特判据)若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j)

轨迹不包围G平面的(-1,j0)。．负倒描述函数（描述函数负倒特性)线性系统(-1,j0)?③G(j)

与负倒描述函数相交

闭环系统出现周期运动，即(极限环)

？稳定？不稳定

?!振幅（A）

?!频率()

①G(j)不包围负倒描述函数

闭环系统稳定②G(j)包围负倒描述函数

闭环系统不稳定在复平面绘制a.G（jw）的奈氏曲线。b.描述函数的负倒数，箭头的方向代表A增大的方向。设：系统开环的线性部分G(j)稳定当微小扰动使振幅A增大到c点时，

c点被G(j)轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A继续增大； 不返回到a。当微小扰动使振幅A减小到d点，d点未被G(j)轨迹包围， 系统稳定； 振幅A继续减小； 不返回到a。

a点为不稳定周期运动。周期运动的稳定性分析！微小扰动当微小扰动使振幅A增大到e点时，

e点未被G(j)轨迹包围， 系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。当微小扰动使振幅A减小到f点，

f点被G(j)轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A增大； 返回到b。

b点为稳定的周期运动（自振荡）。设线性部分传递函数G(s)中正极点个数为p,则有1、若G(jw)曲线与-1/N(A)曲线没有交点，则系统不存在周期运动解。若G(jw)曲线逆时针包围整个-1/N(A)曲线p圈，则该非线性系统是稳定的，否则是不稳定的。2、若G(jw)曲线与-1/N(A)曲线有交点，则非线性系统处于临界状态，对应系统存在着近似于正弦的周期运动解x(t)=Asinwt，交点处的参数A，w分别为周期运动的振幅和频率。若该周期运动是稳定的，则系统出现自激振荡。3、为判断系统是否存在自激振荡（即判断有无稳定的周期运动解），在G(jw)和-1/N(A)交点邻近沿A增大方向，在-1/N(A)曲线上取一点，若该点不被G(jw)曲线包围，则该点对应系统的一个自激振荡状态，相应的周期运动是稳定的；否则，就不是自激振荡，只是一个不稳定的周期运动的解。当p=0,若G(jw)曲线不包围-1/N(A)曲线，则非线性系统稳定；若G(jw)曲线包围-1/N(A)曲线，则非线性系统不稳定。若G(jw)与-1/N(A)相交，系统存在周期运动；若交点处-1/N(A)轨迹向G(jw)轨迹包围的区域外移动，则该点对应的周期运动就是自激振荡。用描述函数法分析系统稳定性1、把系统化成典型形式

N

G(s)—R(t)=0x(t)y(t)c(t)2、由系统给出的非线性环节输入输出特性，查表或计算出非线性环节的描述函数，求出-1/N(A)。3、在复平面绘制-1/N(A),曲线上箭头表示随A增大-1/N(A)的变化方向4、绘制G(jw)的奈氏曲线。5、根据G(jw)与-1/N(A)的位置关系判断系统稳定性。6、若两者有交点时，即G(jw)=-1/N(A)求得交点处w和幅值A非线性环节的输入近似为等幅振荡具有饱和特性的非线性系统具有死区特性的非线性系统具有间隙特性的非线性系统具有理想继电器特性的非线性系统

典型非线性系统的稳定性具有饱和特性的非线性系统A＝a时A

∞时

负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k,-∞)。G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交

不存在周期运动G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交

b点:稳定的周期运动（自振荡点）

b

Ab具有死区特性的非线性系统A＝a时A

∞时

负倒描述函数轨迹=实轴上（-∞,-1/k)。G1(j)轨迹不与