2025年中考数学几何模型综合训练专题14三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型解读与提分精练（教师版）

专题14三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型

等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客，

并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系

统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）.....................................................................1

模型2.等边截等长模型（定角模型）......................................................................................................7

模型3.等边内接等边..................................................................................................................................11

.................................................................................................................................................17

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）

帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。

条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②BC2FG。

证明：如图，过点D作DH∥AC交BC于H，则BHDACB，DHFECF，

∵ABAC，∴BACB，∴BBHD，∴BDDH，∵CEBD，∴DHCE，

DHFECF

在△DHF和△ECF中,DFHEFC，∴DHFRtECFAAS，∴DFEF；

DHEC

11

∵DHF≌ECF，∴FHCFCH，∵BDDH，DGBC，∴BGGHBH，

22

111

∴FGGHFHBHCHBC，∴BC2FG．

222

例1．（23-24八年级上·广东中山·期末）如图，ABC中，ABAC，BC10，点P从点B出发沿线段

BA移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿AC的延长线移动，并与点P同时停止．已知点P，Q移动

的速度相同，连接PQ与线段BC相交于点D(不考虑点P与点A，B重合时的情况)．

(1)求证:APAQ2AB；(2)求证:PDDQ；(3)如图，过点P作PEBC于点E，在点P，Q移动的过

程中，线段DE的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)ED为定值5，理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，

准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．

（1）利用P、Q的移动速度相同，得到CQPB，利用线段间的关系即可推出APAQ2AB；（2）过点

P作PF∥AC，交BC于点F，利用等边对等角结合已知可证PFD≌QCDAAS，即可得出结论；

（3）过点P作PF∥AC，交BC于点F，由（2）得PBPF，可知△PBF为等腰三角形，结合FDCD，

1

可得出EDBC即可得出ED为定值．

2

【详解】（1）证明：P、Q的移动速度相同，CQPB，

ABAC，APAQABPBACCQ2AB；

（2）如图，过点P作PF∥AC，交BC于点F，

PF∥AC，PFBACB,DPFDQC，

ABAC，BACB，BPFB，BPPF，由（1）得BPCQ，PFCQ，

PDFQDC

在PFD与QCD中，DPFDQC，PFD≌QCDAAS，PDDQ；

PFCQ

（3）解：ED为定值5，理由如下：如图，过点P作PF∥AC，交BC于点F，

由（2）得：PBPF，△PBF为等腰三角形，

PEBC，BEEF，由（2）得△PFD≌△QCD，FDCD，

1111

EDEFFDBFCFBFCFBC5，ED为定值5．

2222

例2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究

问题情境：在VABC中，ABAC，在射线AB上截取线段BD，在射线CA上截取线段CE，连结DE，DE

所在直线交直线BC于点M．

猜想判断：（1）当点D在边AB的延长线上，点E在边AC上时，过点E作EF∥AB交BC于点F，如图①．若

BDCE，则线段DM、EM的大小关系为_______．

深入探究：（2）当点D在边AB的延长线上，点E在边CA的延长线上时，如图②．若BDCE，判断线段

DM、EM的大小关系，并加以证明．

拓展应用：（3）当点D在边AB上（点D不与A、B重合），点E在边CA的延长线上时，如图③．若BD1，

CE4，DM0.7，求EM的长．

【答案】（1）DMEM；（2）DMEM，理由见解析；（3）EM2.8

【分析】（1）过点E作EF∥AB交BC于点F，证明BDM≌FEMAAS即可得解；

（2）过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，证明BDM≌FEMAAS即可得解；

（3）过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，证明BDM∽FEM，由相似三角形的性质即可得解．

【详解】（1）解：DMEM，理由如下：过点E作EF∥AB交BC于点F，

∵ABAC，ABCC，∵EF∥AB，EFCABC，EFCC，EFCE

BDCEBDEF，∵EF∥AB，∴MEFD，

DMEF

在BDM和△FEM中，BMDFME，∴BDM≌FEMAAS，∴DMEM；

BDEM

（2）解：DMEM

理由如下：如图，过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，

∵EF∥AB，EFCABC，EFMDBM，

ABACABCCEFCCEFCEBDCEBDEF

EFMDBM

在BDM和△FEM中，BMDFME，∴BDM≌FEMAAS，DMEM；

BDEF

（3）解：如图，过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F

∵EF∥AB，FABCABACABCCFC

MDBD

CE4EFCE4QBD∥EFBDM∽FEM

MEFE

0.71

DM0.7，EF4，BD1，EM2.8．

ME4

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平

行线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．

例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q

为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，△DE的长为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】根据题意过P作BC的平行线，交AC于M；则APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，

PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE△＝EM；易证得PMD≌△QCD，则DM＝CD；此

时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．△

【详解】解：过P作PM∥BC，交AC于M，

∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形；

1

又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝AM；（等边三角形三线合一）

2

∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；

PDMQDC

又∵PA＝PM＝CQ，在PMD和QCD中，PMDQCD，

PMQC

△△

1

∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝CM；

2

11

∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝3．故选：C．

22

【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边

三角形APM是解答此题的关键．

例4．（△2024·河南·校考一模）问题背景：已知在VABC中，边AB上的动点D由A向B运动(与A，B不重

合)，同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上

AC

一点，求的值．

HF

（1）初步尝试：如图①，若VABC是等边三角形，DHAC，且点D､E的运动速度相等，小王同学发现

AC

可以过点D作DG//BC交AC于点G，先证GHAH，再证GFCF，从而求得的值为________；

HF

（2）类比探究：如图②，若VABC中，ABC90，ADHBAC30，且点D，E的运动速度之比是

AC

3:1，求的值；

HF

BC

（3）延伸拓展：如图③，若在VABC中，ABAC，ADHBAC36，记m，且点D､E的运动

AC

AC

速度相等，试用含m的代数式表示的值(直接写出结果，不必写解答过程)．

HF

m1

【答案】（1）2；（2）2；（3）

m

【详解】解：（1）2；

【解法提示】如解图①，过点D作DGBC交AC于点G，

图①图②图③

∵△ABC是等边三角形，∴△AGD是等边三角形，

∴ADGD，由题意知CEAD，∴CEGD，

∵DGBC，∴GDFCEF，

GDFCEF

在GDF与△CEF中，GFDEFC，∴△GDF≌△CEF(AAS)，∴CFGF，

CEGD

AC

∵DHAG，∴AHGH，∴ACAGCG2GH2GF2(GHGF)，HFGHGF，∴2；

HF

（2）如解图②，过点D作DGBC交AC于点G，则ADGABC90，

∵BACADH30，∴AHDH，GHDBACADH60，

HDGADGADH60，∴△DGH为等边三角形，∴GDGHDHAH，ADGD·tan603GD．

由题意可知，AD3CE．∴GDCE．∵DGBC，∴GDFCEF．

GDFCEF

在GDF与△CEF中，GFDEFC，∴GDF≌CEF(AAS)，∴GFCF．

CEGD

1AC

GHGFAHCF，即HFAHCF，∴HFAC2，即2；

2HF

ACm1

（3）．如解图③，过点D作DGBC交AC于点G，

HFm

易得ADAG，ADEC，AGDACB．

在VABC中，∵BACADH36，ABAC，

∴AHDH，ACBB72，GHDHADADH72，∴AGDGHD72，

∵GHDBHGDACB，∴△ABC∽△DGH．

BCGHGDBCBC

∴m，∴GHmDHmAH．由△ADG∽△ABC可得m．

ACDHADABAC

FGGDGD

∵DGBC，∴m．∴FGmFC．

FCECAD

ACm1

∴GHFGm(AHFC)m(ACHF)，即HFm(ACHF)．∴．

HFm

模型2.等边截等长模型（定角模型）

条件：如图，在等边VABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且AECD，BE与AD相交于点P，BQAD

于点Q．结论：①ABE≌CAD；②AD=BE；③BPD60；④BQ=2PQ。

证明：在等边三角形ABC中，ABAC，BAEC60，

ABAC

在ABE和CAD中，BAEC，△ABE≌△CADSAS，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；

AECD

BPQABEBAPCADBAPBAE60．

BQAD，PBQ30，∴BQ=2PQ．

例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BDCE，

BE与AD交于点F．求证：ADBE．

【答案】见解析

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出ABBC，

ABDBCE60，然后根据SAS证明ABD≌BCE，根据全等三角形的性质即可得证．

【详解】证明∶∵ABC是等边三角形，∴ABBC，ABDBCE60，

又BDCE，∴△ABD≌△BCESAS，∴ADBE．

例2．（2024八年级·重庆·培优）如图，ABC为等边三角形，且BMCN,AM与BN相交于点P，则APN

（）．

A．等于70B．等于60C．等于50D．大小不确定

【答案】B

【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，先证明

△ABM≌△BCNSAS，得到BAMCBN，在三角形外角性质求解即可．

【详解】∵等边ABC，∴BC=CA=AB,ÐBCN=ÐCAB=ÐABC=60°，

ABBC

∵ABMBCN，∴△ABM≌△BCNSAS，∴BAMCBN，

BMCN

∵ÐAPN=ÐABP+ÐBAM，∴ÐAPN=ÐABP+ÐCBN=ÐABM=60°，故选B．

例3．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边VABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AECD，

BE与AD相交于点P，BQAD于点Q．(1)求证：BEAD；(2)若PQ4，求BP的长．

【答案】(1)见解析(2)8

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含30角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌

握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）证明ABE≌CAD即可得证；

（2）求出PBQ30，再根据含30角的直角三角形的性质即可得出答案．

【详解】（1）证明：∵VABC为等边三角形，∴ABAC，BACC60，

ABAC

在ABE和CAD中BAEACD，∴ABE≌CADSAS，∴BEAD．

AECD

（2）解：∵ABE≌CAD，∴ABECAD，∴BPQABPBAPCADBAPBAC60，

又∵BQAD，∴BQP90，∴PBQ180BPQBQP30，∴BP2PQ，又∵PQ4，∴BP8．

例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q（均不与端点

重合），且APCQ，AQ，BP相交于点O，下列结论不正确的是（）

A．AOB120B．AP2POPB

C．若AB8，BP7，则PA3D．若PCmAP，BOnOP，则nm2m

【答案】D

【分析】先根据等边三角形的性质得ABAC，BAPC60，据此可判定ABP和CAQ全等，从而得

ABPCAQ，然后根据三角形的外角定理可求出BOQ60，由此可求出AOB的度数，进而可对结

论A进行判定；由ABP和CAQ全等可得出ABPPAO，据此可判定PAB和POA相似，进而根据相

似的性质可对结论B进行判定；过B作BEAC于点E，根据等边三角形的性质ABACBC8，

CEAE4，然后分别用勾股定理求出CE，进而再求出PE，最后可求出PA，由此可对结论C进行判定；

设APa，OPb，则PCma，BOnb，ACam1，PBbn1，先由结论A正确得出a2b2n1，

1

过点B作BEAC于点E，则AECEam1，然后在RtBCE中利用勾股定理求出BE，最后在

2

Rt△BPE中再利用勾股定理可求出m，n之间的关系，从而可对结论D进行判定．

【详解】解：ABC为等边ABC，ABAC，BAPC60，

ABAC

在ABP与CAQ中，BAPC60，ABP≌CAQSAS，ABPCAQ，

APCQ

BOQBAOABPBAOCAQBAC60，

POQ180BOQ120，因此结论A正确；ABPCAQ，即：ABPPAO，

PAPB

又APBOPA，PAB∽POA，，

POPA

PA2POPB，因此结论B正确；过B作BEAC于点E，

ABC为等边ABC，AB8，ABACBC8，BEAB，CEAE4，

在RtBCE中，CE4，BC8，由勾股定理得：BEBC2CE243，

在RtBEP中，BP7，BE43，由勾股定理得：PEBP2PE21，

PAAEPE413，因此结论C正确；设APa，OPb，则PCma，BOnb，

ACAPPCam1，PBOPBObn1，

221

AP2POPB，abbn1bn1，过点B作BEAC于点E，AECEam1，

2

1

在RtBCE中，CEam1，BCACam1，

2

3

由勾股定理得：BEBC2CE2am1，

2

31

在Rt△BPE中，BEam1，PEAEPAam1，

22

22

2

22213

由勾股定理得：PEBEPB，即：am1am1bn1，

22

1232

a2m1a2m1b2n1n1，

44

12322

将a2b2n1代入上式得：a2m1a2m1a2n1，

44

整理得：nm22m，因此结论D不正确．故选D．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理

的应用等，解答此题的关键是熟练掌握似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难点是灵活运

用勾股定理进行相关的计算．

模型3.等边内接等边

图1图2

1）等边内接等边（截取型）

条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF；

结论：三角形DEF也是等边三角形。

证明：∵ABC是等边三角形，∴ABC60，ABBCAC．

∵ADBECF，∴AFBDCE．

AFBD，

在ADF和BED中，AB，∴ADF≌BED（SAS），

ADBE，

∴DFDE．同理DFEF，∴DFDEEF，∴DEF是等边三角形．

2）等边内接等边（垂线型）

条件：如图，点P、M、N分别在等边VABC的各边上，且MPAB于点P，NMBC于点M，PNAC

于点N，结论：三角形DEF也是等边三角形。

证明：ABC是等边三角形，ABC60，

MPAB，NMBC，PNAC，MPBNMCPNA90，

PMBMNCAPN30，NPMPMNMNP60，△PMN是等边三角形，

例1．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC

的垂线MG、MN、NG，三条垂线围成MNG，若AM2，则MNG的周长为（）

A．12B．18C．20D．24

【答案】B

【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性

质，先证明MNG是等边三角形．得出MGMNNG．根据直角三角形的性质求出MB2MA4，证明

ABM≌CAGAAS，得出GAMB4，求出MGGAAM6，最后求出结果即可．

【详解】解：∵ABMG，∴BAG90，

∵ABC是等边三角形，∴BAC60，∴CAGBAGBAC30，

∴G60，同理：MN60，∴MNG是等边三角形．∴MGMNNG．

在RtABM中，M60，∴MBA30，∴MB2MA4，∵ACNG，∴ACG90，

MG60

在ABM与CAG中，BAMACG90，∴ABM≌CAGAAS

ABCA

∴GAMB4，∴MGGAAM6，∴MNG的周长为MGMNNG3MG18．故选：B．

例2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形ABC，点P1，P2，P3分别为边AB，BC，CA

上的黄金分割点（AP1BP1，BP2CP2，CP3AP3），连接P1P2，P2P3，P1P3，我们称P1P2P3为VABC的“内

含黄金三角形”，若在VABC中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是．

【答案】735

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，概率的计算方法，

51

根据题意，设ABBCACk，可得等边ABC的面积，根据黄金分割点可得BPCPAPk，

1232

，可证≌≌，可得SSS，根据图形面积可得S，再

AP1BP2CP3AP1P3BP2P1CP3P2AP1P3BP2P1CP3P2P1P2P3

根据概率的计算方法即可求解．

【详解】解：∵ABC是等边三角形，∴ABC60，设ABBCACk，

如图所示，过点A作AFBC于点F，

∴在RtABF中，BAF30，

1131133

∴BFABk，AFAB2BF2k，∴SBC·AFk·kk2，

222ABC2224

BP1CP2AP351

∵点P1，P2，P3分别是AB，BC，AC的黄金分割点，∴，

ABBCAC2

515135

∴BPCPAPk，∴APBPCPkkk，

123212322

∴≌≌，则SSS，

AP1P3BP2P1CP3P2AP1P3BP2P1CP3P2

如图所示，过点作P1EAC于点E，∴在RtAP1E中，AP1E30，

1

11�3535223315

∴AEAPkk，∴PEAPAEk，

21224114

115133151523

∴SAP·PEkkk2，

AP1P22312244

3152373315

∴SS3Sk23k2k2，

P1P2P3ABCAP1P3444

733152

Sk

P1P2P34

∴735，故答案为：735．

S3

ABCk2

4

例3．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形ABC的各边上，且MPAB

于点P，NMBC于点M，PNAC于点N．(1)求证：PMN是等边三角形；(2)若AB15cm，求BP的

长．

【答案】(1)证明见解析(2)5cm

【分析】（1）先求得ABC60．MPAB，NMBC，PNAC得

MPBNMCPNA90．则PMBMNCAPN30，再求得

NPMPMNMNP60．即可得到结论；

1

（2）由PBM≌NAPAAS得到BMAP，BPAN．由PNA90，APN30得到ANAP，则

2

AP2AN2BP．由AB15cm得到APBP2BPBP15cm．即可得到答案．

【详解】（1）证明：∵VABC是等边三角形，∴ABC60．

∵MPAB，NMBC，PNAC，∴MPBNMCPNA90．

∴PMBMNCAPN906030．

∴NPMPMNMNP180903060．∴PMN是等边三角形．

（2）解：∵PMN是等边三角形，∴PMMNNP．

BA

在PBM和NAP中，MPBPNA，∴PBM≌NAPAAS．∴BMAP，BPAN．

PMNP

1

∵PNA90，APN30，∴ANAP．∴AP2AN2BP．

2

∵AB15cm，∴APBP2BPBP15cm．∴BP5cm．

【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30角的直角三角形的性质等

知识，证明PMN是等边三角形是解题的关键．

例4．（2023·广西·中考真题）如图，ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA

上运动，满足ADBECF．(1)求证：ADF≌BED；(2)设AD的长为x，DEF的面积为y，求y关于

x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述DEF的面积随AD的增大如何变化．

33

【答案】(1)见详解(2)yx233x43

4

(3)当2x4时，DEF的面积随AD的增大而增大，当0x2时，DEF的面积随AD的增大而减小

【分析】（1）由题意易得AFBD，AB60，然后根据“SAS”可进行求证；

（）分别过点、作，，垂足分别为点、，根据题意可得，，

2CFCHABFGABHGSABC43AF4x

33

然后可得FG4x，由（1）易得ADF≌BED≌CFE，则有SSSx4x，进

2ADFBEDCFE4

而问题可求解；（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．

【详解】（1）证明：∵ABC是边长为4的等边三角形，

∴ABC60，ABBCAC4，∵ADBECF，∴AFBDCE，

AFBD

在△ADF和BED中，AB，∴ADF≌BEDSAS；

ADBE

（2）解：分别过点C、F作CHAB，FGAB，垂足分别为点H、G，如图所示：

在等边ABC中，ABACB60，ABBCAC4，

1

∴CHACsin6023，∴SABCH43，

ABC2

设AD的长为x，则ADBECFx，AF4x，

313

∴FGAFsin604x，∴SADFGx4x，

2ADF24

3

同理（1）可知ADF≌BED≌CFE，∴SSSx4x，

ADFBEDCFE4

3333

∵DEF的面积为y，∴yS3S43x4xx233x43；

ABCADF44

33

33233x2

（3）解：由（2）可知：yx33x43，∴a0，对称轴为直线33，

442

4

∴当x2时，y随x的增大而增大，当x2时，y随x的增大而减小；

即当2x4时，DEF的面积随AD的增大而增大，当0x2时，DEF的面积随AD的增大而减小．

【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二

次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．

1．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，VABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且

BD:DC2:1，CE:AE2:1，BE与AD相交于点F，则下列结论：①AFE60，②CE2DFDA，

③AFBEAEAC．其中正确的有（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

【答案】A

【分析】由VABC是等边三角形，求得BDCE，证明ABD≌BCE，得到BADCBE，即可求得

AFE60，故①正确；由BFDAFEABD60，证明△BDF∽△ADB，即可得到CE2DFDA，

故②正确；由BAEAFE60，AEBFEA，证明△AFE∽△BAE，即可求得AFBEAEAC，

故③正确；

【详解】∵VABC是等边三角形，

∴ABBCAC，BACABCBCA60，

∵BD:DC2:1，CE:AE2:1，

∴BDCE，且ABBC，ABCBCA60，

∴ABD≌BCE，

∴BADCBE，

∵ABEEBD60，

∴ABECBE60，

∵AFE是△ABF的外角，

∴AFE60，

∴①正确；

∵BFDAFEABD60，BDFADB，

∴△BDF∽△ADB，

∴BD:ADDF:DB，

∴BD2DFDA，

∴CE2DFDA，

∴②正确；

∵BAEAFE60，AEBFEA，

∴△AFE∽△BAE，

∴AF:ABAE:BE，

∴AF•BEAE•AB，

∴AFBEAEAC，

∴③正确；

故选：A．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，熟练掌握

相似三角形的判定和性质是解决问题的关键

2．（2024广东九年级二模）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线

段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，

BP=7，则PC=5；③AP2=OPAQ；④若AB=3，则OC的最小值为3，其中正确的是（）

⋅

A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③

【答案】A

【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，根据线段的和差得到CP=BQ，过P作PD∥BC交AQ于D，

根据相似三角形的性质得到①正确；过B作BE⊥AC于E，解直角三角形得到②错误；在根据全等三角形

的性质得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，根据相似三角形的性质得到③正确；以AB为边作等边三角形NAB，

连接CN，证明点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM于圆M交点O′，

CO′即为CO的最小值，根据30度角的直角三角形即可求出结果．

【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，

∵AP=CQ，∴CP=BQ，∵PC=2AP，∴BQ=2CQ，

如图，过P作PD∥BC交AQ于D，

PDAP1PDOP

∴△ADP∽△AQC，POD∽△BOQ，∴，，

CQAC3BQBO

△

∴CQ=3PD，∴BQ=6PD，∴BO=6OP；故①正确；

1

过B作BE⊥AC于E，则CE=AC=4，∵∠C=60°，∴BE=43，

2

∴PE=PB2BE2=1，∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误；

在等边ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，

△ABAC

在ABP与CAQ中，BAPC，

APCQ

△△

∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，

APOP

∵∠APO=∠BPA，∴△APO∽△BPA，∴，

PBAP

∴AP2=OP•PB，∴AP2=OP•AQ．故③正确；

以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，

∵∠PBA=∠QAC，∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA

=60°+∠BAQ+60°+∠QAC=120°+∠BAC=180°，

∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，

设CM于圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，

∵NA=NB，CA=CB，∴CN垂直平分AB，∴∠MAD=∠ACM=30°，

∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，在RtMAC中，AC=3，

∴MA=AC•tan∠ACM=3，CM=2AM=△23，∴MO′=MA=3，

即CO的最小值为3，故④正确．综上：正确的有①③④．故选：A．

【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三

角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的

关键．

3．（2024·广西·一模）如图，在等边ABC中，AB3，点D，E分别在边BC，AC上，且BDCE，连接

AD，BE交于点F，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（）

333331

A．B．C．D．

8483

【答案】B

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关性质等知识．首先证明

AFB120，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动，连接OC交O于N，当点F与N

重合时，阴影部分的面积的值最小．

【详解】解：如图，ABC是等边三角形，

ABBCAC，ABCBACBCE60，

≌

BDCE，ABDBCESAS，BADCBE，S△BADS△CBE，

∴S△ABFS四边形CDFE，又AFEBADABE，AFECBEABEABC，

AFE60，AFB120，点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动(AOB120，OA3)，

连接OC交O于N，当点F与N重合时，S△ABF的面积最大，则阴影部分的面积的值最小，

1133

此时点F是等边ABC的中心，∴阴影部分的面积的最小值为33sin60，故选：B．

324

4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在VABC中，ACB90,ACBC，点F在边AB上，

点D在边AC上，连接DF并延长DF交CB的延长线于点E，连接CF，且CFFD，过点A作AGCF于

点G,AG交FD于点K，过点B作BHCF交CF的延长线于点H，以下四个结论中：

①AGCH；②ADBE；③当BGH45时，2BHEFFG；④CAGCEF．正确的有（）

个．

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，①证明

ACG≌CBHAAS可知AGCH正确；②先证明ÐE=ÐFCE，则CFEFDF，过D作DM∥BC，

交AB于M，证明DMF≌EBFAAS，可得结论；③由已知得VBGH是等腰直角三角形，得BHGH，

计算2BHEFFH，