2025年中考数学几何模型综合训练专题13等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型解读与提分精练（学生版）

专题13等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型

维维亚尼定理（Viviani'stheorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边

三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点

的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。

而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去

相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连

接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.等边三角形中维维尼亚模型..............................................................................................................1

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型..............................................................................................................4

...................................................................................................................................................7

模型1.等边三角形中维维尼亚模型

条件：在等边VABC中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。

结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM；

②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。

（当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

图1图2

证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵VABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，

1111

则SSSSABPDBCPFACPEBCPDPFPE，

ABCABPBCPACP2222

1

∵SSSSBCAM；∴PD+PE+PF=AM。

ABCABPBCPACP2

②如图3，连结AP，BP，CP。∵VABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，

1111

则SSSSABPDACPEBCPFBCPDPEPF，

ABCABPACPBCP2222

1

∵SSSSBCAM；∴PD+PE-PF=AM。

ABCABPBCPACP2

例1．（2024·河北·二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点

分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（）

3

A．B．3C．2D．23

2

例2．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边ABC外一点，设点P到三边的距离PDh1,PEh2,PFh3，

且h1h2h36，则ABC的面积等于（）

A．43B．63C．123D．243

例3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA4，PB23，PC2，

V

以下3个结论：①BPC120；②AB27；③S△ABP43；④若点P到ABC三边的距离分别为PE，

3

PF，PG，则有PEPFPGAB，其中正确的有（）

2

A．4个B．3个C．2个D．1个

例4．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在VABC中，ABAC，且B60，过A作APBC

于点P，点M是直线BC上一动点，设点M到VABC两边AB、AC的距离分别为m，n，VABC的高为h．

(1)当点M运动到什么位置时，mn，并说明理由．

(2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论．

m2n2h2mn

(3)如图（3），当点M运动到BC的延长线上时，求证：

202220221011

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型

条件：如图，等腰VABC（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB，

结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。

②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。

图1图2

证明：①如图1，连结AP；∵VABC是等边三角形，∴AB=AC，

1111

则SSSABPDACPEABPDPE，∵SABCF；∴PE+PD=CF。

ABCABPACP222ABC2

①如图2，连结AP；∵VABC是等边三角形，∴AB=AC，

1111

则SSSABPFACPEABPFPE，∵SABCD；∴PF-PE=CD。

ABCABPACP222ABC2

例1．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，已知ABC是等腰三角形，AB=AC，点O是BC上任意一点，

OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为△43，则OE+OF的值为()

A．1.5B．23C．2.5D．3

例2．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折

痕EF上的任意一点，过点P作PGBE，垂足分别为G，H，若AD16，CF6，则PGPH．

例3．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰VABC并标注：ABAC10，

A30，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．

(1)甲同学提出：BC______度；(2)乙同学提出：VABC的面积为：______；

(3)丙同学提出：点D为边BC的中点，DEAB，DFAC，垂足为E、F，请求出DEDF的值；

(4)丁同学说受丙同学启发，点D为边BC上任一点，DEAB，DFAC，CHAB，垂足为E、F、H，

则有DEDFCH．请你为丁同学说明理由．

例4．（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形ABC中，ABAC，点P是底边BC上

的一点，PDAB，垂足为点D，PEAC，垂足为点E．求证：PDPE为定长．

（2）如图（2），已知在等腰三角形ABC中，ABAC，点P是底边BC的延长线上的一点，PDAB，垂

足为点D，PEAC，垂足为点E．求证：PDPE为定长．（3）如图（3），已知：点P为等边三角形ABC

内任意一点，过P分别作三边的垂线，分别交三边与D、E、F．求证：PDPEPF为定长．

例5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B

＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．

(1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度．

(2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．

①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断BCD的形状，

并明理由．(3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足△为E，点P为

边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN

与CE的数量关系？请说明理由．(4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角

四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝213dm，AD

＝3dm，BD＝37dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求DEM与CEN的周长之和．

△△

1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰ABC中，ABAC5，BC6，O是ABC外一点，

O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD:O△E:OF1:4:4，则AO的长度为（）△

4080

A．5B．6C．D．

717

2．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，在等腰ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于点D，点G是底

边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分△别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（）

A．0.75B．0.8C．1.25D．1.35

3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若

PDPEPF6，且VABC是等边三角形，则VABC的周长为（）

A．12B．18C．24D．30

4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，VABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一

点，DEAB于点E．DFAC于点F．若BC边上的高线AM6，则DEDF．

5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，C90，CA6，CB8，点P为此三角形内部

（包含三角形的边）的一点且P到三角形三边的距离和为7，则CP的最小值为．

6．（2024八年级·广东·培优）如图，ABC中，ACBC，点P是边AB上任意一点，点Q是AB延长线上

任意一点，过点P分别作PDAC于点D，PEBC于点E，过点Q分别作QFAC于点F，QGBC于

点G，则PDPEQGFQ．（填“>”“<”或“=”）

7．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C

处，点Р为折痕EF上的任一点，过点Р作PGBE、PHBC，垂足分别为G、H，若AD24cm，CF9cm，

PG2cm则下列结论正确的有（填正确结论的序号）①DE15cm②△BEF的面积是90cm2③

3

sinDFC④PH10cm．

5

8．（2024八年级·广东·培优）如图，在ABC中，线段AD为中线，点O为线段AD的中点，直线l经过点

O，且B，C两点在l的同侧，过点B，C，D，A作直线l的垂线，垂足分别为点E，F，H，G．则下列说

法一定正确的有．

①△AIG≌△BIE；②AGDH；③2AGBECF；④若点B，C位于l异侧，有2AGBECF．

9．（2023·四川内江·中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘

徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的

面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABCD中，AB5，AD12，对角线AC与BD交于点

O，点E为BC边上的一个动点，EFAC，EGBD，垂足分别为点F，G，则EFEG．

10．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，已知等腰Rt△ABC中，C90，AC1，P为三角形内（含

边）一点，过点P分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F．若PDPEPF，则CE长为；

若PDPEPF，则点P运动的路径长为．

11.（23-24八年级下·河南南阳·期中）在ABC中，AB＝AC，点P为ABC所在平面内一点过点P分别作

PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于△点D，交AC于点F．△

（1）观察猜想:如图1，当点P在BC边上时，此时点P、D重合，试猜想PD，PE，PF与AB的数量关系：．

（2）类比探究:如图2，当点P在ABC内时，过点P作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，试写出PD，

PE，PF与AB的数量关系，并加△以证明．

（3）解决问题:如图3，当点P在ABC外时，若AB＝6，PD＝1，请直接写出平行四边形PEAF的周长．

△

12．（23-24泰州八年级上期中）从特殊出发：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，

过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明

的证明思路：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得PD+PE=CF（不需

写出证明过程）．

变化一下：（1）如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方

法，猜想PD、PE和CF的关系，并证明．

3

从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数yx3和y3x3的图

142

像，l1、l2与x轴的交点分别为A、B．

（2）两条直线恰好相交于y轴上的点C，点C的坐标是；（3）说明ABC是等腰三角形；

（4）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标．

13.（23-24九年级上·四川成都·期中）教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰ABC中，

111

SSS．即AB·DCAB·MPAC·PN，∵ABAC，∴DCMPPN,MPPN是个固

ABCAPBAPC222

定值．

(1)如图1，在矩形ABCD中，AC与DB交于O，AB3,AD4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，

过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PEPF的值为_________．

知识应用：(2)如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，

使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处．点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别

作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若

DM13,CN5,PEQF的周长是否为定值？若是，请求出PEQF的周长；若不是，请说明理由．

(3)如图3，当点P是等边．ABC外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、

D、F．若PEPFPD3，请直接写出ABC的面积_________．

14．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：如图，ABC中，ABAC，P为底边BC上任意一

，

点，点P到两腰的距离分别为r1r2，腰上的高为h，连接AP，则SABPSACPSABC，即：

AB•r1AC•r2AB•h，∴r1r2h（定值）．

(1)理解与应用：如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BEBC，F为CE上

一点，FMBC于M，FNBD于N，试利用上述结论求出FMFN的长．

(2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在

，，

三角形内任一点”，即：已知等边ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1r2r3，等边ABC的高为h，

试证明r1r2r3h（定值）．

(3)拓展与延伸：若正n边形A1A2An，内部任意一点P到各边的距离为r1r2rn，请问r1r2rn是否为

定值？如果是，请合理猜测出这个定值．

15．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两

腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．

(1)如图一，在等腰ABC中，ABAC，BC边上有一点D，过点D作DEAB于E，DFAC于F，过

点C作CGAB于G.利用面积证明：DEDFCG．

(2)如图二，将矩形ABCD沿着EF折叠，使点A与点C重合，点B落在B处，点G为折痕EF上一点，过

点G作GMFC于M，GNBC于N.若BC8，BE3，求GMGN的长．

ABAE

(3)如图三，在四边形ABCD中，E为线段BC上的一点，EAAB，EDCD，连接BD，且，

CDDE

BC51，CD3，BD6，求EDEA的长．

16．（2023·陕西渭南·二模）（1）【问题提出】

如图1，在等腰ABC中，ABAC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），PEAC于E，PFAB

于F，BDAC于D．求证：BDPFPE；

（2）【问题探究】如图2，ABC和CDE是两个含30的直角三角形，其中ACBDCE90，

ABCCED30，连接AD、BE，BE10，求AD的长；

（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD是某农业观光园的部分平面示意图，BD是一条灌溉水渠，E为入

口，E在线段BC上，管理人员计划从入口E处沿EA、ED分别修两条笔直的小路，将园区分割为ABE、

ABAE

CDE和△AED三个区域，用来种植不同的农作物．根据设计要求，