2025年中考数学几何模型综合训练专题11三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型解读与提分精练（学生版）

专题11三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型

等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角

形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比1:1:2”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸，

常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，

有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常

用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.等直内接等直模型..............................................................................................................................1

模型2.等直+高分线模型................................................................................................................................4

...................................................................................................................................................8

模型1.等直内接等直模型

等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为

原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。

条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。

结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④AEAF2AP；

1222

⑤SS；⑥CEBFEF。

AEPF2ABC

（注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！）

1

证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点P是BC的中点APBPPCBC,APBC

2

APEAPFCPEAPE90APFCPE同理可得：PAFC45，

APFCPE(ASA)AFCE,PEPF，∵AB=AC，∴AE=FB；

又EPF是直角，EPF是等腰直角三角形，同理：易证ABP是等腰直角三角形。

∴AE+AF=FB+AF=AB，∴AEAF2AP。

1

APFCPE(ASA)，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴SS。

AEPF2ABC

∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴CE2BF2AF2AE2EF2

例1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在ABC中，A90，ABAC6，D为边BC的中点，点E，

F分别在边AB，AC上，AECF，则四边形AEDF的面积为（）

A．18B．92C．9D．62

例2．（2024·天津·模拟预测）如图，已知ABC中，ABAC6，BAC90，直角EPF的顶点P是BC

中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重

合），给出下列四个结论：①EPF是等腰三角形；②M为EF中点时，AMPMEF；③EFAB；④△BEP

和PCF的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（）个．

A．1B．2C．3D．4

例3．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠

MPN为直角，使点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转

角为θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论：①EF

＝2OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝2OA；④在旋转过程中，当BEF与COF的面积

3△△

之和最大时，AE＝；⑤OG•BD＝AE2+CF2．其中结论正确的个数是（）

4

A．2个B．3个C．4个D．5个

例4．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究

问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板ABC中，BAC90，

ABAC，D为BC的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到MDN，将MDN绕点D

旋转，射线DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，如图1所示．

(1)操作发现：如图2，当E，F分别是AB，AC的中点时，试猜想线段DE与DF的数量关系是________，

位置关系是________．

(2)类比探究：如图3，当E，F不是AB，AC的中点，但满足BEAF时，判断DEF形状，并说明理由．

(3)拓展应用：①如图4，将MDN绕点D继续旋转，射线DM，DN分别与AB，CA的延长线交于E，F

两点，满足BEAF，DEF是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；

②若在MDN绕点D旋转的过程中，射线DM，DN分别与直线AB，CA交于E，F两点，满足BEAF，

若AB=a，BEb，则AE________（用含a，b的式子表示）．

模型2.等直+高分线模型

等直+高分线模型模型是指在等腰直角三角形过其中一个角所在顶点作另一个底角平分线的垂线。

条件：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点

F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．

1DF2

结论：①BFAC；②CEBF；③DGF是等腰三角形；④BDDFBC；⑤．

2FC2

证明：CDAB，BEAC，BDCADCAEB90，

AABE90，ABEDFB90，ADFB，

ABC45，BDC=90，DCB904545DBC，BDDC，

BDFCDA

在BDF和CDA中ADFB，ΔBDF≌ΔCDA(AAS)，BFAC．

BDCD

BE平分ABC，ABC=45，ABEEBC22.5

11

∵BEAC，ABCA67.5，BABC，BEAC，AEECACBF，

22

BDC=90，BHHC，BHG90，BDFBHG90，

ABECBE22.5，BGHBFD67.5，DGFDFG67.5，

DGDF，DGF是等腰三角形．ΔBDF≌ΔCDA，DFAD，BCABBDADBDDF，

SBDFBD

BE平分ABC，点F到AB的距离等于点F到BC的距离，，

SBCFBC

SDFBD2DFDFBDDFBD12

∵BDF，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。

SBCFFCBD2FCFCBCFCBC22

例1．（23-24九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在VABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，

且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，以下结论中：

①VABC是等腰三角形；②BFAC；③BH:BD:BC1:2:2；④GE2CE2BG2．

正确的结论有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

例2．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，等腰Rt△ABC中，ABAC,BAC90,ADBC于点D，

ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，

下列结论：①DFDN；②△AFE为等腰三角形；③NAC22.5；④AENC，其中正确结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

例3．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，

且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．（1）说明：BFAC；

1

（2）说明：CEBF；（3）试探索CE，GE,BG之间的数量关系，并证明你的结论．

2

例4．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角VABC中，CAB90，ACAB，点E为BC上

一点，BDAE于点M，交AC于点D，AHCB于点H，交BD于点G，连接DE，MH．

(1)若BEBA，求证：BD垂直平分AE；(2)若点E在线段CH上运动．

①请判断CE与AG的数量关系，并说明理由；②求证：MH平分EMB．

1．（23-24山东威海九年级上期中）已知VABC中，ACBC4，ACB90，D是AB边的中点，点E、

F分别在AC、BC边上运动，且保持AECF．连接DE、DF、EF得到下列结论：①DEF是等腰直角

三角形；②△CEF面积的最大值是2；③EF的最小值是2．其中正确的结论是（）

A．②③B．①②C．①③D．①②③

2．（2024·广东汕头·二模）如图，四边形ABCD为正方形，CAB的平分线交BC于点E，将ABE绕点B

顺时针旋转90°得到VCBF，延长AE交CF于点G，连接BG，DG与AC相交于点H．有下列结论：①BEBF；

AE

②ACFF；③BGDG；④2，其中正确的结论有（）个

DH

A．1B．2C．3D．4

3．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角VABC中，BAC90，ADBC于点D，ABC的平分

线分别交AC，AD于点E，F，M为EF中点，AM延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①DFDN；

②FMAM2DM；③DM平分BMN；④SABMSDBM；⑤MNBFBDCN，其中正确结论的个数

是（）

A．2B．3C．4D．5

4．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥

AC于点E，与CD交于F，H是BC边△的中点，连接DH与BE交于点G，则下列结论：①BF＝AC；②∠A

＝∠DGE；③CE＜BG；④SADC＝S四边形CEGH；⑤DG•AE＝DC•EF中，正确结论的个数是（）

△

A．2B．3C．4D．5

5．（2024·湖南长沙·一模）如图，在ABC中，BAC90，ABAC．点E是AC边上的中点，连接BE，

将ABE绕A点逆时针旋转90，得到ACD，延长BE交DC于点G，连接AG，过点A作AFAG，交BG

于点F．现有如下四个结论：①AGD45；②EG:GC:FE1:2:3；③FEEGGC；④S△ADC2S△AEF

中正确的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．（2024·江苏淮安·三模）如图，VABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于

1S△BDFBD

E，与CD相交于点F．下列结论：①BFAC；②CEBF；③BDDFBC；④，其中

2S△BCFBC

正确的结论有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

7．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点E在BC边上，

且CE2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BFAE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O

9GE131035

作OPOF交DC于占N，S四边形MONC，现给出下列结论：①；②sinBOF；③OF；

4AG3105

④OGBG；其中正确的结论有（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

8．（2024·黑龙江·二模）如图，等腰直角三角形ABC中，BAC90，ADBC于D，ABC的平分线

分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接FN，NE．下列结论：①

AEAF；②AB2BMBE；③△AEF是等边三角形；④BFAN；⑤四边形AENF是菱形，正确结论的

序号是（）

A．②④⑤B．①②③④⑤C．①③④D．①②④⑤

9．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知VABC中，ABAC8，BAC90，直角EPF的

顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当EPF在VABC内绕顶点P旋转时（点E

1

不与A、B重合），给出以下四个结论：①AECF；②EPF是等腰直角三角形；③S四边形S△ABC；

AEPF2

④BECFEF；⑤△BEP与△PFC的面积和无法确定．上述结论中始终正确的有（）

A．①②③B．①②⑤C．①③⑤D．②③④

10.（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，在正方形ABCD中，AB4，AC，BD相交于点O，E，F分

别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BECF，连接OE，OF，EF．在点E，

F运动的过程中，有下列四个结论：①OEF始终是等腰直角三角形；②OEF面积的最小值是2；③至少

存在一个△ECF，使得△ECF的周长是423；④四边形OECF的面积始终是4．其中结论正确的有（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④

11．（2024·重庆·中考模拟预测）如图，在等腰直角ACB90，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角

边AC、BC上，且DOE90，DE交OC于点P．则下列结论：

（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）VABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CDCE2OA；

（4）AD2BE22OPOC．其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边

上，且CE2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BFAE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过

9GE1

点O作ONOF交DC于点N，S四边形，以下四个结论：①；②正方形ABCD的面积为9；

MONC4AG3

35

③OGBG；④OF，其中正确的结论有（）

5

A．1个B．2个C．3个D．4个

13．（2024·黑龙江·校考一模）如图，在面积为4的正方形ABCD中，O是对角线AC,BD的交点，过点O作

射线OM,ON分别交BC,CD于点E,F，且EOF90o,OC,EF交于点G．下列结论：①VFOCVEOB；

②VOGE:VFGC；③四边形CEOF的面积为1;④DF2BE22OGOC．其中结论正确的序号有（）

A．①②③B．①②

C．③④D．①②③④

14．（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图所示，在等腰直角∆ABC中，点D为AC的中点，DEDF，DE

交AB于E，DF交BC于F，若AE=23，EF=4，则FC的长是．

15．（2024广东九年级模拟（二模））一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是

一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满

足∠CME=2∠ADE，EM=．

16．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形ABCD中，AB2，对角线AC、BD交于点O，点E、

F分别为边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BECF，连接OE、OF、EF，则线段EF的最小值

为．

17．（2024