2025年中考数学几何模型综合训练专题05三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型解读与提分精练（教师版）

专题05三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型

进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1双角平分线模型（双内角）..............................................................................................................1

模型2.双角平分线模型（一内角一外角）..................................................................................................7

模型3.双角平分线模型（双外角）............................................................................................................11

.................................................................................................................................................16

模型1双角平分线模型（双内角）

双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。

1）两内角平分线的夹角模型

图1图2图3

1

条件：如图1，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：P90A。

2

△11

证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴PBCABC，PCBACB。

22

111

∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。

222

2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1

条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。

11

证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴PBCABC，PCBDCB。

22

111

∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。

222

即：2∠P=∠A+∠D。

3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2

条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：2PABE180。

11

证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴PCDBCD，PDCCDE。

22

∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-1（∠BCD+∠CDE）=180°-1（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠

22

E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。

例1．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在ABC中，点P是ABC内一点，且点P到ABC三边

的距离相等，若BPC124，则A．

【答案】68

【分析】由条件可知BP、CP平分ABC和ACB，利用三角形内角和可求得A．

【详解】解：∵点P到ABC三边的距离相等，

∴BP平分ABC，CP平分ACB，

∴A180（ABCACB），180（2PBCPCB）

1802（180BPC）1802（180124）68故答案为：68．

【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．

例2．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，P是ABC内一点，连接PB，PC．

(1)猜想：BPC与ABP、ACP、A存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若∠A69，PB、PC分

别是ABC、ACB的三等分线，直接利用（1）中结论，可得BPC的度数为．

【答案】(1)BPCAABPACP，证明见解析(2)106

【分析】（1）根据三角形内角和定理得到AABCACB180，BPCCBPBCP180，再结合

CBPABCABP，BCPACBACP即可得到结论；（2）先根据三角形内角和定理和角三等分线的

11

定义得到ABCACB111，ABPABC，ACPACB，再代入（1）中结论求解即可．

33

【详解】（1）解：猜想：BPCAABPACP，

证明：由题意得：AABCACB180，BPCCBPBCP180，

∵CBPABCABP，BCPACBACP，∴BPCABCABPACBACP180，

∴BPCABCACBABPACP180，∴BPC180AABPACP180，

∴BPCAABPACP；

（2）解：∵∠A69，PB、PC分别是ABC、ACB的三等分线，

11

∴ABCACB180A111，ABPABC，ACPACB，

33

1

∴BPCAABCACB6937106．故答案为：106．

3

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角三等分线的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．

例3．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于180，又知道角平分

线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．

如图①，在ABC中，BP、CP分别是ABC和ACB的角平分线．

解决问题：(1)若ABC40，ACB80，则BPC______；（直接写出答案）

(2)若BAC100，求出BPC的度数；

拓展延伸：(3)如图②，在四边形ABCD中，BP、CP分别是ABC和DCB的角平分线，直接写出BPC

与AD的数量关系．

1

【答案】(1)120(2)140(3)BPCAD

2

【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；

（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；

（3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系．

【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°，

1111

∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°．

2222

∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°；故答案为：120°；

（2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，

11

∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB．

22

11

∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+∠BAC，

22

11

∵∠BAC=100°，∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°；

22

11

（3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB．

22

11

∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）．

22

【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个

解答思路求解是解题的关键．

例4．（23-24八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，

探求BPC与A之间的数量关系；

【基础探究2】（2）如图2，ABC中，BP1、BP2是ABC的三等分线，CP1、CP2是ACB的三等分线，

则BP1C与A之间的数量关系是______；

【基础探究3】（3）如图3，ABC中，BP1、BP2、BP3是ABC的四等分线，CP1、CP2、CP3是ACB的

四等分线，则BP3C与A之间的数量关系是______；

【拓展与探究】（4）如图4，ABC中，BP1、BP2、……、BPn2、BPn1是ABC的n等分线，CP1、CP2、……、

CPn2、CPn1是ACB的n等分线，请用一个等式表示BP1C、BPn1C、A三者之间的数量关系是______；

【探究与应用】（5）ABC中，BP1、BP2、……、BP2023是ABC的2024等分线，CP1、CP2、……、CP2023

是ACB的2024等分线，若BP2C与BP2022C的和是A的7倍，则BP1012C______．

121

【答案】（1）BPC90A（2）BPC60A（3）BPC135A（4）

2334

BP1CBPn1C180A（5）105

【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义．

1

（1）由三角形的内角和定理可得ABCACB180A，由角平分线得到PBCABC，

2

111

PCBACB，从而BPC180PBCPCB180ABCACB90A；

222

22

（2）由三等分线可得PBCABC，PCBACB，从而

1313

22

BPC180PBCPCB180ABCACB60A；

11133

（3）同（2）思路即可求解；

1n1n11

（4）同（2）（3）思路即可BPC180A，BPC180A，两式相加即可解答；

1nnn1nn

（5）同（4）思路可得BP2CBP2022C180A，又BP2CBP2022C7A，即可求得A30，同

10121012

理有BPC180A，即可解答．

101220242024

【详解】解：（1）∵AABCACB180，∴ABCACB180A，

11

∵BP平分ABC，CP平分ACB，∴PBCABC，PCBACB，

22

11

∴BPC180PBCPCB180ABCACB

22

111

180ABCACB180180A90A．

222

（2）∵BP1、BP2是ABC的三等分线，CP1、CP2是ACB的三等分线，

22

∴PBCABC，PCBACB，

1313

222

∴BP1C180P1BCP1CB180ABCACB180ABCACB

333

222

180180A60A．故答案为：BPC60A

3313

（3）∵BP1、BP2、BP3是ABC的四等分线，CP1、CP2、CP3是ACB的四等分线，

11

∴PBCABC，PCBACB，

3434

111

∴BP3C180P3BCP3CB180ABCACB180ABCACB

444

111

180180A135A．故答案为：BPC135A

4434

（4）∵BP1、BP2、……、BPn2、BPn1是ABC的n等分线，CP1、CP2、……、CPn2、CPn1是ACB的

n11n11

n等分线，∴PBCABC，PBCABC，PCBACB，PCBACB，

1nn1n1nn1n

n1n1

∴BPC180PBCPCB180ABCACB

111nn

n1n11n1

180ABCACB180180A180A，

nnnn

11

BPC180PBCPCB180ABCACB

n1n1n1nn

11n11

180ABCACB180180A180A，

nnnn

1n1n11

∴BPCBPC180A180A180A．

1n1nnnn

故答案为：BP1CBPn1C180A

（5）∵BP1、BP2、……、BP2023是ABC的2024等分线，CP1、CP2、……、CP2023是ACB的2024等分

线，

2022220222

∴PBCABC，PBCABC，PCBACB，PCBACB，

22024202220242202420222024

20222022

∴BPC180PBCPCB180ABCACB

22220242024

2022202222022

180ABCACB180180A180A，

2024202420242024

22

BPC180PBCPCB180ABCACB

20222022202220242024

2220222

180ABCACB180180A180A，

2024202420242024

2202220222

∴BPCBPC180A180A180A，

220222024202420242024

∵BP2CBP2022C7A∴180A7A，∴A30，

101210121

同理可得BPC180A9030105．故答案为：105

1012202420242

模型2.双角平分线模型（一内角一外角）

双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。

图1图2

1）一个内角一个外角平分线的夹角模型

1

条件：如图1，在ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：PA．

2

△11

证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴PBCABC，PCDACD。

22

11

∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。

22

2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）

条件：如图2，A，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点P1，P1BC,P1CD的平分线相交于点P2，P2BC，

PCD的平分线相交于点P……以此类推；结论：P的度数是．

23n2n

11

证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴PBCABC，PCDACD。

22

11111

∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn=

2222222n

1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，OG平分MON，点A,B是射线OM，ON上的点，连接AB．按

以下步骤作图：

①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；

1

②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；

2

③作射线BE，交OG于点P．若ABN140，MON50，则OPB的度数为（）

A．35B．45C．55D．65

【答案】B

【分析】根据条件可知BP平分ABN，则可求出PBN，根据OG平分MON求出BOG，进而利用

PBNPOBOPB即可求出答案．

11

【详解】由作法得BP平分ABN，∴PBNABN14070，

22

11

∵OG平分MON，∴BOPNOM5025，

22

∵PBNPOBOPB，∴OPBPBNPOB702545．故选B．

【点睛】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线是解题

的关键．

例2．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D是ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，

BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系△．

(1)特例探究：如图2，若ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝；

如图3，若ABC是等腰三△角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝；这两个图中，与∠A度

数的比是△；(2)猜想证明：如图1，ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还

成立？若成立，利用图1证明你的结论；若△不成立，说明理由．

【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析

【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用A和D表示出ACE，再根据

角平分线的定义得到ACE2DCE，ABC2DBC，然后整理即可．

（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用A和D表示出ACE，再根据角平分线

的定义得到ACE2DCE，ABC2DBC，然后整理即可．

【详解】（1）解：如图2，ABC是等边三角形，ABC60，ACE120，

QBD平分ABC，CD平分ACE．DBC30，DCE60，

DCEDDBC，D30；

如图3，ABC是等腰三角形，A100，ABCACB40，ACE140，

QBD平分ABC，CD平分ACE．DBC20，DCE70，

DCEDDBC，D50；故答案为30，50，1:2；

（2）解：成立，如图1，在ABC中，ACEAABC，

在DBC中，DCEDDBC，（1）

CD平分ACE，BD平分ABC，ACE2DCE，ABC2DBC，

又ACEAABC，2DCEA2DBC，（2）

由（1）2（2），2D2DBC(A2DBC)0，A2D．

【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答

是关键．

例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）∠ACD是ABC的外角，ABC的平分线与ACD的平分线交于

△

点A1，A1BC的平分线与A1CD的平分线交于点A2，…，An1BC的平分线与An1CD的平分线交于点

An．设∠A＝．则A1＝，∠A2021＝．

【答案】

222021

11

【分析】据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与

22

它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，

1

同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．

2

【详解】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，

11

∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，

22

又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，

111

∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，

222

∵∠A=，∴∠A1=，同理可得：∠An=，∴∠A2021=，故答案为：，．

22n22021222021

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角

平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的1是解题的关键．

2

模型3.双角平分线模型（双外角）

双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。

图1图2图3

1）两外角平分线的夹角模型

1

条件：如图1，在ABC中，BO，CO是ABC的外角平分线；结论：O90A．

2

△△11

证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴OBCEBC，OCBBCF。

22

∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-1（∠EBC+∠BCF）=180°-1（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）

22

11

=180°-（180°+∠A）=90°+∠A。

22

2）旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。

证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，

∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,

例1．（2023.广东八年级期中）如图，在ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于

点E，则∠AEC＝．△

【答案】67°．

【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠

11

DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝

22

1

∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，后再用三角形内角和计算∠AEC的度数．

2

【详解】解：∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，

∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，

11

∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，

22

1

∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，

2

∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案为：67°．

【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题解题过程中，有

些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌

握整体思想是解决此题的关键．

例2．（2023·安徽宿州·八年级校联考期末）（1）如图（a），BD平分ABC，CD平分ACB.

①当A60时，求D的度数.②猜想A与D有什么数量关系？并证明你的结论.

（2）如图（b），BD平分外角CBP，CD平分外角BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请

你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.

o11

【答案】（1）①120°；②D90A；证明见解析；（2）不正确；D90A

22

【分析】（1）①根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理计算即可；

1

②结论：∠D=90°+∠A．根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理计算即可；

2

1

（2）不正确．结论：∠D=90°-∠A．根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理三角形的外角的性质

2

计算即可．

【详解】解：（1）①A60，ABCACB18060120，

111

DBCABC，DCBACB，DBCDCB12060，D18060120；

222

111

②结论：D90A．理由：DBCABC，DCBACB，

222

111

DBCDCB(ABCACB)(180A)90A

222

11

D180(90A)90A；

22

111

（2）不正确．结论：D90A．理由：DBCPBC，DCBQCB，

222

1111

DBCDCB(PBCQCB)(AACBAABC)(180A)90A，

2222

11

D180(90A)90A.

22

【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌

握基本知识，属于中考常考题型．

例3．（2023秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图（1），CBF，ACG是ABC的外角，ACG的平

分线所在直线与ABC的平分线BD交于点D，与CBF的平分线BE交于点E．(1)若A70，则D度；

(2)若A，求∠E的度数；(3)在图（1）的条件下，沿BA作射线BM，连接AD，如图（2）．求证：AD

平分MAC．

1

【答案】(1)35(2)90(3)见解析

2

11

【分析】（1）由角平分线的定义得到DCGACG，DBCABC，然后根据三角形的内角和即可

22

11

得到结论；（2）根据角平分线的定义得到DBCABC，CBECBF，于是得到∠DBE90，

22

11

由（1）知DA，根据三角形的内角和得到E90；（3）过点D作DHBG于点H，DKBM

22

于点K，DIAC于点I，由角平分线的性质可得，DKDH，DIDH，则DKDI，即可得到结论．

11

【详解】（1）解：∵CD平分ACG，BD平分ABC，∴DCGACG，DBCABC，

22

∵ACGAABC，∴2DCGACGAABCA2DBC，

∵DCGDDBC，∴2DCG2D2DBC，

1

∴A2DBC2D2DBC，∴DA35；故答案为：35

2

11

（2）∵BD平分ABC，BE平分CBF，∴DBCABC，CBECBF，

22

1

∴DBCCBEABCCBF90，∴DBE90，

2

111

∵DA，∵A，∴D，∴E90；

222

（3）如图2，过点D作DHBG于点H，DKBM于点K，DIAC于点I，

∵BD平分ABC，CD平分ACG，∴DKDH，DIDH，∴DKDI，

∵DKBM于点K，DIAC于点I，∴AD平分MAC．

【点睛】本题主要考查三角形的角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，灵活运

用三角形外角的性质是解题的关键．

例4．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在ABC中，图1，图2，图3中的ABC的内角平分线或外

角平分线交于点O，△△

（1）如图1，点O是ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．

（2）请直接写出结果．△如图2，若A60，ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；

△

如图3，若A60，ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________．

△

1

【答案】（1）O90A，证明见解析；（2）30；60．

2

11

【分析】（1）根据角平分线的性质可以得到OBCABC，OCBACB，再根据三角形的内角和

22

定理得到ABC和△OBC的三个内角的和是180，对角度进行等价代换即可；

11

（2）图2中，根据角平分线的性质可以得到OBCABC，OCMACM，再根据三角形外角的

22

性质得到OOCMOBC和AACMABC，最后对角度进行等价代换即可；图3中，根据角

11

平分线的性质可以得到OBCPBC，OCBQCB，再根据三角形的内角和定理得到ABC和

22

△OBC的三个内角的和是180，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．

1

【详解】解：（1）O90A．

2

11

证明：∵BO平分ABC，CO平分ACB，∴OBCABC，OCBACB，

22

11

∴O180(OBCOCB)180ABCACB

22

1111

180(ABCACB)180180A90A．即O90A．

2222

（2）30；60．如图2所示：

11

∵BO平分ABC，CO平分ACM，∴OBCABC，OCMACM，

22

1111

∴OOCMOBCACMABC(ACMABC)A．

2222

11

∵A60∴OA6030．即O30．

22

11

如图3所示：∵BO平分PBC，CO平分QCB，∴OBCPBC，OCBQCB，

22

11

∴O180(OBCOCB)180PBCQCB

22

1111

180180ABC180ACBABCACB

2222

11

ABCACB180A．

22

11

∵A60∴O(180A)(18060)60．

22

即O60．故答案为：30；60．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是

解题关键，特别注意等价代换的使用．

1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，ABC