2025年中考数学几何模型综合训练专题04三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型解读与提分精练（教师版）

专题04三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模

型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.高分线模型..........................................................................................................................................1

模型2.双垂直模型..........................................................................................................................................5

模型3.子母型双垂直模型（射影模型）......................................................................................................7

.................................................................................................................................................10

模型1.高分线模型

三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.

三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线

段叫做三角形的角平分线.

高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。

1

1）条件：如图1，在ABC中，AD，AE分别是ABC的高和角平分线，结论：DAECB．

2

1

2）条件：如图2，F为ABC的角平分线AE的延长线上的一点，FDBC于D，结论：DFA(CB)．

2

图1图2

1

1）证明：∵AE平分BAC，∴EACBAC，

2

111

∵BAC180BC，∴EAC180BC90BC，

222

111

∴EADEACDAC90BC90CCB；

222

1

2）证明：如图，过A作AGBC于G，由（2）可知：EAG(CB)，

2

AGBC，AGB90，FDBC，FDC90，AGDFDC，FD∥AG，

1

AFDEAG，AFD(CB)．

2

例1．（23­24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，AE分别是VABC的角平分线和高线，且B50，

o

C70，则EAD．𝐴

【答案】10

【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各

角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和等于180求出BAC，再根据角平分线的定义求出

BAD，根据直角三角形两锐角互余求出BAE，然后根据EADBAEBAD代入数据进行计算即可

得解．

【详解】解：B50，C70，\ÐBAC=180°-ÐB-ÐC=180°-50°-70°=60°，

11

AD是ABC的角平分线，BADBAC6030，

22

AE是VABC的高线，BAE90B905040，

EADBAEBAD403010．故答案为：10．

例2．（23­24八年级上·重庆·期中）已知：如图①所示，在VABC中，AD为BC的高，AE为BAC平分线

交BC于点E，B20,C50．

(1)求EAD的度数；(2)EAD与B,C之间有何数量关系？

(3)若将题中的条件“B20”改为“ABC100”（如图②），其他条件不变，则EAD与ABC,C之间

又有何数量关系？请说明理由．

11

【答案】(1)15(2)EADCB(3)EADABCC，理由见解析

22

【分析】本题主要考查三角形中角与角之间的关系，掌握三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外

角的性质的应用．（1）首先根据三角形的内角和定理求得BAC，再根据角平分线的定义求得BAE，再

根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得AED，最后根据直角三角形的两个锐角互余即

可求解，（2）根据（1）即可得出EAD与B、C之间的关系，

（3）根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论．

【详解】（1）解：∵B20，C50，∴BAC180BC110

1

又∵AE为BAC的平分线，∴EACBAC55

2

∵AD为BC的高，∴ADC90，DAC90C40，∴EADEACDAC15；

111

（2）解：由图知DAEBAECADBACCAD180BC90CCB；

222

1

（3）解：EADABCC理由如下：由三角形内角和知BAC180ABCC，

2

11

∵AE为BAC的平分线，∴BAEBAC180ABCC

22

∵AD为BC的高，∴ADC90DABABD

又∵ABD180ABC，∴DAB90180ABCABC90

11

∴EADDABBAEABC90180ABCCABCC．

22

例3．（23­24八年级上·广东·校考期中）已知：在VABC中，CB，AE平分BAC交BC于点E．

(1)如图①，ADBC于点D，若C60,B30，求DAE的度数；

(2)如图①，ADBC于点D，若B,C，求DAE的度数（用含,的式子表示）；

(3)如图②，在VABC中，ADBC于点D，F是AE上的任意一点（不与点A，E重合），过点F作FGBC

于点G，且B30,C80，请你运用（2）中的结论求出EFG的度数；

(4)在（3）的条件下，若点F在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则EFG的度数会发生改变吗？

说明理由．

1

【答案】(1)DAE15(2)DAE(3)EFG25(4)EFG的度数不会发生改变，理由见解析

2

【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得BAC180BC，再结合角平分线的定义可知

11

BAECAEBAC90(BC)，然后由“直角三角形两锐角互余”可得DAC90C，进而

22

1

可得DAECAEDAC(CB)，即可获得答案；（2）结合（1）可得结论；

2

1

（3）结合DAE(CB)，易得DAE25，再证明FG∥AD，由“两直线平行，同位角相等”可得

2

EFGEAD，即可获得答案；

（4）证明FG∥AD，由“两直线平行，内错角相等”可得EFGEAD，即可获得答案．

【详解】（1）解：∵在VABC中，BCBAC180，∴BAC180BC，

111

∵AE平分BAC，∴BAECAEBAC(180BC)90(BC)，

222

∵ADBC，∴ADC90，∴DAC90C，

11

∴DAECAEDAC90(BC)(90C)(CB)，

22

当C60,B30时，DAE(6030)15；

11

（2）由（1）可知，DAE(CB)，∴当B,C时，∴DAE()；

22

11

（3）∵DAE(CB)，而B30,C80，∴DAE(8030)25，

22

∵ADBC，FGBC，∴FG∥AD，∴EFGEAD25；

（4）EFG的度数大小不发生改变．理由如下：

∵ADBC，FGBC，∴FG∥AD，∴EFGEAD25．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、

垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．

模型2.双垂直模型

双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之

间的关系。

条件：如图所示，在ABC中，BD，CE是两条高，

结论：①∠ABD=∠A△CE；②∠A=∠BOE=∠COD；③ABCEACBD。

证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，

∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，

∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。

11

∵BD，CE是ABC的两条高，∴S△ABCABCEACBD，∴。

22ABCEACBD

△

例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，并且CD,BE交于点

P，若A50，则BPC的度数为（）

A．130B．120C．110D．100

【答案】A

【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得ABE的度数，再根据三角形的外角即可得．

【详解】解：∵BE是AC边上的高，∴BEA90，∵A50，∴ABE90A905040，

∵CD是AB边上的高，∴CDB90，∴BPCCDBABE9040130，故选：A．

【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．

例2．（23­24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在VABC中，A55，BD,CE是它的两条高，直线BD,CE交

于点F，DFE．

【答案】55或125

【分析】分两种情况：当VABC为锐角三角形时，当VABC为钝角三角形时，用三角形内角和求解即可．

【详解】解：当VABC为锐角三角形时，如图，

∵A55，BD,CE是它的两条高，∴DFE125；

当VABC为钝角三角形时，如图，∵A55，BD是它的高，∴ABDEBF35，

∵CE是VABC的高，∴DFE55，综上所述：DFE125或DFE55，故答案为：55或125．

【点睛】本题主要考查了垂直的定义、四边形的内角和，熟练掌握四边形的内角和为360度及分类讨论是

解题的关键．

例3．（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在ABC中，CD和BE分别是AB，AC边上的高，若CD12，

AC

BE16，则的值为（）．

AB

3345

A．B．C．D．

5438

【答案】B

【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可．

11AC123

【详解】∵SABCDACBE，∴12AB16AC，∴．故选B．

ABC22AB164

【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题．根据三角形的面积公式得出ABCDACBE是解题关键．

模型3.子母型双垂直模型（射影模型）

子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。

条件：在RtABC中，∠ACB=90°，CD是ABC的高线，

结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③ACBCCDAB。

证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，

∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，

11

∵∠ACB=90°，CD是高线，∴S△ABCABCDACBC，∴。

22ACBCCDAB

例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在△ACB中，ACB90，CDAB于D，求证：

BACD．

【答案】见解析

【分析】根据CDAB可得ACBCDB90，再根据BBCDBCDACD90，即可求证．

【详解】证：∵CDAB，ACB90∴ACBCDB90

又∵BCDBBCD180，∴BBCD90

又∵ACBBCDACD90，∴BBCDBCDACD90∴BACD

【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质．

例2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在Rt△ABC中，ACB90,AC6,BC8，CD为AB边上

的高．(1)求斜边AB的长；(2)求CD的长．

【答案】(1)10(2)4.8

【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，掌握勾股定理是解本题的关键．

（1）由勾股定理可求解；（2）由面积法可求解．

【详解】（1）在Rt△ABC中，ACB90,AC6,BC8，∴ABAC2BC210；

11

（2）∵SACBCABCD，∴6810CD，∴CD4.8．

ABC22

例3．（23­24八年级·江苏·假期作业）如图①，在VABC中，BAC90，AD是BC边上的高．

（1）求证：DACABC；（2）如图②，VABC的角平分线CF交AD于点E．求证：AFEAEF；

（3）在（2）的条件下，BAD的平分线分别与CF，BC相交于点H、点G，如图③，若AH6，CH8，

CG10，求AD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=9.6．

【分析】（1）据三角形高的定义及直角三角形两锐角互余的关系即可得结论；（2）根据角平分线的定义及

直角三角形两锐角互余的关系可得∠AFE=∠CED，根据对顶角相等的性质即可得结论；（3）根据等腰三角

形“三线合一”的性质可得AH⊥EF，根据勾股定理可求出HG的长，进而可得AG的长，利用面积法即可得

答案．

【详解】（1）∵BAC90，∴ABCACB90，

AD是BC边上的高，∴ADBC，∴ADC90．

∴DACACB90，∴DACABC．

（2）∵CF是VABC的角平分线，∴ACFBCF，

∵BACADC90，∴AFEACFCEDBCF90，∴AFECED，

∵AEFCED，∴AFEAEF．

（3）由（2）可知：∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，

∵AG平分∠BAD，AG分别与CF，BC相交于点H、点G，∴AH⊥EF，

∵CH=8，CG=10，∴GH=CG2CH2=6，

11

∵AH=6，∴AG=AH+GH=12，∴SAGC=AG·CH=CG·AD，即12×8=10AD，解得：AD=9.6．

22

△

【点睛】本题考查角平分线的定义、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，直角三角形两锐

角互余；等腰三角形底边的中线、底边上的高及顶角的角平分线“三线合一”；直角三角形的两条直角边的平

方和等于斜边的平方；熟练掌握相关性质和定理是解题关键．

1．（2023·北京通州·八年级统考期末）如图，在ABC中，ABC90，BDAC，垂足为D．如果AC6，

BC3，则BD的长为（）

333

A．2B．C．33D．

22

【答案】D

【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积求出BD即可．

【详解】解：∵ABC90，AC6，BC3，∴根据勾股定理ABAC2BC2623233，

111133

∵BDAC，∴SABC=ABBCACBD，即3336BD，解得：BD．故选择D．

22222

△

【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，

三角形面积等积式是解题关键．

2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，ABC中，BDAC，BE平分ABC，若ÐA=2ÐC，DBE20，

则ABC（）

A．50B．60C．70D．80

【答案】B

【分析】设C，那么A2，然后利用分别表示ABC，ABE，ABD，最后利用三角形内

角和定理建立方程解决问题．

【详解】解：∵ABC中，ÐA=2ÐC，∴设C，那么A2，∴ABC180AC1803，

11

∵BE平分ABC，∴ABEABC（1803），

22

13

∵BDAC，DBE20，∴ABDABEDBE18032070，

22

3

∴AABD27090，∴40，∴ABC180AC180360．故选：B．

2

【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角

形内角和定理．

3．（23­24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在VABC中，BAC45，ADBC，CEAB，垂足

分别为点D、E，AD、CE交于点H，EHEB．下列结论：①ABC45；②AHBC；③AEBECH；

④BHAC．你认为正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、三角形的

一个外角等于与它不相邻的两个内角．

①根据ADBC，若ABC45，则BAD45，而BAC45，很明显不成立；②③可以通过证明

AEH≌CEB得到；④延长BH交AC于点L，则BLCEBHBAC90，所以BHAC．

【详解】解：假设ABC45成立，∵ADBC，∴BAD45，

∵BAC45，矛盾，∴ABC45不成立，故①错误．

∵BAC45，CEAB，∴AEEC，

AEEC

在△AEH和CEB中，AECBEC∴AEH≌CEBSAS∴AHBC故②正确．

EHEB

∵ECEHCH，∴AEBECH故③正确．延长BH交AC于点L，

∵EHEB，CEAB，∴EBHEHB45，

∵BAC45，∴BLCEBHBAC90，∴BHAC，故④正确．故选：B．

4．（23­24八年级下·广西柳州·开学考试）如图，在VABC中，BAC和ABC的平分线AE，BF相交于

1

点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作ODBC于D，下列三个结论：①AOB90C；

2

②当C60时，AFBEAB；③若ODa，ABBCCA2b，则S△ABC2ab．其中正确的是（）

A．①②B．②③C．①②③D．①③

【答案】A

【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线

证得△HBO≌△EBO，得到BOHBOE60，是解决问题的关键．由角平分线的定义结合三角形的内角

和的可求解AOB与C的关系，进而判断①；在AB上取一点N，使BNBE，证得NBO≌EBO，得

到BONBOE60，再证得NAO≌FAO，得到AFAN，进而判断②正确；作OHAC于H，

OMAB于M，根据三角形的面积可证得③错误．

11

【详解】解：∵BAC和ABC的平分线相交于点O，∴OBACBA，OABCAB，

22

1111

∴AOB180OBAOAB180CBACAB180180C90C，故①正确．

2222

∵C60，∴BACABC120，

1

∵AE，BF分别是BAC和ABC的平分线，∴OABOBABACABC60，

2

∴AOB120，∴AOF60，∴BOE60，如图，在AB上取一点N，使BNBE，

∵BF是ABC的角平分线，∴NBOEBO，

BNBE

在NBO和EBO中，NBOEBO，∴NBO≌EBOSAS，

BOBO

∴BEBN，BONBOEAOF60，∴AON1206060AOF

∵OAOA,OAFOAN∴AOF≌AON∴AFAN∴ABANBNAFBE，故②正确．

作OHAC于H，OMAB于M，

∵BAC和ABC的平分线AE，BF相交于点O，∴点O在C的平分线上，∴OHOMODa，

1111

∵ABBCCA2b，∴SABOMACOHBCODABACBCaab．

ABC2222

故③错误．故选：A．

5．（2023下·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角ABC中，2为钝角，AD为BC边上的高，AE为BAC

的平分线，则DAE与1、2之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发

现的是（）

21212

A．DAE21B．DAEC．DAE1D．DAE

222

【答案】B

【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论．

【详解】解：由三角形内角和知∠BAC=180°­∠2­∠1，

11

∵AE为∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°­∠2­∠1）．

22

∵AD为BC边上的高，∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD．

又∵∠ABD=180°­∠2，∴∠DAB=90°­（180°­∠2）=∠2­90°，

11

∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2­90°+（180°­∠2­∠1）=（∠2­∠1）．故选：B

22

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义，

解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系．

6．（2023下·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在ABC中，AD是高，AE是角平分线，BF是中线，AE

与BF相交于O，CABC以下结论正确的有（）

1

①BADABDCADC；②S△ABFS△CBF；③EADCABC；④S△:S△AB:AC；

2ABEACE

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【分析】解：由高的定义，得BADABDCADC90，①正确；由中线得AFCF，两三角形

等底同高，于是S△ABFS△CBF,②正确；根据直角三角形两锐角互余及外角知识，得

EAD90(ABCBAE)，结合角平分线定义可判断③正确；如图，过点E作EHAB,EIAC，垂

11

足为H，I，根据角平分线性质，得EHEI，可证得S:S(ABEH):(ACEI)AB:AC．④

△ABE△ACE22

正确．

【详解】解：∵AD是高，∴ADBADC90．∴BADABDCADC90，①正确；

11

∵BF是中线，∴AFCF．令ABC中AC边上的高为h，∴S△AFhCFhS△,②正确；

ABF22CBF

∵EADAED90,AEDABCBAE∴EAD90(ABCBAE).

1111

∵AE是角平分线，∴BAEBAC(180ABCACB)90ABCACB．

2222

111

∴EAD90(ABC90ABCACB)(CABC)，③正确；

222

如图，过点E作EHAB,EIAC，垂足为H，I，∵AE是角平分线，∴EHEI．

11

S:S(ABEH):(ACEI)AB:AC．④正确．故选：D．

△ABE△ACE22

【点睛】本题考查三角形角平分线，中线，高的定义，直角三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性

质；熟练掌握相关定义是解题的关键．

7．（2023下·重庆江北·七年级校考期中）如图，在ABC中，ACBB，AD，AE分别是高和角平分线，

点F在BC的延长线上，FHAE交AD于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）

11

A．DAEFB．AEFACFBC．FACBBD．AGHCAEB

23

【答案】C

【分析】先根据垂直的定义可得AMGFDG90，然后根据同角的余角相等即可判定A；根据角平分

1

线的定义可得BAEBAC，由三角形外角的性质可得

2

AEFBAEB，ACFBACB2BAEB，然后运用角的和差即可判定B；先根据三角形

外角的性质可得DAEACBBDAE,再结合EADF可判定C；先说明AGHBBAE，

然后根据等量代换即可解答．

【详解】解：∵ADBC，FHAE，∴AMGFDG90，

∵AGHFGD，∴DAEF，故A正确；

1

∵AD、AE分别是高和角平分线，∴BAEBAC，

2

∵AEFBAEB，ACFBACB2BAEB，

11

∴BAEACFB，∴AEFACFBB，

22

1

∴AEFACFB；故B正确；∵CAD90ACB，

2

∴DAECAECADCAE90ACBBADDAE90ACB，

∵BAD90B，∴DAEACBBDAE，

由A得：EADF，∴FACBBDAE，故C错误；

∵AGHGAEAECDAE90，∴AGEAEF，∴AGHBBAE，

∵BAECAE，∴AGHCAEB，故D正确．故选：C．

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、垂直的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角

形内角和定理是解题的关键．

8．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）如图，ABC是等腰三角形，ABAC，A45，在腰AB上取一

点D，DEBC，垂足为E，另一腰AC上的高BF交DE于点G，垂足为F，若BE3，则DG的长

为．

【答案】6

【分析】过点G作MGBF交BD于点M，过点M作NMED，根据等腰三角形各角之间的关系得出

FBCBDE，再由垂直及等量代换得出MGDBDG，利用等角对等边确定MGMDBG，

DG2DN，再由全等三角形的判定和性质求解即可．

【详解】解：过点G作MGBF交BD于点M，过点M作NMED，如图所示：

∵ABAC，A45，DEBC，∴ABCC67.5，BDE22.5，ABFA45，

∴FBCABCABF22.5，BGE67.5∴FBCBDE，

∵MGBF，NMED，∴BGMMND90，ABFBMG45

∴MGD180BGEBGM22.5，MGBG，

∴MGDBDG，∴MGMDBG，DG2DN，

MNDBEG90

在DNM与BEG中，BDEFBC，∴DNM≌BEG(AAS)

DMBG

∴DNBE3，∴DG2DN6，故答案为：6．

【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟

练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键．

9．（2024·重庆·三模）如图，ABC中，BDAC于点D，AB^CE于点E，CE与BD相交于点H，已知

ADHD2，CD6，则ABC的面积为．

【答案】24

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据ASA证明△ADB≌△HDC，得到BDCD6，再根

1

据ABC的面积AC·BD解答即可求解，证明△ADB≌△HDC是解题的关键．

2

【详解】解：∵BDAC，CEAB，∴HDCADBAEC90，

∴AHCD90，DHCHCD90，∴ADHC，

ADHC

在ADB与△HDC中，ADHD，∴ADB≌HDCASA，∴BDCD6，

ADBHDC

11

∵ACADCD268，∴ABC的面积ACBD8624，故答案为：24．

22

10．（23­24八年级上·安徽六安·期中）如图，在VABC中，ABC48，ACB76，两条高BD、CE交

于点O，连接AO，则OAE．

【答案】42/42度

【分析】本题考查了三角形的三条高交于一点，三角形内角和定理．熟练掌握三角形的三条高交于一点是

解题的关键．

如图，延长AO交BC于F，则AF为BC边上的高，即AFB90，根据OAE180ABCAFB，

计算求解即可．

【详解】解：如图，延长AO交BC于F，

∵两条高BD、CE交于点O，∴AF为BC边上的高，即AFB90，

∴OAE180ABCAFB42，故答案为：42．

11．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在ABC中，BAC90，C40，AH、BD分别是ABC

的高和角平分线，点E为BC边上一点，当BDE为直角三角形时，则CDE．

【答案】50或25/25或50

【分析】根据三角形内角和定理得ABC50，由角平分线的定义得DBC25，当△BDE为直角三角

形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．

【详解】解：∵BAC90，C40，∴ABC904050

1

∵BD平分ABC∴DBCABC25

2

当△BDE为直角三角形时，有以下两种情况：

①当BED90时，如图1，∵C40，∴CDE904050；

②当BDE90时，如图2，∴BED902565，

∵BEDCCDB，∴CDE654025，

综上，CDE的度数为50或25．故答案为：50或25．

【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此

题的关键．

12．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，ACB90，CDAB于D，AF平分CAB

交CD于E，交BC于F．

(1)如果CFE70，求B的度数；(2)试说明：CEFCFE．

【答案】(1)50(2)见解析

【分析】（1）根据三角形内角和可得CAF的度数，根据角平分线的定义可得CAB的度数，根据直角三

角形的性质可得B的度数；

（2）根据直角三角形的两锐角互余可得CAFCFE90，DAEAED90，根据角平分线的定义

可得CAFDAE，从而可得CFEAED，即可得证．

【详解】（1）解：ACB90，CFE70，CAF180907020，

AF平分CAB交CD于E，CAB2CAF40，B904050；

（2）证明：ACB90，CAFCFE90，

CDAB，ADE90，DAEAED90，

AF平分CAB交CD于E，CAFDAE，CFEAED，

AEDCEF，CEFCFE．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性

质是解题的关键．

13．（23­24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在VABC中，AD平分BAC，P为线段AD上的一个点，

PEAD交直线BC于点E．(1)若B35，ACB85，求E的度数．(2)猜想E与B、ACB的

数量关系．

1

【答案】(1)25；(2)E(ACBB)．

2

【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180是解答此题的关键．

（1）首先根据三角形的内角和定理求得BAC的度数，再根据角平分线的定义求得DAC的度数，从而

根据三角形的内角和定理即可求出ADC的度数，进一步求得E的度数；

（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．

【详解】（1）解：B35，ACB85，BAC60，

AD平分BAC，DAC30，ADC65，E25；

1

（2）如图，设Bn，ACBm，AD平分BAC，12BAC，

2

BACBBAC180，Bn，ACBm，CAB(180nm)，

1111

BAD(180nm)，3B1n(180nm)90nm，

2222

1111

PEAD，DPE90，E90(90nm)(mn)(ACBB)．

2222

14．（23­24八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）如图①，在RtABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，求

证：∠ACD=∠B；（2）如图②，在RtABC中，∠C=90°△，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判

断ADE的形状？并说明理由？（3）△如图③，在RtABC和RtDBE中，∠C=90°，∠E=90°，点C，B，

E在△同一直线上，若AB⊥BD，AB=BD，则CE与A△C，DE有什△么等量关系，并证明．

【答案】（1）证明见解析（2）直角三角形（3）CE=AC+DE

【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A=∠B+∠DCB=90°，再解答即可；（2）根据直角三角

形的性质得出∠ADE+∠A=∠A+∠B=90°，再解答即可；（3）由AB⊥BD可得∠DBE+∠ABC=90°，进而可

证明∠A=∠DBE，利用AAS可证明ABC≌BDE，即可证明BC=DE，AC=BE，从而可证明CE=AC+DE.

【详解】（1）∵在RtABC中，∠A△CB=90°，△∴∠A+∠B=90°，

∵CD⊥AB，∴∠ACD△+∠A=90°，∴∠ACD=∠B.

（2）ADE是直角三角形，理由如下：∵在RtABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，

△△

∵∠ADE=∠B，∴∠A+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，即ADE得直角三角形.

（3）CE=AC+DE，证明如下：∵点C、B、E在同一直线△上，AB⊥BD，∴∠DBE+∠ABC=90°，

∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE∵∠C=∠E=90°，AB=BD，∠A=∠DBE，∴△ABC≌BDE，

∴BC=DE，AC=BE，∴CE=CB+BE=DE+AC.△

【点睛】此题考查直角三角形的判定与性质及全等三角形的判定，根据直角三角形的性质得出两锐角互余

是解题关键.

15．（23­24七年级下·河南周口·阶段练习）已知在VABC中，ADBC于点D．

(1)如图1，若BAC的平分线交BC于点E，B35，C25，则DAE的度数为______．

(2)如图2，点M、N分别在线段AB、AC上，将VABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕

分别为DM和DN，点G、F均在直