湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 含解析

2024年高一上学期数学月考试卷一、单选题（每题5分，共40分）1.集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】表示出N中不等式的解集，确定出N，根据N与M的补集不为空集，找出a的范围即可，进而求解结论．【详解】解：∵全集R，或，，，∴，结合数轴可知，当时，，故（R为实数集）时，a的取值范围为，故选：C．2.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可.【详解】充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以，所以必要性成立，所以“”是“”的充要条件.故选：.3.已知为正实数，且满足，则的最小值为（）A. B. C.8 D.6【答案】C【解析】【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值．【详解】根据题意，当且仅当，即时，等号成立．故选：C4.若函数，则的值为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用的解析式，从内而外依次求解函数值即可得解.【详解】因为，所以，则.故选：C.5.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.【详解】由题意得，则，即，所以.故选：D.6.已知，则（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由题设得，化弦为切求目标式的值.【详解】由题设，又.故选：D7.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（）天．A.200天 B.210天 C.220天 D.230天【答案】D【解析】【分析】由题设得方程，根据指对数关系、对数运算性质求值即可.【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即，．故选：D．8.已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可.【详解】因为，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，函数最大值，所以，舍去；当时，，符合题意；当时，，则或，解得或，综上，实数的取值范围是.故选：.【点睛】关键点点睛：根据对勾函数可得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行分类讨论，分，，三种情况逐一分析.二、多选题（共20分）9.下列函数中，与函数不是同一个函数的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.【详解】解：的定义域为．对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．故选：ACD．10.以下说法正确的有（）A.设，则B.函数的图象与函数的图象关于直线对称C.若是偶函数，则D.函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在上没有零点【答案】AC【解析】【分析】由对数、指数的运算可判断A，由函数图象平移可判断B，由偶函数的定义可判断C，通过反例可判断D.详解】A，由，可得：，则，所以，A正确；B，函数和的图象关于直线对称，函数的图象可由的图象左移1个单位得到，函数图象可由的图象右移2个单位得到，所以函数和的图象关于直线对称，B错误；C，的定义域是，由于是偶函数，所以，即，所以，解得，经验证符合题意，C正确；D，函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在上可能有零点，例如在，故D错误.故选：AC.11.已知定义在上的奇函数满足，若，则（）A.4为的一个周期 B.的图象关于直线对称C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证，即可得出答案.【详解】对于A：函数为奇函数，则，则，则的一个周期为4，故A正确；对于B：，则函数关于对称，故B正确；对于C：的一个周期为4，，令中的，则，函数为定义在上奇函数，，，故C正确；对于D：的一个周期为4，，函数为奇函数，，，故D错误；故选：ABC.12.已知x，y均为正实数，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由基本不等式判断各选项．【详解】A选项：，所以，当且仅当，即，时取等号，故A错误；B选项：，由A知，则，故B正确；C选项：，当且仅当，即，时取等号，故C正确；D选项：由，得，即，当且仅当，即，时取等号，故D错误.故选：BC．三、填空题（共20分）13.若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解.【详解】因为在上均为增函数，所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，故若在区间上存在零点，则解得．故常数a的取值范围为．故答案为：14.已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件得到，且在上大于等于0恒成立，即可得到答案.【详解】因为函数（且）在区间上单调递增，在上单调递减，所以，且在上大于等于0恒成立.所以.故答案为：15.已知命题：“”为真命题，则的取值范围是______．【答案】（]【解析】【分析】先讨论成立，然后讨论时，利用二次函数的图像求解即可.【详解】因为命题“”为真命题，当时，成立，当时，则，解得，故的取值范围是，故答案为：16.已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得，然后构造新函数，根据函数的性质可得结果．【详解】，定义域为，则，可知函数为奇函数，又均为增函数，所以为增函数，由，得，即，则，即，由题意可知，对任意的，恒成立，令，所以，解得，所以的取值范围为．故答案为：．四、解答题（共70分）17.计算下列各值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）根据指数幂运算求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合换底公式运算求解即可.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式.18.已知函数．（1）若函数的值域为，求a的取值范围；（2）是否存在，使在上单调递增，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可得函数的值域包含，进而结合求解即可；（2）由题意可得函数在递减，且对于恒成立，进而列出不等式组求解即可.【小问1详解】由函数的值域为，则函数的值域包含，则，解得或，即a的取值范围为.【小问2详解】不存在，理由如下：由函数在上单调递增，则函数在递减，且对于恒成立，所以，无解，所以不存在，使在上单调递增.19.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，根据两角和正切公式运算求解；（2）根据诱导公式结合齐次式问题运算求解.【小问1详解】∵，则，∴【小问2详解】由（1）可得：，故.20.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.【答案】（1）；（2）产量为70万盒，最大利润为1200万元.【解析】【分析】（1）根据产量的范围，分段列出函数关系式，即得答案.（2）求出每段函数的最大值，再比较大小即可作答.【小问1详解】依题意，当时，，当时，，所以销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为：.【小问2详解】当时，单调递增，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，而，因此当时，，所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为1200万元.21.设矩形周长为，其中.如图所示，为边上一动点，把四边形沿折叠，使得与交于点.设，.（1）若，将表示成的函数，并求定义域；（2）在（1）条件下，判断并证明的单调性；（3）求面积的最大值.【答案】（1），（2）在上单调递增，证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）通过几何关系确定，利用R的三边关系建立，的关系，再利用，进而确定的范围即可.（2）应用函数单调性的定义证明即可；（3）设，将面积表示为，适当变形应用基本不等式求解最值即可.【小问1详解】解：根据题意，由，得，由已知，故，又因为故在中，则，即，整理得又，则，故，，所以，定义域为.【小问2详解】解：因为，，任取，且，则因为，所以，，所以，即在上单调递增.【小问3详解】解：易知，当点位于点时，面积最大.此时再设，，那么，由得，，所以，的面积，令，则，，故，当且仅当，即，即时，等号成立，故当时，的面积的最大值为.22.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（3）解关于的不等式.【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）在上是单调递增函数，证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解；（2）利用函数的单调性定义求解；（3）