专题7.2 复数的四则运算【八大题型】（人教A版2019必修第二册）【含答案解析】

专题7.2复数的四则运算【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1复数的加、减运算】 3【题型2复数加、减法的几何意义的应用】 4【题型3复数的乘、除运算

】 7【题型4复数的乘方】 8【题型5根据复数的四则运算结果求参数】 9【题型6根据复数的四则运算结果求复数特征】 10【题型7复数范围内分解因式】 12【题型8复数范围内方程的根】 13【知识点1复数的四则运算】1．复数的加法运算及其几何意义(1)复数的加法法则

设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)复数的加法满足的运算律

对任意∈C，有

①交换律：；

②结合律：.(3)复数加法的几何意义在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.2．复数的减法运算及其几何意义(1)复数的减法法则类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).

根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.(2)复数减法的几何意义两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差对应的向量是，即向量.如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示).

这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.3．复数的乘法运算(1)复数的乘法法则

设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.(2)复数乘法的运算律对于任意∈C，有

①交换律：；

②结合律：；

③分配律：.

在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有，，.4．复数的除法(1)定义

我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(2)复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.5．|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义

设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则，又复数=(a-c)+(b-d)i，则.

故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离.6．复数运算的常用技巧(1)复数常见运算小结论①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【题型1复数的加、减运算】【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数1−i−2+i+3i+6等于（

）A．5+i B．7−i C．6+i【解题思路】根据复数的加减法运算法则求解.【解答过程】由题意可得：1−i故选：A.【变式1-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）已知复数z=1+i，则3+2i−z=A．1+i B．−1+i C．2+【解题思路】根据复数的减法计算即可.【解答过程】由题意，z=1+i时，3+2故选：C.【变式1-2】（24-25高一下·全国·课堂例题）计算：(1)32(2)35(3)8−【解题思路】根据题意由复数的加减法运算法则，代入计算，即可得到结果.【解答过程】（1）32（2）35（3）8−【变式1-3】（2024高一下·全国·专题练习）计算：(1)

2−1(2)(3+2i(3)(1+2i(4)(6−3i【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据复数的加减法法则直接求解即可.【解答过程】（1）2−1（2）(3+2i（3）(1+2=(1+2i)+(i（4）(6−3=[6+3−3−(−2)]+[−3+2−(−4)−1]i=8+2【题型2复数加、减法的几何意义的应用】【例2】（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）复数6+5i与−3+4i分别表示向量OA与OB，则表示向量BA的复数为（A．3+9i B．2+8i C．−9−i【解题思路】根据BA=【解答过程】复数6+5i与−3+4i分别表示向量OA与因为BA=OA−OB，所以表示向量故选：D.【变式2-1】（2024·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1=1, z3=−2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为z1所以由复数加法的几何意义可得，z2故选：C.【变式2-2】（23-24高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形OABC，顶点O,A,C分别表示0,4+3i(1)对角线CA所表示的复数；(2)求B点对应的复数.【解题思路】（1）先由向量运算得CA=（2）先由向量运算得OB=【解答过程】（1）因为CA=所以CA所表示的复数为4+3i（2）因为OB=所以OB所表示的复数为4+3i即B点对应的复数为1+8i【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数z=2+3i(1)z−3i；(2)z−3+【解题思路】（1）在复平面上作出z=2+3i对应的向量OZ，再作出3i对应的向量OZ1（2）再作出3+i对应的向量OZ2，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，OB【解答过程】（1）设复数z=2+3i对应的向量为OZ图1设复数z1=3i对应的向量为OZ1，则两个复数的差z−3i（2）设复数z2=3+i对应的向量为OZ2，则两个复数的差z−3+i图2【题型3复数的乘、除运算

】【例3】（23-24高一下·四川巴中·期末）复数z满足z−2z=1+i2+A．−35−C．115−1【解题思路】根据复数代数形式的除法运算化简1+i2+i，设z=a+bia,b∈R，表示出【解答过程】因为1+i设z=a+bia,b∈R所以z−2z又z−2z=1+i2+所以z=−3故选：B.【变式3-1】（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知(1+i)2z=3−4iA．−2−32i B．2−32i【解题思路】由复数乘法可得2i【解答过程】因为(1+i)2=1+2i所以z=3−4故选：A.【变式3-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数z满足2−iz=5（i是虚数单位），z的共轭复数为z，则z⋅zA．6 B．5 C．4 D．3【解题思路】由复数的除法、乘法运算，结合共轭复数的概念即可求解.【解答过程】由2−iz=5，可得z=所以z⋅z故选：B.【变式3-3】（23-24高一下·广东东莞·期末）若2+i⋅z=1−i，则z⋅A．25 B．2 C．825 【解题思路】根据题意，由条件可得z，再由z⋅z【解答过程】由2+i⋅z=1−i所以z⋅z故选：A.【题型4复数的乘方】【例4】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知i为虚数单位，计算1−i1+iA．i B．−1 C．−i D．【解题思路】根据复数代数形式的除法运算及乘方运算法则计算可得.【解答过程】因为1−i所以1−i故选：D.【变式4-1】（23-24高一下·河北张家口·期末）复数z=1+i1−A．−1 B．−i C．1 【解题思路】根据复数代数形式的除法运算化简1+i1−i【解答过程】因为1+i1−i=1+i2所以z=1+所以z=i，所以z的虚部为1故选：C.【变式4-2】（24-25高一下·全国·单元测试）已知z=−1−i2，则zA．i B．−i C．1+i 【解题思路】先计算z2【解答过程】因为(1−i)2所以z故选：B.【变式4-3】（23-24高一下·江苏连云港·期中）计算：i2024+2A．1+2i B．1−2i C．1−i【解题思路】根据复数的乘方及除法运算法则计算可得.【解答过程】i2024+2(1−i故选：D.【题型5根据复数的四则运算结果求参数】【例5】（2024·陕西安康·模拟预测）设复数z=1−2ia+ia∈A．−3 B．−13 C．2【解题思路】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.【解答过程】z=1−2由已知得a+2+1−2a=0，解得a=3，故选：D.【变式5-1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数3+mi−2+i对应的点在第四象限内，则实数A．m<23 B．m<1 C．23【解题思路】利用复数对应点的性质求解即可.【解答过程】由题意得3+mi因为复数3+mi所以m−1<0，解得m<1，故B正确.故选：B.【变式5-2】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数z1=a+3i，z2=−4+bi，a,b为实数，若z1A．−7 B．7 C．−1 D．1【解题思路】由z1+z2为实数，z1【解答过程】因为z1+z2=a−4+又z1−z2=a+4+3−bi综上可知a=−4b=−3，所以a+b=−7故选：A.【变式5-3】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若3+aii为“等部复数”，则实数a的值为（A．−1 B．0 C．3 D．−3【解题思路】先运用复数的四则运算法则化简3+ai【解答过程】因3+aii=故选：D.【题型6根据复数的四则运算结果求复数特征】【例6】（24-25高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数z满足1+zi1−i=1+2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．【解答过程】解：∵复数z满足1+zi∴1+zi∴zi=2+i∴z=故选：D．【变式6-1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）实数m>1时，复数m3+i−A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】先将复数化为一般形式，结合m的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案.【解答过程】∵m又m>1，故3m−2>1>0,m−1>0,故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.【变式6-2】（24-25高二下·江西九江·阶段练习）设复数z的共轭复数为z、复数z满足1+i=2−4izA．3 B．−3 C．3i D．【解题思路】求出复数z，进而求出复数z的共轭复数为z，即可得到答案.【解答过程】z=2−4i1+i=故选：A.【变式6-3】（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知复数z满足iz=11+i，则复数A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】利用复数的乘除法运算化简求得z=−12【解答过程】∵iz=1∴z=−12+故选：B.【知识点2复数范围内方程的根】1．复数范围内实数系一元二次方程的根

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当时，方程有两个不相等的实根，；

当时，方程有两个相等的实根；

当时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭复数.2．复数的方程的解题策略(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.【题型7\o"复数范围内分解因式"\t"/gzsx/zj168415/_blank"复数范围内分解因式】【例7】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：(1)x4(2)x4【解题思路】（1）（2）结合复数运算求得正确答案.【解答过程】（1）由于x+3所以x4（2）由于x+2所以x4【变式7-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式：(1)x2(2)2x【解题思路】（1）先应用求根公式再写成两个因式相乘；（2）先应用求根公式再写成两个因式相乘.【解答过程】（1）由方程可知Δ=1−8=−7<0所以方程有两个共轭虚根为x=1故x2（2）由方程可知Δ=4−4×2×3=−20<0所以方程有两个共轭虚根为x=12x【变式7-2】（24-25高一·湖南·课后作业）利用公式a2(1)x2(2)a4(3)a2(4)x2【解题思路】（1）根据所给等式a2（2）利用平方差公式结合所给等式，可得答案；（3）先用完全平公式化简，再利用已知等式，可得答案；（4）先配方变为平方和形式,再利用已知等式分解可得答案.【解答过程】（1）x2（2）a4（3）a2（4）x2【变式7-3】（24-25高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式：(1)a2(2)x2(3)2x【解题思路】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可.（2）直接根据复数范围的要求分解因式即可.（3）先应用求根公式再写成两个因式相乘；【解答过程】（1）a2+2ab+b（2）x2（3）令2x2−6x+5=0解方程可得：x1=3+所以2x【题型8\o"复数范围内方程的根"\t"/gzsx/zj168415/_blank"复数范围内方程的根】【例8】（24-25高一下·全国·课前预习）已知1+i是方程x2+bx+c=0（b(1)求b，c的值；(2)试判断1−i【解题思路】（1）利用方程根的定义，结合复数相等求出b,c.（2）把1−i【解答过程】（1）由1+i是方程x2+bx+c=0的根，得(1+而b，c为实数，b+c=02+b=0，解得b=−2,c=2所以b=−2,c=2.（2）由（1）知方程为x2把1−i代入方程左边，得(1−所以1−i【变式8