专题6.11 平面向量中的最值与范围必考八类问题（人教A版2019必修第二册）【含答案解析】

专题6.11平面向量中的最值与范围必考八类问题【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【类型1定义法求最值与范围问题】 3【类型2基底法求最值与范围问题】 6【类型3坐标法求最值与范围问题】 10【类型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 15【类型5与数量积有关的最值（范围）问题】 17【类型6与模有关的最值（范围）问题】 22【类型7平面向量中参数的最值（范围）问题】 26【类型8极化恒等式】 30【知识点1平面向量中的最值与范围问题及其解题策略】1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断；(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：(1)定义法①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.(2)坐标法①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.(3)基底法①适当选取一组基底，利用基底转化向量；②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论.【知识点2极化恒等式】1．极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.证明：不妨设，则，，①，②，①②两式相加得：.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式平行四边形模式：.2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.【类型1定义法求最值与范围问题】1．（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，点F为线段AC上任一点（不含端点），若BF=3xBA+yBC，则3x+1y的最小值为（

）A．1 B．4 C．9 D．16【解题思路】由题意得3x+y=1，且x>0,y>0，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【解答过程】由题意，在△ABC中，点F为线段AC上任一点（不含端点），若BF=3xBA+y设AF=λAC，则所以3x+y=1−λ+λ=1，则3x当且仅当3yx=3xy，即故选：D．2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量a,b不共线，AB=λa+b,AC=A．5 B．4 C．3 D．2【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.【解答过程】因为A,B,C三点共线，所以存在实数k，使AB→=kAC又向量a,b不共线，所以由λ>0,μ>0，所以λ+4μ≥24λμ当且仅当λ=4μ=2时，取等号，即λ+4μ的最小值为4.故选：B.3．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧AB上的一动点，则PA+PB+A．60−637 B．300−3037 C．300−1537【解题思路】取三角形ABC的重心和DE中点，由平面向量线性运算化简所求向量，再又三点共线的逆定理得到点H在平面的位置，用勾股定理求出线段CH长，从而求得所求向量的最小值.【解答过程】取DE中点F，三角形ABC的重心G，∵PG=13则PA+设PH=35PG+25则AM=MH=FM−在扇形CAB中，当C,H,P三点共线时，PH最小，所以PH的最小值为60−1332PA+PB+故选：B.4．（23-24高一下·广东广州·期中）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点（含边界），且AP=AB+λA．△PCD的面积为定值 B．∃λ使得|C．∠CPD的取值范围是π6,π3 【解题思路】对A，根据AP=AB+λAF,λ∈R可得BP//AF，从而确定P在正六边形ABCDEF的对角线BE上运动，进而根据【解答过程】对A，由AP=AB+λ即BP=λAF，可得因此，P在正六边形ABCDEF的对角线BE上运动，所以P到CD的距离为定值，所以△PCD的面积为定值，故A正确；对B，因为正六边形ABCDEF关于对角线BE对称，故|PC对C，根据图形的对称性，当P为BE中点时，∠CPD取得最大值π3当P与B,E重合时∠CPD取得最小值π6，即∠CPD的取值范围是π对D，因为正六边形边长为1，所以平行线BE,CD的距离d=3又当PC⊥BE时，PC有最小值32故选：AC.5．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=π3，点F为线段BD（含端点）上一动点，点E满足DE=3EC，则AF⋅【解题思路】利用基底，结合向量的线性运算表示AF,【解答过程】设BF=λBD，其中已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=π则△ABD为等边三角形，又DE=3则AF⋅DE=(AB=341−λAB2+3故AF⋅DE∈故答案为：32

【类型2基底法求最值与范围问题】6．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，P为线段CD上一个动点（含端点），AC=mDB+nA．0,1 B．2,3 C．1,2 D．2,4【解题思路】设DP=λDC，以AD,AB为基底表示AC后可得m+λn2=【解答过程】设DP=λDC，则故AC=m又AC=AD+所以m+λn2=12因为0≤λ≤1，故1≤m+n≤2，故选：C.7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在△ABC中，BD=2DC，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，且AE=mAB,AF=nAC，其中A．2 B．2 C．3 D．8【解题思路】根据题意以AB,AC为基底表示出AD，再根据E,F,D三点共线，利用共线定理可得13m+2【解答过程】如下图所示：因为BD=2DC，易知又AE=mAB,易知E,F,D三点共线，利用共线定理可得13m又m>0，n>0，所以m+2n=m+2n当且仅当2m3n=2n所以m+2n的最小值为3.故选：C.8．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形ABCD中，已知E,F分别是BC,CD上的点，且满足BE=EC,CF=2FD．若点P在线段BD上运动，且A．−15,75 B．35【解题思路】建立基底，DC=a,DA=b，则AE=【解答过程】矩形ABCD中，已知E,F分别是BC,CD上的点，且满足BE=

设DC=a,DA=联立AE=a−因为点P在线段BD上运动，则可设AP=tAP=tAB+又AP=λAE+μλ+μ=−2因为0≤t≤1，所以λ+μ=4故选：B．9．（23-24高一下·福建漳州·期中）在△ABC中，点P满足BP=2PC，过点P的直线与AB､AC所在的直线分别交于点M､N，A．AP=23AB+C．AP=13λAM+【解题思路】先利用向量的线性运算判断AC，再利用三点共线得到13λ【解答过程】如图所示，因为BP=2PC，则BP=2PC，即所以AP=又因为AM=λ所以AP=因为M､P､所以1=13λ+当且仅当13λ=2所以λμ的最小值为89所以λ+μ=λ+μ当且仅当2λ3μ=μ所以λ+μ的最小值为22故选：BC.10．（23-24高一下·广东江门·期中）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，且AC//EF，则PE⋅PF的取值范围是39,55【解题思路】选取一组基底PB,BE，把向量PE、PF用这一组基底表示，再利用向量数量积公式可得PE⋅PF=【解答过程】如图可知，PE=PB+因为B是EF的中点，所以BE=所以PE⋅由条件可得BE=3，AB因为P为AC边上的一个动点，故当P为AC中点时PB最小，此时PB=4当P为A或C时，PB最大，此时PB=8从而PB∈43又因为BE=3，所以PE故答案为：39,55.【类型3坐标法求最值与范围问题】11．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则PA+3PB的最小值为（A．3 B．5 C．4 D．5【解题思路】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，写出点A、B、C和D的坐标，设出点P，根据向量模的计算公式，利用完全平方式非负，即可求得其最小值.【解答过程】如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设DC=a，则A(2,0)，B(1,a)，C(0,a)，D(0,0)，设P(0,b)(0≤b≤a)，则PA=(2,−b)，PB=(1,a−b)，∴∴|PA即当3a=4b时，取得最小值5.故选：D.

12．（24-25高三上·北京·阶段练习）在△ABC中，AB=AC=42，当λ∈R时，AB+λBC的最小值为4．若AM=MB,APA．2 B．4 C．25 D．【解题思路】由AB+λBC的最小值为4可得△ABC的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及θ的取值范围表示出MP的表达式，再由二次函数单调性即可求得【解答过程】如下图所示：在直线BC上取一点D，使得BD=λBC所以AB+λBC=AB+BD=AD，当又AB=AC=42，所以可得△ABC是以A建立以A为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：又AM=MB可得M为由AP=sin2θ  AB+可得A0,0所以AB=0,42则MP=令cos2θ=t，由θ∈π所以MP=42由二次函数y=64t2−32t+8在t∈故选：C.13．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2，点E在边CD上运动（包含端点），则AE⋅A．22,72 B．[22,4]【解题思路】以A为坐标原点建立直角坐标系，设Ea,2，得AE⋅BE=a−【解答过程】以A为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，因为在矩形ABCD中，AB=2则B2又点E在边CD上运动（包含端点），设Ea,2，则0≤a≤AE=则AE⋅因为0≤a≤2，所以a−故选：D.14．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形ABCD的边长为2,E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点；AP=λAE+μA．λ最大值为1 B．μ最大值为1C．AP⋅AD最大值是2 D．AP【解题思路】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得2λ=cosα+1，且λ+2μ=sinα，【解答过程】以AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，则A(−1,0)，D(−1,2)，E(1,1)，设∠BOP=α，则P(cosα,sinα)，所以AP=(cosα+1,sinα)由AP=λAE+μAD，得2λ=cosα+1，且对于A，当α=0时，λmax对于B，μ=1对于C，AP⋅对于D，AP⋅AE=故选：ACD．15．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，点E满足AE=14AB+34AC，P为平面【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解.【解答过程】建立如图所示的直角坐标系，设Px,y，M是AD则A0,0由AE=14AB+所以(PA+PD故当x=2,y=52时，取到最小值故答案为：−17【类型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】16．（2024·河南许昌·三模）在△ABC中，点D在BC上，且满足BD=14BC，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足BE=xA．22 B．43 C．4+23【解题思路】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点A、E、D共线得x+4y=1，x>0,y>0，再根据“1”的代换,运用基本不等式即可求得答案.【解答过程】因为BD=14BC，由A，E，D三点共线可得x+4y=1，且x>0,y>0，所以1x当且仅当x=2y，即故选：D.17．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知点P在△ABC所在的平面内，且2PA+PB+PC=0.过点P的直线与直线AB,AC分别交于M,NA．74 B．3+224 C．9【解题思路】利用平面向量基本定理可得1α【解答过程】

设BC的中点为D，连接PD,PC,PB，则2PD故2PD+2PA=0即DP因为P,M,N三点共线，故存在实数s，使得AP=s故AP=sαAB+因为AB,AC不共线，故sα=1α+4β=1当且仅当α=34,β=38故选：C.18．（23-24高一下·湖南·期中）△ABC的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若BE=−xAB，BF=yBC（x,y>0），则A．23 B．29 C．4【解题思路】利用向量线性运算，结合三角形重心的性质及共线向量定理的推论得x+y=3xy，再利用基本不等式求解即得.【解答过程】由O为△ABC的重心，得BO延长线必过AC的中点D，则BO=23BD=13BA+即BO=13BA+13BC=1即x+y=3xy，又x>0,y>0，则3xy=x+y≥2x即xy≥49，当且仅当则xy的最小值是49故选：C.19．（24-25高三上·江西·期中）已知点P是△ABC的中线BD上一点（不包含端点），且AP=xAB+yA．x+2y=1 B．xy的最大值为1C．x2+y2的最小值为1【解题思路】由平面向量的基本定理及共线的推论得x+2y=1，再应用基本不等式、二次函数性质判断各项正误.【解答过程】因为AP=xAB+yAC，则AP=xAB+2yAD，又由x,y>0，则1=2x+y≥22xy，则xy≤18由x2+y2=因为1x当且仅当2yx=2x故选：ACD.20．（24-25高一下·山东·阶段练习）在△ABC中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC，（x>0，y>0），则x+2y的最小值是【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出x,y的关系，再利用基本不等式求出最小值.【解答过程】在△ABC中，点E为重心，则AE=而点N,E,M共线，则13x因此x+2y=(x+2y)(13x+所以x+2y的最小值是1+2故答案为：1+2【类型5与数量积有关的最值（范围）问题】21．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，AB=AC，则AB⋅AC的最小值为（A．0 B．−14 C．−1【解题思路】令A(1,0)，B(cosθ,sinθ),θ∈(0,2π)，进而有【解答过程】不妨令A(1,0)，B(cosθ,sinθ),θ∈(0,2π所以AB=cos当cosθ=12时，AB故选：C.22．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2AB=2BC=2，点P为梯形ABCD四条边上的一个动点，则PA⋅A．−12,4 B．−12,2【解题思路】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.【解答过程】如图△ABP中，O为AB中点，PA·共起点的数量积问题可以使用.如图，取AB中点O，则由极化恒等式知，PA⃗·PB⃗=P由图，可知PO2最大时，P在D点，即POPO2最小时，P在O点，即PO综上所得，PA⋅PB取值范围为:故选：D.23．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFDH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP⋅AB的最大值为（A．2 B．4+22 C．2+2 【解题思路】由投影向量的定义得到当P在CD上时，AP⋅【解答过程】由投影向量的定义可知，当P在CD上时，AP⋅延长DC交AB的延长线于点T，AP⋅AB的最大值为其中正八边形的外角为360°÷8=45°，故AB=BC=2,∠CBT=45°，故BT=2cos45°=2故AB⋅AT=22+所以AP⋅AB最大值为故选：B.24．（23-24高一下·江苏南通·期中）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形，CD=4CK=4JK=4，CK⊥JK，△HIJ为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（

）

A．CI=1+3 B．C．若FP=λFA+μFE，则λ＋μ的最大值为9+3【解题思路】把题中图2的平面图形顺时针旋转30°，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接CH，CJ，连接FI，交HJ于点L，过I作IM⊥AB，垂足为点M，过C作CN⊥AB，垂足为点N，利用数量积结合选项即可逐一求解．【解答过程】如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转30°，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接CH，CJ，连接FI，交HJ于点L，易得O，C在FI上，HJ⊥CI．过I作IM⊥AB，垂足为点M，过C作CN⊥AB，垂足为点N．由题意得CH=CJ=2CK=2，∠LCJ=HJ=2HL=2CJsin所以IL=32HJ=32计算JH⋅JK=(FP=λFA+μFP⋅所以FP⋅FE+连接AE，取AE的中点Q，连接QF，则18FP⋅2当点P与点I重合时λ+μ取得最大值，所以λ+μ的最大值为：14FI⋅因为四边形CNMI为矩形，所以MN=CI=1+3，BN=BC所以AM=AB+BN+NM=4+2+(1+3当P与I重合时，AP⋅AB取得最大值为当P与X重合时，AP⋅AB取得最小值为所以AP⋅AB的取值范围是[−12−43，28+4故选：ACD．

25．（2024高三·全国·专题练习）在直角△ABC中，斜边AB=2，P为△ABC所在平面内一点，AP=12①AB⋅AC②点P经过△ABC的外心③点P所在轨迹的长度为2④PC⋅PA则以上结论正确的是①②④．（填写序号）【解题思路】对①，由直角三角形结合向量的运算可得AB⋅AC=AC2判断即可；对②③，由题意推导AP⃗=sin2θ⋅AO⃗+cos2【解答过程】对①，由△ABC中AB为斜边，可得AB⋅又斜边AB=2，则|AC⃗∈0,2|，则AB对②，若O为AB中点，则AO＝12AB，故又sin2θ＋cos2θ＝1，所以O，P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，又O是△ABC的外心，所以②正确，③错误；对④，又PA＋PB＝2PO，则PC·(PA＋PB)＝2PC·PO＝－2|PC||PO|，又|PC|＋|PO|＝|OC|＝1，则|PC||PO|≤PC⃗+|PO当且仅当|PC|＝|PO|＝12所以PC·(PA＋PB)＝－2|PC||PO|∈−故答案为：①②④.【类型6与模有关的最值（范围）问题】26．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量OA=4,OB=3,OC=1,A．1 B．2 C．32 【解题思路】由题设A,B,C分别在以O为原点，半径为4,3,1的圆上运动，且OA⊥OB，数形结合及向量加法的几何意义确定【解答过程】由题设，A,B,C分别在以O为原点，半径为4,3,1的圆上运动，且OA⋅所以OA⊥OB，若D是AB的中点，则|OD|=1由图知，CA⃗+CB⃗=2|所以CA+CB的最小值是故选：D.27．（2024·湖北·模拟预测）四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足AP+BP+CP+A．1+2 B．2−1 C．22【解题思路】根据题意建立直角坐标系，设Px,y，写出A,B,C,D坐标，可得P点的轨迹方程，进而可求出AP【解答过程】根据题意，建立如图所示的直角坐标系，设Px,y,则AP=故AP+∴AP即x−22故点P在以点2,2为圆心，1为半径的圆周上运动，所以AP的最大值为22故选：D.28．（23-24高一下·浙江·阶段练习）正方形ABCD边长为1，平面内一点P满足AP=λAB+μAD，满足λ+μ=74的P点的轨迹分别与CB，CD交于M，N两点，令e1，e2分别为AB和AD方向上的单位向量，A．3 B．724 C．52【解题思路】首先根据题意确定，M,N的位置，然后设te1=AE,ke2=AF，利用平面向量的减法运算可得AM−te1=EM，te1−k【解答过程】由题意知，当λ=1μ=34时，点P的轨迹与CB相交于M当λ=34μ=1时，点P的轨迹与CD相交于N设te1=te1−k于是AM−t设点M关于AB的对称点M1,点N关于AD的对称点N则EM⃗所以点M1,E,F,N即EM+故选：B.29．（23-24高三上·安徽·开学考试）已知P2,0，Acosα,sinα，Bcosβ,A．PA−B．PA+C．若PA=λPB，PAD．若PA=λPB，【解题思路】A选项，由几何意义可得A，B为单位圆上任意两点，从而得到PA−PB=AB≤2；B选项，取AB中点D，得到PA+PB=2PD【解答过程】A选项，由已知A，B为单位圆上任意两点，OA=OB=1

B选项，设D为AB的中点，则PA+由于A，B两点不重合，所以PD∈1,3，则C选项，当P，A，B共线时，PA−D选项，当P，A，B共线时，若A,B坐标分别为−1,0与1,0或1,0与−1,0时，O,D两点重合，此时PA+若A,B坐标不同时为−1,0与1,0时，此时OD⊥PB，则PD<

故PA+故选：AD.30．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=4，BC=CD=2，P是腰AD上的动点，则2PB−PC的最小值为【解题思路】建立平面直角坐标系，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解即可．【解答过程】等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB=4，BC=CD=2，故梯形的高为22根据题意，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，则B(4,0)，C(3,3)，设P(a,3PB=(4−a,−则2PB则|2PB则当a=12时，则|2PB−PC故答案为：33【类型7平面向量中参数的最值（范围）问题】31．（2024·全国·模拟预测）已知△ABC中，AO=λAB+(1−λ)AC，且O为△ABC的外心．若BA在BC上的投影向量为μBC，且cosA．23,56 B．15,【解题思路】根据题意B，O，C三点共线．因为O为△ABC的外心，即有|OA|=|OB【解答过程】因为AO=λ则AO−AC=λ(AB−AC)，所以CO因为O为△ABC的外心，即有|OA所以△ABC为直角三角形，因此AB⊥AC，O为斜边BC的中点．因为cos∠AOC∈13如图，过点A作AQ⊥BC，垂足为Q．因为BA在BC上的投影向量为BQ=μBC，所以所以OA在BC上的投影向量为OQ=又因为|OA|=1因为cos∠AOC∈13故μ的取值范围为23故选：A．32．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=π3，I是∠BAC的平分线上一点，且AI=3，若△ABC内（不包含边界）的一点D满足ID=xABA．−16,524 B．−1【解题思路】将向量AB,AC归一化可得AI=【解答过程】设i=ABAB=AB可得i⋅则AI=λi+即3=λ21+1+1则AI=因为ID=xAB+12所以AD=x因为x+16>0所以实数x的取值范围是−1故选：B.33．（23-24高二上·上海黄浦·期中）在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=2，若CP=λ①λ+μ的最小值为−45；

②PA⋅③λ+μ的最大值为34；

④PA其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】建立以C为原点，CA,CB所在的直线分别为x,y轴，平面直角坐标系，设P2cosθ,2sinθ【解答过程】如图，以C为原点，CA,CB所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，则C0,0,A3,0,B0,4则CP所以CP=λ则2cosθ=3λ所以λ+μ=23cos所以λ+μmin所以①③错误；∵PA=其中sinα=∵−10≤−10sin∴−6≤4−10sin∴−6≤PA所以②正确，④错误；故选：A.34．（24-25高一下·全国·课后作业）△ABC中，D为AB上一点且满足AD=3DB．若P为线段CD上一点，且AP=λAB+μA．CD=14C．λμ的最大值为112 D．1【解题思路】根据平面向量基本定理，结合三点共线的向量性质、基本不等式逐一判断即可.【解答过程】CD=由AD=3所以AP=4λ3∴4λ3+μ=1由λ,μ为正实数，4λ+3μ=3≥43λμ，得λμ≤3161λ+1故选：AD．

35．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形ABCD，点P在正方形内（含边界），满足AP=xAB+yAD，当点P在线段BD上时，则x2【解题思路】建立平面直角坐标系，求出BD线段方程，由P在线段BD上可得x+y=1，利用二次函数值域计算即可得出结果.【解答过程】建立平面直角坐标系如图所示，根据题意可得：A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)，设P为(m,n)，则m，n∈[0，4]，因为AP=x所以(m，n)=x(4，0)+y(0，4)，所以m=4xn=4y易知BD线段方程为：x+y=4，x∈[0，4]，因为点P在BD上，所以m+n=4，m=4x∈[0，4]，所以m+n=4x+4y=4，x∈[0，1]，所以x+y=1，x∈[0，1]，y∈[0，1]，则x2当x=23时取得最小值为故答案为：23【类型8极化恒等式】36．（2025高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=2，M为线段AB上的动点（包含端点），D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则ME⋅

A．−2 B．−C．−1 D．−【